2@IJ=MMA M“=I
?E K“=@M 0=EJ= E E?D EJAHFHAJ=?=
O?=

Uniwersytet Šódzki Wydziaª Matematyki

Marek Majewski

Nr albumu: 78209/s

Podstawowe wªasno±ci ukªadów

Hamiltona i ich interpretacja zyczna.

Praca magisterska

na kierunku MATEMATYKA

w zakresie ZASTOSOWA‹ MATEMATYKI

Praca wykonana pod kierunkiem

prof. dra hab. Stanisªawa Walczaka

Katedra Równa« Ró»niczkowych i Informatyki Wydziaª Matematyki i Informatyki UŠ

Czerwiec 1997

Spis tre±ci

1. Preliminaria . . . 5

1.1. Ci¡g minimalizuj¡cy i istnienie minimum . . . 5

1.2. Sªabe pochodne i przestrzenie Sobolewa WT^1,p . . . 7

2. Sprz¦»enie Legendre'a i Fenchela. . . 11

2.1. Sprz¦»enie Legendre'a i Fenchela. . . 11

3. Ukªady Hamiltona . . . 24

3.1. Wprowadzenie . . . 24

3.2. Dualno±¢ w sensie Clarke'a . . . 26

3.3. Podstawowe twierdzenia o istnieniu rozwi¡za« okresowychwypukªego ukªa- du Hamiltona . . . 31

4. Interpretacja zyczna ukªadów Hamiltona . . . 42

4.1. Wprowadzenie . . . 42

4.2. Ogólny ukªad dynamiczny Newtona . . . 43

4.3. Problem dwóch ciaª . . . 44

4.4. Problem N ciaª . . . 45

4.5. Interpretacja zyczna funkcjonaªów dziaªania. . . 46

Wst¦p

Pewne zasady mechaniczne i wynikaj¡ce z nich równania ró»niczkowe jak na przy- kªad równanie Newtona wi¡»¡ ze sob¡ konguracj¦ ukªadu w chwili t z konguracj¡

w chwili t + dt, gdzie dt jest niesko«czenie maªym odst¦pem czasu. Jest to przykªad przyczynowego, czyli kauzalistycznego ujmowania przyrody. Takie zasady zycy nazy- waj¡ innitezymalnymi. Oprócz tych zasad rozwa»a si¦ równie» w mechanice zasady caªkowe, które w przeciwie«stwie do zasad innitezymalnych charakteryzuj¡ ruch w ca- ªym sko«czonym przedziale czasu »¡daj¡c zwykle, by pewne caªki po rozpatrywanym przedziale czasowym miaªy dla ruchu rzeczywistego ekstrema (najcz¦±ciej minima) w porównaniu z warto±ciami dla pewnej klasy ruchów.

W±ród zasad caªkowych najwi¦ksz¡ rol¦ odgrywaj¡ zasady najmniejszego dziaªania.

Zasady caªkowe s¡ interpretowane w ten sposób, jak gdyby przyroda d¡»¡c do pewnego celu wybieraªa te drogi, dla których caªka ma warto±¢ ekstremaln¡. Takie ujmowanie zjawisk przyrody jest nazywane teleologicznym od greckiego sªowa τλoζ - cel.

W mechanice wiele zjawisk mo»na opisa¢ za pomoc¡ ukªadów równa« ró»niczko- wych zwyczajnych zwanych od nazwiska matematyka irlandzkiego sir Williama Rowana Hamiltona (1805 - 1865), ukªadami Hamiltona.

S¡ to ukªady postaci

˙q(t) = DpH(t, q(t), p(t))

˙p(t) = −D_qH(t, q(t), p(t)),

gdzie niewiadomymi s¡ funkcje q(.) i p(.), za± funkcja H : [a, b] × R^N × R^N → R jest funkcj¡ dan¡.

Rozwa»ania w pracy b¦d¡ dotyczy¢ istnienia rozwi¡za« ukªadów Hamiltona z wa- runkami brzegowymi typu:

q(0) = q(T ) p(0) = p(T ), przy czym H : [0, T ] × R^N × R^N → R i T > 0.

Metodami, jakimi b¦dziemy bada¢ te ukªady b¦d¡ metody wariacyjne. Geneza me- tod wariacyjnych wywodzi si¦ wªa±nie od zasad najmniejszego dziaªania. Rozwa»aj¡c problem istnienia rozwi¡zania równania ró»niczkowego z warunkami brzegowymi de- niujemy na przestrzeni funkcyjnej, na której poszukujemy rozwi¡za« równania pewien funkcjonaª caªkowy, którego punkty minimalne s¡ rozwi¡zaniami tego równania. Pro- blem istnienia rozwi¡za« równania ró»niczkowego z zadanymi warunkami sprowadza si¦ wi¦c do problemu istnienia punktów minimalnych okre±lonego funkcjonaªu.

Ukªady Hamiltona z powy»szymi warunkami stanowiªy przez wiele lat problem otwarty. Dziaªo si¦ tak poniewa» deniowanie funkcjonaªu, którego warunek koniecz- ny istnienia ekstremum, zwany tu równaniem EuleraLagrange'a, prowadziª wprost do wyj±ciowego równania ró»niczkowego okazaªo si¦ nieefektywne. Funkcjonaª ten bowiem byª nieograniczony i rozstrzyganie o istnieniu jego minimów byªo niemo»liwe. Dopiero matematyk kanadyjski Frank H. Clarke w 1978 roku zapocz¡tkowaª metod¦ denio- wania funkcjonaªu, którego punkty krytyczne, istnienie których ªatwo jest udowodni¢, staj¡ si¦ po odpowiedniej transformacji rozwi¡zaniami wyj±ciowego problemu.

Jak ju» wspomniaªem ukªady Hamiltona maj¡ du»e znaczenie w zyce. Wiele praw mechaniki, w tym mechaniki nieba opisuje si¦ za ich pomoc¡. Niektóre problemy - zyczne jak na przykªad problem n-ciaª do dzi± s¡ otwarte.

Praca magisterska skªada si¦ z czterech rozdziaªów. W rozdziale pierwszym zawarte s¡ pewne informacje wst¦pne dotycz¡ce metod orzekania o istnieniu minimów funk- cjonaªów w oparciu o wªasno±ci ci¡gów minimalizuj¡cych. Wprowadzamy tak»e wa»n¡

klas¦ przestrzeni funkcyjnych - przestrzenie Sobolewa. Rozdziaª drugi po±wi¦cony jest sprz¦»eniu Legendre'a i jego uogólnieniu - sprz¦»eniu Fenchela oraz ich zwi¡zkom z poj¦ciem subró»niczki. Ciekawostk¡ jest, »e sprz¦»enie Legendre'a zostaªo odkryte w 1787, za± sprz¦»enie Fenchela w 1939 roku. Wreszcie rozdziaª czwarty dotyczy ju» sa- mych ukªadów Hamiltona. Wprowadzimy metod¦ dualno±ci Clarke'a deniowania funk- cjonaªu dualnego, o którym ju» wspomniaªem. Dzi¦ki tej metodzie mo»liwe jest sfor- muªowanie pewnych podstawowych twierdze« dotycz¡cych istnienia rozwi¡za« ukªadu Hamiltona w przypadku, gdy Hamiltonian jest wypukªy (st¡d nazwa wypukªe ukªady Hamiltona). Pierwsze z twierdze« dotyczy prostego przypadku, kiedy Hamiltonian jest ograniczony z doªu i z góry przez funkcje kwadratowe. Doskonale prezentuje ono me- tod¦ Clarke'a. Drugie twierdzenie omawia przypadek, gdy Hamiltonian jest podparty z doªu przez funkcj¦ liniow¡. Metoda dowodu tego twierdzenia polega na zaburzeniu równania i sprowadzeniu do prostszej sytuacji (podobnej do tej jaka, jest rozwa»ana w dowodzie twierdzenia poprzedniego) a nast¦pnie dokonaniu przej±cia granicznego. W ostatnim rozdziale podajemy pewne przykªady zyczne opisywane za pomoc¡ ukªadów

