Wybrane problemy identyfikacji kompleksów operacji

ZESZYTY NAUKOWE P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J S a r i a : AUTOMATYKA z . 9 4

1938 Nr k o l . 970

Jerzy Ś w iątek

P o lite c h n ik a W rocławska

TORANE PROBLEMY IDENTYFIKACJI KOMPLEKSÓW OPERACJI

S t r e s z c z e n i e . W a r ty k u le p rz e d s ta w io n o ' ogólne sform ułow anie p ro b ­ lemów i d e n t y f i k a c j i l o k a l n e j i g lo b a ln e j kompleksu o p e r a c j i d l a po­

tr z e b zadań a lo k a o y jn y c h . D la w ybranych p o s t a c i m odeli o p e r a c j i i o k re ś lo n y c h typów s t r u k t u r kom pleksu pokazano pe7/ne w ła s n o ś c i r o z ­ w iązań o p ty m aln y ch . Zwrócono uwagę n a porów nanie p o d e jś c ia lo k a ln e ­ go i g lo b a ln e g o .

1. W stę p

Nowe z a d a n ia i d e n t y f i k a c j i w iążą s i ę z a k tu a ln y m i p ro b le m a n i s te ro w a ­ nia o b ie k ta m i zło żo n y m i, a w s z c z e g ó ln o ś c i s te r o w a n ia złożonym i p ro c e sa m i- p ro d u k c ji. A k tu aln aj j e s t w ięc p ro b lem aty k a i d e n t y f i k a c j i systemów z ło ż o ­ nych. Jednym z k ierunków w tym z a k r e s ie j e s t i d e n t y f i k a c j a g lo b a ln a s f o r ­ mułowana i r o z w in ię ta p r z e z B ubn ick ieg o , n p . [ i ] . Ważnym problemem z punk­

tu w id z e n ia a u to m a ty z a c ji z ło ż o n y c h procesów p ro d u k cy jn y ch j e s t z a d a n ie i d e n t y f i k a c j i kompleksów o p e r a c j i ( o g ó ln ie j - systemów o s t r u k t u r z e s i e ­ ciowej) [ 4 , 5 , 6 ] . P rz e z kom pleks o p e r a c j i rozum iany j e s t system z ło ż o n y ,

k tó re g o składow ym i (ele m e n ta m i) są o p e ra ­ c j e ( t j . pewne c z y n n o śc i wykonywane w c z a ­ s i e ) . S t r u k t u r a kom pleksu o p e r a c j i o p i e r a s i ę n a z a le ż n o ś c ia c h i uwarunkowaniach czasow ych zw iązanych z k o le jn o ś c ią wykony­

w an ia o p e r a c j i . Na r y s . 1 p rz e d sta w io n o Bys. 1 . Kompleks o p e r a c j i p rzykładow y kom pleks o p e r a c j i ,' g d z ie ł u k i Kg. 1 . Complex o f o p e r a tio n s odpow iada-;ą op9ra C j o a (0^ 5) . a w ęzły oz­

naczają odpow iednio p o c z ą te k i k o n ie c o p e r a c j i . W przypadku o p e r a c j i te c h ­ nologicznych kom pleks o p e r a c j i j e s t tzw . d yskretnym procesem produkcyjnym . Czas w ykonania k o le jn y c h o p e r a c j i w s y s te m ie z a le ż y od w ie lk o ś c i z a d a n ia oraz zasobów do je g o w ykonania. Eo ro z w ią z a n ia z a d a n ia a l o k a c j i [ 2 , 3 ] . t j . optymalnego r o z d z i a ł u o g r a n ic z o n e j i l o ś c i za d ań lu b zasobów d l a p o sz c z e ­ gólnych o p e r a c j i ,k o n i e c z n a j e s t znajom ość modelu kom pleksu o p e r a c j i , n a fctóry s k ła d E ją s i ę m odele o d d z ie ln y c h o p e r a c j i o ra z o p is s t r u k t u r y s y s t e - au. P r a c a t a p o św ię c o n a j e s t i d e n t y f i k a c j i g lo b a ln e j kom pleksu o p e r a c j i .

"*~Praca b y ia "częściow o fin a n so w a n a p r z e z CPBP 0 2 .1 5 "Rozwój badań s y s t e - asaych i ic h p r io r y te to w y c h z a sto so w a ń ” .

