• Nie Znaleziono Wyników

Cwiczenie 2. (3 punkty) Czy funkcja f dana wzorem ´

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Cwiczenie 2. (3 punkty) Czy funkcja f dana wzorem ´"

Copied!
3
0
0

Pełen tekst

(1)

CWICZENIA Z MATEMATYKI I ´

Kartk´ owka IX J. de Lucas

Cwiczenie 1. (3 punkty) Znale´ ´ z´ c dziedzin¸e i obraz warto´sci funkcji f (x) = √

x 2 − x + 1.

Cwiczenie 2. (3 punkty) Czy funkcja f dana wzorem ´

f (x) = ax + b

cx + d , ad − bc 6= 0,

gdzie a, b, c i d s¸ a liczbami rzeczywistymi, jest r´ o˙znowarto´sciowa? Oblicz jej obraz warto´sci.

Cwiczenie 3. (2 punkty) Rozwi¸ ´ azuj

x 2 − 9 x + 3

≤ 2, x ∈ R.

Cwiczenie 4. (4 punkty) Rozwi¸ ´ azuj 1 + sin x

cos x + cos x

1 + sin x = 4, log(x) − log(1 + √

x) = 2.

Cwiczenie 5. (2 punkty) Udowodnij, ˙ze 3 ´ 4n+1 − 5 2n−1 jest podzielny przez 7 dla ka˙zdej n ∈ N.

Cwiczenie 6. (2 punkty) Oblicz k¸ ´ aty tr´ ojk¸ ata z wierzcho lkami P 1 = (1, 0, 1), P 2 = (2, −1, 0), P 3 = (0, 0, 1).

Cwiczenie 7. (2 punkty) Ustal czy nast¸epuj¸ ´ ace wektory s¸ a liniowo niezale˙zne v 1 = (1, 2, 1), v 2 = (0, −1, 0), v 3 = (1, −2, 1).

1

(2)

CWICZENIA Z MATEMATYKI I ´

Cwiczenie 8. (2 punkty) Dane wektory v ´ 1 = (1, 1, 1) i v 2 = (1, 0, −1), oblicz v 1 × v 2 i v 1 · v 2 .

Cwiczenie 9. (6 punkt´ ´ ow) Rozwi¸ azuj

x + y + z = 3,

x − y + 2z = 0,

−x + 2y + z = −2.

Cwiczenie 10. (6 punkt´ ´ ow) Oblicz

n→+∞ lim n 4/3 ( √

3

1 + n 2 − √

3

n 2 − 2), lim

n→+∞

 −1 + n 2 1 + n 2

 n

2

.

Cwiczenie 11. (5 punkt´ ´ ow) Ustal dla kt´ orych warto´sci parametru a ∈ R nast¸epuj¸aca funkcja f : (π/2, π/2) → R jest ci¸ag la:

f (x) =

 cos ax−1

x

2

, x 6= 0,

−1, x = 0.

Je˙zeli f jest ci¸ ag la dla pewnej warto´sci a, czy jest te˙z r´ o˙zniczkowalna?

Cwiczenie 12. (3 punkt´ ´ ow) Oblicz:

x→0 lim

cos x − 1 sec x − 1 .

Cwiczenie 13. (4 punkty) Oblicz f ´ + 0 (0), f 0 (0) i f 0 (0) (je˙zeli istniej¸ a) funkcji f (x) = |x|.

Cwiczenie 14. (4 punkty) Oblicz d ´ 5 f /dx 5 dla nast¸epuj¸ acej funkcji

f (x) = ln

r x 4 − 1 x 3 + x 2 + x + 1

! .

2

(3)

CWICZENIA Z MATEMATYKI I ´

Cwiczenie 15. (4 punkty) Oblicz prost¸ ´ a styczn¸ a i normaln¸ a (prostopad l¸ a) do funkcji f (x) = arc tan x w punkcie (1, f (1)).

Cwiczenie 16. (3 punkty) Oblicz n-te pochodne funkcji: f (x) = ln(x), f (x) = e ´ x . Cwiczenie 17. (3 punkty) Udowodnij, ˙ze 1 + 2x + x ´ 2 ≤ e 2x+x

2

dla x ≥ 0.

Cwiczenie 18. (2 punkty) Rozwi¸ ´ azuj z 2 − (3 − i)z + (8 + i) = 0 dla z ∈ C.

Cwiczenie 19. (10 punkty) Znale´ ´ z´ c dziedzin¸ a, zbada´ c ci¸ ag lo´s´ c i r´ o˙zniczkowalno´s´ c, je˙zeli funkcja jest nieci¸ g la to znale´ z´ c granice w punktach nieci¸ ag lo´sci, znale´ z´ c przedzia ly mono- toniczno´sci, znale´ z´ c punkty krytyczne, sprawdzi´ c, kt´ ore s¸ a minimami i maksimami; je˙zeli istniej¸ a, to znale´ z´ c punkty przegi¸ecia; znale´ z´ c przedzia ly wypuk lo´sci/wkl¸es lo´sci funkcji;

je˙zeli istniej¸ a, to znale´ z´ c asymptoty; na podstawie otrzymanych informacji naszkicowa´ c wykres funkcji:

f (x) = x 3 x 2 − 4 . Prosz¸e odda´ c mi rozwi¸ azania 10 stycznia.

3

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

Udowodnij, że granica jest funkcją holomorficzną i że ciąg pochodnych jest zbieżny niemal jednostajnie do pochodnej granicy.. W tym celu skorzystaj ze wzorów

[r]

N - może być prawdziwe lub

Niech G będzie

Dana jest funkcja określona wzorem y= (4m-24)x+5 Dla jakiej wartości parametru m funkcja ta jest

Na zajęciach dowiemy się jak odczytać z wykresu dziedzinę funkcji, zbiór wartości, monotoniczność, wartości dodatnie, ujemne, wartość największą i najmniejszą,

Na zajęciach zajmiemy się rysowaniem wykresów i odczytywaniem z nich własności funkcji: dziedziny funkcji, zbioru wartości, monotoniczności, wartości dodatnich,