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Diffusion of sediment in a non-uniform flow field

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VM-TDD- 2647

Apmann- 1967

C I V I L E N G I N E E R I N G R E P O R T NO. 16

DIFFUSION OF SEDIMENT IN A

NON-UNIFORM FLOW FIELD

By

Robert P. A p m a n n

Ralph R. Rumer, Jr.

December 1 9 6 7

Sponsored by: A g r i c u l t u r a l Research Service U. S. Department of A g r i c u l t u r e (Contract No. 12-14-100-9096(41))

(2)

' 1

C

3 ^

C I V I L ENGINEERING REPORT NO. 16

DIFFUSION OF SEDIMENT I N A NON-UNIFORM FLOW F I E L D b y R o b e r t P. Apmann R a l p h R, Rumer, J r . D e c e m b e r , 1 9 6 7 Spons^QEsdH ^ . ^ A g r i c u l t u r a l R e s e a r c h S e r v i c e U.S. D e p a r t m e n t o f A g r i c u l t u r e ( C o n t r a c t No. 1 2 - 1 4 - 1 0 0 - 9 0 9 6 ( 4 1 ) ) and D e p t . o f C i v i l E n g i n e e r i n g F a c u l t y o f E n g i n e e r i n g a n d A p p l i e d S c i e n c e s S t a t e U n i v e r s i t y o f New Y o r k a t B u f f a l o

(3)

1

"

ABSTRACT

The

suspension

of sediment particles by

turbulent eddy

diffusion

in a non

-

uniform flow

region

was

studied,

using the

convective-diffusion

equation as

a

mathematical model

.

A

simplified

form of

the

equation for

which mixing characteristics and flow velocities 'vere assumed uniform

was

found to accurately

describe the

sediment concentration

profiles

w

hich

had been measured in a 24

-f

oot long flume.

The experiments

also

showed

that

turbulent

mixing was more uniform than predicted by

existing

theories,

and that

it depended

on

the geometric characte

ri

stics of the mobile,

wavy

bed

.

Although diffusiv{ties

in

the non

-

unifo

rm

region tended

towa

r

ds

uniformity

with

downst

rea

m distance the vertical diffusive transport

rate

was

relate

d

to

depth

as a

power

law function.

An expression with

analytic

support was

de

ri

ved

for the

diffusion

coefficients as functions

of sediment

(4)

ACKNOWLEDGMENTS

The w o r k d e s c r i b e d h e r e i n was p e r f o r m e d i n t h e S e d i m e n t T r a n s -p o r t L a b o r a t o r y o f t h e D e -p a r t m e n t o f C i v i l E n g i n e e r i n g a t t h e S t a t e U n i v e r s i t y o f New Y o r k a t B u f f a l o . The s u p p o r t o f D r . J e s s e L u n i n and M r . D o n a l d W h e l a n i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d .

The b u i l d i n g o f t h e f l u m e a n d e x p e r i m e n t a l e q u i p m e n t was accom-p l i s h e d t h r o u g h t h e h e l accom-p o f M r . P a u l B l i n c o , M r . J o h n S a r v e y a n d M r . W i l l i a m G b u r e k , The e x p e r i m e n t a l w o r k was a i d e d b y t h e h e l p o f M r . P a u l B l i n c o , M r . J.C. S h i a u a n d M r . V e d u l a Sarma.

(5)

CONTENTS S e c t i o n p a g e I . I n t r o d u c t i o n •' -1 . -1 . Some A s p e c t s o f F r e e - S u r f a c e T u r b u l e n t F l o w s ^ 1.2. The C o n v e c t i v e - D i f f u s i o n E q u a t i o n 5 1.3. D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t s f o r a n Open C h a n n e l 8 1 . 3 . 1 . K i n e m a t i c Eddy V i s c o s i t y H 1.3.2. L a t e r a l and L o n g i t u d i n a l D i f f u s i v i t i e s 13 1.4. A n a l y s i s o f t h e S u s p e n d e d - S e d i m e n t C o n c e n t r a t i o n i n a W i d e S t r e a m , 1 ^ 1.5. I m p r o v e m e n t s t o t h e S u s p e n d e d L o a d T h e o r y 18 1.6. E n t r a i n m e n t b y a D i f f u s i o n P r o c e s s 22 I I . The C o n v e c t i v e - D i f f u s i o n E q u a t i o n f o r a N o n - U n i f o r m F l o w F i e l d . . . . 25 I I . 1 . C o m p l i c a t i n g F a c t o r s 26 I I . 2 . D i m e n s i o n a l I m p l i c a t i o n s o f t h e C o n v e c t i v e - D i f f u s i o n E q u a t i o n 29 I I . 2 . 1 . C r i t e r i a f o r S e d i m e n t E n t r a i n m e n t 30 I I I . F i n i t e - D i f f e r e n c e S o l u t i o n t o C o n v e c t i v e - D i f f u s i o n 1 1 1 . 1 . E q u a t i o n : U n i f o r m V e l o c i t y and D i f f u s i v i t y 32 1 1 1 . 2 . T r a n s f o r m a t i o n o f P a r a b o l i c P a r t i a l D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s t o t h e H e a t E q u a t i o n 34 1 1 1 . 2 . 1 . F i n i t e D i f f e r e n c e O p e r a t o r s 35 1 1 1 . 2 . 2 . S t a b i l i t y and C o n v e r g e n c e o f t h e S o l u t i o n 37 1 1 1 . 2 . 3 . M i n i m i z i n g t h e E r r o r 38 1 1 1 . 2 . 4 . B o u n d a r y C o n d i t i o n s 39 1 1 1 . 2 . 5 . C o m p u t e r P r o g r a m s 4 1 1 1 1 . 2 . 6 . S o l u t i o n s t o t h e E q u a t i o n 4 1

(6)

CONTENTS ( C o n t i n u e d ) S e c t i o n p a g e I V . E x p e r i m e n t a l A p p a r a t u s and P r o c e d u r e s 56 I V . 1 . S e d i m e n t S a m p l i n g and P r o c e s s i n g 66 I V . 2 . S e d i m e n t C h a r a c t e r i s t i c s a n d F a l l V e l o c i t i e s 75 I V . 3. D e n s i t y o f S e d i m e n t Beds 77 v. A n a l y s i s o f R e s u l t s , 85 V. 1 . A P h i l o s o p h y o f A n a l y s i s 85 v .2 . V a r i a t i o n o f D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t i n t h e F l o w F i e l d 88 V.3. V e r t i c a l T r a n s p o r t R a t e 91 v .4 . D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t s f o r t h e T e s t S e r i e s 95 v . 5 . Bed R o u g h n e s s and t h e D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t 100 v .6 . T u r b u l e n c e G e n e r a t i o n o v e r a M o b i l e Bed 104 V.7. R e s i s t a n c e C o e f f i c i e n t and D i f f u s i v i t y 116 V.8. P a r t i c l e - F l u i d I n t e r a c t i o n 122 V.9. N e t E n t r a i n m e n t R a t e 12 7 V I . Summary , 133 V I I . R e c o m m e n d a t i o n s 136 A p p e n d i c e s 138

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L i s t o f F i g u r e s No. T i t l e Page X D e f i n i t i o n S k e t c h . 3 2 F i n i t e - D i f f e r e n c e G r i d Scheme 45 3 C o m p u t e r P r o g r a m 46 4 D i m e n s i o n l e s s S e d i m e n t C o n c e n t r a t i o n s , Z = 0 47 5 D i m e n s i o n l e s s S e d i m e n t C o n c e n t r a t i o n s c l o s e t o o r i g i n , Z = 0.. 48 6 D i m e n s i o n l e s s S e d i m e n t C o n c e n t r a t i o n s , Z = % 49 7 D i m e n s i o n l e s s S e d i m e n t C o n c e n t r a t i o n s , Z = 1 50 8 D i m e n s i o n l e s s S e d i m e n t C o n c e n t r a t i o n s , Z = 5 5 1 9 D i m e n s i o n l e s s S e d i m e n t C o n c e n t r a t i o n s , Z = 10 52 10 D i m e n s i o n l e s s S e d i m e n t C o n c e n t r a t i o n s , Z = 20 53 11 E l e m e n t o f F l o w 54 12 N e t E n t r a i n m e n t f r o m t h e Bed 55 13 2 4 - F o o t T i l t i n g F l u m e 58 14 L o a d - D e f l e c t i o n T e s t o f F l u m e 58 15 Maximum L a t e r a l D e f l e c t i o n o f F l u m e as a F u n c t i o n o f H y d r o s t a t i c F o r c e 59 16 Maximum V e r t i c a l D e f l e c t i o n o f F l u m e U n d e r a U n i f o r m l y D i s t r i b u t e d L o a d 60 17 ' C a l i b r a t i o n o f W e i r 63 18 C a l i b r a t i o n o f O r i f i c e 64 19 E r r o r i n C o n c e n t r a t i o n D e t e r m i n a t i o n as a F u n c t i o n o f V e l o c i t y R a t i o 69 20 S m a l l G l a s s S e d i m e n t S a m p l e r 72 21 S k e t c h o f S a m p l i n g S y s t e m 73 22 C a l i b r a t i o n o f G l a s s S a m p l e r s 74 23 C u m u l a t i v e S i z e - F r e q u e n c y D i s t r i b u t i o n o f S e d i m e n t s 79 24 F a l l V e l o c i t y o f S e d i m e n t s as a F u n c t i o n o f T e m p e r a t u r e 80 25 P h o t o m i c r o g r a p h o f P e t t i n o s # 7 0 S e d i m e n t 8 1 26 P h o t o m i c r o g r a p h o f A m h e r s t # 1 S e d i m e n t 82 27 P h o t o m i c r o g r a p h o f C a r b o l o n S e d i m e n t 83 28 D i s t r i b u t i o n o f D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t s i n N o n - U n i f o r m F l o w R e g i o n 89 29 V e r t i c a l T r a n s p o r t R a t e as a F u n c t i o n o f D e p t h 94 30 V a r i a b i l i t y o f C o n c e n t r a t i o n D a t a f r o m Mean T r e n d s 98 3X D i f f u s i v i t i e s as a F u n c t i o n o f Bed R o u g h n e s s 1 0 1 32 R e l a t i o n b e t w e e n S t a n d a r d D e v i a t i o n o f Bed F o r m s and P e a k - t o - T r o u g h M e a s u r e m e n t 103 33 P a r t i c l e M o t i o n i n M a i n F l o w and L e e R e g i o n s n e a r a Bed F o r m . . 106 34 T i m e - A v e r a g e F l o w P a t t e r n i n Lee R e g i o n o f a Bed F o r m 106 35 P a r t i c l e M o t i o n n e a r a Bed F o r m as S e e n b y a M o v i n g O b s e r v e r . 108 36 I r r e g u l a r i t y o f P a r t i c l e M o t i o n f o r F l o w o v e r a Wavy, M o b i l e Bed I l l 37 C o m p a r a t i v e R e g u l a r i t y o f P a r t i c l e M o t i o n f o r F l o w o v e r a S m o o t h , M o b i l e Bed I l l 38 D i f f u s i v i t i e s as a F u n c t i o n o f F r o u d e Number 113 39 E x p o s u r e F a c t o r as a F u n c t i o n o f F r o u d e Number a n d H y d r a u l i c R a d i u s 119 40 A g r e e m e n t i n C a l c u l a t i n g Bed F r i c t i o n F a c t o r b y Two M e t h o d s . . . 120 41 D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t as a F u n c t i o n o f R e s i s t a n c e P a r a m e t e r . . . 1 2 1 42 R e l a t i o n o f Z i t o Z 123 43 N e t E n t r a i n m e n t as a F u n c t i o n o f L o n g i t u d i n a l D i s t a n c e 129