330 J . Świątek

W s z c z e g ó ln o ś c i w p r a c y p rz e d sta w io n o w y n ik i z te g o z a k re s u z o s ta tn ic h l a t , a k o n k r e tn ie sform ułow ano z a d a n ia i d e n t y f i k a c j i l o k a l n e j i globalnej kompleksu o p e r a c j i , p r z y wprowadzonych u p ro s z c z e n ia c h pokazano pewne włas­

n o ś c i ro z w ią z a ń optym alnych i wskazano n a sposoby w y z n a c z an ia modelu glo­

b a ln ie optym alnego d l a wybranych p o s t a c i m o d eli o p e r a c j i i o k reślo n y ch ty­

pów s t r u k t u r kompleksu* s t r u k t u r y s z e re g o w e j, s z e re g o w o -ró w n o le g łe j, rós?- n o le g ło -s z e re g o w e j o ra z p rzy p ad k u b a r d z i e j o g ó ln e g o , k tó r y sprow adza się do s t r u k t u r y s z e re g o w o -ró w n o le g łe j z dodatkowymi o g r a n ic z e n ia m i. Opracowa­

no p rz y k ła d i l u s t r a c y j n y , z w ra c a ją c rów nież uwagę n a porów nanie id e n ty fi­

k a c j i lo k a l n e j i g l o b a l n e j . Na z a k o ń c z e n ie wskazano n a in n e sformułowania z a d a n ia i d e n t y f i k a c j i , k tó r e u w z g lę d n ia ją ja k o ś ć zarówno modelu globalne­

go kompleksu o p e r a c j i , j a k i m o d eli lo k a ln y c h p o sz c z e g ó ln y c h o p e r a c ji.

2 . Sform ułow ania problem u

Rozważamy kom pleks o p e r a c j i s k ła d a ją c y s i ę z m o p e r a c j i sta ty c z n y c h o- p is a n y c h p r s e s (u i t T^) Łs1 , 2, . . . , a z modelami

= i= d , 2, • • . , n , (1)

gdzie* > O - odpow iednio c z a s r e a l i z a c j i i - t e j o p e r a c j i o ra z czas wyznaczony z m odeluj - r ^ wymiarowy kolumnowy w e k to r param etró w modelu,

&i £ ^ l ^ ui “ fil wymŁarowy kolumnowy w ek to r w ie lk o ś c i wejściowych i - t e j o p e r a c j i , k tó re g o k ażd a składow a p rz y jm u je w a r to ś c i d o d a tn ie ,

Z L ^ i R ^ l , p ^ - znana f u n k c ja , p ^ t — - R+ , a - l i c z b a ope­

r a c j i w k o m p le k sie . Składowe w e k to ra u^ mogą o zn a c z ać i l o ś ć zasobów lub ro zm iary zadań d l a i - t o j o p e r a c j i . W pierw szym przy p ad k u p ^ j e s t nieros- a ą c ą f u n k c ją z® względu n a k ażdą składow ą u4 i d l a każdego a 1 < ^ (5 , 3^)=

= °°. W drugim przypadku <fc^ j e s t n ie m a łe ją c ą f u n k c ją ze w zględu n a każdą składow ą i d l a każdego 0,8.^) = O. S t r u k t u r a system u opisywana j e s t z a pomocą znanego g r a f u G C { 1 , 2 , . . . ,m} * ^ 1 , 2 , . . . , m j .

J e ś l i ( k , j ) 6 G, to j - t a o p e r a c ja wykonywana j e s t b e z p o ś re d n io po k - t e j o- p e r a c j i . Czas r e a l i z a c j i c a łe g o kom pleksu - T z a le ż y od c z a s u wykonania p o szcz eg ó ln y c h o p e r a c j i o ra z s t r u k t u r y kom pleksu, t j .

T = H ( T ^ , . . . , T a ) , (2)

g d z ie E - znana f u n k c ja z a le ż n a od s t r u k t u r y . Odpowiednio T - c z a s r e a li­

z a c j i kom pleksu w y licz o n y z m odelu, z a le ż y od p o s t a c i m o d eli poszczegól­

nych o p e r a c j i , c z y l i

f n E ( S ^ , . . . ,Ta )i= H •'/■jjCUjjI Sjj)] = P ( u ^ i • • • »ua * t • • • t g d z ie f u n k c ja p m ależy od f u n k c j i p ^ , . . . ,<j£>a o ra z H.

S d a lsz y c h ro zw ażan iach z a k ła d a ć b ędziem y, że są w a r t o ś c i a m i

zmiennych losowych d l a k tó ry c h i s t n i e j e ł ą c z n a g ę s to ś ć prawdopo­

Wybrane problem y i d e n t y f i k a c j i . . . ₃₃₁

dobieństw a f ( u , , , . . . , u n , , T m) . P rz y z a ło ż e n iu , że f u n k c je <j>; aą z n a - n e ,z a d a n ie wyboru n a jle p s z e g o modelu sprow adza s i ę do w y zn aczen ia optym al­

nych param etrów a ^ , k t ó r e m in im a liz u ją odpow iednio k r y te riu m o c e n ia ją c e jakość m o d eli p o sz c z e g ó ln y c h o p e r a c j i ( 1 ) lu b ja k o ś ć modelu c a łeg o s y s t e ­ mu ( 3 ) . Z a k ła d a ją c , że g ę s to ś ć p raw dopodobieństw a f j e s t zn an a, możemy zdefin io w ać p o j ę c i a modelu l o k a l n i e i g lo b a ln ie optym alnego.