Hamiltona. Jest tam mowa o problemach zwi¡zanych z polem grawitacyjnym, ale rów- nie» sformuªowano ogólny ukªad mechaniczny Newtona i sposób przej±cia od równania Newtona do ukªadu Hamiltona. Na ko«cu zawarta jest próba interpretacji funkcjonaªu dziaªania oraz wa»ny zwi¡zek zyczny mi¦dzy Lagran»janem a Hamiltonianem.

Poczuwam si¦ do miªego obowi¡zku podzi¦kowania Panu prof. dr. hab. Stanisªa- wowi Walczakowi za opiek¦, a zwªaszcza za nieocenion¡ pomoc przy poszukiwaniu przykªadów zycznych zastosowa« ukªadów Hamiltona. Dzi¦kuj¦ równie» Panu drowi Andrzejowi Rogowskiemu za liczne, cenne wskazówki i podpowiedzi przy rozwi¡zy- waniu trudnych zagadnie« zwi¡zanych z tematyk¡ pracy oraz za pomoc przy edycji tekstu.

Rozdziaª 1 Preliminaria

1.1. Ci¡g minimalizuj¡cy i istnienie minimum

Je»eli nie b¦dzie powiedziane inaczej, to przez X oznacza¢ b¦dziemy rzeczywist¡ prze- strze« unormowan¡.

Denicja 1.1. Niech ϕ : X → R ∪ {∞}. Ci¡giem minimalizuj¡cym nazywamy ci¡g (u_n) ⊂ X speªniaj¡cy warunek

n→∞limϕ(u_n) = inf ϕ.

Denicja 1.2. Funkcj¦ ϕ : X → R ∪ {∞} nazywamy póªci¡gª¡ z doªu, gdy dla dowol- nego punktu u ∈ X i dowolnego ci¡gu (un) ⊂ X zbie»nego do u zachodzi warunek

lim inf

n→∞ ϕ(un) ­ ϕ(u).

Denicja 1.3. Funkcj¦ ϕ : X → R ∪ {∞} nazywamy sªabo póªci¡gª¡ z doªu, gdy dla dowolnego punktu u ∈ X i dowolnego ci¡gu (un) ⊂ X sªabo zbie»nego do u zachodzi warunek

lim inf

n→∞ ϕ(u_n) ­ ϕ(u).

Podstawowe znaczenie w poni»szych rozwa»aniach ma nast¦puj¡ce

Twierdzenie 1.1. Zaªó»my, »e X jest reeksywn¡ przestrzeni¡ Banacha, ϕ : X → R ∪ {∞} funkcj¡ sªabo póªci¡gª¡ z doªu posiadaj¡c¡ ograniczony ci¡g minimalizuj¡cy.

Wówczas ϕ osi¡ga minimum na X.

Dowód. Niech (un) ⊂ X b¦dzie ograniczonym ci¡giem minimalizuj¡cym. Poniewa» X jest reeksywna, wi¦c (un)jako ograniczony posiada podci¡g sªabo zbie»ny do pewnego

u ∈ X ([2, Twierdzenie 23.9 str. 227]). Niech tym podci¡giem b¦dzie (unk). Oczywi±cie (u_nk)jest te» ci¡giem minimalizuj¡cym. Ze sªabej póªci¡gªo±ci funkcji ϕ mamy

inf ϕ = lim ϕ

k→∞

(u_nk) = lim

k→∞inf ϕ(u_nk) ­ ϕ(u), czyli

inf ϕ ­ ϕ(u), co oznacza, »e

inf ϕ = ϕ(u), czyli ϕ posiada minimum w u.

Denicja 1.4. Funkcj¦ ϕ : X → R ∪ {∞} nazywamy koercytywn¡ je»eli

kuk→∞lim ϕ(u) = ∞.

Oczywi±cie funkcja koercytywna posiada ograniczony ci¡g minimalizuj¡cy. Mamy wi¦c

Wniosek 1.1 ([2, Twierdzenie 21.4 str. 214]). Niech X b¦dzie reeksywn¡ przestrzeni¡

Banacha. Funkcja ϕ : X → R ∪ {∞} sªabo póªci¡gªa z doªu i koercytywna osi¡ga minimum.

Do dowodu nast¦pnego twierdzenia przydatne b¦dzie ciekawe

Twierdzenie Mazura. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ unormowan¡, (un) ⊂ X ci¡giem sªabo zbie»nym do u ∈ X. Wówczas istnieje ci¡g (vn) wypukªych kombinacji okre±lony wzorem

v_n=

Xn

j=1

a_nju_j, gdzie ^Xn

j=1

a_nj = 1, a_nj ­ 0, dla n ∈ N, który jest mocno zbie»ny do u ∈ X.

Twierdzenie 1.2. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ unormowan¡. Je»eli ϕ : X → R jest wypukª¡ funkcj¡ póªci¡gª¡ z doªu, to ϕ jest sªabo póªci¡gªa z doªu.

Dowód. Niech (un) ⊂ X b¦dzie ci¡giem zbie»nym do u, c ∈ R dowoln¡ liczb¡ rzeczy- wist¡ speªniaj¡c¡ warunek

c > lim inf

n→∞ ϕ(u_n). (1.1)

Wtedy istnieje podci¡g (unk) ci¡gu (un) speªniaj¡cy warunek

c > u_nk, dla dowolnego k ∈ N. (1.2)

Z twierdzenia Mazura istnieje ci¡g (vk) ⊂ X okre±lony nast¦puj¡co v_k =

Xk

j=1

a_kju_nj, gdzie ^Xk

j=1

a_nj = 1, a_nj ­ 0,

który jest mocno zbie»ny do u. Z póªci¡gªo±ci z doªu i wypukªo±ci ϕ oraz z (1.2) mamy

ϕ(u) ¬ lim inf

k→∞ ϕ



X^k

j=1

akjunj



¬ lim inf

k→∞

Xk

j=1

akjϕ^unj

< lim inf

k→∞

Xk

j=1

akjc = c,

st¡d

ϕ (u) < c,

co z zaªo»on¡ nierówno±ci¡ (1.1) ze wzgl¦du na dowolno±¢ c ∈ R daje, »e ϕ (u) ¬ lim inf

n→∞ ϕ(u_n), czyli, ϕ jest sªabo póªci¡gªa z doªu.