(8)

L i s t o f T a b l e s No. T a b l e Page 1 S e d i m e n t C h a r a c t e r i s t i c s 76 2 S a m p l e s o f Bed D e n s i t y 84 3 C o m p a r i s o n o f R e s u l t s f r o m R e p e t i t i v e Runs 87 4 Mean V a l u e s o f D i f f u s i v i t y , J u n e 23 90 5 C o m p a r i s o n o f C o n c e n t r a t i o n P r o f i l e s 9 1 6 S l o p e s a n d I n t e r c e p t s o f V e r t i c a l T r a n s p o r t R e l a t i o n 93

(9)

BiblfothceR a f d . C i v , f e j 3 T e c h n i e k T K SieviiTvvcg ] - D e l i t . I . INTRODUCTION S e d i m e n t movement i n a r i v e r i s a p a r t i c u l a r c a s e o f t h e t r a n s p o r t o f f o r e i g n s o l i d p a r t i c l e s b y a f l u i d m e d i u m . The s o l u t i o n o f t h e s e t w o p h a s e f l o w p r o b l e m s f o r p a r t i c l e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n i s v e r y d i f f i -c u l t . I n t u r b u l e n t f l o w s , a -c o m p l e x d i f f u s i o n m e -c h a n i s m e n t r a i n s , m i x e s and t r a n s p o r t s t h e s e d i m e n t t h r o u g h t h e f l u i d m e d i u m . The i n t r i c a t e s t r u c t u r e o f t u r b u l e n c e makes i t v i r t u a l l y i m p o s s i b l e t o d e s c r i b e t h e p r o p e r t i e s o f t h e f l u i d m e d i u m e i t h e r i n s t a n t a n e o u s l y o r o v e r some mean t i m e i n t e r v a l w i t h o u t i n t e n s i v e and i m p r a c t i c a l m e a s u r e m e n t s . T h e s e d i f f i c u l t i e s h a v e l e d t o t h e s t u d y o f s e d i m e n t a t i o n p r o c e s s e s l a r g e l y f r o m a n e m p i r i c a l a p p r o a c h . The r e s u l t s a r e n o t w i d e l y v a l i d . I t w o u l d be e x t r e m e l y v a l u a b l e t o c o r r e l a t e s e d i m e n t p r o c e s s e s w i t h t u r b u l e n t a n d d i f f u s i v e p r o p e r t i e s o f t h e f l o w , e s p e c i a l l y t h r o u g h t h e g r o s s h y d r a u l i c a n d m e c h a n i c a l p r o p e r t i e s o f t h e f l u i d , s e d i m e n t a n d c h a n n e l . The a d v a n t a g e w o u l d be t h e o r e t i c a l l y - f o u n d e d r e l a t i o n s f o r s e d i m e n t e n t r a i n m e n t a n d movement w h i c h c o u l d be u n i v e r s a l l y a p p l i e d . H o w e v e r , a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g i s n e e d e d f i r s t o f t h e s t r u c t u r e o f s e d i m e n t l a d e n t u r b u l e n t f l o w s , t h e i n f l u e n c e o f t h e s e d i m e n t u p o n t h e d i f f u s i o n m e c h a n i s m s , and t h e p r o c e s s e s o c c u r r i n g a t t h e s e d i m e n t - w a t e r i n t e r f a c e . T h i s s t u d y i n t h e r e a l m o f t u r b u l e n t f r e e s u r f a c e f l o w i s a n i n v e s t i g a t i o n o f t h e d i f f u s i o n p r o c e s s as i t i n f l u e n c e s t h e e n t r a i n m e n t a n d t r a n s -p o r t a t i o n o f m i n e r a l s e d i m e n t s . P r i o r e x -p e r i m e n t s v e r i f y i n g t h e d i f f u s i o n t h e o r y h a v e b e e n c a r r i e d o u t u n d e r e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n s : s t e a d y d i s c h a r g e s , d e p t h s , a n d b e d c o n d i t i o n s . A p p a r e n t l y , f e w h a v e c o n s i d e r e d t h e n o n u n i f o r m r e g i o n w h e r e t h e s e d i m e n t i s f i r s t e n t r a i n e d a n d d i s t r i b u t e d v e r t i -c a l l y . T h i s p r o -c e s s -c a n be p i -c t u r e d as b e i n g a n a l o g o u s t o t h e b o u n d a r y l a y e r g r o w t h o n a f l a t p l a t e . The f i r s t r e p r e s e n t s a c a s e o f mass t r a n s p o r t

(10)

a n d t h e l a t t e r one o f momentum t r a n s p o r t . A f l u m e has b e e n c o n s t r u c t e d w i t h an e r o d i b l e b e d : As t h e f l o w p a s s e s o v e r t h i s bed a t u r b u l e n t b o u n d a r y l a y e r i s f o r m e d and t h e s e d i m e n t i s e n t r a i n e d and d i f f u s e d u p w a r d s i n t o t h e m a i n f l o w . The p a t t e r n o f e n t r a i n -m e n t i s s i -m i l a r t o t h e s i -m u l t a n e o u s b o u n d a r y l a y e r f o r -m a t i o n . ( S e e F i g , 1) The n a r r o w r e g i o n d e l i n e a t i n g t h e c l e a r w a t e r f l o w f r o m t h e t u r b i d f l o w a r c s u p w a r d t o w a r d s t h e f r e e s u r f a c e . L i n e s o f e q u a l s e d i m e n t c o n c e n t r a t i o n ( i s o s e d s ) f o l l o w a l o n g s i m i l a r p a t h s . The m a r k e d v a r i a t i o n o f t h e i s o s e d s w i t h t h e y - a x i s ( a n d p e r h a p s t h e x - a x i s ) c o u l d p r o v i d e a m o r e s i g n i f i c a n t n«eans t o s t u d y t h e e n t r a i n m e n t and d i f f u s i o n p r o c e s s t h a n t h o s e f l u m e s t u d i e s w h e r e e q u i l i b r i u m was r e a c h e d and i n w h i c h t h e i s o s e d s w e r e a l l p a r a l l e l t o t h e f l u m e b o t t o m . I . l . Some A s p e c t s o f F r e e - S u r f a c e T u r b u l e n t F l o w s To a n o b s e r v e r t u r b u l e n t f l o w s c o u l d be c h a r a c t e r i z e d b y s e e m i n g l y h e t e r o g e n o u s e d d y i n g s u p e r p o s e d o n t h e mean f l o w p a t t e r n . F o r a s t e a d y , t i m e - a v e r a g e d t u r b u l e n t f l o w t o e x i s t , i t i s n e c e s s a r y t h a t a s t e a d y , a v e r a g e e d d y p a t t e r n be m a i n t a i n e d . T h u s , e d d i e s a r e c o n t i n u a l l y b e i n g c r e a t e d i n t h e f l o w t o r e p l a c e t h o s e l o s t i n v i s c o u s d i s s i p a t i o n . I t i s g e n e r a l l y a g r e e d t h a t t u r b u l e n c e i s c r e a t e d i n r e g i o n s o f h i g h s h e a r s t r e s s , s u c h as s o l i d , f r i c t i o n a l b o u n d a r i e s o r a t t h e i n t e r f a c e b e t w e e n f l u i d masses h a v i n g d i f f e r e n t r e l a t i v e v e l o c i t i e s . A c c o r d i n g t o B a k h m e t e f f and A l l a n ^ s h e e t s o f c o n c e n t r a t e d v o r t i c i t y become i n s t a b l e i n t h e s e r e g i o n s o f h i g h s h e a r . T h e y t e n d t o r o l l up i n t o a g g r e g a t i o n s o f e d d i e s and a r e d i f f u s e d away f r o m t h e w a l l i n t o the a d j a c e n t o u t e r r e g i o n o f f l o w b y t h e v e l o c i t y g r a d i e n t .

(11)

i

I I I

W a t e r S u r f a c e —

y

F l o w /

ü ( y )

y

y/^^

V e l o c i t y

> ^ P r o f i l e

C l e a r

I n f l o w

^^"^''^^ . S e d i m e n t v L a d e n

- ' - O u t f l o w

V

\ ' ^ ^ C o n c e n t r a t i o n _

\ ^ P r o f i l e -• •* .'.- •

R i g i d B e d

^}j^^y^-0^}^

E r o d i b l e B e d ^ ; i ? / ; ? { ^ i i / S v ^ f i V ; - ^ - ' ^

F i g u r e 1 . D E F I N I T I O N SKETCH

(12)

