SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, 2011-11-16 Pochodna funkcji Definicja: Niech będzie dana funkcja f : D → R oraz punkt x ∈ intD. Wtedy pochodną funkcji f w punkcie x nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona): f

SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 5, 2011-11-16

Pochodna funkcji

Definicja:

Niech będzie dana funkcja f : D → R oraz punkt x ∈ intD. Wtedy pochodną funkcji f w punkcie x nazywamy granicę (o ile istnieje i jest skończona):

f⁰(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x) h

Uwaga 1: Wyrażenie f (x + h) − f (x)

h nazywamy ilorazem różnicowym; iloraz ten oznacza się rózwnież ∆f

∆x - stosunek przyrostu wartości funkcji do przyrostu argumentu. Pochodna jest to granica ilorazu różnicowego, gdy przyrost argumentu dąży do zera. Pochodną funkcji oznaczamy też:

f⁰ = df

Uwaga 2: Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x to mówimy, że jest różniczkowalnadx w punkcie x. Jeżeli ma pochodną w każdym punkcie x ∈ D to mówimy, że funkcja jest różniczkowalna. Obliczanie pochodnej nazywamy też różniczkowaniem funkcji.

Interpretacja geometryczna pochodnej

Iloraz różnicowy jest równy współczynnikowi kierunkowemu prostej siecznej wykresu funkcji:

prostej przechodzącej przez punkty P (x, f (x)) i Q(x + h, f (x + h)) . Pochodna jest współ- czynnikiem kierunkowym prostej stycznej do wykresu funkcji w punkcie P

Interpretacja fizyczna pochodnej

Niech x(t) będzie położenia ciała w chwili t. Prędkością średnią nazywamy iloraz różnicowy:

v_s(t, ∆t) = x(t + ∆t) − x(t)

Prędkość średnia jest funkcją dwóch zmiennych: t i ∆t. Prędkością chwilową nazywamy∆t granicę prędkości średniej:

v(t) = lim

∆t→0v_s(t, ∆t)

Prędkość chwilowa jest funkcją jednej zmiennej t. Widać, że:

v(t) = x⁰(t) Podobnie:

a(t) = v⁰(t)

Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f (x) = a (funkcja stała)

Dziedzina f D = R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x ∈ R jest punktem wewnętrz- nym dziedziny.

Dla ustalonego x obliczamy granicę:

f⁰(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h = lim

h→0

a − a h = 0

Granica ta istnieje dla każdego x ∈ R a więc funkcja f (x) = a jest różniczkowalna i jej pochodna jest równa:

(a)⁰ = 0

Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f (x) = x³

Dziedzina f D = R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x ∈ R jest punktem wewnętrz- nym dziedziny.

Dla ustalonego x obliczamy granicę:

f⁰(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h = lim

h→0

(x + h)³− x³

h = lim

h→0

x³+ 3x²h + 3xh²+ h³− x³

h =

h→0lim

3x²h + 3xh²+ h³

h = lim

h→0(3x²+ 3xh + h²) = 3x²

Granica ta istnieje dla każdego x ∈ R a więc funkcja f (x) = x³ jest różniczkowalna i jej pochodna jest równa:

(x³)⁰ = 3x²

Uwaga: Wzór ten jest prawdziwy dla x > 0.

Dla x < 0 wzór ten jest prawdziwy, jeśli α = p

q (liczba wymierna, ułamek nieskracalny), p, q ∈ Z , q jest liczbą nieparzystą. Jeżeli ponadto α > 1 to zwór oboiązuja dla x = 0.

Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f (x) = sin x

Dziedzina f D = R.jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x ∈ R jest punktem wewnętrz- nym dziedziny.

Dla ustalonego x obliczamy granicę:

f⁰(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h = lim

h→0

sin(x + h) − sin x

h = lim

h→0

2 sinh

2cos2x + h 2

h =

h→0lim sinh

2 h 2

cos2x + h

2 = cos x

Granica ta istnieje dla każdego x ∈ R a więc funkcja f (x) = sin x jest różniczkowalna i jej pochodna jest równa:

(sin x)⁰ = cos x

Analogicznie pokazujemy, że:

(cos x)⁰ = − sin x

Przykład: Obliczyć pochodną funkcji f (x) = ln x

Dziedzina f D = (0, ∞) jest zbiorem otwartym, a więc każdy pukt x ∈ (0, ∞) jest punktem wewnętrznym dziedziny.

