ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z. 81
_______ 1986 Nr kol. 851
Andrzej ŚWIERNIAK Instytut Automatyki
Politechniki Śląskiej w Gliwicach
0 PEWNYM STEROWANIU DLA UKŁADU Z NIERÓWNOSĆIOWYH MODELEM NIEPEWNOŚCI*^
Streszczenie* W pracy przedstawiono syntezę prawa sterowania za- pewniającego zadawalającą wartość wskaźnika jakości. Sterowanie to jest nieciągłe i nie uwzględnia się jego kosztów we wskaźniku jakoś
ci. Niepewność modelu jest reprezentowana przez ograniczenia dopusz
czalnych odchyłek macierzy stanu i wejść.
1. WST^P
Pojęcie sterowania zadowalającego czyli gwarantującego odpowiednią war
tość wskaźnika jakości zostało wprowadzone w [i] . Sterowanie to ma zapew
niać określone zachowanie się wskaźnika przy najmniej korzystnym zachowa
niu się zmiennych niepewnych, których obecność wynika z niedokładnie zna
nych parametrów modelu, zmian tych parametrów, czy wręcz niepełnej ade
kwatności modelu. Niepewność jest scharakteryzowana przez ograniczenia na dopuszczalne odchyłki parametrów modelu.
Również w niniejszym opracowaniu niepewność ma podobny charakter, zbli
żający jej model do tzw. modelu o rozkładzie ograniczonym, np. [2], [3].
Charakter tych ograniczeń jest jednak nieco innego typu niż w [1] , gdyż znamy ograniczenia normy poszczególnych zmiennych niepewnych. Jest to więc model typu nierównościowego [4] , [5] • Ponadto przyjmujemy, że dodatkowe sterowanie (poprawka sterowania) jest ograniczone, natomiast jego koszty nie są uwzględniane we wskaźniku Jakości. Sterowanie to Jest podobne do proponowanego w np. [6] , [7] sterowania zapewniającego ostateczną ogra
niczoność trajektorii, dopuszcza się Jednak Jego nieciągłość, gdyż nie stanowi ona przeszkody w stosowaniu aparatu Bellmana - Hamiltona - Jaco- biego, który jest podstawą rozważań przedstawionych w pracy.
2. MODEL OBIEKTU I NIEPEWNOŚCI
Rozważany jest model liniowy układu o postaci równań stanu:
x = (A + A A ) x + (B + A B ) u + Cv
( 1 )
x(0) “ xQ,
Praca częściowo finansowana z projektu badawczego RP.1.02: Teoria ste
rowania i optymalizacji ciągłych układów dynamicznych i procesów dys-.
kretnych.
146 A. Świerniak
w którym niepewność tkwi w AA,AB oraz w v. Wartości zerowe zmiennych niepewnych prowadza do modelu nominalnego.
Wskaźnik jakości dany Jest w postaci funkcjonału kwadratowego:
T
J = | (xTQx + uTRu)dt (2)
0
Zakładać dodatkowo będziemy, że zmienne niepewne nie mają "większych" moż
liwości oddziaływania niż tor sterowania, tzn. źe istnieją takie A.pB^C.j, że
A A » BA,j
A B - BB1 (3 )
C = BC1
Przy ozym wielkości te nie są znane z wyjątkiem ich ograniczeń co do nor
my o postaci:
IIaJI < a
liB-j II < b < 1 (4)
llc^lj < c
Modelem niminalnym nazywać będziemy model (1), w którym źródła niepewności AA,AB, v są równe zero,tzn. ma on postać:
I* = Ar* + Bu
x*(0) = xQ (5)
Uwzględniając (3 ) można model (1) zapisać w postaci:
x
= Ax + B(u + e ), (6)gdzie:
e o A^x + B^u + C.jV • (7 )
Norma e jest zatem ograniczona przez:
Ile I! < a ||x || + b ||u || + c $ E( ||x || ) (8 )
Prawo sterowania składa się z nominalnego prawa sterowania, tzn. minimali
zującego wskaźnik dla modelu nominalnego, którego koszt wliczany jest do wskaźnika oraz poprawki sterowania Au, której kosztu nie wliczamy do wskaź
nika, ale która Jest ograniczona, ściślej, której norma nie przekracza gór
nego ograniczenia błędue, tzn. wartości E( || x l| ).
