CAŁKI KRZYWOLINIOWE

CAŁKI KRZYWOLINIOWE

JJ, IMiF UTP

21

krzywe (nie)zorientowane

DEFINICJA.

Łuk gładki, to krzywa o równaniu parametrycznym:

x = x (t), y = y (t), t1¬ t ¬ t₂ taka, że różnym wartościom parametru t odpowiadają różne punkty na krzywej, że funkcje x⁰(t), y⁰(t) są ciągłe oraz [x⁰(t)]²+ y⁰(t)]² 6= 0 dla dowolnego t ∈ [t₁, t₂]. Krzywa regularna to suma skończonej liczby łuków gładkich.

DEFINICJA. Krzywej l można nadać orientację : albo za początek przyjmujemy punkt (x (t₁), y (t₂)), a za koniec (x (t₂), y (t₂)), albo za początek przyjmujemy punkt (x (t₂), y (t₂)), a za koniec (x (t₁), y (t₁)).

Całka krzywoliniowa niezorientowana

DEFINICJA.

Załóżmy, że funkcja f (x , y ) jest ograniczona w pewnym zbiorze zawierającym krzywą regularną l . Krzywą l dzielimy na n krzywych l1, . . . , ln. Przez ∆_i oznaczamy długość krzywej l_i, a największą z liczb

∆₁, . . . , ∆_n nazywamy normą podziału. Na każdym łuku l_i wybieramy dowolnie punkt (xi, yi). Tworzymy sumę całkową

σn= f (x1, y1)∆1+ f (x2, y2)∆2+ · · · + f (xn, yn)∆n. Tak postępujemy dla n = 2, 3, . . . otrzymując pewien ciąg podziałów krzywej l . Ciąg ten nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeżeli norma podziału dąży do zera przy n → ∞.

Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziałów krzywej l istnieje

skończona granica limn→∞σn (taka sama bez względu na wybór łuków l_i oraz punktów (x_i, y_i)), to granicę tę nazywamy całką krzywoliniową niezorientowaną (nieskierowaną) funkcji f (x , y ) po krzywej l i oznaczamy R

lf (x , y )dl .

WŁASNOŚCI (Zakładamy, że podane tu całki istnieją):

R

l

f (x , y ) ± g (x , y )^dl =^R_lf (x , y )dl ±^R_lg (x , y )dl ; R

lλf (x , y )dl = λ^R_lf (x , y )dl ; jeśli l jest rozcięta na l1 i l2, to R

lf (x , y )dl =^R_l

1f (x , y )dl +^R_l

2f (x , y )dl .

Jak liczymy całki krzywoliniowe niezorientowane?

TWIERDZENIE.

Jeżeli funkcja f (x , y ) jest ciągła w obszarze zawierającym łuk gładki l , to Z

l

f (x , y )dl = Z t2

t1

f^x (t), y (t)^ q

[x⁰(t)]²+ [y⁰(t)]² dt.

WNIOSEK. Jeżeli funkcja f (x , y ) jest ciągła w obszarze zawierającym łuk gładki l opisany równaniem y = h(x ) dla a ¬ x ¬ b, to

Z

l

f (x , y )dl = Z b

a

f^x , h(x )^ q

[1 + [h⁰(x )]² dx .

UWAGA. Oczywiście można także stosować wzór z twierdzenia, po prostu krzywą

l : y = h(x ), a ¬ x ¬ b można sparametryzować na przykład tak l : x = t, y = h(t), a ¬ t ¬ b.

PRZYKŁAD.

Znaleźć położenie środka masy jednorodnego półokręgu l : x²+ y² = 1, y ­ 0.

Skoro krzywa jest jednorodna, możemy przyjąć, że gęstość %(x , y ) = k.

PRZYKŁAD.

Znaleźć położenie środka masy jednorodnego półokręgu l : x²+ y² = 1, y ­ 0.

Skoro krzywa jest jednorodna, możemy przyjąć, że gęstość %(x , y ) = k.

PRZYKŁAD.

Podstawiamy do wzoru na współrzędne (xs, ys) środka masy xs = 1

m Z

l

x %(x , y ) dl , ys = 1 m

Z

l

y %(x , y ) dl , m = Z

l

%(x , y ) dl .

Krzywa l da się opisać następująco: x = cos t, y = sin t, 0 ¬ t ¬ π.

x y

PRZYKŁAD.

Podstawiamy do wzoru na współrzędne (xs, ys) środka masy xs = 1

m Z

l

x %(x , y ) dl , ys = 1 m

Z

l

y %(x , y ) dl , m = Z

l

%(x , y ) dl . Krzywa l da się opisać następująco: x = cos t, y = sin t, 0 ¬ t ¬ π.

x y

PRZYKŁAD.

