Nierówność typu <math><mi>sin</mi><mi>x</mi><mo>> </mo><mi>a</mi></math> Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

(1)

Nierówność typu <math><mi>sin</mi><mi>x</mi><mo>>

</mo><mi>a</mi></math>

Wprowadzenie Przeczytaj Film samouczek Sprawdź się Dla nauczyciela

(2)

Na lekcji nauczymy się rozwiązywać równania typu: sinx > a , sinx < a

, sinx ≤ a , sinx ≥ a , gdzie a

jest liczbą rzeczywistą. Będziemy korzystać z wykresu funkcji sinus oraz własności tej funkcji. Koniecznie przypomnij sobie, w jaki sposób rozwiązywaliśmy równania trygonometryczne typu sinx = a

.

Twoje cele

Nauczysz sie rozwiązywać proste nierówności trygonometryczne typu: sinx > a , sinx < a

, sinx ≤ a , sinx ≥ a .

Zobaczysz zastosowania do rozwiązywania nierównośći trygonometrycznych o bardziej złożonym charakterze.

Nierówność typu sinx > a

(3)

Przeczytaj

Na lekcji nauczymy się rozwiązywać równania typu: sinx > a , sinx < a

, sinx ≤ a , sinx ≥ a , gdzie a

jest liczbą rzeczywistą. W tym celu będziemy korzystać z metody rozwiązywania równań trygonometrycznych typu sinx = a

. Przypomnijmy stosowne twierdzenie:

Twierdzenie: o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego sinx = a

Algorytm szukania rozwiązań równania sinx = a .

Znajdujemy jedno rozwiązanie x₀ takie, że sinx₀= a

.

Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: x₀+ 2kπ , gdzie k ∈ ℤ

.

Znajdujemy drugie rozwiązanie π - x₀ .

Zapisujemy drugą serię rozwiązań: π - x₀+ 2kπ , gdzie k ∈ ℤ

.

Pokażemy, jak rozwiązać nierówność sinx > a .

Rozważmy przypadki:

1. Niech a < - 1

. Wówczas nierówność sinx > a

jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

2. Niech a ≥ 1

. Wówczas rozwiązaniem nierówności sinx > a jest zbiór pusty.

3. Niech a ∈ ⟨ - 1, 1) .

Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale -

π 2,

3π 2

. Dlaczego wybieramy taki przedział? Po pierwsze okresem zasadniczym funkcji sinus jest T = 2π , a wybrany przedział ma długość 2π

. Po drugie, jak zobaczymy na rysunku, w tym przedziale rozwiązanie nierówności sinx > a będzie można przedstawić w postaci jednego przedziału (a nie sumy przedziałów); dzięki temu dostaniemy wygodniejszą formę zapisu rozwiązania nierówności.

⟨ ⟩

(4)

Spójrzmy na rysunek. Skoro chcemy rozwiązać nierówność sinx > a , będziemy w istocie badać, w jakich przedziałach funkcja y = sinx przyjmuje wartości większe od wartości funkcji y = a

.

Zaznaczmy na pomarańczowo ten fragment wykresu funkcji y = sinx , który leży powyżej prostej y = a

. Zauważmy, że prosta y = a przecina wykres funkcji y = sinx

w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne to x₁ i x₂

- są to rozwiązania równania sinx = a .

Zatem w przedziale -

π 2,

3π 2

funkcja y = sinx

przyjmuje wartości większe od wartości funkcji y = a dla argumentów x ∈ x₁, x₂

.

Wykorzystując okresowość funkcji sinus podajemy rozwiązanie nierówności sinx > a : jest to suma wszystkich przedziałów x₁+ 2kπ, x₂+ 2kπ

, gdzie k ∈ ℤ .

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność sinx > -

√³

2

.

Rozwiązanie:

Spójrzmy na poniższy wykres.

⟨ ⟩

( )

(5)

Najpierw, korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równania trygonometycznego

sinx = a rozwiązujemy równanie sinx = -

√³

2

w przedziale -

π 2,

3π 2

: x = -

π 3

lub x =

4π 3

.

π 2,

3π 2

rozwiązaniem nierówności sinx > -

√³

2

jest przedział -

π 3,

4π 3

.

Wykorzystując okresowość funkcji sinus podajemy rozwiązanie nierówności sinx > -

√³

2

: jest to suma wszystkich przedziałów -

π 3 + 2kπ,

4π 3 + 2kπ , gdzie k ∈ ℤ

.

Przykład 2

Rozwiążemy nierówność sinx ≥ -

√³

2

.

Rozwiązanie:

Rozwiążemy tę nierówność bazując na nierówności rozwiązanej w przykładzie 1.

Skoro rozwiązaniem nierówności sinx > -

√³

2

⟨ ⟩

⟨ ⟩ ( )

( )

(6)

była suma wszystkich przedziałów -

π 3 + 2kπ,

4π 3 + 2kπ , gdzie k ∈ ℤ

, to rozwiązaniem nierówności sinx ≥ -

√³

2

będzie suma wszystkich przedziałów -

π 3 + 2kπ,

4π 3 + 2kπ , gdzie k ∈ ℤ

.