D e f i n i c j a 1 . Model (1 ) i - t e j o p e r a c j i nazwiemy modelem l o k a l ­ nie optymalnym d l a = a ^ , k tó r e m in im a liz u je

( 3 ) . Q i(e t ) = mE

o ż y li i i* —i

W

a i ć min

A* (4 )

gdzie (T ^,T ^ ) j e s t zad an ą f u n k c ją

<p : R+x H+ B+ , = O

ś=

p o ró w n u jącą w y jś c ie o b ie k tu i m odelu,

<=> B

J e ż e l i i n t e r e s u j e n a s ja k o ś ć modelu c a łe g o kom pleksu,porów nujem y c z a s r e ­ a l i z a c j i kom pleksu i je g o m odelu.

D e f i n i c j a 2 . Model (3 ) kom pleksu o p e r a c j i o z a d a n e j s t r u k t u ­ rze nazwiemy g l o b a ln ie optymalnym d l a aą = a ! ^ , . . . , a H = a ^ , k tó r e m in im a li­

zują

»• »• ,Cj.) = ^ W £$»?^(m>i ,♦ • • > M-, a*»» . . , a_)2 > (5 )

®ą» • • • »2^» Mą» • • • »Mm

gdzie T = c z y l i

A.

^{ą | min•} Q ( a ^ , . . . l aa )

(

6

)

dla z a d a n e j f u n k c j i Cf a n a lo g ic z n e j ja k w d e f i n i c j i 1 c

W p rzy p ad k u , gdy r o z k ła d f n i e j e s t z n a n y , zakładam y, że mogą być m ierzo ­ na u^ o ra z p r z y k o le jn y c h r e a l i z a c j a c h kom pleksu, t j . d la n - t e j r e a l i ­ z a c ji kom pleksu (w n -ty m t a k c i e o b s e r w a c ji) możemy zaobserwować w a rto śc i- Uj^Cn), T^Cn), n = t 1 ,2 ,... ,N , g d z ie N - l i c z b a r e a l i z a c j i kom pleksu. W wyni­

ku eksperym entu otrzym ujem y pom iary:

V

T ą ( D T g d )

T ^ ( 2 ) . . . T 2 ( 2 ) . . .

f ą ( r O t2 <h)

^ 1 N T 2 N

0 , ( 1 ) u 2 ( 1 )

( 2 ) • • • U g ( 2 ) . . .

U ą ( N ) ' u2 ( H )

' U1 H 5 2 H

••

•

. V 1 )

«• .

T a ( 2 ) . . . ..

•

V 5 ) -

= .

••

^ o N .

*• .

V 1)

.. .

• * *

•

9♦

u b( ! 0 .

S .

.

. u mH.

gdzie g [T i (1 )T l ( 2 ) . . . T i (H3 . u ^ i [ > ¿ ( 1 ^ ( 2 ) . . . . ¿ 0 0 ] , 1*1 , 2, . . . . m . ' Algorytmy i d e n t y f i k a c j i l o k a l n e j o ra z g l o b a ln e j można wyznaczyć według jednego * dwóch danych sposobów [ i ] w o p a r c iu o sprow adzone d e f i n i c j e s po­

przez m in im a liz a c ję em pirycznych p o s t a c i k r y te r ió w ( 3) , ( 5 ) lu b p o p rzez

352 J . św iątek

ko n stru o w an ie em pirycznych p o s t a c i ro zk ład ó w n a p o d sta w ie wyników pomia­

rów. O g ra n ic z a ją c s i ę do p ie rw sz e g o -sp o so b u d l a i - t e j o p e r a c j i w wyniku m in im a liz a c ji względem

Oi^Cfti) = f [Ti ( a ) , ^ i (u i ( n ) , ai ) ] (?)

n=1 otrzym ujem y

= ^ iN ^ -iN * 0 iN^ ^

g d z ie - p r z y b liż o n a w a rto ś ć w yznaczona n a p o d sta w ie c ią g u N obser­

w a c ji i - t e j o p e r a c j i , - a lg o ry tm i d e n t y f i k a c j i l o k a l n e j , a w wyniku m in im a liz a c ji względem a 1, . . . , a m

N

» Są > • • • » a^)]

n =1 (9)

otrzym ujem y

a iH =

^

g d z ie “ odpow iednio p r z y b liż o n e w a r to ś c i a ® , . . . , a ^ wyznaczone n a p o d sta w ie U o b s e rw a c ji kom pleksu o p e r a c j i , ^ ąp-* • • • ~ algorytm y i- d e n t y f i k a c j i g lo b a l n e j . Zauważmy, ż e n a ogół d l a w y z n aczen ia g lo b a ln ie o p ty m aln ej w a r to ś c i k o n ie c z n a j e s t znajom ość wyników pomiarów d la w sz y stk ic h o p e r a c j i w k o m p le k sie .