Wniosek 1.2. Niech X b¦dzie reeksywn¡ przestrzeni¡ Banacha. Funkcja ϕ : X → Rpóªci¡gªa z doªu, wypukªa i koercytywna osi¡ga minimum.

1.2. Sªabe pochodne i przestrzenie Sobolewa W

Przez L^p0, T ; R^N oznacza¢ b¦dziemy przestrze« funkcji odwzorowuj¡cych przedziaª [0, T ] w R^N, których moduª jest caªkowalny z p-t¡ pot¦g¡ (p ­ 1). Natomiast sym- bolem CT^∞ oznaczamy przestrze« funkcji odwzorowuj¡cych R w R^N, T -okresowych i posiadaj¡cych pochodn¡ dowolnego rz¦du.

Lemat podstawowy ([3, Fundamental Lemma, str 6]). Niech u, v ∈ L^10, T ; R^N. Zaªó»my, »e dla dowolnej funkcji f ∈ CT^∞ zachodzi warunek

ZT

0

hu (t) , f⁰(t)i dt = −

ZT

0

hv (t) , f (t)i dt. (1.3)

Wówczas

1. ZT

0

v (t) dt = 0,

2. Istnieje c ∈ R^N, »e

u (t) =

Zt

0

v (t) dt + c dla p.w. t ∈ [0, T ] .

Mo»na udowodni¢, »e je»eli istnieje funkcja v speªniaj¡ca warunek (1.3), to istnieje tylko jedna (w sensie równo±ci prawie wsz¦dzie). Mo»emy zatem sformuªowa¢ denicj¦

Denicja 1.5. Niech u, v ∈ L^10, T ; R^N. Je»eli zachodzi warunek (1.3), to funkcj¦

v nazywamy sªab¡ pochodn¡ funkcji u i oznaczamy j¡ symbolem ˙u.

Zauwa»my, »e z lematu podstawowego wynika, »e u (t) =

Zt

0

˙u (s) ds + c dla p.w. t ∈ [0, T ] .

Ponadto, je»eli u jest ci¡gªa, to ˙u jest klasyczn¡ pochodn¡ istniej¡c¡ prawie wsz¦dzie na [0, T ] .

Denicja 1.6. Niech p ∈ (1, ∞) . Przestrzeni¡ Sobolewa WT^1,p nazywamy przestrze«

funkcji u ∈ L^p0, T ; R^N maj¡cych sªab¡ pochodn¡ ˙u ∈ L^p0, T ; R^N.

Przestrze« WT^1,p jest przestrzeni¡ unormowan¡ z norm¡ zdeniowan¡ nast¦puj¡co

kuk_W^1,p

T =



 ZT

0

|u (t)|^pdt +

ZT

0

| ˙u (t)|^pdt





1 p

.

Tak zdeniowana przestrze« mo»e by¢ traktowana jako domkni¦ta podprzestrze« iloczy- nu kartezja«skiego

L^p0, T ; R^N× L^p0, T ; R^N.

W_T^1,p jest wi¦c reeksywn¡ przestrzeni¡ Banacha zawieraj¡c¡ CT^∞.

Je»eli przyjmiemy p = 2, to otrzymana przestrze« WT^1,2, któr¡ b¦dziemy oznacza¢

H_T¹ jest przestrzeni¡ Hilberta z iloczynem skalarnym zdeniowanym nast¦puj¡co hu, vi =

ZT

0

hu (t) , v (t)i dt +

ZT

0

h ˙u (t) , ˙v (t)i dt dla u, v ∈ HT¹.

Zauwa»my te», »e je»eli z klas¡ abstrakcji u zwi¡»emy jej ci¡gªego reprezentanta, to przestrze« HT¹ mo»emy zdeniowa¢

H_T¹ =ⁿu : [0, T ] → R^N :»e u jest absolutnie ci¡gªa, u(0) = u(T ) i ˙u ∈ L^p0, T ; R^No. Przypomnijmy teraz posta¢ normy w przestrzeni L^p0, T ; R^N

kuk_Lp =



 ZT

0

|u (t)|^pdt





1 p

oraz w przestrzeni C_T^∞

kuk_∞= max

t∈[0,T ]|u (t)|

Nast¦puj¡ce stwierdzenia przyjmujemy bez dowodu.

Stwierdzenie 1.1 ([3, Proposition 1.1, str. 8]). Istnieje c > 0, »e dla dowolnej funkcji u ∈ W_T^1,p zachodzi

kuk_∞ ¬ c kuk_W^1,p

T . Je»eli dodatkowo zaªo»ymy, »e

ZT

0

u (t) dt = 0,

to

kuk_∞ ¬ c k ˙uk_Lp.

Stwierdzenie 1.2 ([3, Proposition 1.2, str. 8]). Je»eli ci¡g (un) ⊂ W_T^1,p jest sªabo zbie»ny, to jest on jednostajnie zbie»ny w przedziale [0, T ] .

Stwierdzenie 1.3 ([3, Proposition 1.3, str. 8]). Je»eli u ∈ HT¹ i ^RT

0 u (t) dt = 0, to

ZT

0

|u (t)|²dt ¬ T² 4π²

ZT

0

| ˙u (t)|²dt

(nierówno±¢ Wirtingera) oraz

kuk²_∞¬ T 12

ZT

0

| ˙u (t)|²dt.

(nierówno±¢ Sobolewa)

Przejdziemy teraz do sformuªowania nast¦puj¡cego twierdzenia.

Twierdzenie 1.3 ([3, Theorem 1.4, str. 10 ]). Niech

L : [0, T ] × R^N × R^N → R (t, x, y) 7−→ L (t, x, y)

b¦dzie funkcj¡ mierzaln¡ ze wzgl¦du na t dla ka»dego (x, y) ∈ R^N× R^N oraz ró»niczko- waln¡ w sposób ci¡gªy w dowolnym (x, y) dla p.w. t ∈ [0, T ] .

Zaªó»my »e istniej¡: a ∈ C (R⁺, R⁺),

b ∈ L^10, T ; R^+ oraz c ∈ L^q0, T ; R^+, gdzie q ∈ (1, ∞) ,

»e dla p.w. t ∈ [0, T ]i dla wszystkich (x, y) ∈ R^N × R^Nzachodz¡ warunki:

|L (t, x, y)| ¬ a (|x|) (b (t) + |y|^p) (A1)

|D_xL (t, x, y)| ¬ a (|x|) (b (t) + |y|^p) (A2)

|D_yL (t, x, y)| ¬ a (|x|)^c (t) + |y|^p−1, (A3) gdzie ¹_p + ¹_q = 1.

Wówczas funkcjonaª

ϕ : W_T^1,p → R, okre±lony wzorem

ϕ (u) =

ZT

0

L (t, u (t) , ˙u (t)) dt

jest ró»niczkowalny w sposób ci¡gªy na W_T^1,p oraz

hϕ⁰(u) , hi =

ZT

0

hD_xL (t, u (t) , ˙u (t)) , h (t)i +^DD_yL (t, u (t) , ˙u (t)) , ˙h (t)^Edt

dla h ∈ W_T^1,p.

