• Nie Znaleziono Wyników

O pewnym sterowaniu dla układu z nierównościowym modelem niepewności

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "O pewnym sterowaniu dla układu z nierównościowym modelem niepewności"

Copied!
6
0
0

Pełen tekst

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z. 81

_______ 1986 Nr kol. 851

Andrzej ŚWIERNIAK Instytut Automatyki

Politechniki Śląskiej w Gliwicach

0 PEWNYM STEROWANIU DLA UKŁADU Z NIERÓWNOSĆIOWYH MODELEM NIEPEWNOŚCI*^

Streszczenie* W pracy przedstawiono syntezę prawa sterowania za- pewniającego zadawalającą wartość wskaźnika jakości. Sterowanie to jest nieciągłe i nie uwzględnia się jego kosztów we wskaźniku jakoś­

ci. Niepewność modelu jest reprezentowana przez ograniczenia dopusz­

czalnych odchyłek macierzy stanu i wejść.

1. WST^P

Pojęcie sterowania zadowalającego czyli gwarantującego odpowiednią war­

tość wskaźnika jakości zostało wprowadzone w [i] . Sterowanie to ma zapew­

niać określone zachowanie się wskaźnika przy najmniej korzystnym zachowa­

niu się zmiennych niepewnych, których obecność wynika z niedokładnie zna­

nych parametrów modelu, zmian tych parametrów, czy wręcz niepełnej ade­

kwatności modelu. Niepewność jest scharakteryzowana przez ograniczenia na dopuszczalne odchyłki parametrów modelu.

Również w niniejszym opracowaniu niepewność ma podobny charakter, zbli­

żający jej model do tzw. modelu o rozkładzie ograniczonym, np. [2], [3].

Charakter tych ograniczeń jest jednak nieco innego typu niż w [1] , gdyż znamy ograniczenia normy poszczególnych zmiennych niepewnych. Jest to więc model typu nierównościowego [4] , [5] • Ponadto przyjmujemy, że dodatkowe sterowanie (poprawka sterowania) jest ograniczone, natomiast jego koszty nie są uwzględniane we wskaźniku Jakości. Sterowanie to Jest podobne do proponowanego w np. [6] , [7] sterowania zapewniającego ostateczną ogra­

niczoność trajektorii, dopuszcza się Jednak Jego nieciągłość, gdyż nie stanowi ona przeszkody w stosowaniu aparatu Bellmana - Hamiltona - Jaco- biego, który jest podstawą rozważań przedstawionych w pracy.

2. MODEL OBIEKTU I NIEPEWNOŚCI

Rozważany jest model liniowy układu o postaci równań stanu:

x = (A + A A ) x + (B + A B ) u + Cv

( 1 )

x(0) “ xQ,

Praca częściowo finansowana z projektu badawczego RP.1.02: Teoria ste­

rowania i optymalizacji ciągłych układów dynamicznych i procesów dys-.

kretnych.

(2)

146 A. Świerniak

w którym niepewność tkwi w AA,AB oraz w v. Wartości zerowe zmiennych niepewnych prowadza do modelu nominalnego.

Wskaźnik jakości dany Jest w postaci funkcjonału kwadratowego:

T

J = | (xTQx + uTRu)dt (2)

0

Zakładać dodatkowo będziemy, że zmienne niepewne nie mają "większych" moż­

liwości oddziaływania niż tor sterowania, tzn. źe istnieją takie A.pB^C.j, że

A A » BA,j

A B - BB1 (3 )

C = BC1

Przy ozym wielkości te nie są znane z wyjątkiem ich ograniczeń co do nor­

my o postaci:

IIaJI < a

liB-j II < b < 1 (4)

llc^lj < c

Modelem niminalnym nazywać będziemy model (1), w którym źródła niepewności AA,AB, v są równe zero,tzn. ma on postać:

I* = Ar* + Bu

x*(0) = xQ (5)

Uwzględniając (3 ) można model (1) zapisać w postaci:

x

= Ax + B(u + e ), (6)

gdzie:

e o A^x + B^u + C.jV • (7 )

Norma e jest zatem ograniczona przez:

Ile I! < a ||x || + b ||u || + c $ E( ||x || ) (8 )

Prawo sterowania składa się z nominalnego prawa sterowania, tzn. minimali­

zującego wskaźnik dla modelu nominalnego, którego koszt wliczany jest do wskaźnika oraz poprawki sterowania Au, której kosztu nie wliczamy do wskaź­

nika, ale która Jest ograniczona, ściślej, której norma nie przekracza gór­

nego ograniczenia błędue, tzn. wartości E( || x l| ).