Dla ustalonego x obliczamy granicę:

f⁰(x) = lim

h→0

f (x + h) − f (x)

h = lim

h→0

ln(x + h) − ln x

h = lim

h→0

ln(1 + h x)

h = lim

h→0

ln(1 +h x) h x

· 1 x = 1

Granica ta istnieje dla każdego x ∈ (0, ∞) a więc funkcja f (x) = ln x jest różniczkowalna ix jej pochodna jest równa:

(ln x)⁰ = 1 x

Własności pochodnej:

Jeżeli istnieją pochodna funkcji f⁰(x) i g⁰(x) to istnieją też poniższe pochodne i są równe:

1. (af (x))⁰ = af⁰(x) , a ∈ R 2. (f (x) + g(x))⁰ = f⁰(x) + g⁰(x) 3. (f (x) − g(x))⁰ = f⁰(x) − g⁰(x)

4. (f (x) · g(x))⁰ = f⁰(x) · g(x) + f (x) · g⁰(x) 5. f (x)

g(x)

!0

= f⁰(x) · g(x) − f (x) · g⁰(x)

g²(x) , jeśli g(x) 6= 0

6. Jeżeli y = g(x) i istnieje f⁰(y) to (f (g(x)))⁰ = f⁰(y) · g⁰(x)

Uwaga 1: Własności pochodnej 1,2,3 są takie same jak własości granic funkcji, natomiast własności 4,5,6 są inne!

Uwaga 2: Własność 6 jest to pochodna złożenia (superpozycji) funkcji. Funkcję f nazywamy funkcją zewnętrzną, a funkcję g funkcją wewnętrzną. Pochodna złożenia jest więc równa iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrzej i pochodnej funkcji wewnętrznej (w odpowiednich punktach).

Przykłady Obliczyć pochodne funkcji:

(6x⁴− 4x²+ 7)⁰ = 6(x⁴)⁰− 4(x²)⁰+ (7)⁰ = 6 · 4x³− 4 · 2x¹+ 0 = 24x³− 8x 2x³− 6x + 2

√x

!0

=^2x⁵² − 6x¹² + 2x^−120 = 5x³² − 3x¹² − x⁻³² = 5√

x³− 3 1

√x − 1

√x³

(x³ln x)⁰ = (x³)⁰ln x + x³(ln x)⁰ = 3x²ln x + x³1

x = 3x²ln x + x² = x²(3 ln x + 1) x²+ 1

x²− 1

!0

= (x² + 1)⁰· (x²− 1) − (x²+ 1) · (x²− 1)⁰

(x²− 1)² = 2x · (x²− 1) − (x²+ 1) · 2x

(x²− 1)² = −4x

(x²− 1)² (tg x)⁰ =

sin x cos x

⁰

= (sin x)⁰cos x − sin x(cos x)⁰

cos²x = cos x cos x − sin x(− sin x)

cos²x = 1

cos²x (ctg x)⁰ = − 1

sin²x (analogicznie) (ln(cos x))⁰

Wykorzystujemy wzór na pochodną złożenia funkcji: y = g(x) = cos x , f (y) = ln y . Wtedy:

f⁰(y) = 1

y , g⁰(x) = − sin x , a więc:

(ln(cos x))⁰ = 1

y · (− sin x) = −sin x

cos x = − tg x

√

x²+ 1^0

Mamy: y = x²+ 1 , f (y) =√ y

√

x²+ 1^0 = 1 2√

y · 2x = 2x

√x²+ 1 (sin(ln x))⁰

Mamy: y = ln x , f (y) = sin y (sin(ln x))⁰ = cos y · 1

x = 1

x cos(ln x) (ln(sin x²))⁰

Jest to złożenie trzech funkcji. Mamy: y = ln x² , z = sin y , f (z) = ln z (ln(sin x²)⁰ = 1

z · cos y · 2x = 2x cos(x²) sin(x²)

ln(x³+ x sin²x))^0 = 3x²+ sin²x + x · 2 sin x cos x x³+ x sin²x

(x^α)⁰ = (e^{ln xα})⁰ = (e^{α ln x})⁰ = e^{α ln x}· 1

x = x^α· 1

x = αx^α−1 , α ∈ R , x > 0

Pochodna funkcji odwrotnej

Twierdzenie: Dana jest funkcja f : D₁ → D₂ ciągła, odwracalna oraz punkt x ∈ D₁ taki, że f⁰(x) 6= 0 . Wtedy funkcja odwrotna do f ma pochodną w punkcie y = f (x) i jej pochodna jest równa:

(f⁻¹(y))⁰ = 1 f⁰(x)

Przykład: Obliczyć pochodną funkcji e^x

Funkcja f (x) = ln x spełnia założenia twierdzenia w każdym punkcie x ∈ (0, ∞) . Funkcją odwrotną jest e^x :

y = ln x ⇐⇒ x = e^y Stąd

(e^y)⁰ = 1

(ln x)⁰ = 1 1 x

= x = e^y

Lub zmieniając oznaczenie argumentu:

(e^x)⁰ = e^x

Przykład zastosowania pochodnej Dane jest położenie ciała w czasie t :

x(t) = t³+ 4 cos t. Obliczyć prędkość chwilową v(t) i przyśpieszenie chwilowe a(t) w czasie t v(t) = (x(t))⁰ = 3t²− 4 sin t

a(t) = (v(t))⁰ = 6t − 4 cos t Funkcje hiperboliczne Sinus hiperboliczny sinh x = e^x− e^−x Dziedzina: D = R2

Zbiór wartości: sinh(D) = R Funkcja nieparzysta, rosnąca Cosinus hiperboliczny cosh x = e^x+ e^−x

Dziedzina: D = R2

Zbiór wartości: cosh(D) =< 1, ∞)