Rozdziaª 2

Sprz¦»enie Legendre'a i Fenchela

2.1. Sprz¦»enie Legendre'a i Fenchela

Denicja 2.1. Niech F ∈ C¹(R^N, R). Zaª ó»my, »e gradient ∇F jest odwracalny.

Sprz¦»eniem (transformat¡) Legendre'a funkcji F nazywamy odwzorowanie F^∗ : R^N → R

okre±lone wzorem

F^∗(v) = hv, ui − F (u), gdzie v = ∇F (u), czyli u = (∇F )⁻¹(v).

Przykªad 2.1. Rozwa»my funkcj¦ F : R → R dan¡ wzorem F (u) = u²− 2u + 2.

Jej gradient (w tym przypadku pochodna) wyra»a si¦ wzorem F⁰(u) = 2u − 2.

Jest on oczywi±cie odwracalny. Niech

v = 2u − 2, wtedy

u = 1 2v + 1

W ten sposób uzyskujemy globaln¡ zale»no±¢ mi¦dzy u i v. Sprz¦»enie Legendre'a przyj- muje wi¦c posta¢

F^∗(v) = v ·

1 2v + 1



−

1 2v + 1

₂

+ 2

1 2v + 1



− 2 = 1

4v²+ v − 1.

Warto przy okazji zauwa»y¢ pewn¡ ciekaw¡ wªasno±¢, mianowicie ∇F^∗(v) = ¹₂v + 1 = (∇F )⁻¹(v).

Mamy wi¦c

Dowód. Niech F ∈ C¹(R^N, R). Zaªó»my, »e gradient ∇F jest odwracalny. Je»eli F^∗ jest sprz¦»eniem Legendre'a funkcji F, to

(∇F )⁻¹ = ∇F^∗.

Wobec odwracalno±ci gradientu mo»emy zapisa¢ dla dowolnego v ∈ R^N F^∗(v) =^Dv, (∇F )⁻¹(v)^E− F^(∇F )⁻¹(v)^. Przyjmijmy

G (v) = (∇F )⁻¹(v) = u oraz oznaczmy

v = (v1, v2, . . . , vN) , u = (u1, u2, . . . , uN) G (v) = (G₁(v) , G₂(v) , . . . , G_N(v)) Wówczas

∂F^∗

∂vi

(v) = ∂

∂vi



X^N

j=1

v_j· G_j(v) − F (G (v))



=

= G_i(v) +

XN

j=1

v_j· ∂G_j

∂v_i (v) −

XN

j=1

∇F_j(G (v)) · ∂G_j

∂v_i (v) =

= G_i(v) +

XN

j=1

v_j· ∂G

∂v_{i j}(v) −

XN

j=1

v_j· ∂G_j

∂v_i (v) = G_i(v) = u_i

dla i = 1, 2, . . . , N. Czyli u = ∇F^∗(v)dla v ∈ R^N,co oznacza, »e (∇F )⁻¹ = ∇F^∗. Podamy teraz geometryczn¡ interpretacj¦ sprz¦»enia Legendre'a. Niech F : R → R b¦dzie ró»niczkowaln¡ funkcj¡ ±ci±le wypukª¡, maj¡c¡ ci¡gª¡ pochodn¡ (wówczas odwracalno±¢ gradientu jest zapewniona). Rozwa»my wykres funkcji F. We¹my dowolne v₀ ∈ Ri narysujmy styczn¡ do wykresu F o wspóªczynniku kierunkowym v0. Oznaczmy pierwsz¡ wspóªrz¦dn¡ punktu styczno±ci przez u0. Wtedy

v0 = F⁰(u0) (2.1)

Narysowana styczna ma wi¦c równanie

y − F (u0) = F⁰(u0) · (u − u0).

Bior¡c u = 0. otrzymujemy, uwzgl¦dniaj¡c (2.1)

−y = F⁰(u₀) · u₀− F (u₀) = v₀ · u₀− F (u₀) = F^∗(v₀)

Dostajemy w ten sposób, »e warto±¢ sprz¦»enia Legendre'a w dowolnie wybranym punk- cie v0 ∈ Rjest liczb¡ przeciwn¡ do drugiej wspóªrz¦dnej punktu przeci¦cia si¦ stycznej do wykresu F o wspóªczynniku v0 z osi¡ warto±ci oy. W ten sposób wykres funkcji F mo»e by¢ przedstawiony w pewien dualny sposób - poprzez opisanie jak zmienia si¦

styczna do tego wykresu.

Zajmiemy si¦ teraz uogólnieniem sprz¦»enia Legendre'a na przypadek niekoniecznie gªadkiej funkcji wypukªej. Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Banacha. Zaªó»my, »e F : X → R ∪ {∞}jest funkcj¡ wypukª¡. Ustalmy v ∈ X^∗ i rozwa»my funkcj¦ zmiennej u ∈ X

F˜_v(u) = hv, ui − F (u),

gdzie h., .i jest par¡ dualn¡ przestrzeni X^∗ (sprz¦»onej do X) i X. Zauwa»my, »e ˜F_v jest funkcj¡ wkl¦sª¡ (to znaczy − ˜Fv jest wypukªa). Zatem ka»dy punkt krytyczny ˜Fv jest punktem jej maksimum globalnego. Gdyby±my teraz zdeniowali funkcj¦ F^∗ : X^∗ → R ∪ {∞}wzorem

F^∗(v) = sup

u∈X

F˜_v(u),

to w przypadku, gdy F jest ró»niczkowalna, supremum ˜F_v b¦dzie osi¡gni¦te w punkcie u ∈ X speªniaj¡cym warunek

Du(hv, ui − F (u)) = 0, sk¡d

v = ∇F (u).

Denicja 2.2. Niech F : X → R ∪ {∞} gdzie X jest przestrzeni¡ Banacha. Sprz¦»e- niem Fenchela funkcji F nazywamy odwzorowanie

F^∗ : X^∗ → R ∪ {∞}

okre±lone wzorem

F^∗(v) = sup

u∈X(hv, ui − F (u)) .

Poniewa», jak wcze±niej wykazali±my, sprz¦»enie Fenchela jest uogólnieniem sprz¦-

»enia Legendre'a, wi¦c u»ywanie tego symbolu dla obu przeksztaªce« nie b¦dzie prowa- dziªo do nieporozumie«.

Przykªad 2.2. Niech funkcja G : R^N → R b¦dzie okre±lona wzorem G(u) = α · |u|^q

q + γ, gdzie α > 0. q > 1, γ ∈ R.

Poka»emy, »e wówczas

G^∗(v) = α^−pq ·|v|^p p − γ.

gdzie v ∈^R^N∗ = R^N oraz ¹_p + ¹_q = 1.

W szczególno±ci, gdy

G(u) = α · |u|² 2 + γ, to

G^∗(v) = |v|² 2α − γ.

Rzeczywi±cie. Ustalmy v ∈ R^N. Zauwa»my, »e funkcja u 7→ |u|^q jest dla q > 1 ró»nicz- kowalna oraz

∇ (|u|^q) = q |u|^q−2· u. (2.2)

Gjest wi¦c funkcj¡ ró»niczkowaln¡ i wypukª¡. Funkcja hv, .i − G(.) jest zatem ró»nicz- kowalna i wkl¦sªa, st¡d osi¡ga maksimum w takim punkcie u ∈ R^N, »e

v = ∇G(u).