■ W yznaczenie g lo b a ln ie optym alnych param etrów m o d eli o p e r a c j i , ja k rów­

n ie ż algorytm ów i d e n t y f i k a c j i g lo b a ln e j sprow adza s i ę do ro z w ią z a n ia od­

p ow iednich zad ań o p ty m a liz a c ji. Nawet d l a b ard zo p r o s ty c h s t r u k t u r dla dowolnych w yznaczenie f u n k c j i Q (5 ) o ra z m in im a liz a c ja fu n k cji Q i Qg. (9 ) mogą być za d an ia m i trudnym i lu b niem ożliw ym i do ro z w ią z a n ia a- n a llty c z n e g o 1 k o n ie c z n e j e s t s to s o w a n ie odpow iednich p ro c e d u r numerycz­

n y ch , p o dobnie z r e s z t ą ja k w i d e n t y f i k a c j i p o je d y n c z e j o p e r a c j i .

3. R e z u lta ty d l a typowych s t r u k t u r S t r u k t u r a r ó w n o l e g ł a

D la s t r u k t u r y ró w n o le g łe j ( r y s . 2) f u n k c je H (2) o ra z <p (3 ) mają postsó

3?= max = max Ó , ( u . , a H) , O 1)

1 - ś l i m Ł 1 i U a 1 " ~ a k r y t e r i a Q (5 ) o ra z Qg (9 ) odpow iednie

Q(aą 8^) = E a> 2 ^ mar a j)]» (12)

Wybrana problem y I d e n t y f i k a c j i . . 353

n

= L ^ “ * a « « B ^ 1 C o ł ( n ) . « i ) ] . ( 1 3 )

W ogólny® p rzy p ad k u w yznaczenie (12) o ra z m in im a liz a c ja (1 2 ) i ( 13 ) może okazać s i ę zadaniem trudnym do r o z w ią z a n ia . W p rzy p ad ­ ku jednowymiarowym ( t j . = 1 , i =

= 1 , 2 , . . . , m - w e jśc ia m i w s z y s tk ic h o p e ra ­ c j i j e s t jed n o z a d a n ie lu b je d e n zasób Sys. 2 . S t r u k t u r a ró w n o le g ła o ra z w modelu w y stę p u je ty lk o je d e n p a r a - Pig. 2. P a r a l l e l s t r n c t u r o met r ) p rz y dodatkow ych z a ło ż e n ia c h d o ty c z ą ­ cych p o s t a c i m o d eli o p e r a c j i można pokazać [ 4 , 5 , 6 ] s

T w i e r d z e n i e 1 . J e ż e l i u^ = Ug = . . . = uffl = u, w s z y s tk ie mo­

dele o p e r a c j i (1 ) m ają t ę samą p o s ta ć 9 H u ,a ^ ) o ra z d l a każdego u > 0

^ ( u ,a ) j e s t ro s n ą c ą ( m a le ją c ą ) f u n k c ją p a r a m e tr u ,a wówczas g lo b a ln ie o p ty ­ malnie p a ra m e try s p e ł n i a j ą w arunek

mas a . = ( a i n a . = a " ; r (14)

1 ^ i < a 1 1 i T i ^ m Ł gdzie a21 j e s t w a r to ś c ią a a i d i m a l i z u j ą c ą

W W _

Q(a) = J J cp [?,<£(u,a)] f T(T|u)fu(u)dTdu, ( 15 ⁾

o o

o ra z f - g ę s t o ś c i warunkowe i brzegow e w yznaczone n a p o d sta w ie g ę s to ś ­ ci f .

Ho zw iązaniem optymalnym j e s t w ięc każdy z e sta w l i c z b a ^ , . . . , a ^ s p e ł n i a j ą ­ cych w arunek (1 4 ) n p . a* = a | = . . . = = aa . W arunki powyższego tw ie r ­ dzenia s p e ł n i a j ą 'typowe m odele o p e r a c j i

®i = ^ “ i 1 •

gdzie c< 4 > o d l a u^ o z n a c z ają c e g o ro z m ia r z a d a n ia , '^ ■ ¿ O ¿ l a o z n acza­

jącego I l o ś ć zasobów.- P rz y jm u ją c kw adratow e k ry te riu m ( t j . ^>(3^,3^) =

= (3^ - T4) 2 w ( 13 ) ) d l a m o d e liip o s ta c i (1 6 ) p r z y z a ło ż e n iu , że d la k ażd e­

go i= 1 , 2 , . . » ,m, =<*-- znana w a rto ś ć , otrzym ujem y n a s tę p u ją c y alg o ry tm i - d e n t y f i k a c j i

II

k n=1

®B = ---K

oC.

y [ oiax Th (n)] [ u (n )]

<a- i i i i i

i Q<a )]

a =1

2oc

i można p r z y ją ć =-■ n ^ = . . . * a^g = as -

334 J . ś w ią te k

S t r u k t u r a e z e r e g o w o - r ó w n o l e g ł a

Odpowiednie fu n k c je H o ra z p d l a s t r u k t u r y sz e ra g o w o -ró w n o le g łe j (rys.

