Zadanie 1. Udowodnij, że dla każdego n ∈ N + spełniona jest nierówność:

ANALIZA I 24 listopada 2014

Semestr zimowy Kolokwium próbne

Uwagi organizacyjne: każde zadanie rozwiązujemy na osobnej kartce. Każde za- danie należy podpisać imieniem i nazwiskiem własnym oraz prowadzącego ćwiczenia.

Na wszelki wypadek prosimy też o podanie numeru grupy. Prosimy o sprawdzenie, czy telefon komórkowy jest wyłączony a kalkulator i inne pomoce naukowe (np. tablice ma- tematyczne) schowane. W razie wątpliwości prosimy o kontakt z asystentem.

Zadanie 1. Udowodnij, że dla każdego n ∈ N + spełniona jest nierówność:

2n n



> 4 ⁿ 2 √

n .

Zadanie 2. Zbadaj zbieżność ciągów i znajdź ich granice jeśli istnieją:

1. a _n =  1 + ^sin

nπ 2

n

 n

2. a _n = _n ¹ P n k=0

1 k!

3. a _n = √

n ⁴ − n ³ − n ² 4. a n = ^cos _n!

ⁿ

+ ⁽⁻¹⁾ _2n

5. a _n = p1 + 2

ⁿ /n ² + 3 ⁿ /n ³ + . . . + k ⁿ /n ^k , gdzie k ∈ N +

6. a _n = sin π √

n ² + n + 1

Zadanie 3. Zbadaj zbieżność ciągu zadanego rekurencyjnie wzorem x 1 = a, x n+1 = 3

4x _n + 1 , a > 0.

Zadanie 4. Rozważmy przestrzeń R ² z metryką

d(x, y) :=  kx − yk sgn x ₁ = sgn y ₁ kxk + kyk sgn x ₁ 6= sgn y ₁ ,

gdzie kx − yk = d e (x, y) = p(x 1 − y 1 ) ² + (x 2 − y 2 ) ² jest metryką euklidesową. Opisać kule i odcinki w tej metryce.

Zadanie 5. Wykorzystuj¸ ac definicj¸e Cauchy’ego granicy funkcji wykazać, że

x→2 lim 8

x − 2 − 2 √

√ 2 x − √

2

!

= −1.

1