O pewnym sterowaniu.. 147
3. SYNTEZA PRAWA STEROWANIA
Nominalne prawo .sterowania ma postać:
u*(x) =. -R_1 BTKx,
( 9 )
gdzie K jest symetrycznym, dodatnio określonym rozwiązaniem równania Ricca tiego z zerowym warunkiem końcowym. Oszacowanie (8 ) przyjmuje zatem postać
II e II < a II jc II + b ||R~1 BTKx|| + b||&u(x)|| + c = E(||x|| ) (1 0 )
Przyjmując (dla x niezerujących B'Kx)x ^
AU(X) =. - P .. E( IIXII ) (11)
IIb^KjcII
pokażemy, że sterowanie
u » u* + AU (12)
pozwala na uzyskanie wartości wskaźnika nie większej niż optymalna dla modelu nominalnego (przy założeniu, że tylko u* wchodzi do wskaźnika).
Innymi słowy, chcemy, aby koszt trajektorii mierzony wskaźnikiem
| xT (Q + KBR-1 BTK)xdt nie przekraczał wartości x (0)Kx(0).T
Przekształcając (10) mamy:
a ||x || + b I I r "1BT K x|| + bE( II x II ) + c ■» E( II x || ), czyli:
E( IIx II ) = (1 - b)_1(a f|x II + b ||r"1 BTKx|| + c) (13) W celu wykazania prawdziwości hipotezy wysuniętej przy formułowaniu prawa starowania udowodnimy, że funkcja
V = ^ x TK x (14)
spełnia nierówność:
¿(xT Q X + u*TRu*) + ij^(A x + B(u* + A u + e)) + ^ ^ 0 (15)
Dla x zerujących BTKx, tzn. x e N ( B T Kx) można przyjąć dowolne ||a u(x)|| <
< E( II x II )
148 A. ¿wierniak
Mamy bowiem (równanie Hamiltona - Jacobiego - flellmana dla modelu nominal
nego) i
f | = | (xT Q x + u*TR u*; + | | (A x + B u*)
Z d ru g ie j s tro n y
_ B(AU + e) - xTKB(" -SjlŁ. E( llx|| ) + e) - - ¿ B S Ł żL!i-*JLi,
0 r a r I! bt K x I I
+ xTKBe £ - II BTK x|| E( llx II ) + ||bTK x|| II e ||
4 0
A zatem zachodzi (15).Z (15) wynika, że:
^ (xTQ
St +
u*T (x)Ru*(x))dt < x T (0)K(0)x(0) (1 6 ) 0dla dowolnego x będącego rozwiązaniem (1) przy u danym przez (12).
Tak więc dodanie "taniej" poprawki sterowania umożliwia uzyskanie wartoś
ci wskaźnika nie większej niż dla modelu nominalnego sterowanego przy zas
tosowaniu nominalnego prawa sterowania.
Przyjmijmy, że podobnie jak poprzednio dysponujemy możliwością zasto
sowania "taniego" (tzn. nie uwzględnionego we wskaźniku) sterowania ogra
niczonego co do normy przezi
Ha u|| < U (17)
Jeśli tylko zachodzi:
U > E( II x II ) (18)
dla E( || x || ) danego przez (13), to wówczas (1 1 ) Jest dopuszczalną popraw
ką sterowania zapewniającą ten sam efekt co poprzednio.