Podstawiamy do wzoru na współrzędne (xs, ys) środka masy xs = 1

m Z

l

x %(x , y ) dl , ys = 1 m

Z

l

y %(x , y ) dl , m = Z

l

%(x , y ) dl . Krzywa l da się opisać następująco: x = cos t, y = sin t, 0 ¬ t ¬ π.

x y

l : x = cos t, y = sin t, 0 ¬ t ¬ π

Masa łuku l wynosi

m =^R_lkdl =^R₀^πk^q(− sin t)²+ (cos t)²dt =^R₀^πkdt = πk.

Zatem ys = _kπ^{1 R}_lky dl = _π^1R₀^πsin tdt = ¹_π^− cos t^π₀ = ²_π.

Oczywiście, ze względu na symetrię x_s = 0. Można także obliczyć:

xs = _kπ^{1 R}_lkx dl = _kπ^{1 R}₀^πk cos t^q(− sin t)²+ (cos t)²dt

= _π^{1 R}₀^πcos tdt = _π^1sin t]^π₀ = 0.

Środek masy to punkt (0,_π²).

Całka krzywoliniowa zorientowana

DEFINICJA.

Załóżmy, że na krzywej regularnej l są określone funkcje P(x , y ), Q(x , y ).

Możemy przyjmować, że jest określone pole wektorowe: każdemu punktowi (x , y ) jest przyporządkowany wektor F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )].^→

Krzywej l nadajemy orientację. Niech ^→S (x , y ) oznacza wektor o długości 1, zaczepiony w punkcie (x , y ), styczny do krzywej l i o zwrocie zgodnym z orientacją krzywej l .

Całka krzywoliniowa zorientowana pary funkcji [P(x , y ), Q(x , y )] po krzywej l to

Z

l

→

F (x , y ) ◦

→

S (x , y )dl . Całkę tę oznaczmy ^R_lP(x , y )dx + Q(x , y )dy .

Jak liczymy całki krzywoliniowe zorientowane?

WŁASNOŚĆ. Jeżeli krzywa −l różni się od l tylko orientacją, to Z

−l

P(x , y )dx + Q(x , y )dy = − Z

l

P(x , y )dx + Q(x , y )dy .

TWIERDZENIE. Załóżmy, że funkcje P(x , y ), Q(x , y ) są ciągłe na krzywej regularnej l : x = x (t), y = y (t), t1 ¬ t ¬ t₂ zorientowanej tak, że punkt (x (t₁), y (t₁)) jest początkiem tej krzywej. Wtedy

Z

l

P(x , y )dx +Q(x , y )dy = Z t2

t1

P[x (t), y (t)]x⁰(t)+Q[x (t), y (t)]y⁰(t) dt.

PRZYKŁAD. Obliczyć

xy dx + x

dy od punktu (0, 0) do (1, 1) po odcinku oraz po łuku paraboli y = x

.

x y

0 1

y = x

y = x²

Zacznijmy od odcinka; l : x = t, y = t, 0 ¬ t ¬ 1.

Wtedy^R_lxy dx + x²dy =^R₀¹(t · t · 1 + t²· 1)dt =^R₀¹2t²dt =^2₃t^31₀ = ²₃. l : x = t, y = t², 0 ¬ t ¬ 1

R

lxy dx + x²dy =^R₀¹(t · t²· 1 + t²· 2t)dt =^R₀¹3t³dt =^3₄t^41₀ = ³₄.

PRZYKŁAD. Obliczyć

xy dx + x

dy od punktu (0, 0) do (1, 1) po odcinku oraz po łuku paraboli y = x

.

x y

0 1

y = x y = x²

Zacznijmy od odcinka; l : x = t, y = t, 0 ¬ t ¬ 1.

Wtedy^R_lxy dx + x²dy =^R₀¹(t · t · 1 + t²· 1)dt =^R₀¹2t²dt =^2₃t^31₀ = ²₃. l : x = t, y = t², 0 ¬ t ¬ 1

R

lxy dx + x²dy =^R₀¹(t · t²· 1 + t²· 2t)dt =^R₀¹3t³dt =^3₄t^41₀ = ³₄.

PRZYKŁAD. Obliczyć

xy dx + x

dy od punktu (0, 0) do (1, 1) po odcinku oraz po łuku paraboli y = x

.

x y

0 1

y = x y = x²

Zacznijmy od odcinka; l : x = t, y = t, 0 ¬ t ¬ 1.