Korzystaj¡c z (2.2) otrzymujemy, »e powy»sza równo±¢ oznacza, »e v = α · |u|^q−2· u,

sk¡d

|v| = α · |u|^q−1 (2.3)

Mamy dla tak powi¡zanych u i v G^∗(v) = sup

w∈R^N

(hv, wi − G(w)) = hv, ui − α ·|u|^q

q − γ = α · |u|^q−2· hu, ui − α ·|u|^q

q − γ =

= α · |u|^q− α · |u|^q

q − γ = α · |u|^q· 1 − 1 q

!

− γ.

Dziel¡c równo±¢ (2.3) stronami przez α oraz podnosz¡c do pot¦gi _q−1^q dostajemy, »e

|u|^q = α^−q−1q · |v|^q−1q . (2.4) Niech teraz p b¦dzie taka liczb¡, »e

1 q +1

p = 1, st¡d

p = q q − 1

uwzgl¦dniaj¡c powi¡zanie p i q oraz (2.4) dostajemy ostatecznie, »e

G^∗(v) = α · |u|^q· 1 −1 q

!

− γ = α · α^−q−1q · |v|^q−1q ·1

p − γ =

α · α^−p· |v|^p· 1

p − γ = α^1−p· |v|^p· 1

p − γ = α^−pq · |v|^p p − γ.

Do dalszych rozwa»a« przydatny b¦dzie

Lemat 2.1 ([3, Lemma 2.2, str. 30]). Niech X b¦dzie przestrzeni¡ Banacha, F : X → R ∪ {∞}, nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

(a) F jest wypukªa i póªci¡gªa z doªu,

(b) F jest supremum wszystkich ci¡gªych funkcji anicznych o warto±ciach mniej- szych w dowolnym punkcie przestrzeni X od warto±ci funkcji F .

Tematyka pracy nie wymaga rozwa»ania sprz¦»enia Fenchela dla funkcji okre±lo- nej na dowolnej przestrzeni Banacha X. St¡d te» w dalszych rozwa»aniach b¦dziemy przyjmowa¢, »e X = R^N.

Wprowad¹my oznaczenie:

Γ₀^R^N  zbiór wszystkich wypukªych i póªci¡gªych z doªu funkcji F : R^N → R ∪ {∞}, których dziedzina efektywna, to jest zbiór

dom(F ) = {u ∈ R^N : F (u) < ∞}

jest niepusta.

Uwaga 2.1. Ustalmy elementy α ∈ R i v ∈ R^N. Ci¡gªa funkcja aniczna hv, .i − α, okre±lona na przestrzeni R^N, przyjmuje w ka»dym punkcie przestrzeni R^N warto±ci nie wi¦ksze od warto±ci funkcji F : R^N → R ∪ {∞} wtedy i tylko wtedy, gdy

α ­ hv, .ui − F (u) dla u ∈ R^N, to jest, gdy

α ­ F^∗(v)

Uwaga 2.2. Z denicji sprz¦»enia Fenchela funkcji F : R^N → R ∪ {∞} wynika, »e F^∗ jest funkcj¡ wypukª¡ i póªci¡gª¡ z doªu (jako supremum funkcji wypukªych i póªciagªych z doªu). Z drugiej strony z lematu 2.1 wynika istnienie (v, α) ∈ R^N × R, »e

F (u) ­ hv, .ui − α dla u ∈ R^N, czyli

F^∗(v) ¬ α.

Oznacza to, »e dom(F^∗) 6= φ, sk¡d F^∗ ∈ Γ₀^R^N.

Uwaga 2.3. Bezpo±rednio z denicji sprz¦»enia Fenchela funkcji F : R^N → R ∪ {∞}

wynika tak zwana nierówno±¢ Fenchela

F (u) + F^∗(v) ­ hv, .ui dla u, v ∈ R^N.

Uwaga 2.4. Ciekaw¡ wªasno±ci¡ jest te» fakt, »e je»eli F1, F₂ ∈ Γ₀^R^Noraz F1 ¬ F₂, to F1^∗ ­ F₂^∗.

Twierdzenie 2.1. Je»eli F ∈ Γ0

R^N, to (F^∗)^∗ = F.

Dowód. Niech u ∈ R^N. Mamy z lematu 2.1, uwagi 2.1 i denicji sprz¦»enia Fenchela

F (u) = sup

(v, α) ∈ R^N × R, hv, .i − α ¬ F

(hv, ui − α) = sup

(v, α) ∈ R^N × R, α ­ F^∗

(hv, ui − α)

= sup

v∈R^N

sup

α­F^∗(v)

(hv, ui − α)

!

= sup

v∈R^N

(hv, ui − F^∗(v)) = (F^∗(v))^∗.

Denicja 2.3. Niech F ∈ Γ0

R^N. Subró»niczk¡ funkcji F nazywamy zbiór

∂F (u) =ⁿv ∈ R^N : F (w) ­ F (u) + hv, w − ui dla w ∈ R^No.

Subró»niczka ma nast¦puj¡c¡ interpretacj¦ geometryczn¡. Rozwa»my funkcj¦ wypu- kª¡ F : R → R. Obierzmy punkt u ∈ R. Równanie wszystkich prostych przechodz¡cych przez punkt u ma posta¢

y = v · (w − u) + F (u),

gdzie v ∈ R. Ka»da taka prosta jest wyznaczona jednoznacznie przez element v ∈ R, to znaczy przez jej wspóªczynnik kierunkowy. Subró»niczka funkcji F w punkcie u mo»e by¢ wi¦c interpretowana geometrycznie jako zbiór wszystkich prostych (anicznych) przechodz¡cych przez punkt (u, F (u)), które nie le»¡ powy»ej wykresu funkcji F. W przypadku gdy F jest ró»niczkowalna w punkcie u jedyn¡ tak¡ prost¡ jest styczna do wykresu F w punkcie (u, F (u)) .

Subró»niczka funkcji F ∈ Γ0

R^N posiada szereg interesuj¡cych wªasno±ci.

Wªasno±¢ 2.1. F posiada subró»niczk¦ w punkcie u0 ∈ R^N wtedy i tylko wtedy, gdy u₀ ∈ dom(F ) oraz istnieje aniczna funkcja ci¡gªa hv, .i + α (v ∈ R^N, α ∈ R^N) taka,

»e

hv, ui + α < F (u) dla u ∈ R^N oraz

hv, u0i + α = F (u0).

Wªasno±¢ 2.2. F (u) = inf F wtedy i tylko wtedy, gdy 0 ∈ ∂F (u).

Wªasno±¢ 2.3. Je»eli v1 ∈ ∂F (u1), oraz v2 ∈ ∂F (u2), to hv1− v2, u1− u2i ­ 0.

(Wªasno±¢ ta mówi, »e subró»niczka jest wielowarto±ciowym operatorem monotonicz- nym).

Wªasno±¢ 2.4. Subró»niczka funkcji F jest zbiorem domkni¦tym i wypukªym.