Funkcja parzysta, rosnąca w przedziale < 0, ∞) Tangens hiperboliczny

tgh x = sinh x cosh x Dziedzina: D = R

Zbiór wartości: tgh(D) = (−1, 1) Funkcja nieparzysta, rosnąca Cotangens hiperboliczny ctgh x = cosh x

sinh x

Dziedzina: D = (−∞, 0) ∪ (0, ∞)

Zbiór wartości: ctgh(D) = (−∞, −1) ∪ (1, ∞)

Funkcja nieparzysta, malejąca w przedziale (−∞, −1) oraz w przedziale (1, ∞) Pewne własności funkcji hiperbolicznych:

cosh²x − sinh²x = 1

cosh²x + sinh²x = cosh 2x (sinh x)⁰ = cosh x

(cosh x)⁰ = sinh x (tgh x)⁰ = 1

cosh²x (ctgh x)⁰ = − 1

sinh²x

Funkcje cyklometryczne

Chcemy zdefiniować funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Aby funkcja odwrotna istniała musimy ograniczyć dzidzinę i przeciwdziedzinę funkcji trygonometrycznych, aby uzy- skać funkcją różnowartościową i “na”.

Funkcja f :< −π 2,π

2 >→< −1, 1 > , f (x) = sin x ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazy- wamy arcus sinus:

arc sin x :< −1, 1 >→< −π 2,π

2 >

y = arc sin x ⇐⇒







x = sin y y ∈< −π

2,π 2 >

Funkcja f :< 0, π >→< −1, 1 > , f (x) = cos x ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazywamy arcus cosinus:

arc cos x :< −1, 1 >→< 0, π >

y = arc cos x ⇐⇒

( x = cos y y ∈< 0, π >

Funkcja f : (−π 2,π

2) → (−∞, ∞) , f (x) = tg x ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazywamy arcus tangens:

arc tg x : (−∞, ∞) → (−π 2,π

2) y = arc tg x ⇐⇒







x = tg y y ∈ (−π

2,π 2)

Funkcja f : (0, π) → (−∞, ∞) , f (x) = ctg x ma funkcję odwrotną. Funkcję tę nazywamy arcus cotangens:

arc ctg x : (−∞, ∞) → (0, π) y = arc ctg x ⇐⇒

( x = ctg y y ∈ (0, π)

Uwaga Powyższe funkcje są funkjami odwrotnymi tylko do jednej gałęzi danej funkcji try- gonometrycznej.

Przykład 1: Obliczyć y = sin(arc sin x) Oznaczmy z = arc sin x

Wtedy x = sin z , z ∈< −π 2,π

2 >

Oraz:

y = sin z Stąd:

y = x ∀x ∈< −1, 1 >

Przykład 2: Obliczyć y = arc sin(sin x) Oznaczmy z = sin x

Wtedy y = arc sin z , czyli z = sin y , y ∈< −π

2,π 2 >

Mamy:

sin y = sin x więc

y = x + 2kπ lub y = π − x + 2kπ , k ∈ Z i k jest takie aby otrzymać wartość y z przedziału

< −π 2,π

2 >

Pochodne funkcji cyklometrycznych

Obliczmy (arc sin y)⁰ dla y ∈ (−1, 1) z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej. Niech x = arc sin y, wtedy

(arc sin y)⁰ = 1

(sin x)⁰ = 1

cos x = 1

√

1 − sin²x = 1

√1 − y² Zmieniając oznaczenie argumentu:

(arc sin x)⁰ = 1

√1 − x² Analogicznie:

(arc cos x)⁰ = − 1

√1 − x²

Obliczmy (arc tg y)⁰ dla y ∈ (−∞, ∞) z twierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej. NIech x = arc tg y, wtedy

(arc tg y)⁰ = 1

(tg x)⁰ = 1 1 cos²x

= cos²x = cos²x

cos²x + sin²x = 1

1 + tg²x = 1 1 + y² Zmieniając oznaczenie argumentu:

(arc tg x)⁰ = 1 1 + x² Analogicznie:

(arc ctg x)⁰ = − 1 1 + x²

Przykłady: Obliczyć pochodne:

(arc tg(x²))⁰ = 1

1 + x⁴ · 2x = 2x 1 + x⁴ (x cosh x)⁰ = cosh x + x sinh x (arc sin√

x)⁰ = 1

√1 − x · 1 2√

x = 1

2√ x − x²

Tabela pochodnych funkcji elementarnych:

f (x) f⁰(x) Założenia f (x) f⁰(x) Założenia x^α αx^α−1 x > 0 , α ∈ R tgh x 1

cosh²x

ln x 1

x x > 0 ctgh x − 1

sinh²x x 6= 0 e^x e^x

sin x cos x arc sin x 1

√1 − x² x ∈ (−1, 1)

cos x − sin x arc cos x − 1

√1 − x² x ∈ (−1, 1)

tg x 1

cos²x x 6= ^2k+1₂ π , k ∈ Z arc tg x 1 1 + x² ctg x − 1

sin²x x 6= kπ , k ∈ Z arc ctg x − 1 1 + x² sinh x cosh x

cosh x sinh x