3) mają p o s ta ć

P i

T = max ta x > > Tj j, T = _ max (U ii .« 4 ! )» (18)

l i n j^P\ 1 < i ś ; ₁₌₁

g d z ie T ^ , u^2» a ix - ofcnaczają odpow iednio c z a s w ykonania, w ielkość

!w ejściow ą, m odel, p a r a m e tr modelu

Rys. 3» S tr u k tu r a szeregow o-rów no- l e g ł a

F ig . 3 . P a r a l l e l - c a s c a d e s t r u c t u r e

d l a 1 - t e j o p e r a c j i w i - t e j g a łę z ij j e s t l i c z b ą o p e r a c j i w i - t e j ga­

ł ę z i , m j e s t l i c z b ą g a ł ę z i . Odpo­

w ie d n ie z a d a n ia o p ty m a liz a c y jn e dla ro z p a try w a n e j s t r u k t u r y otrzymamy w s ta w ia ją c (1 8 ) do ( 5) o ra z ( 9) . P rz y jm u ją c s z c z e g ó ln ą p o s ta ć modeli o p e r a c j i o ra z d l a jednowymiarowych w e jść o p e r a c j i u ^ ^o żn a udowodnić [ 4 .5 ,6 ] :

T w i e r d z e n i e 2 . D la m o d eli o p e r a c j i i p o s t a c i ^ i l " ^ L l ^ ui l ł ai l ^3

— ^a i l ^ ^ i l jt5® te li Uj^ = u , 1= 1, 2, • • . ,p ^ , i= 1 , 2, . • * , m^ |t o g lo b a ln ie op­

tym alne p a ra m e try s p e ł n i a j ą w arunek

"Pi

6i l ( al 1 ') max

1 ^ i i a ₁₌₁

= b V.*, (19)

g d z ie ba j e s t w a r to ś c ią b , k t ó r a m in im a liz u je

B ^

Q(b) a __ <■p f max T .- ,,b u ] .

T jj_ ,l= 1 ,p ^ ,i= 1 ,m .,u T l ^ i ^ m ^ j - Łi

(₂₀)

P rzy jm u jąc model T ^ = a ^ u o ra z k r y te r iu m kw adratow e w p rzy p ad k u empi­

ry czn eg o k ry te riu m (2 0 ) otrzym ujem y n a s tę p u ją c y a lg o ry tm i d e n t y f i k a c j i

* P i

/ [, Z Z Tn (n)] u(n)

s

n=1

(21)

i dowolny z e sta w param etrów a®l jf , l = 1 , 2 , » . . , p i , 1 = 1 ,2 ,. . . , m s p e łn ia ją c y c h w arunek

ailN = bB i22>

1=1 max U l ( a

j e a t ro zw iązan iem zadania id e n t y fik a c ji g lo b a ln e j.

lybręne p roblem y i d e n t y f i k a c j i . . 335

S t r u k t u r a r ó w n o l e g ł o - s z e r e g o w a

Wprowadzając o z n a c z e n ia T ^ « u ^ , odpow iednio d l a czasu wyko­

nania, w ie lk o ś c i w e jś c io w e j, m odelu, p a ra m e tru i - t e j o p e r a c j i w 1-tym podkompleksie o s t r u k t u r z e ró w n o le g łe j ( r y s . 4 ) , fu n k c je H i <p p rz y jm u ją postać

P

’ - Z 1=1

max

U i ( B , Łi l * max

^ i l (u i l ’ a11 ) , (23)

g d z ie m-^ - l i c z b a o p e r a c j i w 1-tym p o d k o m p lek sie , n a to m ia s t p - l i c z ­ ba podkompleksów r ó v n o le g ły c h . Od­

p o w ied n ie z a d a n ia o p ty m a liz a c y jn e d l a t e j s t r u k t u r y otrzymamy w sta ­ w ia ją c (2 3 ) do ( 5 ) , ( 9 ) . P rzy pew­

nych z a ło ż e n ia c h d o ty czący ch raode- s. 4 . S t r u k t u r a r ó w n o le g ło - s z e r e g o - . . rh < ■ • j . .

wa ° & l i i u ^ z tw ie r d z e n ia 1 wy-

g. 4 , C a s c a d e - p a r a lle l s t r u c t u r e n i k a :

t w i e r d z e n i e J e ż e l i d l a każdego 1 = 1 ,2 ,.

U11 = U21

• w każdym p o d k o m p lek sie w s z y s tk ie m odele o p e r a c j i mają tę saaą p o s ta ć = ^ i i ui * a i i ^ 1 d l a każdego u^ > O <7^ ].(ui i a u ) de s t r o s n ą ­ cą (m a le ją c ą ) f u n k c ją a^jW Ó w czas i s t n i e j e optym alne ro z w ią z a n ie z a d a n ia Id e n ty fik a c ji g lo b a ln e j s p e ł n i a j ą c e w arunek

1 4 i é m, ai l ( min

1 ^ i ^ n ^ * i l = a-^), 1 = 1 , 2 , . . . , p , (24) 5<łzie a ^ ,l = 1 , 2 , . . . ,p w a r to ś c i odpow iednie a^ m in im a liz u ją c e

, . . . , & ) = f max . T . , , / ^ - . ( u - . , a , )

- i l ,al ,i=1,mi ,l=1,P LŚi 1 ^ i ^ Bli £ l

Przyjmując lin io w e m odele p o sz c z e g ó ln y c h o p e r a c j i = a ^ u-Q p rz y k r y t e ­ rium kwadratowymrro z w ią z a n ie g lo b a ln ie optym alne s p e ł n i a n a s tę p u ją c y w aru- aek

1H*

_* iT

5?®?, ^ ailH '

1 ( 1 « ^

* którym [a*H . .