(3)

O pewnym sterowaniu.. 147

3. SYNTEZA PRAWA STEROWANIA

Nominalne prawo .sterowania ma postać:

u*(x) =. -R_1 BTKx,

( 9 )

gdzie K jest symetrycznym, dodatnio określonym rozwiązaniem równania Ricca tiego z zerowym warunkiem końcowym. Oszacowanie (8 ) przyjmuje zatem postać

II e II < a II jc II + b ||R~1 BTKx|| + b||&u(x)|| + c = E(||x|| ) (1 0 )

Przyjmując (dla x niezerujących B'Kx)x ^

AU(X) =. - P .. E( IIXII ) (11)

IIb^KjcII

pokażemy, że sterowanie

u » u* + AU (12)

pozwala na uzyskanie wartości wskaźnika nie większej niż optymalna dla modelu nominalnego (przy założeniu, że tylko u* wchodzi do wskaźnika).

Innymi słowy, chcemy, aby koszt trajektorii mierzony wskaźnikiem

| xT (Q + KBR-1 BTK)xdt nie przekraczał wartości x (0)Kx(0).T

Przekształcając (10) mamy:

a ||x || + b I I r "1BT K x|| + bE( II x II ) + c ■» E( II x || ), czyli:

E( IIx II ) = (1 - b)_1(a f|x II + b ||r"1 BTKx|| + c) (13) W celu wykazania prawdziwości hipotezy wysuniętej przy formułowaniu prawa starowania udowodnimy, że funkcja

V = ^ x TK x (14)

spełnia nierówność:

¿(xT Q X + u*TRu*) + ij^(A x + B(u* + A u + e)) + ^ ^ 0 (15)

Dla x zerujących BTKx, tzn. x e N ( B T Kx) można przyjąć dowolne ||a u(x)|| <

< E( II x II )

(4)

148 A. ¿wierniak

Mamy bowiem (równanie Hamiltona - Jacobiego - flellmana dla modelu nominal­

nego) i

f | = | (xT Q x + u*TR u*; + | | (A x + B u*)

Z d ru g ie j s tro n y

_ B(AU + e) - xTKB(" -SjlŁ. E( llx|| ) + e) - - ¿ B S Ł żL!i-*JLi,

0 r a r I! bt K x I I

+ xTKBe £ - II BTK x|| E( llx II ) + ||bTK x|| II e ||

4 0

A zatem zachodzi (15).Z (15) wynika, że:

^ (xTQ

St +

u*T (x)Ru*(x))dt < x T (0)K(0)x(0) (1 6 ) 0

dla dowolnego x będącego rozwiązaniem (1) przy u danym przez (12).

Tak więc dodanie "taniej" poprawki sterowania umożliwia uzyskanie wartoś­

ci wskaźnika nie większej niż dla modelu nominalnego sterowanego przy zas­

tosowaniu nominalnego prawa sterowania.

Przyjmijmy, że podobnie jak poprzednio dysponujemy możliwością zasto­

sowania "taniego" (tzn. nie uwzględnionego we wskaźniku) sterowania ogra­

niczonego co do normy przezi

Ha u|| < U (17)

Jeśli tylko zachodzi:

U > E( II x II ) (18)

dla E( || x || ) danego przez (13), to wówczas (1 1 ) Jest dopuszczalną popraw­

ką sterowania zapewniającą ten sam efekt co poprzednio.

4. UWAGI KOŃCOWE

W pracy proponuje się zastosowanie nieliniowego nieciągłego regulatora zapewniającego gwarantowaną wartość wskaźnika jakości. Rezultat ten osią­

gnięto przy założeniu, że sterowanie dominuje niepewność modelu liniowego, tzn. dziBła w tym samym torze i jego poprawka może mieć nie mniejszą nor­

mę oraz że koszt poprawki niwelującej wpływ niepewności nie jest wliczany do wskaźnika. To pozornie aztuczne założenie staje się naturalne, jeśli weźmiemy pod uwagę fakt, że w większości rzeczywistych problemów pełny wskaźnik kwadratowy jest jedynie narzędziem syntezy, podczas gdy w rzeczy­

wistości interesuje nas Jedynie koszt trajektorii, a więc część zależna jawnie od stanu. Racjonalne sformułowanie problemu syntezy można w tym przypadku przedstawić jako takie ukształtowanie trajektorii, aby Jej kaszt-, mierzony w postaci:

(5)

O pewnym sterowaniu... 149

f

xT (Q + KBR_1 BTK)xdt,

0

nie przekraczał wartości xT (0)Kx(0). Problem nie komplikuje 3ię, jeśli założyć pomiar wektora stanu z błędem o ograniczonej normie, Wymagana jest jedynie większa (co do normy) wartość sterowań.