Pokażemy, jak rozwiązać nierówność sinx < a .

Rozważmy przypadki:

1. Niech a > 1

. Wówczas nierówność sinx < a

jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej.

2. Niech a ≤ - 1

. Wówczas rozwiązaniem nierówności sinx < a jest zbiór pusty.

3. Niech a ∈ ( - 1, 1⟩

.

Najpierw rozwiążemy nierówność w przedziale -

3π 2 ,

π 2

. Dlaczego wybieramy taki przedział? Po pierwsze okresem zasadniczym funkcji sinus jest T = 2π , a wybrany przedział ma długość 2π

. Po drugie, jak zobaczymy na poniższym rysunku, w tym przedziale rozwiązanie nierówności sinx < a będzie można przedstawić w postaci jednego przedziału (a nie sumy przedziałów); dzięki temu uzyskamy wygodniejszą formę zapisu rozwiązania nierówności.

Spójrzmy na rysunek. Skoro chcemy rozwiązać nierówność sinx < a , będziemy w istocie badać, w jakich przedziałach funkcja y = sinx przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji y = a

.

Zaznaczmy na pomarańczowo ten fragment wykresu funkcji y = sinx , który leży poniżej prostej y = a

( )

⟨ ⟩

(7)

. Zauważmy, że prosta y = a

przecina wykres funkcji w dwóch punktach, których pierwsze współrzędne to x₁ i x₂

- są to rozwiązania równania sinx = a .

3π 2 ,

π 2

funkcja y = sinx

przyjmuje wartości mniejsze od wartości funkcji y = a dla argumentów x ∈ x₁, x₂

.

Wykorzystując okresowość funkcji sinus podajemy rozwiązanie nierówności sinx > a : jest to suma wszystkich przedziałów x₁+ 2kπ, x₂+ 2kπ

, gdzie k ∈ ℤ .

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność sinx <

√²

2

.

Rozwiązanie:

Spójrzmy na poniższy wykres.

Najpierw, korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równania trygonometycznego

sinx = a, rozwiązujemy równanie sinx =

√²

2

w przedziale -

3π 2,

π 2

: x = -

5π 4

lub x =

π 4

.

⟨ ⟩

( )

⟨ ⟩

(8)

3π 2 ,

π 2

rozwiązaniem nierówności sinx <

√²

2

jest przedział -

5π 4 ,

π 4

.

Wykorzystując okresowość funkcji sinus podajemy rozwiązanie nierówności sinx <

√²

2

w zbiorze liczb rzeczywistych: jest to suma wszystkich przedziałów -

5π 4 + 2kπ,

π 4 + 2kπ , gdzie k ∈ ℤ

.

Słownik

o rozwiązywaniu równania trygonometrycznego sinx = a Algorytm szukania rozwiązań równania sinx = a

.

Znajdujemy jedno rozwiązanie x₀ takie, że sinx₀= a

.

Zapisujemy pierwszą serię rozwiązań: x₀+ 2kπ , gdzie k ∈ ℤ

.

Znajdujemy drugie rozwiązanie π - x₀ .

Zapisujemy drugą serię rozwiązań: π - x₀+ 2kπ , gdzie k ∈ ℤ

.

⟨ ⟩ ( )

( )

(9)

Film samouczek

Polecenie 1

Obejrzyj uważnie prezentację, a następnie wykonaj polecenia pod prezentacją.

Film dostępny na portalu epodreczniki.pl Film nawiązujący do treści materiału

Polecenie 2

Wskaż rozwiązanie nierówności 4sin²x ≤ 3.

-

π 3 + kπ,

π

3 + kπ , gdzie k ∈ ℤ

kπ,

π

3 + kπ ∪

2π

3 + kπ, π + kπ , gdzie k ∈ ℤ

-

π 3 + 2kπ,

π

3 + 2kπ , gdzie k ∈ ℤ

2kπ,

π

3 + 2kπ ∪

2π

3 + 2kπ, π + 2kπ , gdzie k ∈ ℤ

( )

⟨ ) ( )

( )

⟨ ) ( )

(10)

Polecenie 3

Zaznacz rozwiązanie nierówności sinx - 2 sin2x -

√²

2 < 0 w przedziale (0, π).

π 8,

3π 8

π 4,

3π 4

0,

π

8 ∪

3π 8, π

0,

π

4 ∪

3π 4, π

( )( )

( ) ( )

(11)

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Wskaż nierówności, które spełnia liczba x =

π 7.

sinx <

1 2

sin2x ≤

1 2

sinx ≤

√²

2

sin2x <

√²

2

sin3x <

√²

2

sinx ≤

√³

2

sin2x ≤

√³

2

sin3x ≤

√³

2

Ćwiczenie 2

Wskaż rozwiązanie nierówności sin2x < -

√²

2 .

-

3π 8 + kπ, -

π

8 + kπ , gdzie k ∈ ℤ

-

3π

8 + 2kπ, -

π

8 + 2kπ , gdzie k ∈ ℤ

-

3π 4 + kπ, -

π

4 + kπ , gdzie k ∈ ℤ

-

3π

4 + 2kπ, -

π

4 + 2kπ , gdzie k ∈ ℤ

( )

(12)

Ćwiczenie 3

Każdej nierówności przyporządkuj jej rozwiązanie.