4. UWAGI KOŃCOWE
W pracy proponuje się zastosowanie nieliniowego nieciągłego regulatora zapewniającego gwarantowaną wartość wskaźnika jakości. Rezultat ten osią
gnięto przy założeniu, że sterowanie dominuje niepewność modelu liniowego, tzn. dziBła w tym samym torze i jego poprawka może mieć nie mniejszą nor
mę oraz że koszt poprawki niwelującej wpływ niepewności nie jest wliczany do wskaźnika. To pozornie aztuczne założenie staje się naturalne, jeśli weźmiemy pod uwagę fakt, że w większości rzeczywistych problemów pełny wskaźnik kwadratowy jest jedynie narzędziem syntezy, podczas gdy w rzeczy
wistości interesuje nas Jedynie koszt trajektorii, a więc część zależna jawnie od stanu. Racjonalne sformułowanie problemu syntezy można w tym przypadku przedstawić jako takie ukształtowanie trajektorii, aby Jej kaszt-, mierzony w postaci:
O pewnym sterowaniu... 149
f
xT (Q + KBR_1 BTK)xdt,0
nie przekraczał wartości xT (0)Kx(0). Problem nie komplikuje 3ię, jeśli założyć pomiar wektora stanu z błędem o ograniczonej normie, Wymagana jest jedynie większa (co do normy) wartość sterowań.
LITHUTURA
[jl] Chang S. S. L., Peng T. K. C.i Adaptive Guaranteed Cost Control of Systems with Uncertain Parameters, IEEE Trans, on A. C., AC - 17, n. 4 (1972), pp. 474-482.
[2] Schweppe P.: Układy dynamiczne w warunkach losowych, ./NT, Warszawa 1978.
[3] Witsenhausen H. S.i A minimax control problem for sampled linear sys
tems, IEEE Trans, on A. C., AC - 13, n. 1 (1968), pp. 5-21.
[4] s’wierniak A.j State inequalities approach to control systems with un
certainty, Proc. IEE, v. 129, pt. D, n. 6 (1982), pp. 271-275.
[5] Świerniak A.: Wpływ błędu aproksymacji MNK na jakość sterowania obiek
tami dynamicznymi, Podstawy Sterowania T. 11, z. 2, (1981), pp. 161—
168
.
[6] Leitmann G.j On the efficacy of nonlinear control in uncertain linear systems, ASME, J. of Dynamic Systems, Meas. and Control, v. 102 (1982), pp. 96-102.
[7] Swierniek A .j Zastosowanie pojęcia stabilności praktycznej do syntezy układów z nierównościowym modelem niepewności, Mat. XV Konf. Cyberne
tyka w Gospodarce Morskiej, 1985 as. 206-214.
Recenzent! Prof, dr inż. Tadeusz Puchałka
Wpłynęło do Redakcji 20.04.1985 r.
yjHOBJIEIBOPHTEJIbHOE yUPABJIEHHE )U1H CHCTEM C HEPABEHCTBEHHOd MOJlEJlbK HEyBEPEHHOCTH
P e 3 »
u
eB p a b o T e a s h c h h t63 s a n o H a yn p a B m e H H A A a n n se ro y A O B A e T B o p H T e a b H o e 3H a q e - HHe K B a ^ p a T H ^ H o r o n o K a a a x e x H x a q e c T B a a x h o O b e K T a o n a c a H H o r o A H H eR H oR u o - A e x b B c H e y B e p e H H O c x b » . y n p a B A e H n e s x o He H B Jia e T C H H e n p e p u B H o R iy H K u jie R h e r o c x o H M o c T b He b x o a h t b n o K a3a x e jib K a v e c T B a . H e y B e p e H H O c x b u o A e x H n p e A - C T a B A a e x c a n y x e u asmoxeHusi o r p a H H a e H H R H a A o n y c iH u u e o t k x o h c h k h v a t p H u u
COCTOHHHfl. H BXOAOB.
150 A. iwierniak GUARANTEED COST CONTROL OP SYSTEMS WITH INEQUALITY MODELS OP UNCERTAINTY
S u m m a r y
Control law design ensuring a guaranteed value of a quadratic perfor
mance index for a plant described by a linear model with uncertainty is presented. The control law is discontinuous and i3 assumed to be"cheap".
The uncertainty of the model is represented by the bounds of feasible devia
tions of the state and the input matrices.