LITHUTURA

[jl] Chang S. S. L., Peng T. K. C.i Adaptive Guaranteed Cost Control of Systems with Uncertain Parameters, IEEE Trans, on A. C., AC - 17, n. 4 (1972), pp. 474-482.

[2] Schweppe P.: Układy dynamiczne w warunkach losowych, ./NT, Warszawa 1978.

[3] Witsenhausen H. S.i A minimax control problem for sampled linear sys­

tems, IEEE Trans, on A. C., AC - 13, n. 1 (1968), pp. 5-21.

[4] s’wierniak A.j State inequalities approach to control systems with un­

certainty, Proc. IEE, v. 129, pt. D, n. 6 (1982), pp. 271-275.

[5] Świerniak A.: Wpływ błędu aproksymacji MNK na jakość sterowania obiek­

tami dynamicznymi, Podstawy Sterowania T. 11, z. 2, (1981), pp. 161—

168

.

[6] Leitmann G.j On the efficacy of nonlinear control in uncertain linear systems, ASME, J. of Dynamic Systems, Meas. and Control, v. 102 (1982), pp. 96-102.

[7] Swierniek A .j Zastosowanie pojęcia stabilności praktycznej do syntezy układów z nierównościowym modelem niepewności, Mat. XV Konf. Cyberne­

tyka w Gospodarce Morskiej, 1985 as. 206-214.

Recenzent! Prof, dr inż. Tadeusz Puchałka

Wpłynęło do Redakcji 20.04.1985 r.

yjHOBJIEIBOPHTEJIbHOE yUPABJIEHHE )U1H CHCTEM C HEPABEHCTBEHHOd MOJlEJlbK HEyBEPEHHOCTH

P e 3 »

u

e

B p a b o T e a s h c h h t63 s a n o H a yn p a B m e H H A A a n n se ro y A O B A e T B o p H T e a b H o e 3H a q e - HHe K B a ^ p a T H ^ H o r o n o K a a a x e x H x a q e c T B a a x h o O b e K T a o n a c a H H o r o A H H eR H oR u o - A e x b B c H e y B e p e H H O c x b » . y n p a B A e H n e s x o He H B Jia e T C H H e n p e p u B H o R iy H K u jie R h e r o c x o H M o c T b He b x o a h t b n o K a3a x e jib K a v e c T B a . H e y B e p e H H O c x b u o A e x H n p e A - C T a B A a e x c a n y x e u asmoxeHusi o r p a H H a e H H R H a A o n y c iH u u e o t k x o h c h k h v a t p H u u

COCTOHHHfl. H BXOAOB.

(6)

150 A. iwierniak GUARANTEED COST CONTROL OP SYSTEMS WITH INEQUALITY MODELS OP UNCERTAINTY

S u m m a r y

Control law design ensuring a guaranteed value of a quadratic perfor­

mance index for a plant described by a linear model with uncertainty is presented. The control law is discontinuous and i3 assumed to be"cheap".

The uncertainty of the model is represented by the bounds of feasible devia­

tions of the state and the input matrices.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Wydaje się jednak, że uczestnicy badania nie mają sprecyzowanej wizji swojej przyszłości w Polsce – zezwolenie na pobyt jest postrzegane jako coś pożytecznego dla ich

Ten sen, który Andrić opatrzył imieniem Helena, początkowo nienazwany, pojawia się jako przeczucie, błysk, światło po raz pierwszy w lirykach Andricia, pochodzących z okresu,

[r]

W artykule przedstaw iono dydaktyczne stanow isko laboratoryjne służące do prezentacji zautom atyzow anego układ u napędow ego sterow anego sterow nikiem program

K alibrow n icy sto su ją dotychczas w zory używ ane dla stali

„Weryfikacja stosowalności macierzowego modelu ESP do sterowania systemem w czasie rzeczywistym”, IX Krajowa Konferencja Automatyzacji Dyskretnych Procesów

[r]

Example results of this method when applied to a hydrostatic multisource drive system composed of hydrostatic transmission, gas-loaded accumulator and IC engine as the primary