4 - 4 ^ w l

1 , 2 , . . . ,p ,

- wyznaczemy w edług alg o ry tm u

(25)

(26)

Edzie ^

P P

max T.-.C1) . . . max TU (H)

Ha i l u s t r a c j i p rz e d s ta w io n y c h problem ów rozważmy p r o c e s f i l t r a c j i na a o- besowych f i l t r a c h tarczowych. Kolejny cyk l pracy każdego * f i l t r ó w zw ią -

J .ś w ią te k

zany J e s t z wykonaniem o k re ślo n e g o z a d a n ia , t j . u z y s k a n ia o k r e ś lo n e j ilo ś­

c i p rz e są c z u « P ro c e s te n można p rz e d s ta w ić za pomocą kom pleksu o p e ra c ji o s t r u k t u r z e sz e re g o w o -ró w n o le g łe j g d z ia I - t a o p e r a c ja w i - t e j g a łę z i oz­

n a c z a k o le jn y 1 - t y cy k l p ra c y i - t e g o f i l t r u , p ^ J e s t l i c z b ą c y k l i wykona­

nych n a i-ty m f i l t r z e , m J e s t l i c z b ą f i l t r ó w . Ra c z a s w ykonania zad an ia w kolejnym cyklu w i-ty m c y k lu n a 1-tym f i l t r z e s k ł a d a j ą s i ę : - w łaści­

wy c z a s f i l t r a c j i , - cz a s m ycia f i l t r u , 1Z - s t a ł y c z a s załadow ania f i l t r u . Ra p o d sta w ie a n a liz y p ro c e s u f i l t r a c j i można p r z y ją ć n a stę p u ją c e modele

f f n = 5i 1 )u i i + 2 s i 2 )u i i - = 2^ 4 1 )uu + s i 2 )u i J * (27) g d z ie - w ie lk o ść z a d a n ia - i l o ś ć p r z e s ą c z u w I-ty m c y k lu d l a i-te g o f i l t r u , .¡-znana s t a ł a i - t e g o f i l t r u , = [ a p ^ a p P - n ie z n a n y wekto:

p aram etrów f i l t r u . O s ta te c z n ie otrzym ujem y model o p e r a c j i 1 -te g o cyklu n a i-ty m f i l t r z e

* u = Tfii + \ ix +

^Tz

= 4 ^{1)un +} 4 2)uu + V <28)

g d z ie a p ^ = (1 + 2«<Ł) a p \ a p ^ £ 2(1 + o ^ J a p P Czas r e a l i z a c j i całego kompleksu w y lic z o n y z modelu ma p o s ta ć

P i

T = maz ( a p ^ u f . + a p ^ u , . -t- T ) . (29)

l 4 i 4 m ^ j

D ysponując pom iaram i czasów f i l t r a c j i Tf i l ( n ) , m ycia ^ . ¡ ^ ( n ) d l a zadanej i l o ś c i p rz e s ą c z u u ^ n ) d l a 1 - te g o c y k lu n a i-ty m f i l t r z e w kolejnym n-tya p r o c e s ie f i l t r a c j i , w 'którym n a i-ty m f i l t r z e z re a liz o w a n o Pj_(n) c y k li, możemy wyznaczyć optym alne p a ra m e try modelu o p e r a c j i f i l t r a c j i .

D la p o d e jś c ia g lo b a ln e g o p r z y ¡ k r y te r iu m kwadratowym optym alne param etry otrzymujemy m in im a liz u ją c względem a p \ a p V i = 1 , 2 , . . . ,m /w y rażen ie

R p i ( n )

) • 4 2)... 4 1 }’4 2),)3 2 L U ^ )+Tm il (n)+Tz^ •

P l W n=i | ^ 1=1

- ą | i

4

a ¿ Z L a p ^ ^ i n ) + 4 2 ) U ii( n ) + Tz ] } . (30)

W tym przypadku tru d n o uzy sk ać a n a lity c z n y w ynik. W prowadzając dodatkowe o g r a n ic z e n ia w y n ik ają ce z rozw ażań d l a s t r u k t u r y sz e re g o w o -ró w n o leg łe j można otrzym ać wynik a n a lity c z n y . J e ż e l i d l a każdego 1 = 1 , 2 , Pj,(h)=

p ( n ) ( t j . l i c z b a c y k l i wykonanych n a każdym f i l t r z e J e s t t a k a sama) i w ie lk o ś c i z a d a n ia p r z y d z ie lo n e n a każdy f i l t r s ą t a k i e sam a, t j .

p ( n ) p ( n ) p ( n )

^>~ J Ł1(n ) = u (n ) o ra z u ^ ( n ) = u t -, ( n ) , i = 1 , 2 , . . . ,m, (31)