A t s u f f i c i e n t l y h i g h R e y n o l d s n u m b e r s a l o n g a h y d r a u l i c a l l y r o u g h b o u n d a r y , new e d d i e s a r e c r e a t e d i n t h e wakes o f t h e r o u g h n e s s e l e m e n t s . A l o n g a h y d r a u l i c a l l y s m o o t h b o u n d a r y , t u r b u l e n c e i s c r e a t e d n e a r t h e w a l l p o s s i b l y b y p e r i o d i c e r u p t i o n s f r o m t h e t h i n v i s c o u s s u b l a y e r . ^ C l y d e and E i n s t e i n ^ s t u d i e d t h e d i s i n t e g r a t i o n o f t h e s u b l a y e r , n o t i n g t h a t " t h e c y c l e o f g r o w t h a n d d e c a y o f t h e s u b l a y e r ( i s ) , , , s y s t e m a t i c t o some e x t e n t w i t h a c h a r a c t e r i s t i c p e r i o d w h i c h o c c u r s more o f t e n t h a n a n y o t h e r , " As t h e s u b l a y e r d e c a y s h i g h s h e a r s t r e s s e s o c c u r o v e r v e r y s m a l l d i s t a n c e s n e a r t h e w a l l f o r s h o r t t i m e p e r i o d s . E n e r g y f r o m t h e s u r f a c e r e g i o n s o f t h e f l o w i s t r a n s m i t t e d t o t h e 4 w a l l . T h e r e , some o f i t i s c o n v e r t e d i n t o m e c h a n i c a l f o r m i n e d d i e s , w h i l e t h e r e m a i n e r i s t r a n s f o r m e d d i r e c t l y i n t o h e a t d u r i n g t h e c o n v e r s i o n p r o c e s s . As t h e e d d i e s a r e d i f f u s e d a c r o s s t h e f l o w , t h e i r e n e r g y i s g r a d u a l l y d i s s i p a t e d as h e a t t h r o u g h v i s c o u s i n t e r a c t i o n o f t h e s m a l l e s t e d d i e s . The p r o c e s s i s i r r e v e r s i b l e . The f l o w c h a r a c t e r i s t i c s o f a s e d i m e n t - l a d e n f l u i d d i f f e r f r o m t h o s e o f a c l e a r f l u i d . A p p a r e n t l y t h e p r e s e n c e o f s o l i d p a r t i c l e s a l t e r s t h e s t r u c t u r e o f t h e t u r b u l e n c e . O b s e r v a t i o n s h a v e shown t h a t s e d i m e n t - l a d e n f l o w s h a v e a h i g h e r mean v e l o c i t y a n d t h a t v o n Karman's c o n s t a n t , k, d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g c o n c e n t r a t i o n o f s e d i m e n t . ^ • J o h n R. G l o v e r , e t . a l , . D i s c u s s i o n o f " F l u c t u a t i n g T o t a l Head i n a V i s c o u s S u b l a y e r , " P r o c . A m . S o c . C i v i l E n g i n . , 9 2 ( E M 6 ) ! 2 5 7 , 1 9 6 6 ,

' C.G. C l y d e and H.A. E i n s t e i n , " F l u c t u a t i n g T o t a l Head i n a V i s c o u s S u b l a y e r , " P r o c . Am. S o c . C i v i l E n g i n . 9 2 ( E M 2 ) : 2 7 0 , 1 9 6 6 .

B a k h m e t e f f a n d A l l a n , o p . c i t . , p . 1 0 5 7 .

C. E l a t a and A.T. I p p e n , "The D y n a m i c s o f Open C h a n n e l F l o w w i t h S u s p e n s i o n s o f N e u t r a l l y B u o y a n t P a r t i c l e s , " M . I . T . , H y d r o . L a b . T e c h . R e p o r t 4 5 , p p 3-6 1 9 6 1 .

(13)

V a n o n i h y p o t h e s i z e d t h a t w o r k m u s t be d o n e b y t h e v e r t i c a l f l u c t u a t i o n s o f t h e f l u i d f l o w t o s u p p o r t t h e s e d i m e n t p a r t i c l e s . H e n c e , t h e t u r b u l e n t m o t i o n i s damped.^ T h i s h y p o t h e s i s was q u e s t i o n e d b y E l a t a , ^ w h o s e m e a s u r e -m e n t s o f t u r b u l e n c e i n t e n s i t y f o r n e u t r a l l y b u o y a n t p a r t i c l e s s h o w e d a n 8 i n c r e a s e i n t u r b u l e n c e i n t e n s i t y . An a n a l y s i s b y H i n o has e x p l a i n e d t h e a p p a r e n t c o n f l i c t s . F o r f l o w s w i t h n e a r l y n e u t r a l l y - b u o y a n t p a r t i c l e s t h e t u r b u l e n c e i n t e n s i t y i s i n c r e a s e d , b u t w i t h h e a v i e r p a r t i c l e s t h e i n t e n s i t i e s a r e damped. H i s t h e o r y p r e d i c t e d t h a t t h i s d a m p i n g e f f e c t w o u l d be v e r y s l i g h t f o r f l o w s c a r r y i n g m i n e r a l s e d i m e n t s . H o w e v e r , t h e r e w o u l d be a c o n s i d e r a b l e d e c r e a s e i n t h e l i f e - t i m e o f e d d i e s i n a f l o w w i t h s u s p e n d e d s e d i m e n t . E l a t a s t a t e d t h a t t h e a d d i t i o n o f s e d i m e n t t o t h e f l o w c a u s e s an i n c r e a s e i n t u r b u l e n c e p r o d u c t i o n n e a r t h e b e d , p e r h a p s f r o m t h e r o t a t i o n a l c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e p a r t i c l e s . 1.2. The C o n v e c t i v e - D i f f u s i o n E q u a t i o n J u s t as t h e c o n t i n u i t y p r i n c i p l e e x p r e s s e s c o n s e r v a t i o n o f t h e f l u i d m a s s , t h e c o n v e c t i v e - d i f f u s i o n e q u a t i o n r e p r e s e n t s t h e c o n s e r v a t i o n o f mass o f t h e d i f f u s i n g s u b s t a n c e . S o l u t i o n s t o t h i s e q u a t i o n c a n be u s e d t o p r e d i c t t h e d i s t r i b u t i o n o f s e d i m e n t c o n c e n t r a t i o n i n a t u r b u l e n t f i e l d . V.A. V a n o n i , " T r a n s p o r t a t i o n o f S u s p e n d e d S e d i m e n t b y W a t e r , " T r a n s . Am. Soc. C i v i l E n g i n . , I l l : 9 6 , 1 9 4 6 . E l a t a and I p p e n , o p . c i t . , p . 5 4 . M. H i n o , " T u r b u l e n t F l o w w i t h S u s p e n d e d P a r t i c l e s , " P r o c . Am. Soc. C i v i l E n g i n . , 89 ( H Y 4 ) : 1 6 1 - 1 8 5 , 1963 C. C h i u and J.E. M c S p a r r a n , " E f f e c t o f S e c o n d a r y F l o w on S e d i m e n t T r a n s p o r t , " P r o c . Am. Soc. C i v i l E n g i n . , 92 ( H Y 5 ) : 5 9 , 1 9 6 6 .

(14)

The e q u a t i o n c a n be w r i t t e n :

S t S t Sy Sz ÖX VXèJ Sy \ Yöy/ öz

V

ZSz/

L o c a l c h a n g e s i n mass c o n c e n t r a t i o n a r e r e p r e s e n t e d b y t h e f i r s t t e r m on t h e l e f t , ös/öt. Changes i n c o n c e n t r a t i o n d u e t o t h e c o n v e c t i o n o f t h e mean f l o w a r e e x p r e s s e d b y t h e r e m a i n i n g t h r e e t e r m s o n t h e l e f t . The t e r m s o n t h e r i g h t d e n o t e a d d i t i o n a l mass f l u x o r i g i n a t i n g f r o m t u r b u l e n t d i f f u s i o n . x , y , z , = c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s t = t i m e s = t i m e a v e r a g e c o n c e n t r a t i o n a t a p o i n t = f ( x , y , z , t ) ü,v,w = t i m e - a v e r a g e d v e l o c i t y c o m p o n e n t s i n t h e r e s p e c t i v e c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s = f ' ( x , y , z , t ) ^K'^Y'^Z ~ t u r b u l e n t s e d i m e n t mass d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s i n t h e r e s p e c t i v e c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s = f " ( x , y , z , t ) The d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s r e p r e s e n t t h e a b i l i t y o f t h e f l u i d t o t r a n s -p o r t s o l i d -p a r t i c l e s b y t h e d i f f u s i o n -p r o c e a e . T h e i r v a l u e d e -p e n d s o n t h e s t r u c t u r e o f t h e t u r b u l e n t f l o w , and t h e y g e n e r a l l y a r e c o m p l i c a t e d f u n c t i o n s o f t h e c o o r d i n a t e d i r e c t i o n s a n d f l o w p r o p e r t i e s . As mass t r a n s p o r t c o -e f f i c i -e n t s , t h -e y a r -e a n a l o g o u s t o t h -e mom-entum a n d h -e a t t r a n s p o r t c o -e f f i c i -e n t s . The k i n e m a t i c v i s c o s i t y , w h i c h r e p r e s e n t s momentum t r a n s f e r b y m o l e c u l a r m e a n s , a n d t h e t h e r m a l d i f f u s i v i t y a r e e x a m p l e s o f t h e l a t t e r t w o . D.R.F. H a r l e m a n a n d A.T. I p p e n , " T h e T u r b u l e n t D i f f u s i o n a n d C o n v e c t i o n o f S a l i n e W a t e r i n a n I d e a l i z e d E s t u a r y , " P u b l . No. 5 1 , l A S H , Comm. o f S u r f a c e W a t e r s , p p . 3 6 4 - 3 6 5 , 1 9 6 0 .

(15)

I n t h e d e r i v a t i o n o f e q u a t i o n ( 1 ) t h e s e d i m e n t mass d i f f u s i o n c o -e f f i c i -e n t s a r -e d -e f i n -e d a s : D„ = - }^LlL , D„ = " v.'s'.. , D = - w's' . ( 2 ) w h e r e t h e p r o d u c t u ' s ' , v ' s ' , a n d w's' a r e t h e t i m e - a v e r a g e d c o r r e l a t i o n s b e t w e e n t h e f l u c t u a t i n g v e l o c i t i e s and t h e f l u c t u a t i n g c o n c e n t r a t i o n s . The d e n o m i n a t o r s a r e t h e g r a d i e n t o f t h e t e m p o r a l mean c o n c e n t r a t i o n t a k e n i n t h e r e s p e c t i v e c o o r d i n a t e d i r e c t i o n . T h e s e d e f i n i t i o n s i n e q u a t i o n ( 2 ) ^ j , assume a F i c k i a n t y p e d i f f u s i o n r e l a t i o n i n w h i c h t h e mass f l u x i s p r o -p o r t i o n a l t o t h e g r a d i e n t o f t h e mean c o n c e n t r a t i o n . The g r a d i e n t - t y p e d i f f u s i o n r e l a t i o n s p r o b a b l y r e p r e s e n t a f i r s t 11 12 a p p r o x i m a t i o n t o t h e s o l u t i o n o f t r a n s p o r t p r o b l e m s . ' T r a n s p o r t b y b u l k m o v e m e n t s o f l a r g e - s c a l e e d d i e s , w h i c h may be i m p o r t a n t i n some c a s e s , i s n e g l e c t e d , 1 3 a r e t h e h i g h e r - o r d e r d e r i v a t i v e s o f c o n c e n t r a t i o n w i t h r e s p e c t t o l e n g t h l ^ ' N e v e r t h e l e s s , m e a s u r e m e n t s o f s e d i m e n t c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n h a v e t e n d e d t o c o n f i r m t h e v a l i d i t y o f t h e F i c k i a n r e l a t i o n s . I n t h e E n o r e e R i v e r , Anderson''"^ f o u n d t h a t t h e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n s f o l l o w e d t h e förm o f t h e t h e o r e t i c a l e q u a t i o n b u t t h a t s e d i m e n t was d i s t r i b u t e d J . 0 . H i n z e , " T u r b u l e n c e , " M c G r a w - H i l l , New Y o r k 1 9 5 9 , p . 287 I 'The c o n v e c t i o n - d i f f u s i o n e q u a t i o n i n t h e fd.rm o f e q u a t i o n ( 1 ) i s t e r m e d t h e " s e m i - e m p i r i c a l d i f f u s i o n e q u a t i o n " i n S t a t i s t i c a l H y d r o m e c h a n i c s " b y A.S. M o n i n a n d A.M. Y a g l o n , Moscow, 1 9 6 5 .