</msup><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></math>, <math>

<mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mn>3</mn><mi>x</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn><mo>-

</mo><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math>, <math><mi>sin</mi><mn>4</mn><mi>x</mi>

</math>, <math><mn>2</mn><mi>sin</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo>

Zbiór pusty

Zbiór liczb rzeczywistych

(13)

Ćwiczenie 4

Połącz w pary nierówności, które mają te same rozwiązania.

sin²x >

1 9

sinx >

1 2

sin2x < -

√³

2

sin²2x >

1 4

Ćwiczenie 5

Wskaż nierówność, która dla parametru a = 3 ma rozwiązanie: -

5π

6 + 2kπ, -

π

6 + 2kπ , gdzie k ∈ ℤ.

sinx <

a-2 a-5

sinx ≤

3a-7 a-7

sinx ≥

a-2 2a-4

sinx ≤

3a-7 5a-11

Ćwiczenie 6

Rozwiązaniem nierówności sinx -

1

2 sinx -

√³

2 < 0 w przedziale (0, 2π) jest

π 6,

π 3 ∪

2π 3 ,

5π 6

0,

π

6 ∪

π 3,

2π

3 ∪

5π 6, 2π

π 3,

2π

3 ∪

7π 6,

11π 6

π 6,

5π

6 ∪

4π 3,

5π 3

⟨ ⟩

( )( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

(14)

Ćwiczenie 7

Dla jakich wartości parametru a ∈ ℝ rozwiązaniem nierówności

sin2x <

2a+ 1 a-1

jest zbiór liczb rzeczywistych.

Ćwiczenie 8

Rozwiąż nierówność 2sin2x + 1 2sin²x - 1 > 0 w przedziale (0, π)

.

( )( )

(15)

Dla nauczyciela

Autor: Jacek Dymel Przedmiot: Matematyka Temat: Nierówność typu sinx > a

Grupa docelowa:

III etap edukacyjny, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony Podstawa programowa:

Podstawa programowa:

VII. Trygonometria. Zakres rozszerzony. Uczeń:

6) rozwiązuje równania i nierówności trygonometryczne o stopniu trudności nie większym niż w przykładach: 4cos2xcos5x = 2cos7x + 1

, 2sin²x ≤ 1 .

Cele operacyjne:

Uczeń:

rozwiązuje proste nierówności trygonometryczne typu: sinx > a , sinx < a

, sinx ≤ a , sinx ≥ a .

znajduje zastosowania do rozwiązywania nierównośći trygonometrycznych o bardziej złożonym charakterze.

Strategie nauczania:

konstruktywizm;

konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

odwrócona klasa;

metoda sytuacyjna;

dyskusja.

Formy pracy:

praca indywidualna;

praca w parach;

praca w grupach;

praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale;

tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

(16)

Przebieg lekcji Przed lekcją:

1. Nauczyciel prosi uczniów, aby zapoznali się ze sposobami rozwiązywania nierówności trygonometrycznych przedstawionymi w ﬁlmie samouczku.

Faza wstępna:

1. Nauczyciel prezentuje temat: „Nierówność typu sinx > a

” oraz cele zajęć, omawiając lub ustalając razem z uczniami kryteria sukcesu.

2. Rozpoznawanie wiedzy uczniów.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel dzieli uczniów na 4‑osobowe grupy. Uczniowie w grupach zapoznają się z informacjami w sekcji „Przeczytaj”. Analizują przedstawione przykłady i notują pytania. Następnie przedstawiają pytania na forum klasy. Odpowiadają na nie uczniowie z innych grup. Nauczyciel wyjaśnia

ewentualne wątpliwości.

2. Wybrani uczniowie wykonują ćwiczenia nr 1‑2 na forum klasy. Nauczyciel sprawdza poprawność wykonanych zadań, omawiając je wraz z uczniami na bieżąco.

3. Nauczyciel dzieli klasę na 4‑osobowe grupy. Uczniowie rozwiązują zadania 3‑5 na czas (od zadania łatwiejszego do trudniejszych). Grupa, która poprawnie rozwiąże zadania jako pierwsza, wygrywa, a nauczyciel może nagrodzić uczniów ocenami za aktywność. Rozwiązania są prezentowane na forum klasy i omawiane krok po kroku.

4. Uczniowie wykonują indywidualnie ćwiczenia 6, 7 i 8, ale następnie porównują swoje odpowiedzi z kolegą lub koleżanką.

Faza podsumowująca:

1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

Praca domowa:

1. Uczniowie opracowują FAQ (minimum 3 pytania i odpowiedzi prezentujące przykład i rozwiązanie) do tematu lekcji („Nierówność typu sinx > a

”).

Materiały pomocnicze:

Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych Wskazówki metodyczne:

Medium w sekcji „Film samouczek” można wykorzystać na lekcji jako podsumowanie i utrwalenie wiedzy w temacie „Nierówność typu sinx > a

”.