1=1 1=1 ; 1=1

wówczas g lo b a ln ia optym alne p a ra m e try s p e ł n i a j ą w arunek

Wybrane |problem y i d e n t y f i k a c j i . , . 537

1 i H i s

f a ^ * + a ( 2 >s l = bK Lailf . + aU5f . J 3 Dw*

gdzie

P (a) ,

Z _ l u ( n ) 1 “ “ 2 1 t T m ( n ) + T m l l ( n ) ] j

n=1 ■ i S i S m 1=1

(32)

(33) [u (n )]

n=1

Zauważmy, że p r z y z a ło ż e n ia c h (3 1 ) lo k a ln e optym alne p a ra m e try s p e ł n i a j ą warunek

¿ ( 1 ) + 2 ( 2) - b mdzie b - s S IN ■ ii? . “ DiS» g d z ie “ jj? -

N P ( n )

[Tf l l (n)+Tm l l ( n ) ] J

1=1 •(34)

[u(n)]

n=1

Łatwo zauw ażyć, ż e p a ra m e try s p e ł n i a j ą c e w arunek (3 4 ) mogą być jednym z zestawów s p e łn ia ją c y c h w a ru n k i (3 2 ) i (3 3 )j bo max b . „ = b5-

1 4 1 4 m

4. Uwagi końcowe

Na z a k o ń c z e n ie zauważmy, ż e k o r z y s t a j ą c z r e z u lta tó w d l a przypadku szeregow o-rów noległego możemy u o g ó ln ić z a d a n ie i d e n t y f i k a c j i g lo b a ln e j,

r o z s z e r z y ć n a b a r d z i e j ogólne p rz y ­ p a d k i. W ystarczy bowiem d la ta k ie g o kom pleksu zaproponow ać odpow iednią s t r u k t u r ę sze re g o w o -ró w n o leg łą ( p r z y k ła d t a k i e j s t r u k t u r y d l a kom-

| p le k s u z r y s . 1 p rz e d s ta w ia r y s . 5) j i wprow adzić dodatkowe o g ra n ic z e n ia Hys. 5« S t r u k t u r a szeregow o-rów no­

l e g ł a d l a kom pleksu o p e ra ­ c j i z r y s . 1 .

?ig* 5» P a r a l l e l - c a s c a d e s t r u c t u r e f o r com plex o f o p e r a tio n s from f i g . 1 .

ai l = asv o ra z u i l usv d l a o p e ra - c j i , k t ó r a w y s tą p i n a w ię c e j n iż je d n e j ś c ie ż c e ( d l a p rz y k ła d u z r y s . 1 i r y s . 5 po p r z e k s z ta łc e n iu

»amy o p e r a c je Og n a ś c i e ż c e 2 i 3 , a operacja 0 ^ na ś c ie ż c e 1 i 2 , c z y l i dodatkowe o g r a n ic z e n ia m a ją .p o s ta ć = a ^ , = u^^, u ,^ =

=|U25) .

Zwróćmy je s z c z e uwagę n a ' m ożliw e in n e sfo rm u ło w an ia z a d a n ia i d e n t y f i ­ k a c ji, t j . t a k i e , w k tó ry c h i n t e r e s u j e n a s zarówno ja k o ść m odeli p o sz c z e ­ gólnych o p e r a c j i , j a k i o cen a modelu c a łe g o kom pleksu. « takim przypadku Barny eh-1 k r y te r ió w , t j . a - lo k a ln y c h ( d e f . 1 ) i g lo b a ln e ( d e f . 2 ). Jedną s. nobliw ych p r o p o z y c ji s f orm ułow ania z a d a n ia I d e n t y f i k a c j i j e s t w yznaczę-

336 J . św iątek

n ie ta k ic h param etrów k t ó r e m in im a liz u ją k r y te r iu m ę C a ^ , . . . , ^ ) (5 ) p rz y dodatkowych o g ra n ic z e n ia c h ( ^ ( a ^ ) ^ )T^t g d z ie zadane wartoś­

c i —co o zn acza w y znaczenie g lo b a ln ie optym alnych param etrów m odelu, przy

"zadow alającym " s p e łn ie n iu lo k a ln y c h w skaźników j a k o ś c i . Możliwe są rów­

n ie ż in n a p o d e j ś c i a , n p . m in im a liz a c je w sk a ź n ik a sy n te ty c z n e g o Q(a/j , . . . . . . . a j j ) = G[Q(a1 , . . . , a m),Q 1 (a 1 ) , . . . , Q la( a m)](g d z ie G znana f u n k c ja m+1 zm iennych, n p . Q = /3q Q + ¿ ¿ „ i > 0 d l a i = 0 , 1 , . . . ,m.