Wtedy^R_lxy dx + x²dy =^R₀¹(t · t · 1 + t²· 1)dt =^R₀¹2t²dt =^2₃t^31₀ = ²₃. l : x = t, y = t², 0 ¬ t ¬ 1

R

lxy dx + x²dy =^R₀¹(t · t²· 1 + t²· 2t)dt =^R₀¹3t³dt =^3₄t^41₀ = ³₄.

PRZYKŁAD. Obliczyć

xy dx + x

dy od punktu (0, 0) do (1, 1) po odcinku oraz po łuku paraboli y = x

.

x y

0 1

y = x y = x²

Zacznijmy od odcinka; l : x = t, y = t, 0 ¬ t ¬ 1.

Wtedy^R_lxy dx + x²dy =^R₀¹(t · t · 1 + t²· 1)dt =^R₀¹2t²dt =^2₃t^31₀ = ²₃. Po paraboli l : x = t, y = t², 0 ¬ t ¬ 1 natomiast

R

lxy dx + x²dy =^R₀¹(t · t²· 1 + t²· 2t)dt =^R₀¹3t³dt =^3₄t^41₀ = ³₄.

Twierdzenie Greena

UWAGA.

W powyższym przykładzie całka krzywoliniowa zorientowana od punktu (0, 0) do (1, 1) zależyod kształtu drogi łączącej te punkty. Zauważmy jednak, że

Q_x⁰(x , y ) = (x²)⁰_x = 2x 6= P_y⁰(x , y ) = (xy )⁰_y = x .

DEFINICJA. Obszar D nazywamy jednospójnym, gdy każda krzywa zamknięta zawarta w D ogranicza obszar w całości zawarty w D.

Twierdzenie Greena

TWIERDZENIE (Greena).

Jeżeli funkcje P(x , y ), Q(x , y ), Q_x⁰(x , y ), P_y⁰(x , y ) są ciągłe w obszarze jednospójnym D i jeżeli l jest brzegiem obszaru D zorientowanym dodatnio (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), to

Z

l

P(x , y )dx + Q(x , y )dy = Z Z

D

Q_x⁰(x , y ) − P_y⁰(x , y )^ dx dy .

l D

R

l

P(x , y )dx + Q(x , y )dy =

Q

(x , y ) − P

(x , y )

dx dy .

PRZYKŁAD. Oblicz Z

k

(sin x + e^x2+1+ 3y )dx + (4x − cos y + arctg(x³+ 3x + 1))dy po elipsie k : ^x₄² +^y₉² = 1 obieganej dodatnio od punktu (2, 0) do punktu (2, 0).

k

x y 3

2

R

l

P(x , y )dx + Q(x , y )dy =

Q

(x , y ) − P

(x , y )

dx dy .

D k

x y 3

2

Zastosujemy wzór Greena, tutaj D to obszar ograniczony „naszą” elipsą (o polu π · 2 · 3).

Z

k

(sin x + e^x2+1+ 3y )dx + (4x − cos y + arctg(y³+ y + 1))dy

= Z Z

D

h

4x − cos y + arctg(y³+ y + 1)^0_x −^sin x + e^x2+1+ 3y^0_yⁱ dx dy

= Z Z

D

4 − 3^dx dy = Z Z

D

1 dx dy = pole(D) = 6π.

R

l

P(x , y )dx + Q(x , y )dy =

Q

(x , y ) − P

(x , y )

dx dy .

D k

x y 3

2

Z

k

(sin x + e^x2+1+ 3y )dx + (4x − cos y + arctg(y³+ y + 1))dy

= Z Z

D

h

4x − cos y + arctg(y³+ y + 1)^0_x −^sin x + e^x2+1+ 3y^0_yⁱ dx dy

= Z Z

4 − 3^dx dy = Z Z

1 dx dy = pole(D) = 6π.

różniczką zupełną

DEFINICJA.

Wyrażenie

P(x , y )dx + Q(x , y )dy

nazywamy różniczką zupełną w obszarze D, gdy istnieje taka funkcja U(x , y ), że

U_x⁰(x , y ) = P(x , y ), U_y⁰(x , y ) = Q(x , y ).

Funkcję U(x , y ) nazywamy potencjałem pola wektorowego

→

F (x , y ) = [P(x , y ), Q(x , y )].

TWIERDZENIE.