Powy»sze wªasno±ci wynikaj¡ bezpo±rednio z denicji subró»niczki, st¡d ich dowody pomijamy.

Stwierdzenie 2.1. Je»eli F ∈ Γ0

R^N, to wykres odwzorowania

∂F : R^N → 2^RN u 7→ ∂F (u),

to znaczy zbiór

G(∂F ) = ⁿ(u, v) ∈ R^N × R^N : v ∈ ∂F (u)^o jest domkni¦ty.

Dowód. Niech (un, v_n) ⊂ G(∂F ) b¦dzie dowolnym ci¡giem zbie»nym do (u, v) ∈ R^N × R^N. Mamy

F (w) ­ F (u_n) + hv_n, w − u_ni

dla wszystkich w ∈ R^N, oraz n ∈ N. St¡d z póªci¡gªo±ci z doªu funkcji F dostajemy F (w) ­ lim inf

n→∞ (F (u_n) + hv_n, w − u_ni) ­ F (u) + hv, w − ui zatem v ∈ ∂F (u), co ko«czy dowód.

Udowodnimy teraz twierdzenie podaj¡ce zwi¡zek mi¦dzy sprz¦»eniem Fenchela i subró»niczk¡. Jest ono niezwykle istotne w metodach dualnych i optymalizacji.

Twierdzenie 2.2. Niech F ∈ Γ0

R^N, u, v ∈ R^N. Nast¦puj¡ce warunki s¡ równo- wa»ne:

(a) v ∈ ∂F (u),

(b) F (u) + F^∗(v) = hv, ui , (c) u ∈ ∂F^∗(v).

Dowód. Niech u, v ∈ R^N.

(a)⇔(b) Z denicji subró»niczki i przeksztaªcenia Fenchela mamy

(v ∈ ∂F (u)) ⇔^hv, ui − F (u) ­ hv, wi − F (w) dla w ∈ R^N⇔

⇔ hv, ui − F (u) = sup

w∈R^N

(hv, wi − F (w))

!

⇔ (hv, ui − F (u) = F^∗(v)) ⇔

⇔ (F (u) + F^∗(v) = hv, ui)

(b)⇔(c) Z twierdzenia 2.1 i udowodnionej cz¦±ci dostajemy

(F (u) + F^∗(v) = hv, ui) ⇔ ((F^∗)^∗(u) + F^∗(v) = hv, ui) ⇔ (F^∗(v) + (F^∗)^∗(u) = hu, vi) ⇔ (u ∈ ∂F^∗(v)) .

Stwierdzenie 2.2. Niech F ∈ Γ0

R^N. Zaªó»my, »e istniej¡ staªe α > 0, q > 1, β ­ 1i γ ­ 0. takie, »e

−β ¬ F (u) ¬ α · |u|^q

q + γ dla u ∈ R^N. Wówczas, je»eli v ∈ ∂F (u), to

α^−pq · |v|^p

p ¬ hv, ui + β + γ (2.5)

oraz

|v| ¬^pα^pq · (|u| + β + γ) + 1^q−1. (2.6) Dowód. Niech v ∈ ∂F (u), wtedy z twierdzenia 2.2 F^∗(v) = hv, ui − F (u).St¡d, korzy- staj¡c z uwagi 2.4 oraz przykªadu 2.2 dostajemy

α^−pq · |v|^p

p − γ ¬ F^∗(v) ¬ hv, ui + β,

czyli

α^−pq · |v|^p

p − γ ¬ hv, ui + β.

Udowodnili±my zatem tez¦ (2.5). Zauwa»my, »e je»eli |v| ¬ 1, to teza (2.6) jest oczy- wista, zaªó»my zatem, »e |v| > 1. Mamy z (2.5) oraz nierówno±ci Schwartza

α^−pq · |v|^p

p ¬ |v| · |u| + β + γ ¬ |v| · |u| + (β + γ) · |v|

st¡d dziel¡c obie strony przez |v| dostajemy, »e α^−pq · |v|^p−1

p ¬ |u| + β + γ i dalej

|v|^p−1¬ p · α^pq · (|u| + β + γ) ¬ p · α^pq · (|u| + β + γ) + 1 sk¡d

|v| ¬^p · α^pq · (|u| + β + γ) + 1^

1 p−1

ale poniewa» _p−1¹ = q − 1 (bo ¹_p + ¹_q = 1), wi¦c

|v| ¬^p · α^pq · (|u| + β + γ) + 1^q−1.

Stwierdzenie 2.3. Niech F : R^N → R b¦dzie funkcj¡ wypukª¡ i ró»niczkowaln¡ w u ∈ R^N. Wówczas

∂F (u) = {∇F (u)}.

Dowód. Poka»¦ najpierw, »e {∇F (u)} ⊂ ∂F (u). Z wypukªo±ci F mamy, »e F (u + t(w − u)) − F (u)

t = F (t · w + (1 − t) · u) − F (u)

t ¬ F (w) − F (u)

dla dowolnych w ∈ R^N oraz t ∈ (0, 1). Przechodz¡c z t → 0 dostajemy z denicji ró»niczkowalno±ci F , »e

F (w) ­ F (u) + h∇F (u), w − ui ,

co oznacza, »e ∇F (u) ∈ ∂F (u), a tym samym {∇F (u)} ⊂ ∂F (u). Niech teraz v ∈

∂F (u).St¡d

F (w) − hv, wi ­ F (u) − hv, ui

dla dowolnych w ∈ R^N. Oznacza to, »e funkcja F (.) − hv, .i ma minimum w u. St¡d z ró»niczkowalno±ci funkcji F dostajemy, »e v = ∇F (u), czyli ∂F (u) ⊂ {∇F (u)} , co ko«czy dowód.

Do wykazania nast¦pnego stwierdzenia przydatny b¦dzie interesuj¡cy Lemat 2.2. Niech F : R^N → R^N. Zaªó»my, »e

1⁰. wykres funkcji F, to jest zbiór

G(F ) =ⁿ(u, v) ∈ R^N × R^N : v = F (u)^o jest domkni¦ty,

2⁰. funkcja przeksztaªca zbiory ograniczone w zbiory ograniczone.

Wówczas F jest ci¡gªa.

Dowód. Niech u0 ∈ R^N, oraz (un) ⊂ R^N b¦dzie dowolnym ci¡giem zbie»nym do u0. Udowodni¦, »e z ci¡gu (un)mo»na wybra¢ podci¡g (unk)taki, »e lim_k→∞F (u_nk) = F (u₀).

Warunek ten jest równowa»ny ci¡gªo±ci funkcji F w punkcie u0.Ci¡g (un)jako zbie»ny jest ograniczony. Z zaªo»enia 1⁰ wynika, »e (F (un)) jest ci¡giem ograniczonym, st¡d (u_n, F (u_n)) ⊂ G(F )jest te» ci¡giem ograniczonym, mo»na wi¦c wybra¢ z niego podci¡g (u_nk, F (u_nk)) zbie»ny do pewnego (u0, v). Z domkni¦to±ci wykresu funkcji F wynika,

»e (u0, v) ∈ G(F ), sk¡d v = lim_k→∞F (u_nk) = F (u₀).