' j . 0 . H i n z e , o p . c i t . , p . 2 8 8 , 'J.0. H i n z e , o p . c i t . , p . 2 7 7 . H.A. E i n s t e i n and N i n g C h i e n , " S e c o n d A p p r o x i m a t i o n t o t h e S o l u t i o n o f t h e S u s p e n d e d L o a d Theory,'.' I n s t , o f E n g r . R e s . , U n i v . o f C a l i f . , B e r k e l e y , J a n . 1 9 5 4 , p , 8. A.G. A n d e r s o n , " D i s t r i b u t i o n o f S u s p e n d e d S e d i m e n t i n a N a t u r a l S t r e a m , "

(16)

m o r e u n i f o r m l y t h a n p r e d i c t e d . The d i f f e r e n c e i n c r e a s e d as t h e r a t i o o f f a l l v e l o c i t y t o s h e a r v e l o c i t y became l a r g e r . T h i s i m p l i e s t h a t t r a n s f e r o f s e d i m e n t b y s m a l l - s c a l e t u r b u l e n c e i s e s s e n t i a l l y g r a d i e n t d e p e n d e n t . To m a t c h t h e o r y w i t h r e a l i t y s e v e r a l a p p r o a c h e s h a v e b e e n s u g g e s t e d , b u t t h e s e h a v e n o t i n v o l v e d c h a n g i n g t h e g r a d i e n t - t y p e r e l a t i o n . T h e r e f o r e , u n t i l f u r t h e r r e s e a r c h d e l i n e a t e s t h e l i m i t s o f u t i l i t y o f t h e g r a d i e n t -t y p e d i f f u s i o n r e l a -t i o n s and p r o d u c e s e q u a l l y u s e f u l e x p r e s s i o n s f o r t r a n s p o r t r a t e , t h e F i c k i a n d i f f u s i o n r e l a t i o n s w i l l be c o n s i d e r e d u s e f u l and v a l i d f o r d e s c r i b i n g t h e p r o c e s s o f s e d i m e n t d i f f u s i o n , 1.3. D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t s f o r an Open C h a n n e l Rouse e x p r e s s e d t h e v e r t i c a l d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t i n t e r m s o f t h e i n t e n s i t y and s c a l e o f t h e t u r b u l e n t m i x i n g p r o c e s s : w h e r e ( v ' ) i s t h e r o o t mean s q u a r e o f t h e f l u c t u a t i n g v e r t i c a l com-p o n e n t o f t h e v e l o c i t y , and i s a d i f f u s i o n l e n g t h d e com-p e n d e n t on t h e s c a l e o f t h e e d d i e s i n t h e f l o w . E x a m i n a t i o n o f e q u a t i o n ( 3 ) shows t h a t o t h e r q u a n t i t i e s b e i n g c o n -s t a n t , l a r g e r v e l o c i t i e -s f l u c t u a t i o n -s i n c r e a -s e t h e d i f f u -s i v i t y . I n t u i t i v e l y , we e x p e c t t h a t b o t h t h e f l u c t u a t i n g v e l o c i t y and t h e d i f f u s i o n l e n g t h w i l l d e c r e a s e as a s o l i d b o u n d a r y i s a p p r o a c h e d i n a t u r b u l e n t s h e a r f l o w , and h e n c e t h e d i f f u s i v i t y s h o u l d d i m i n i s h n e a r a s o l i d b o u n d a r y . I n t h e o u t e r

17

H. R o u s e , " A d v a n c e d M e c h a n i c s i n F l u i d s , " J o h n W i l e y and S o n s , I n c . New Y o r k , p. 2 9 5 , 1959.

(17)

p a r t o f t h e f l o w , away f r o m t h e b o u n d a r y , t h e e d d y c h a r a c t e r i s t i c s r e m a i n e s s e n t i a l l y u n c h a n g e d w i t h t h e d e p t h , and t h e t u r b u l e n t f l u c t u a t i o n s a r e f a i r l y c o n s t a n t . O v e r t h i s c e n t r a l p a r t o f t h e f l o w t h e d i f f u s i v i t y s h o u l d n o t v a r y g r e a t l y . E q u a t i o n ( 3 ) e x p r e s s e s a r e l a t i o n s h i p b e t w e e n t h e d i f f u s i v i t y , t h e t u r b u l e n c e i n t e n s i t y , and t h e e d d y s c a l e . To p r e d i c t t h e d i f f u s i o n c o -e f f i c i -e n t f o r a g i v -e n f l o w s i t u a t i o n t h -e i n d -e p -e n d -e n t v a r i a b l -e s m u s t b-e e x p r e s s e d i n t e r m s o f m e a s u r a b l e and p r e d i c t a b l e q u a n t i t i e s o f t h e f l o w , s e d i m e n t , and b o u n d a r i e s . N o t e n o u g h i s k n o w n o f t h e s t r u c t u r e o f t u r b u l e n t 18 s h e a r f l o w s t o do t h i s a d e q u a t e l y . F u r t h e r m o r e , b o t h i n t e n s i t y and e d d y s c a l e a r e w i d e l y v a r i a b l e w i t h t i m e a t a g i v e n p o i n t i n t h e f l o w . I t has b e e n q u e s t i o n e d w h e t h e r t h e i r e f f e c t s a r e d e t e r m i n e d b y a v e r a g e v a l u e s 19 a l o n e . I n d e e d , i m p r o v e m e n t s t o t h e t r a n s p o r t t h e o r y h a v e a r i s e n f r o m c o n s i d e r i n g d i f f u s i o n l e n g t h and i n t e n s i t i e s t o be d i s t r i b u t e d a c c o r d i n g t o a G a u s s i a n p r o b a b i l i t y f u n c t i o n . I n a n a p p r o x i m a t e way t h e v a r i a t i o n o f d i f f u s i v i t y w i t h d e p t h c a n be i n f e r r e d f r o m T a y l o r ' s t h e o r y o f d i f f u s i o n . ^ 1 A c c o r d i n g t o t h a t t h e o r y w h e n p a r t i c l e s o r d y e a r e i n t r o d u c e d i n t o a u n i f o r m homogenous t u r b u l e n t s t r e a m , t h e y d i f f u s e o u t w a r d s . The s p r e a d o f t h e p a r t i c l e s i n i t i a l l y v a r i e s l i n e a r l y w i t h d i s t a n c e f r o m t h e s o u r c e , i n f e r r i n g t h a t t h e d i f f u s i -v i t y -v a r i e s d i r e c t l y w i t h d i s t a n c e . A t r e l a t i -v e l y l a r g e d i s t a n c e s f r o m t h e s o u r c e , t h e s p r e a d v a r i e s as t h e s q u a r e r o o t o f t h e d i s t a n c e , s h o w i n g t h a t 18 j . L . l u m l e y , "The A p p l i c a t i o n o f T u r b u l e n c e R e s e a r c h t o t h e S o l u t i o n o f I n t e r n a l F l o w P r o b l e m s , " E l s e v i e r , A m s t e r d a m , 1 9 6 7 , p p . 1 5 2 - 1 6 9 . 19 H.A. E i n s t e i n , and C h i e n , o p . c i t . , p . 1 0 . I b i d , p p . 1 2 - 2 0 2 1

(18)

d i f f u s i v i t y i s i n d e p e n d e n t o f d i s t a n c e f r o m t h e s o u r c e . I n t h e s e d i m e n t a t i o n p r o c e s s t h e e r o d i b l e bed becomes t h e s o u r c e and s e d i m e n t i s d i f f u s e d u p

-w a r d s a-way f r o m t h e b e d . H e n c e , c l o s e t o t h e b e d t h e d i f f u s i v i t y may be assumed t o v a r y d i r e c t l y w i t h d i s t a n c e f r o m t h e b e d . W i t h i n c r e a s i n g d i s t a n c e f r o m t h e bed t h e d i f f u s i v i t y may be assumed t o become i n d e p e n d e n t o f d e p t h . The f r e e s u r f a c e i m p o s e s a l i m i t on t h e d i f f u s i o n p r o c e s s and t h e a n a l y s i s i s n o t v a l i d t h e r e . I n s t e a d , one c a n r e a s o n t h a t t h e f r e e s u r f a c e i n h i b i t s t u r b u l e n c e and t h e d i f f u s i v i t y s h o u l d a l s o d i m i n i s h t o w a r d s t h e b o u n d a r y . 22 E.Go R i c h a r d s o n ' s e x p e r i m e n t s l e d h i m t o t h e same c o n c l u s i o n s ; n e a r t h e b e d t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t was a p p r o x i m a t e l y p r o p o r t i o n a l t o d i s -t a n c e f r o m -t h e b e d , w h i l e i -t became c o n s -t a n -t o v e r -t h e m a i n p o r -t i o n o f -t h e f l o w away f r o m t h e b e d . A s i m i l a r p a t t e r n i s s e e n i n t h e w o r k o f v a n D r i e s t . A n a l y t i c e x p r e s s i o n s f o r t h e s e d i m e n t mass d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t c a n be d e r i v e d b y a n a l o g y w i t h t h e k i n e m a t i c e d d y v i s c o s i t y o r t h e t u r b u l e n t momentum t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . S u c h a n a l o g i e s a r e r e a s o n a b l y v a l i d o n l y w h e r e t h e s e d i m e n t and I t s c o n c e n t r a t i o n a r e s m a l l e n o u g h n o t t o I n f l u e n c e t h e s t r u c t u r e o f t h e f l o w . I t i s u s u a l l y assumed t h a t t h e p r o c e s s e s o f

momentum and mass t r a n s f e r a r e s i m i l a r and t h u s t h e two t r a n s f e r c o e f f i c i e n t s a r e p r o p o r t i o n a l :

E»G. R i c h a r d s o n , " T h e S u s p e n s i o n o f S o l i d s i n a T u r b u l e n t S t r e a m , " P r o c . Roy. Soc. L o n d o n , A, 1 6 2 : 5 9 1 , 1937

E.Ro v a n D r i e s t , " E x p e r i m e n t a l I n v e s t i g a t i o n o f T u r b u l e n t D i f f u s i o n , " J . A p p l i e d Mech., p . A-99, J u n e 1 9 4 3 .