P rz e d sta w io n e z a d a n ia i d e n t y f i k a c j i l o k a l n e j i g lo b a ln e j mogą być przy­

d a tn e do a d a p tacy jn eg o s te r o w a n ia kom pleksam i o p e r a c j i p o p rz e z id en ty fik a­

c ję -

Ha z a k o ń czen ie zauważmy, ż e na o g ó ł I do w y zn aczen ia optym alnych para­

metrów n a le ż a ło sto so w ać metody num eryczne. Wprowadzenie dodatkowych za­

ło ż e ń d l a typowych s t r u k t u r p ro w a d z iło do n ie je d n o z n a c z n y c h ro zw iązań (np.

w arunki ( 1 4 ) , (1 9 ), (2 4 ) d a ją n ie je d n o z n a c z n e r o z w ią z a n ia ) . Wprowadzenie dodatkowych in f o r m a c ji o k o m p lek sie może u c z y n ić proponowane rozw iązanie jednoznacznym . Można tu w ykorzystyw ać p o d e jś c ie proponowane w [ 7 ]«

LITERATURA

[1 ] B u b n ick i Z. s I d e n t i f i c a t i o n o f C o n tro l P l a n t s , E l s e v i e r , Amsterdam- -Oxford-New York, 1980.

[2] B u b n ic k i Z . s O p ty m a liz a c ja kompleksów o p e r a c j i w s te ro w a n iu d y sk ret­

nymi p ro cesam i p ro d u k cy jn y m i. P ra c « 721 K rajow ej K o n f e r e n c ji Automa­

t y k i , t . 3» R e f e r a ty p le n a r n e i p rz e g lą d o w e , P o l i t e c h n i k a Rzeszowska) Rzeszów 1933f s . 3 7 -4 9 .

[ 3] B u b n ic k i Z .: Two l e v e l o p tim iz a tio n and c o n t r o l o f th e com plex of o p e r a tio n s , I n A. Nemi E d ., A L ink Betw een S c ie n c e and A p p lic a tio n s o f A utom atic C o n tr o l, P r o c . o f 7 th T rle rm a l World C ongress o f IFAC, H e l s i n k i , Pergamon P r e s s , O xford, 1978, p p . 1407-1412.

[4] B u b n ick i Z. j G lo b a l m o d e llin g and i d e n t i f i c a t i o n o f n e tw o rk systems, P ro c . o f 3 rd I n t e r n a t i o n a l C o n feren ce on System s E n g in e e rin g , Wrigbt S ta te U n iv e r s ity , D ayton, USA, 1984.

[ 5] B u b n ick i Z .s O ptim al m odels o f com plex o p e r a tio n s y s te m s , 6 e Congres I n t e r n a t i o n a l de C y b e rn e tiq u e e t de S y ste m iq u e , C o ile g a de Systemique de l'AFCET, P a r i s , 1984, p p . 871-876.

[ 6 ] B u b n ick i Z. 1 G lo b al m o d e llin g and i d e n t i f i c a t i o n o f com plex systems, P ro c . o f 7 th IFAC/IFORS Symp. Y ork, UK, 1985» I d e n t i f i c a t i o n and System P a ra m e te r E s tim a tio n , Pergamon P r e s s , Oxford-New York-Toronfco- -S y d n e y -F ra n k fu rt 1985, p p . 261-263.

[ 7] B u b n ick i Z . , Św iątek J . t S eparow alnośó i e s ty m a c ja param etró w w iden­

t y f i k a c j i zło żonych systemów s ta ty c z n y c h , Archiwum A utom atyki i Tele­

m e c h a n ik i, t . 26, z . 3 , 1981, a . 3 4 9 -363.

R e o e n z e n tiP r o f .d r inż.H .K ow alew ski W płynęło do R e d a k c ji do 19BB-04-30.

Wybrane problem y I d e n t y f i k a c j i 339

HEKOTBPÜE DPOBJI0.il K5EHTH®KAIJffiI K0MHHEKC0B OHEPADJÜÎ

P e 3 s> a o

B paöoTe flaHa oöasaa $opMyjmpoBKa 3a^aL2 jioKajOHoS h rnoöa^BHoä saeH - TH$HKauKH KOMIM0KCOB onepanaS .

Jim

HenoTopuz MOÆ&jieS onepapaS h sapaHHHZ oipyKTyp EOMüuieKoa , npepoTaBJieiiH cB oacroa pnranasBH oro p em essa, CWpameso BHWÄHH0 Ha OpaBHQHHÔ ÆOKaJIBKOâ H rJIOÔaJE&HOË HfleHTH$HKaHH8.

SOME PROBLEMS OF THE IDENTIFICATION OF COMPLEX OPERATION SYSTEM S u m m a r y

I n t h e p a p e r t h e g e n e r a l f o r m u l a t i o n s o f t h e l o c a l and g l o b a l i d e n t i f i c a t i o n o f c o m p l e x o p e r a t i o n s y s t e m s a r e p r e s e n t e d . For s e l e c t e d form o f o p e r a t i o n s m o d e l s an d g i v e n t y p e s o f s t r u c t u r e s some p r o p e r t i e s of t h e o p t i m a l s o l u t i o n a r e sho wn. The a t t e n t i o n was p a i d t o c o m p a r i s o n of l o c a l an d g l o b a l i d e n t i f i c a t i o n .