Stwierdzenie 2.4. Je»eli F ∈ Γ0

R^N jest ±ci±le wypukªa i taka, »e

|u|→∞lim F (u)

|u| = ∞, (2.7)

to

F^∗ ∈ C¹(R^N, R).

Dowód. Bez straty ogólno±ci rozwa»a« mo»emy zaªo»y¢, »e 0 ∈ dom(F ). Ustalmy v ∈ R^N i zdeniujmy funkcj¦ Gv : R^N → R wzorem

G_v(w) = hv, wi − F (w)

Jest ona wobec ±cisªej wypukªo±ci F wypukªa. Poniewa» z (2.7) wynika, »e F jest koercytywna, wi¦c Gv posiada dokªadnie jedno maksimum osi¡gni¦te w pewnym u ∈ R^N.Z denicji sprz¦»enia Fenchela wynika, »e

F^∗(v) = hv, ui − F (u), co z kolei, na podstawie twierdzenia 2.2 oznacza, »e

u ∈ ∂F^∗(v).

Poniewa» u jest jedynym punktem maksimum funkcji Gv, wi¦c

∂F^∗(v) = {u}.

W ten sposób w omawianym przypadku odwzorowanie subró»niczki (to znaczy odwzo- rowanie przyporz¡dkowuj¡ce punktowi jego subró»niczk¦) mo»e by¢ traktowane jako funkcja

∂F^∗ : R^N → R^N

Poka»emy, »e ∂F^∗ jest ci¡gªa. Wobec stwierdzenia 2.1 i lematu 2.2 wystarczy pokaza¢

»e ∂F^∗ przeksztaªca zbiory ograniczone w ograniczone. Niech ρ b¦dzie dowoln¡ liczb¡

sko«czon¡. We¹my zbiór ⁿv ∈ R^N : |v| ¬ ρ^o. Trzeba pokaza¢ »e. zbiór {u ∈ R^N : u =

∂F^∗(u)} jest ograniczony. Niech u = ∂F^∗(u), wtedy z twierdzenia 2.2 v ∈ ∂F (u).

Mamy z denicji subró»niczki

F (0) ­ F (u) + hv, 0 − ui ,

czyli

hv, ui ­ F (u) − F (0), st¡d i z nierówno±ci Schwartza dostajemy dla u 6= 0

ρ ­ |v| ­ F (u) − F (0)

|u| (2.8)

Gdyby teraz zbiór {u ∈ R^N : u = ∂F^∗(v)} byª nieograniczony to mogliby±my w (2.8) przej±¢ z |u| → ∞ i z koercytywno±ci funkcji F dostaliby±my, »e ρ = ∞, co przeczy zaªo»eniu, »e ρ jest liczba sko«czon¡. Otrzymana sprzeczno±¢ dowodzi w konsekwencji,

»e ∂F^∗ jest funkcj¡ ci¡gª¡. Poka»emy w ko«cu, »e F^∗ ∈ C¹(R^N, R). We¹my dowolny v ∈ R^N i zaªó»my, »e {u} = ∂F^∗(v). We¹my te» dowolny ci¡g (hn) ⊂ R^N taki »e,

n→∞limhn= 0 oraz hn6= 0 dla n ∈ N. Oznaczmy

{un} = ∂F^∗(v + hn) dla n ∈ N . Z denicji subró»niczki ∂F^∗(v + hn)mamy

F^∗(v) ­ hu_n, v − (v + h_n)i + F^∗(v + h_n), czyli

F^∗(v + h_n) − F^∗(v) ¬ hu_n, h_ni dla n ∈ N. Natomiast z denicji subró»niczki ∂F^∗(v) mamy

F^∗(v + h_n) ­ hu, h_ni + F^∗(v),

czyli

F^∗(v + h_n) − F^∗(v) − hu, h_ni ­ 0 dla n ∈ N. St¡d z nierówno±ci Schwartza

0 ¬ F^∗(v + hn) − F^∗(v) − hu, hni

|h_n| ¬ hun, hni − hu, hni

|h_n| ¬ hun− u, hni

|h_n| ¬

¬ |u_n− u| · |h_n|

|h_n| = |un− u| .

Poniewa» ∂F^∗ jest odwzorowaniem ci¡gªym, wi¦c lim_n→∞u_n = u, co wraz z ostatnio otrzymanym ci¡giem nierówno±ci oznacza, »e F^∗ jest ró»niczkowalna oraz

∇F^∗(v) = u = ∂F^∗(v) Zatem F^∗ ∈ C¹(R^N, R).

Rozdziaª 3

Ukªady Hamiltona

3.1. Wprowadzenie

W caªym rozdziale przez WT^1,p oznacza¢ b¦dziemy przestrze« funkcji u : [0, T ] → R^2N caªkowalnych z p-t¡ pot¦g¡, maj¡cy sªab¡ pochodn¡ równie» caªkowaln¡ z p-t¡ pot¦- g¡. Analogiczna umowa dotyczy przestrzeni H_T¹¹. Zajmowa¢ si b dziemy ukªadami równa« postaci

˙q(t) = D_pH(t, q(t), p(t)) (3.1)

˙p(t) = −D_qH(t, q(t), p(t)),

gdzie niewiadomymi s funkcje q, p : [0, T ] → R, za± funkcja H : [0, T ] × R^N× R^N → R jest funkcj¡ dan¡. Ukªad (3.1) nazywa¢ b dziemy ukªadem Hamiltona, a funkcj Hamiltona albo Haniltonianem.

Do eleganckiego zapisu ukªadu (3.1) przydatny b¦dzie nam obiekt zdeniowany poni»ej

Denicja 3.1. Macierz¡ symplektyczn¡ nazywamy macierz J postaci

J =



 0N IN

−I_N 0_N



,

gdzie 0N oraz IN s¡ odpowiednio macierz¡ zerow¡ i jednostkow¡ N− wymiarow¡.

Macierz symplektyczna posiada szereg podstawowych wªasno±ci.

Wªasno±¢ 3.1.

1denicje s¡ analogiczne do denicji W_T^1,p i H_T¹ z rozdziaª u 1, z tym »e zbiorem warto±ci funkcji jest przestrze« R^2N

1.

J² = −I,

gdzie I jest macierz¡ jednostkow¡ 2N - wymiarow¡, 2.

hJu, vi = − hu, Jvi dla u, v ∈ R^2N,

3.

J · [q, p]^T = [p, −q]^T , dla q, p ∈ R^N.

Dowody tych wªasno±ci wynikaj¡ bezpo±rednio z wªasno±ci dziaªa« algebraicznych na macierzy J.

Oznaczmy

u(t) = [q(t), p(t)] ∈ R^2N

dla t ∈ [0, T ] . Wówczas, na podstawie wªasno±ci 3.1, 3 ukªad (3.1) mo»emy zapisa¢ w równowa»nych postaciach

˙u(t) = J∇H(t, u(t)), albo

J ˙u(t) + ∇H(t, u(t)) = 0 (3.2)

Rozwa»a¢ b¦dziemy problem istnienia rozwi¡za« ukªadu Hamiltona z warunkami brzegowymi, to znaczy problem

J ˙u(t) + ∇H(t, u(t)) = 0 (3.3)

u(0) = u(T )

Zauwa»my »e przy odpowiednich zaªo»eniach o gªadko±ci funkcji H ukªad (3.2) staje si¦ równaniem EuleraLagrange'a dla funkcjonaªu

ϕ(u) = −

ZT

0

1

2hJ ˙u(t), u(t)i + H(t, u(t))



dt (3.4)

okre±lonego na odpowiedniej przestrzeni funkcji T - okresowych.