(19)

w h e r e Cy r e p r e s e n t s t h e k i n e m a t i c e d d y v i s c o s i t y . E x p e r i m e n t s h a v e shown t h a t u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s ^ = 1 , a n d t h a t u n d e r o t h e r c i r c u m s t a n c e s i t 24 d e p e n d s on t h e p a r t i c l e s i z e . 1 . 3 . 1 . K i n e m a t i c Eddy V i s c o s i t y F o r s m o o t h b o u n d a r i e s t h e k i n e m a t i c e d d y v i s c o s i t y has b e e n g i v e n a s : k:U*Ö CT ( 5 ) w h e r e K i s t h e v o n K a r m a n u n i v e r s a l c o n s t a n t ; u * i s t h e s h e a r v e l o c i t y ; y i s t h e d i s t a n c e u p w a r d f r o m t h e b o u n d a r y ; and 5 i s t h e b o u n d a r y l a y e r t h i c k n e s s . T h i s e x p r e s s i o n f o r e has b e e n v e r i f i e d f o r t h e i n n e r r e g i o n n e a r t h e w a l l . On t h e o t h e r h a n d , i n t h e o u t e r r e g i o n o f f l o w o v e r a s m o o t h b o u n d a r y a n e s s e n t i a l l y c o n s t a n t v a l u e o f c has b e e n m e a s u r e d . e = f U Ö * ( 6 ) w h e r e f i s a c o e f f i c i e n t e x p e r i m e n t a l l y f o u n d t o be 0 . 0 1 8 , U i s t h e f r e e it S t r e a m s u r f a c e v e l o c i t y , and Ö i s t h e d i s p l a c e m e n t t h i c k n e s s . T h i s c a n be w r i t t e n i n t h e f o r m 0.11 ( 7 )

24

" S e d i m e n t T r a n s p o r t a t i o n M e c h a n i c s : S u s p e n s i o n o f S e d i m e n t , " P r o c . Am. S o c . C i v i l E n g i n . , 8 9 ( H Y 5 ) : 6 2 , 1 9 6 3 . 25G.B. S c h u b a u e r a n d C.M. T c h e n , " T u r b u l e n t F l o w , " P r i n c e t o n U n i v . P r e s s , P r i n c e t o n , N . J . , p . 7 4 , 1 9 6 1 .

(20)

S c h u b a u e r h a s commented t h a t t h e t e n d e n c y i n e q u i l i b r i u m f l o w s f o r c o n s t a n c y o f t h e m i x i n g c o e f f i c i e n t i n f e r s t h a t " t h e r e i s l i t t l e f o u n d a t i o n f o r a m i x i n g l e n g t h t h e o r y i n s u c h r e g i o n s " . ^ ^ I n t h e i n n e r r e g i o n t h e m i x i n g s c a l e i s p r o p o r t i o n a l t o d i s t a n c e f r o m t h e w a l l , w h e r e a s i n t h e o u t e r r e g i o n i t i s p r o p o r t i o n a l t o t h e s i z e o f t h e r e g i o n . I f t h e c o a r s e m i x i n g i n t h e o u t e r r e g i o n d o e s n o t s a t i s f y a F i c k i a n g r a d i e n t t y p e o f d i f f u s i o n p r o c e s s t h e n t h e t r a n s p o r t o f m a t e r i a l b y b u l k m o v e m e n t s , as s u g g e s t e d b y T o w n s e n d , m u s t be c o n s i d e r e d . B y u s i n g t h e P r a n d t l - v o n K a r m i n v e l o c i t y r e l a t i o n s , R o u s e ^ ^ d e r i v e d a n e x p r e s s i o n f o r t h e v a r i a t i o n o f k i n e m a t i c e d d y v i s c o s i t y w i t h d e p t h i n a t w o - d i m e n s i o n a l , s t e a d y , u n i f o r m f l o w i n a n o p e n c h a n n e l : = Ku^y (l-y/y„) ( 8 ) w h e r e y ^ i s t h e mean f l o w d e p t h and y i s t h e d i s t a n c e f r o m t h e b e d . T h i s e x p r e s s i o n d o e s n o t d e p e n d o n t h e b e d r o u g h n e s s c h a r a c t e r i s t i c s s o l o n g as t h e p o s t u l a t e d f l o w c o n d i t i o n s a r e m e t . The v a l i d i t y o f t h i s e x p r e s s i o n t o d e s c r i b e t h e t r a n s f e r o f s e d i m e n t w h o s e f a l l v e l o c i t y i s s m a l l r e l a t i v e O f ) t o t h e t u r b u l e n c e f l u c t u a t i o n s h a s b e e n e s t a b l i s h e d b y V a n o n i . O t h e r e x p r e s s i o n s f o r t h e momentum t r a n s f e r c o e f f i c i e n t h a v e b e e n 3 1 d i s c u s s e d b y R o z o v s k l l . H o w e v e r , t h e p a r t i c u l a r d i s t r i b u t i o n w h i c h i s 2 ^ I b i d . , p . 74 28 H i n z e , o p . g i t . , p.288 H. R o u s e , D i s c u s s i o n o f " S e d i m e n t T r a n s p o r t a t i o n M e c h a n i c s ; S u s p e n s i o n o f S e d i m e n t . " P r o c . Am. S o c . C i v i l E n g i n . , 90 ( H Y l ) : 3 6 1 - 3 6 3 , 1 9 6 4 . 3 ° V.A. V a n o n i , l o c . c i t . 3 1 I . L . R o s o v s k l l , " F l o w o f W a t e r i n Bends o f Open C h a n n e l s , " A k a d . N a u k U k r .

(21)

e n c o u n t e r e d i n n a t u r e d e p e n d s on t h e p a r t i c u l a r s h e a r and v e l o c i t y d i s -t r i b u -t i o n s i n -t h e f l o w s i -t u a -t i o n . T h e s e v a r y i n r i v e r s a c c o r d i n g -t o -t h e n o n - u n i f o r m i t y and u n s t e a d i n e s s o f t h e f l o w . 1.3.2. L a t e r a l and L o n g i t u d i n a l D i f f u s i v i t i e s 32 "^3 L a t e r a l d i f f u s i o n has b e e n s t u d i e d b y O r l o b , E l d e r , and S a y r e and C h a m b e r l a i n . F o r a s m o o t h b o u n d a r y f l u m e E l d e r f o u n d t h a t = 0.58 ( 9 ) w h i c h a g r e e s w i t h S a y r e and C h a m b e r l a i n ' s r e s u l t f o r a r o u g h b e d . O t h e r r e p o r t e d r e s u l t s r a n g e f r o m 0.14 t o 0 . 7 2 . ^ ^ T h e s e c a n be c o m p a r e d w i t h t h e mean v a l u e o f t h e v e r t i c a l d i f f u s i v i t y as d e r i v e d b y Rouse j _ e q u a t i o n ( 8 ) j : 5

-32-^ K u -32-^ y = 0-167 ( 1 0 ) o a n d one s e e s t h a t b y t h o s e a n a l y s e s t h e r a t i o o f l a t e r a l t o v e r t i c a l d i f -f u s i v i t i e s r a n g e -f r o m a b o u t 1:1 t o 4 : 1 , p r o v i d i n g ^3 = 1 and t h a t e q u a t i o n ( 1 0 ) 36 i s u n i v e r s a l l y t r u e . L e a n and C r i c k m o r e f o u n d t h e r a t i o t o be 3:1 f o r r i p p l e - c o v e r e d b e d s . 32 G e r a l d T. O r l o b , " E d d y D i f f u s i o n i n Homogeneous T u r b u l e n c e , " T r a n s . Am. Soc. C i v i l E n g i n . , 1 2 6 : 3 9 7 - 4 1 7 , 1 9 6 1 . •^^J.W. E l d e r , " T h e D i s p e r s i o n o f M a r k e d F l u i d i n T u r b u l e n t S h e a r F l o w , " J o u r . F l u i d Mech.. 5 ( 4 ) : 5 4 4 - 5 6 0 , 1 9 5 9 . 34 W.W. S a y r e , and A.R. C h a m b e r l a i n , " E x p l o r a t o r y L a b o r a t o r y S t u d y o f L a t e r a l T u r b u l e n t D i f f u s i o n a t t h e S u r f a c e o f a n A l l u v i a l C h a n n e l , U.S. G e o l . S u r v . C i r c . 4 8 4 . 18 D.. 1 9 6 4 . 35R.E. G l o v e r , " D i s p e r s i o n o f D i s s o l v e d o r S u s p e n d e d M a t e r i a l s i n F l o w i n g S t r e a m s , " P r o f . P a p e r , 433-B,U.S. G e o l . S u r v . , 1 9 6 4 , p . B 2 6 . 3 6 G.H. L e a n and M.J. C r i c k m o r e , " D i l u t i o n M e t h o d s o f M e a s u r i n g T r a n s p o r t o f

(22)

I n t h e l o n g i t u d i n a l d i r e c t i o n d i f f u s i o n b y s m a l l - s c a l e t u r b u l e n c e i s n e g l i g i b l e c o m p a r e d t o t h e d i s p e r s i o n o f m a t e r i a l b y l a r g e - s c a l e m o v e m e n t s . 37 3fi T h i s h a s b e e n s t u d i e d b y T a y l o r a n d E l d e r who d e r i v e d t h e d i s p e r s i o n c o e f f i c i e n t , K , f o r t w o - d i m e n s i o n a l o p e n - c h a n n e l f l o w a s : = 5.93 u*Rj^ ( 1 1 ) 39 w h e r e i s t h e h y d r a u l i c r a d i u s o f t h e c h a n n e l . I n c l u d e d i n t h i s v a l u e i s t h e r e l a t i v e l y s m a l l c o n t r i b u t i o n f r o m s m a l l - s c a l e t u r b u l e n t d i f f u s i o n , n u m e r i c a l l y e q u a l t o t h e c o e f f i c i e n t i n e q u a t i o n ( 1 0 ) , a n d t h e much l a r g e r e f f e c t o f m i x i n g b y v e l o c i t y g r a d i e n t s . F u r t h e r s t u d i e s h a v e shown t h e d i s p e r s i o n c o e f f i c i e n t t o be h i g h l y s e n s i t i v e t o v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n . T h a c k s t o n a n d Krenkel^''^ h a v e p r o p o s e d t h e e q u a t i o n ^ = 7.25 ^'^ (12) f o r t h e l o n g i t u d i n a l d i s p e r s i o n c o e f f i c i e n t , b e l i e v i n g t h e r e t a r d a n c e c o -e f f i c i -e n t t o b -e I m p o r t a n t i n t h -e p r o c -e s s . A p p a r e n t l y , r e l i a b l e m e a s u r e m e n t s o f t h e l o n g i t u d i n a l d i f f u s i o n c o e f f i -c i e n t h a v e n o t y e t b e e n made. H o w e v e r , m e a s u r e m e n t s b y L a u f e r ^ ^ a n d V a n D r l e s t ^ - ^ 3 ^ . 1 . T a y l o r , " T h e D i s p e r s i o n o f M a t t e r i n T u r b u l e n t F l o w T h r o u g h a P i p e , " P r o c . Roy. S o c . L o n d o n , A, 223-:446-468, 1 9 5 4 . ^^J.W. E l d e r , l o c . c i t . 39 V a l u e s o f l o n g i t u d i n a l d i s p e r s i o n c o e f f i c i e n t as l a r g e as 8 0 0 a r e r e p o r t e d b y R.E. G l o v e r , l o c . c i t . ^^Hugo B. F i s c h e r , d i s c u s s i o n o f " N u m e r i c a n S o l u t i o n t o a D i s p e r s i o n E q u a t i o n , " b y N. Y o t s u k a r a a n d M . B . F l e r l n g , P r o c . A j n e r . S o c . C i v i l E n g i n , 9 1 ( I Ï Y 2 ) :402-408 ,196

41

E.L. T h a c k s t o n a n d P . A . K r e n k e l , " L o n g i t u d i n a l M i x i n g i n N a t u r a l S t r e a m s , " P r o c . Am.Soc. C i v i l E n g i n . , 9 3 ( S A 5 ) : 8 4 , 1 9 6 7 .