Załóżmy, że funkcje P, Q, Q_x⁰, Q_y⁰, P_x⁰, P_y⁰ są ciągłe w obszarze jednospójnym D. Następujące warunki są równoważne:

1 całka krzywoliniowa zorientowana ^R_ABP(x , y )dx + Q(x , y )dy nie zależy od kształtu krzywej AB = l ⊂ D o początku A i końcu B;

2 Q_x⁰(x , y ) = P_y⁰(x , y ) dla (x , y ) ∈ D;

3 P(x , y )dx + Q(x , y )dy jest różniczką zupełną w D.

WŁASNOŚĆ.

Jeżeli jest spełniony jakiś warunek (a więc wszystkie trzy) z powyższego twierdzenia, to całka krzywoliniowa zorientowana po krzywej l = AB jest równa różnicy potencjałów na końcu i początku tej krzywej, tzn.

Z

AB

Pdx + Qdy = U(B) − U(A).

Ponadto jeśli (x0, y0) ∈ D, to U(x , y ) =

Z x x0

P(t, y )dt + Z y

y0

Q(x₀, t)dt.

PRZYKŁAD. Obliczyć pracę siły

→

F (x , y ) = [y − 2x , x − 2y ] wzdłuż łuku krzywej y = sin

(πx ) od punktu (2, 0) do punktu (0, 0).

x y

0 2

PRZYKŁAD. Obliczyć pracę siły

→

F (x , y ) = [ y − 2x , x − 2y ] wzdłuż łuku krzywej y = sin

(πx ) od punktu (2, 0) do punktu (0, 0).

Praca W =^R_lP(x , y )dx + Q(x , y )dy , gdzie

P(x , y ) = y − 2x, Q(x , y ) = x − 2y.

Pochodne: P_y⁰ = 1 = Q_x⁰, więc pole wektorowe jest potencjalne. Potencjał tego pola

U(x , y ) = Z x

0

(y −2t)dt+ Z y

0

(−2t)dt =^yt−t^2t=x_t=0+^−t^2t=y_t=0 = yx −x²−y². Stąd

W = U(0, 0) − U(2, 0) = 4.

PRZYKŁAD. Obliczyć pracę siły

→

F (x , y ) = [ y − 2x , x − 2y ] wzdłuż łuku krzywej y = sin

(πx ) od punktu (2, 0) do punktu (0, 0).

Praca W =^R_lP(x , y )dx + Q(x , y )dy , gdzie

P(x , y ) = y − 2x, Q(x , y ) = x − 2y.

Pochodne: P_y⁰ = 1 = Q_x⁰, więc pole wektorowe jest potencjalne.

We wzorze

U(x , y ) = Z x

x0

P(t, y )dt + Z y

y0

Q(x₀, t)dt możemy przyjąć x0 = 0, y0 = 0.

Potencjał tego pola U(x , y ) =

Z x 0

(y −2t)dt+ Z y

0

(−2t)dt =^yt−t^2t=x_t=0+^−t^2t=y

t=0 = yx −x²−y². Stąd

W = U(0, 0) − U(2, 0) = 4.

PRZYKŁAD. Obliczyć pracę siły

→

F (x , y ) = [ y − 2x , x − 2y ] wzdłuż łuku krzywej y = sin

(πx ) od punktu (2, 0) do punktu (0, 0).

Praca W =^R_lP(x , y )dx + Q(x , y )dy , gdzie

P(x , y ) = y − 2x, Q(x , y ) = x − 2y.

Pochodne: P_y⁰ = 1 = Q_x⁰, więc pole wektorowe jest potencjalne.

We wzorze

U(x , y ) = Z x

x0

P(t, y )dt + Z y

y0

Q(x₀, t)dt możemy przyjąć x0 = 0, y0 = 0. Potencjał tego pola U(x , y ) =

Z x 0

(y −2t)dt+

Z y 0

(−2t)dt =^yt−t^2t=x_t=0+^−t^2t=y

t=0 = yx −x²−y².

Stąd

W = U(0, 0) − U(2, 0) = 4.

PRZYKŁAD. Obliczyć pracę siły

→

F (x , y ) = [ y − 2x , x − 2y ] wzdłuż łuku krzywej y = sin

(πx ) od punktu (2, 0) do punktu (0, 0).

Praca W =^R_lP(x , y )dx + Q(x , y )dy , gdzie

P(x , y ) = y − 2x, Q(x , y ) = x − 2y.

Pochodne: P_y⁰ = 1 = Q_x⁰, więc pole wektorowe jest potencjalne.

Potencjał tego pola U(x , y ) =

Z x 0

(y −2t)dt+

Z y 0

(−2t)dt =^yt−t^2t=x_t=0+^−t^2t=y_t=0 = yx −x²−y². Stąd

W = U(0, 0) − U(2, 0) = 4.