Rzeczywi±cie, z wªasno±ci 3.1, 2 dostajemy

ϕ(u) = −

ZT

0



−1

2h ˙u(t), Ju(t)i + H(t, u(t))



dt,

a wi¦c równanie EuleraLagrange'a dla ϕ ma posta¢

1 2· d

dtJu (t) = −1

2· J ˙u (t) − ∇H(t, u(t)) czyli dokªadnie (3.2).

Funkcjonaª (3.4) nazwiemy funkcjonaªem dziaªania Hamiltona. W ten sposób ka»dy punkt krytyczny funkcjonaªu (3.4) staje si¦ rozwi¡zaniem problemu (3.3). Niestety na ogóª trudno znale¹¢ punkty krytyczne funkcjonaªu (3.4). Jest on bowiem nieograniczo- ny. Aby to wykaza¢ rozwa»my ci¡g

u_n(t) =



sin2nπt

T · a, cos2nπt T · a



,

gdzie a ∈ R^2N. i |a| = 1 Wówczas

ZT

0

1

2hJ ˙un(t), un(t)i dt =

= nπ T

ZT

0



sin2nπt

T · a, cos2nπt T · a



,



sin2nπt

T · a, cos2nπt T · a



dt =

nπ

T · |a|²·

ZT

0



sin² 2nπt

T + cos² 2nπt T



dt = kπ.

Zatem funkcjonaª ϕ jest nieograniczony gdy» funkcja H musi by¢ nawet przy najsªab- szych zaªo»eniach ograniczona, a tym samym nie mo»e zªagodzi¢ wzrostu wyra»enia hJ ˙u(t), u(t)i .

W ten sposób metoda wariacyjna polegaj¡ca na poszukiwaniu punktów krytycznych funkcjonaªu dziaªania zastosowana do problemu (3.3) staje si¦ nieefektywna

3.2. Dualno±¢ w sensie Clarke'a

Niech funkcja

H : [0, T ] × R^2N → R (t, u) 7→ H(t, u)

b¦dzie gªadk¡ funkcj¡² tak¡, »e dla wszystkich t ∈ [0, T ] H(t, .) speªnia zaªo»enia stwier- dzenia 2.3. Zdeniujmy dla funkcji H(t, .) sprz¦»enie Fenchela

H^∗(t, v) = sup

u∈R^N

(hv, ui − H(t, u)) . (3.5)

2gªadko±¢ oznacza w tym wypadku mozliwo±¢ wyprowadzenia równania Eulera - Lagrange'a dla funkcjonaªu (15).

Je»eli teraz

v = −Ju, to otrzymamy z wªasno±ci 3.1

ϕ(u) =

ZT

0

1

2h ˙v(t), u(t)i − H(t, u(t))



dt =

=

ZT

0



−1

2h ˙v(t), u(t)i + h ˙v(t), u(t)i − H(t, u(t))



dt =

=

ZT

0

1

2hJ ˙v(t), v(t)i + h ˙v(t), u(t)i − H(t, u(t))



dt =

=

ZT

0

1

2hJ ˙v(t), v(t)i + h ˙v(t), u(t)i − H(t, u(t))



dt.

Je»eli u i v b¦d¡ zwi¡zane ze sob¡ w ten sposób, »e u b¦dzie punktem realizuj¡cym supremum (3.5), to ostatnia równo±¢ przybierze posta¢

ZT

0

1

2hJ ˙v(t), v(t)i + H^∗(t, v(t))



dt

Zdeniujmy na przestrzeni WT^1,p funkcjonaª

χ(v) =

ZT

0

1

2hJ ˙v(t), v(t)i + H^∗(t, v(t))



dt (3.6)

funkcjonaª ten nazywa si¦ funkcjonaªem dziaªania Clarke'a albo funkcjonaªem dualnym.

Funkcjonaª (3.6) posiada ciekaw¡ wªasno±¢ mianowicie χ(v) = χ(v + c)

dla c ∈ R^2N. Dlatego w poszukiwaniu jego punktów krytycznych wystarczy ograniczy¢

sie do przestrzeni

W˜_T^1,p =



v ∈ W_T^1,p :

ZT

0

v(t)dt = 0



.

Udowodnimy teraz twierdzenie, które podsumuje nasze ostatnie rozwa»ania Twierdzenie 3.1. Niech

H : [0, T ] × R^2N → R (t, u) 7→ H(t, u)

b¦dzie funkcj¡

- mierzaln¡ ze wzgl¦du na t dla dowolnych u ∈ R^2N,

- ±ci±le wypukª¡ i ró»niczkowaln¡ w sposób ci¡gªy ze wzgl¦du na u dla p.w.

t ∈ [0, T ] .

Zaªó»my »e istniej¡ q > 1, α > 0, δ > 0, β, γ ∈ L^p(0, T ; R⁺) , (gdzie ¹_p + ¹_q = 1) takie, »e

δ · |u|^q

q − β(t) ¬ H(t, u) ¬ α ·|u|^q

q + γ(t) (3.7)

Wówczas funkcjonaª dualny

χ(v) =

ZT

0

1

2hJ ˙v(t), v(t)i + H^∗(t, v(t))



dt

jest ró»niczkowalny w sposób ci¡gªy na ˜W_T^1,p oraz, je±li v ∈ ˜W_T^1,p jest punktem krytycz- nym χ, to funkcja u zdeniowana wzorem

u(t) = ∇H^∗(t, ˙v(t), dla t ∈ [0, T ] , speªnia ukªad (3.2), to znaczy

J ˙u(t) + ∇H(t, u(t)) = 0,

oraz

u(0) = u(T ).

Dowód. Zauwa»my na pocz¡tku, »e speªnione s¡ zaªo»enia stwierdzenia 2.3, warunek (3.7) oznacza bowiem, »e dla p.w. t ∈ [0, T ]

H(t, u)

u ­ δ · |u|^q−1

q − β(t)

|u| , sk¡d

|u|→∞lim

H(t, u)

u = ∞.

W ten sposób korzystaj¡c ze stwierdzenia 2.3 mamy, »e H^∗(t, u)jest klasy C¹ze wzgl¦du na u dla p.w. t ∈ [0, T ] . Korzystaj¡c ponownie z (3.7) oraz przykªadu 2.2 i uwagi 2.4 dostajemy

α^−pq ·|v|^p

p − γ(t) ¬ H^∗(t, v) ¬ δ^−pq ·|v|^p

p + β(t) (3.8)

dla dowolnych v ∈ R^2N i p.w. t ∈ [0, T ] .

Poniewa» u i v s¡ ze sob¡ tak powi¡zane, »e v = ∇H(t, u), wi¦c ze stwierdzenia 2.3 i