42

J . L a u f e r , " R e c e n t M e a s u r e m e n t s i n a T w o - D l m e n s l o n a l T u r b u l e n t C h a n n e l , " J . A e r g . S c i e n c e . 1 7 : 2 7 7 - 2 8 7 , 1 9 5 0 .

(23)

9 O s h o w , t o t h e f i r s t a p p r o x i m a t i o n , t h a t ( v ' ) i s p r o p o r t i o n a l t o ( u ' ) , t h e p r o p o r t i o n a l i t y f a c t o r b e i n g a b o u t 1/2. I f t h e s e c o n d i t i o n s a r e assumed t o be r e a s o n a b l y c l o s e t o t h e u s u a l s h e a r t u r b u l e n c e f l o w c h a r a c t e r -i s t -i c s t h e n \ °= ( 1 3 ) The r e p o r t e d e x p e r i m e n t a l r e s u l t s i n d i c a t e t h a t a l t h o u g h i n g e n e r a l t h e c o e f f i c i e n t s s h o u l d be e x p e c t e d t o v a r y w i t h c o o r d i n a t e d i r e c t i o n , f o r o p e n c h a n n e l f l o w t h e e r r o r may n o t b e g r e a t i n a s s u m i n g a p r o p o r t i o n a l i t y b e t w e e n t h e mean v a l u e s o f t h e t h r e e c o e f f i c i e n t s . I n d e e d , R o z o v s k i i s t a t e s t h a t t h e " s c a l a r c h a r a c t e r o f t h e t u r b u l e n t v i s c o s i t y c o e f f i c i e n t i s h i g h l y p r o b a b l e . O t h e r i n v e s t i g a t o r s ^ ^ ' ^ 6 ' ^ ^ h a v e u s e d a d i f f e r e n t a p p r o a c h t o d e t e r m i n e t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t b a s e d o n K o l m o r g o f f ' s s i m i l a r i t y h y p o t h e s i s . ^ ^ A c c o r d i n g t o t h i s , t h e mass t r a n s p o r t c o e f f i c i e n t f o r v e r y h i g h R e y n o l d ' s n u m b e r s i s p r o p o r t i o n a l t o t h e 1/3 p o w e r o f t h e e n e r g y d i s s i p a t i o n r a t e p e r u n i t m a s s , G, and t h e 4/3 p o w e r o f some m e a s u r e o f t h e mean e d d y s i z e , L :

1/3 4/3 D = c^G L ^ ^ R o z o v s k i i , o p . c i t . , p . 3 7 . "^^Harleman a n d I p p e n , o p . c i t . , p . 3 6 8 . ^ ^ o r l o b , l o c . c i t . ^ ' ^ R i c h a r d D. F a r m e r , " I n v e s t i g a t i o n o f t h e R e l a t i o n s h i p B e t w e e n F l u i d T u r -b u l e n c e C h a r a c t e r i s t i c s a n d t h e D i f f u s i o n o f S o l i d P a r t i c l e s , " Ph.D. D i s s . , Ga. I n s t , o f T e c h . , 1 9 6 2 . ^ ^ K o l m o r g o f f ' s h y p o t h e s i s p r o v i d e d t h e o r e t i c a l b e c k g r o u n d f o r L . F . R i c h a r d s o n ' o b s e r v a t i o n s o f a t m o s p h e r i c d i f f u s i o n . See L . F , R i c h a r d s o n , "The S u p p l y

(24)

The a p p l i c a t i o n o f t h i s a p p r o a c h t o t h e d i f f u s i o n o f d i s c r e t e s o l i d p a r t i c l e s i s n o t r o u t i n e . H o w e v e r , t h e w i d e r a n g e o f v a l u e s r e p o r t e d f o r t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s i m p l i e s t h a t t h e r e l a t i o n s = C, i = x , y , z ( 1 5 ) w h e r e i s t h e mean v a l u e o f t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t w i t h r e s p e c t t o t h e c o o r d i n a t e d i r e c t i o n , i , a n d C i s a c o n s t a n t , a r e t o o s i m p l e t o a d e -q u a t e l y d e s c r i b e t h e d i f f u s i o n p r o c e s s . F o r e x a m p l e , i t i s r e a s o n a b l e t h a t a s c a l e f a c t o r d e p e n d i n g , i n t h e f i r s t a p p r o x i m a t i o n , o n t h e h y d r a u l i c r a d i u s o f t h e c h a n n e l w o u l d b e i n v o l v e d i n t h e d i f f u s i v i t y . T h i s s t e m s f r o m t h e f a c t t h a t a w i d e r s p e c t r u m o f e d d i e s a r e I n v o l v e d i n t h e m i x i n g p r o c e s s i n l a r g e r r i v e r s t h a n i n s m a l l e r r i v e r s , e v e n f o r t h e same s h e a r v e l o c i t y . T h i s s c a l e e f f e c t i s n o t r e f l e c t e d i n t h e mean d e p t h t e r m . C o m p a r i n g A n d e r s o n ' s measurements'^^ w i t h t h o s e r e p o r t e d b y E i n s t e i n a n d C h i e n ^ ^ i t i s s e e n t h a t t h e m i x i n g c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e E n o r e e R i v e r , w i t h a mean d e p t h o f a b o u t 4 f e e t , d i f f e r f r o m t h o s e o f t h e M i s s o u r i a n d A r c h a f a l a y a R i v e r s , w i t h mean d e p t h m o r e t h a n 10 t i m e s as g r e a t . The n e e d t o c o n s i d e r l a r g e r a n d l a r g e r e d d i e s i n m i x i n g p r o c e s s e s h a s b e e n r e a l i z e d f o r v e r y l a r g e b o d i e s o f w a t e r , p a r t i c u l a r l y w h e r e o t h e r f a c t o r s i n f l u e n c e m i x i n g t h a n j u s t t h e t u r b u l e n c e g e n e r a t e d b y s h e a r a t a b o u n d a r y .

49

A n d e r s o n , l o c . c i t . ^ ^ E i n s t e i n a n d C h i e n , l o c . c i t .

(25)

1.4 A n a l y s i s o f t h e S u s p e n d e d - S e d i m e n t C o n c e n t r a t i o n I n a W i d e S t r e a m F o r s t e a d y , u n i f o r m , t u r b u l e n t f l o w c o n d i t i o n s , O ' B r i e n ^ l g a v e t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n f o r t h e v e r t i c a l d i s t r i b u t i o n o f s u s p e n d e d s e d i m e n t as

" V

= '^Y

1^

( 1 6 ) 9 y u s i n g t h e p r e v i o u s n o t a t i o n . T h i s i s a p a r t i c u l a r c a s e o f t h e c o n v e c t i v e -d i f f u s i o n e q u a t i o n , e q u a t i o n ( 1 ) , i n w h i c h t h e c o n c e n t r a t i o n -d i s t r i b u t i o n d o e s n o t v a r y w i t h l o n g i t u d i n a l d i s t a n c e i n t h e s t r e a m . E q u a t i o n ( 1 6 ) c a n be i n t e g r a t e d ^ ^ t o - y = b (•w /D ) d y ( 1 7 ) y = o f y K a l l n s k e a n d P l e n ^ ^ m e a s u r e d v a l u e s b o t h o f t h e s e d i m e n t mass d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t a n d o f t h e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n i n a f l u m e a n d c o n f i r m e d t h e v a l i d i t y o f e q u a t i o n ( 1 7 ) , I n 1936 w o r k i n g f r o m t h e K a r m a n - P r a n d t l r e s i s t a n c e r e l a t i o n s R o u s e ^ ^ d e v e l o p e d a n e q u a t i o n f o r t h e r e l a t i v e c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n o f s u s p e n d e d s e d i m e n t i n a t w o - d i m e n s i o n a l f l o w : J

J loZ

. a \ ^ ( 1 8 ) s \ y y - a / a o M.P. O ' B r i e n , " R e v i e w o f t h e T h e o r y o f T u r b u l e n t F l o w and I t s R e l a t i o n t o S e d i m e n t - T r a n s p o r t a t i o n , " T r a n s . Amer. Geo. U n i o n , p . 4 9 0 , 1 9 3 3 .

2 - —

T . v o n K a r m a n , "Some A s p e c t s o f t h e T u r b u l e n t P r o b l e m . " P r o c . , F o u r t h I n t e r n . C o n g r e s s o f A p p l i e d M e c h a n i c s , C a m b r i d g e , E n g l a n d , 1 9 3 4 . o •'A.A. K a l l n s k e , a n d C.L. P l e n , " E x p e r i m e n t s o n E d d y D i f f u s i o n a n d S u s p e n d e d M a t e r i a l T r a n s p o r t a t i o n i n Open C h a n n e l s , " T r a n s . A m e r . Geo. U n i o n , p p 5 3 0 - 5 3 5 1 9 4 3 .

(26)

w h e r e s i s t h e s e d i m e n t c o n c e n t r a t i o n a t a l e v e l y a b o v e t h e b o t t o m , s ^ i s t h e c o n c e n t r a t i o n a t some l e v e l a a b o v e t h e b o t t o m , y i s t h e d e p t h o f f l o w , o and H e r e w^ i s t h e t e r m i n a l f a l l v e l o c i t y o f t h e s e d i m e n t , K i s t h e v o n K a r m a n u n i v e r s a l c o n s t a n t , u i s t h e s h e a r v e l o c i t y , a n d ^ i s a c o e f f i c i e n t r e l a t i n g t h e s e d i m e n t mass t r a n s f e r c o e f f i c i e n t t o t h e t u r b u l e n t momentum t r a n s f e r c o e f f i c i e n t . The mass d i f f u s i v i t y d o e s n o t a p p e a r i n e q u a t i o n ( 1 8 ) b e c a u s e t h e t u r b u l e n t d i f f u s i o n t h e o r y b a s e d o n t h e K a r m a n - P r a n d t l r e l a t i o n s y i e l d e d a p a r t i c u l a r f u n c t i o n f o r t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t . T h i s f u n c t i o n v a r i e s p a r a b o l l c a l l y w i t h d e p t h t D = ^ K u ^ y ( l - y / y ) (20) y ° S i n c e t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t i s i d e n t i c a l l y z e r o a t t h e b e d , n o m e c h a n i s m i s g i v e n b y w h i c h s e d i m e n t c a n be e n t r a i n e d . P o i n t s a m p l e s o f c o n c e n t r a t i o n m u s t be t a k e n t o d e t e r m i n e t h e v a l u e s f o r s a n d Z b e f o r e t h e a c o n c e n t r a t i o n a t o t h e r d e p t h s c a n b e c a l c u l a t e d . 1.5 I m p r o v e m e n t s t o t h e S u s p e n d e d L o a d T h e o r y The I m p o r t a n c e o f R o u s e ' s a n a l y s i s was i t s v e r i f i c a t i o n o f t h e a p p l i c a t i o n o f t h e t u r b u l e n t d i f f u s i o n t h e o r y t o f l o w s w i t h s e d i m e n t . Once s e d i m e n t i s e n t r a i n e d , i t w i l l b e d i s t r i b u t e d v e r t i c a l l y b y t h e d l f f u s l o n p r o c e s s . T h e o r e t i c a l l y , i t s r e l a t i v e c o n c e n t r a t i o n s h o u l d be d e s c r i b e d b y

(27)

s o l v i n g t h e c o n v e c t i v e - d i f f u s i o n e q u a t i o n f o r t h e p r o p e r b o u n d a r y c o n d i t i o n s . A c t u a l l y , as A n d e r s o n ^ ^ has p o i n t e d o u t , t h e f o r m o f t h e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i s c o r r e c t b u t m e a s u r e d v a l u e s o f Z a r e e q u a l t o c a l c u l a t e d v a l u e s o f Z o n l y f o r s m a l l Z - v a l u e s . M e a s u r e d v a l u e s a r e s m a l l e r t h a n c a l c u l a t e d v a l u e s a t l a r g e Z - v a l u e s . I n an a t t e m p t t o b e t t e r d e s c r i b e t h e d i f f u s i o n o f p a r t i c l e s whose f a l l v e l o c i t y i s l a r g e w i t h r e s p e c t t o a c h a r a c t e r i s t i c t u r b u l e n c e v e l o c i t y S i n e l ' s h c h i k o v has assumed a l i n e a r s u p e r p o s i t i o n p r i n c i p l e t o h o l d f o r t h e mass d i f f u s i v i t y : ^ ^ 2 D = € + — ^ ( 2 1 ) E i n s t e i n and N i n g C h i e n ^ ^ s t u d i e d s i x p o s s i b l e m o d i f i c a t i o n s o f t h e d i f f u s i o n t h e o r y . The r e s u l t s a l l showed i m p r o v e m e n t s o v e r e x i s t i n g t h e o r y . Some o f t h e i r m o d i f i c a t i o n s i n v o l v e d a s s u m i n g t h a t t h e t u r b u l e n c e c h a r a c t -e r i s t i c s w -e r -e a s s y m m -e t r i c and m u l t i - v a l u -e d a t a p o i n t i n t h -e f l o w and a l s o t h a t t h e e x c h a n g e f l o w o c c u p i e d c e r t a i n p r o p o r t i o n s o f t h e r e f e r e n c e p l a n e a r e a . A p p a r e n t l y , f u r t h e r e x p e r i m e n t a l w o r k h a s n o t b e e n d o n e t o d e t e r m i n e t h e v a l u e s o f t h e v a r i o u s c o n s t a n t s a p p e a r i n g i n t h e d e r i v e d f o r m u l a e . B e c a u s e t h e p a r t i c l e f a l l v e l o c i t y , w , a p p e a r s as t h e d e n o m i n a t o r i n f t h e p a r a m e t e r Z, a n y e r r o r i n d e f i n i n g t h e f a l l v e l o c i t y w i l l a l t e r t h e a n t i c i p a t e d v a l u e o f Z and a l s o t h e p r o j e c t e d c o n c e n t r a t i o n d i s t r i b u t i o n . I n t h e c o n v e c t i v e - d i f f u s i o n e q u a t i o n L e q u a t i o n ( 1 ) J , t h e f a l l v e l o c i t y has ^ ^ A n d e r s o n , l o c . c i t . 5 6 v . S . S i n e l ' s h c h i k o v , " D i f f u s i o n C o e f f i c i e n t f o r S u s p e n d e d P a r t i c l e s i n T u r b u l e n t F l o w " , S o v i e t P h y s i c s - T e c h . P h y s i c s , 1 1 j l 6 1 6 - 1 6 2 0 , 1967. ^ ' ' E i n s t e i n and C h i e n , l o c . c i t .

(28)

b e e n assumed e q u a l t o t h e t e r m i n a l f a l l v e l o c i t y o f a s i n g l e p a r t i c l e d r o p p i n g f r e e l y f r o m r e s t i n a s t i l l f l u i d o r s e m i - i n f i n i t e e x t e n t . T h i s 58 s i m p l i f y i n g a s s u m p t i o n may be t o o r e s t r i c t i v e . B r u s h has c o m p a r e d t h e d i f f u s i o n o f momentum a n d t h e d i f f u s i o n o f mass f o r a s e d i m e n t - l a d e n f l o w d i s c h a r g i n g f r o m a n a x i - s y m m e t r i c j e t i n t o a l a r g e t a n k o f w a t e r . S e d i m e n t c o n c e n t r a t i o n s w e r e s e l e c t e d w h i c h d i d n o t a f f e c t t h e t r a n s f e r o f momentum ( l e s s t h a n .5 p e r c e n t b y w e i g h t ) . The d i f f u s i o n o f s e d i m e n t mass p r o g r e s s -i v e l y l a g g e d t h e d -i f f u s -i o n o f momentum as p a r t -i c l e s -i z e s -i n c r e a s e d b e y o n d t h e S t o k e s r a n g e . T h u s , t h e c o e f f i c i e n t d e c r e a s e d w i t h i n c r e a s i n g p a r t i c l e s i z e . S i n c e t h i s r e s u l t c o n f l i c t s w i t h f i e l d e x p e r i m e n t s , B r u s h c o n s i d e r e d t h a t t h e i n e r t i a l e f f e c t s o f a n a c c e l e r a t i n g s e d i m e n t p a r t i c l e may c o n f o u n d t h e s i m p l i f i e d a n a l y s i s o f t h e d i f f u s i o n c o e f f i c i e n t s . T h u s , a c o r r e c t i o n may be n e e d e d i n t h e f a l l v e l o c i t y t e r m 59 I n a l a t e r p a p e r B r u s h e t a l . t r e a t e d t h e u n s t e a d y m o t i o n o f a s p h e r i c a l p a r t i c l e f a l l i n g f r o m r e s t i n a v i s c o u s f l u i d . A l t h o u g h t h e p a r t i c l e u l t i m a t e l y f a l l s a t a c o n s t a n t r a t e , c a l l e d t h e t e r m i n a l f a l l v e l o c i t y , t h e r e w i l l be a p e r i o d o f a c c e l e r a t i o n b e f o r e t h e p a r t i c l e a t t a i n s i t s t e r m i n a l v e l o c i t y , a n d i t s a c t u a l p a r t i c l e v e l o c i t y , v , w i l l be l e s s s t h a n t h e t e r m i n a l v a l u e . A c c o r d i n g t o B r u s h , t h e e q u a t i o n o f m o t i o n o f a s p h e r i c a l p a r t i c l e c o u l d be w r i t t e n a s : I ' O V t - r L.M. B r u s h , J r . , " E x p l o r a t o r y S t u d y o f S e d i m e n t D i f f u s i o n , " J . Geo. Res. 6 7 : 1 4 2 7-1435, 1962 L.M. B r u s h , J r . e t a l . , " A c c e l e r a t e d M o t i o n o f a S p h e r e i n a V i s c o u s F l u i d , " P r o c . ASCE 90 ( H Y l ) : 1 4 9 - 1 6 0 , 1 9 6 4 .

(29)

H e r e = mass o f p a r t i c l e m = mass o f f l u i d k = a d d e d mass c o e f f i c i e n t V = p a r t i c l e v e l o c i t y s V = f l u i d v e l o c i t y g = a c c e l e r a t i o n due t o g r a v i t y t = t i m e = d r a g c o e f f i c i e n t d = p a r t i c l e d i a m e t e r U = k i n e m a t i c v i s c o s i t y T = t i m e i n t e r v a l < _ t The l a s t t e r m i n d i c a t e s t h a t t h e r e s i s t a n c e t o m o t i o n a t t i m e t i s p a r t l y a f u n c t i o n o f t h e r e s i s t a n c e a t p r e v i o u s t i m e s . I n t h e f l u i d v e l o c i t y i s i d e n t i c a l l y z e r o t h e e q u a t i o n , w h e n s o l v e d , w i l l y i e l d t h e r a t e a t w h i c h a p a r t i c l e moves d o w n w a r d u n d e r t h e i n f l u e n c e o f a g r a v i t y f i e l d and t h e p a r t i c l e v e l o c i t y i s t h e n t h e f a l l v e l o c i t y . H o w e v e r , i n a s h e a r t u r b u l e n c e f l o w f i e l d t h e f l u i d v e l o c i t y d o e s e x i s t and c a n b e c o n s i d e r e d t h e sum o f a n i n s t a n t a n e o u s f l u c t u a t i n g c o m p o n e n t a n d a t i m e - a v e r a g e d v a l u e . The t i m e - a v e r a g e d v e l o c i t y w i l l h a v e t h e e f f e c t o n l y o f c h a n g i n g t h e f r a m e o f r e f e r e n c e i n w h i c h t h e f a l l v e l o c i t y i s m e a s u r e d . H o w e v e r , t h e f l u c t u a t i n g c o m p o n e n t i s t i m e - d e p e n d e n t a n d w i l l a l t e r t h e n a t u r e o f t h e p a r t i c l e v e l o c i t y . The m a g n i t u d e a n d f r e q u e n c y o f t h e v e l o c i t y f l u c t u a t i o n s d e p e n d o n t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e t u r b u l e n c e f i e l d . I t i s o n l y w h e n v ^ » v t h a t t h e t u r b u l e n c e f i e l d c a n b e n e g l e c t e d . I t seems p o s s i b l e t h a t u n d e r c e r t a i n c o n d i t i o n s a s u s p e n d e d p a r t i c l e m i g h t n o t a t t a i n i t s t e r m i n a l f a l l v e l o c i t y . T h i s w o u l d be more c h a r a c t e r i s t i c

(30)

v a l u e r e l a t i v e l y q u i c k l y . T h u s , t h e p a r a m e t e r Z, i n w h i c h t h e f a l l v e l o c i t y i s t h e n u m e r a t o r , s h o u l d h a v e v a l u e s s m a l l e r t h a n p r e d i c t e d when l a r g e r p a r t i c l e s make up t h e s u s p e n s i o n . T h i s i s t h e t r e n d o b s e r v e d f r o m a n a l y s i s o f f i e l d d a t a . I n c o r r e c t i n g t h e c o n v e c t i v e - d i f f u s i o n e q u a t i o n , a more r e a l i s t i c v a l u e o f p a r t i c l e v e l o c i t y c o u l d be i n t r o d u c e d : V = f n (w , k, S H t, T ) s r q K w h e r e w^ = t e r m i n a l f a l l v e l o c i t y k = added mass c o e f f i c i e n t = s p e c i f i c g r a v i t y o f t h e m i n e r a l N = R e y n o l d s number = v d / u R s s d = s e d i m e n t a t i o n d i a m e t e r s U = k i n e m a t i c v i s c o s i t y t = time T = some c h a r a c t e r i s t i c s o f t h e t u r b u l e n c e f i e l d The I m p o r t a n t t h r e a d u n i f y i n g t h e s e I m p r o v e m e n t s t o t h e s u s p e n d e d l o a d t h e o r y i s t h e r e l a t i o n b e t w e e n t h e g r a v i t a t i o n a l f o r c e f i e l d , t h e p a r t i c l e c h a r a c t e r i s t i c s , and t h e n a t u r e o f t h e t u r b u l e n c e f i e l d . C o m p l e t e u n d e r s t a n d i n g o f t h e d i f f u s i o n p r o c e s s r e q u i r e d f u r t h e r r e s e a r c h i n t o t h e s e i n t e r -r e l a t i o n s , t 1, 6 , E n t r a i n m e n t By A D i f f u s i o n P r o c e s s The d e t e r m i n a t i o n and p r e d i c t i o n o f t h e t r a n s p o r t e d s e d i m e n t l o a d i n a s t r e a m d e p e n d s on t h e amount o f m a t e r i a l e n t r a i n e d a t t h e b e d , B a g n o l d

(31)

h a s s t a t e d t h a t t h e d i f f i c u l t y i n p r e d i c t i n g t r a n s p o r t r a t e s " r e m a i n s

i n s u p e r a b l e s o l o n g a s t h e b e l i e f p r e v a i l s t h a t b e d l o a d , a l t h o u g h u n s u s

-p e n d e d , i s y e t somehow a c t i v a t e d and t r a n s -p o r t e d by t h e a g e n c y o f t u r b u l e n c e . '

On t h e o t h e r hand, E i n s t e i n and E l - S a m n i ^ ^ and o t h e r s , have

c o n s i d e r e d t u r b u l e n c e a s a n a c t i v a t i n g m e c h a n i s m i n t h e i r s t u d i e s o f s e d i m e n t movement. T h e r e s u l t s i n d i c a t e t h a t t h e r e c a n be l i t t l e d o u b t o f t h e i m p o r t a n c e o f t u r b u l e n c e i n t h e e n t r a i n m e n t p r o c e s s . T h e r e h a s b e e n some c o n s i d e r a t i o n a b o u t t h e v a l i d i t y o f t h e d i f f u s i o n m e c h a n i s m t o d e s c r i b e s e d i m e n t e n t r a i n m e n t , and t h e r e i s a p p a r e n t l y no v e r i f i c a t i o n f o r s h e a r t u r b u l e n t f l o w s . B o t h R o u s e ^ ^ and D o b b i n s ^ ^ c o n -f i r m e d t h a t a d i -f -f u s i v e m e c h a n i s m e n t r a i n e d s e d i m e n t i n t h e i r e x p e r i m e n t s , i n w h i c h m e c h a n i c a l s h a k e r s c r e a t e d u n i f o r m t u r b u l e n c e i n a n o t h e r w i s e s t a t i o n a r y f l o w f i e l d . However, i n f r e e - s u r f a c e f l u m e f l o w s t h e bed i s 6^ R.A. B a g n o l d , " A n A p p r o a c h t o t h e S e d i m e n t T r a n s p o r t P r o b l e m f r o m G e n e r a l P h y s i c s , " U . S . G . S . , P r o f . P a p e r 4 2 2 - 1 , p . 1 3 7 , 1 9 6 6 .

^^H.A. E i n s t e i n and E l - S a m n i , "Hydrodynamic F o r c e s on a Rough W a l l , " R e v i e w s o f M o d e m P h y s i c s . New Y o r k , 21 ( 3 ) :520-524, 1 9 4 9 .

6^HoA. E i n s t e i n , " B e d - L o a d F u n c t i o n f o r S e d i m e n t T r a n s p o r t a t i o n i n Open C h a n n e l F l o w s , " U.S. D e p t . o f A g r i c . T e c h . B u l l . 1 0 2 6 , 1 9 5 0 . 63

G. K a l k a n i s , " T r a n s p o r t a t i o n o f Bed M a t e r i a l Due t o Wave A c t i o n , " T e c h .

Memo.No. 2, U.S. Army C o a s t a l E n g i n . R e s . C e n t e r , W a s h i n g t o n , D.C., 1 9 6 4 .

^ ^ E . P a r t h e n a i d e s , " E r o s i o n and D e p o s i t i o n o f C o h e s i v e S o i l s , " P r o c . Am. S o c . C i v i l E n g i n . , 9 1 , ( H Y l ) : 1 0 5 - 1 3 9 , 1 9 6 5 .

'A.A. K a d i b , " M e c h a n i s m o f Sand Movei C i v i l E n g i n . , 9 2 (WW2):27-44, 1 9 6 6 .

'H. R o u s e , " E x p e r i m e n t s on t h e Mechai

F i f t h I n t e r n . Cong, f o r A p p l i e d Mech, 1 9 3 8 .

^W.E. D o b b i n s , " E f f e c t o f T u r b u l e i

6^A.A. K a d i b , " M e c h a n i s m o f Sand Movement on C o a s t a l Dunes,"Proc.Am. S o c .

(

^^H. R o u s e , " E x p e r i m e n t s on t h e M e c h a n i c s o f S e d i m e n t S u s p e n s i o n , " P r o c .

I

(32)

s u b j e c t e d t o a s h e a r f o r c e o p p o s i n g i t s g e n e r a l m o t i o n , and s o t h e d i f f u s i o n

p r o c e s s may be c o n f o u n d e d b y o t h e r e f f e c t s , E i n s t e i n ^ S c o n s i d e r e d t h e

t r a n s p o r t a t i o n o f s u s p e n d e d l o a d and bed l o a d t o be f u n d a m e n t a l l y d i f f e r e n t .

C l o s e t o t h e bed t h e eddy s c a l e i s t o o s m a l l t o l i f t t h e p a r t i c l e s away

f r o m t h e b e d , and t h e y move i n a v e r y t h i n bed l a y e r by s l i d i n g and r o l l i n g .

A c o n t i n u o u s i n t e r c h a n g e o f p a r t i c l e s e x i s t s b e t w e e n t h e bed and t h e bed

l a y e r and b e t w e e n t h e bed l a y e r and t h e s u s p e n d e d l o a d . T h e s e i n t e r c h a n g e s

o c c u r a t t h e same r a t e when e q u i l i b r i u m i s a c h i e v e d .

I f a d i f f u s i v e m e c h a n i s m i s assumed t o e n t r a i n s e d i m e n t s , i t i s

n e c e s s a r y t h a t t u r b u l e n t v e l o c i t y and p r e s s u r e f l u c t u a t i o n s r e a c h i n t o t h e

b e d . T h i s i s c o n c e i v a b l e f o r a m o b i l e , r o u g h b e d , where t h e r e i s open p o r e

s p a c e and where a d i s i n t e g r a t i n g l a m i n a r s u b l a y e r may e x i s t . A c c o r d i n g t o

V a n o n i ^ ^ , v o n Karman h a s p o s t u l a t e d t h a t t h e s e d i m e n t s i z e and t h e s h e a r i n g s t r e s s a t t h e bed I n f l u e n c e e n t r a i n m e n t . Rouse^O s u g g e s t e d t h a t i n t h e v e r y t h i n l a y e r f r o m t h e bed up t o t h e h e i g h t s o f t h e r o u g h n e s s e l e m e n t s , k , t h e d i f f u s i v i t y be t a k e n a s c o n s t a n t and e q u a l t o s' = Ku^kg ( 2 4 ) By a somewhat s i m i l a r p r o c e d u r e , B r o o k s ^ ^ h a s p r e d i c t e d t h e t o t a l s e d i m e n t l o a d f o r s e l e c t e d f l u m e e x p e r i m e n t s . T h e r e f e r e n c e l e v e l i n R o u s e ' s d i s t r i b u t i o n e q u a t i o n ^ e q u a t i o n ( 1 8 ) ^ was t a k e n a t t h e l e v e l a t w h i c h f o r t h e c a l c u l a t e d Z t h e c o n c e n t r a t i o n w o u l d be e q u a l t o t h a t o f t h e b e d . T h u s , a p a r a b o l i c f u n c t i o n i s assumed f o r t h e d i f f u s i v i t y , w i t h t h e d i f f u s i o n c o -e f f i c i -e n t -e f f -e c t i n g -e n t r a i n m -e n t -e x i s t i n g a t t h -e d -e f i n -e d r -e f -e r -e n c -e l -e v -e l . 68h.A. E i n s t e i n , l o c . c i t . 69v,A. V a n o n i , o p . c i t . , p . 71 ^°Ibld.

^•'"NoH. B r o o k s , " C a l c u l a t i o n o f S u s p e n d e d Load D i s c h a r g e f r o m V e l o c i t y and Con-c e n t r a t i o n P a r a m e t e r s , " P r o Con-c . F e d . I n t e r - A g e n Con-c y S e d i m e n t . C o n f , , O x f o r d , 1 9 6 3 ,

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