1
Mechanika teoretyczna
Wykłady nr 9, 10 i 11
Charakterystyki geometryczne figur płaskich.
Główne centralne osie bezwładności.
2
Charakterystyki geometryczne
n Pole powierzchni
n Moment statyczny
– współrzędne środka ciężkości.
n Moment bezwładności
n Moment odśrodkowy
– główne centralne osie bezwładności.
3
Pole powierzchni
n Pole powierzchni jako całka z pól elementarnych:
A
A = ∫ dA
dA
ξ η
4
Pole powierzchni figury złożonej
n Pole powierzchni figury złożonej z figur prostych równe jest sumie pól
powierzchni figur składowych.
1 2
1 2
1
A A An
n
n i
i
A dA dA dA
A A A A
=
= + + + =
= + + + =
∫ ∫ ∫
∑
K K
ξ η
A1
A2
A3
5
Masa a pole powierzchni
A A
G=
∫
γhdA=γh dA∫
=γhAξ
η
h ξ
η η0
ξ0
G
dG
dA
C
6
Środek ciężkości
n Moment siły wypadkowej względem osi równy jest sumie momentów sił składowych:
0 A
h dA hA
γ ξ
∫
=γ ξ ξ0 =γ ξhγ∫
AhAdA=∫
AξAdA0
A A
h dA dA
hA A
γ η η
η = γ
∫
=∫
0 A
h dA hA γ η
∫
=γ η7
Moment statyczny pola względem osi
(1)n Suma iloczynów elementarnych pól powierzchni dA przez ich współrzędną względem osi (odległość ze znakiem), obejmująca całe pole.
0 A
Sη =
∫
ξdA= ⋅A ξ0 A
Sξ =
∫
ηdA= ⋅A ηdA
ξ η
ξ
η
8
Moment statyczny pola względem osi
(2)n Moment statyczny jest momentem rzędu pierwszego – współrzędna występuje w pierwszej potędze.
n Jednostką momentów statycznych jest jednostka długości w trzeciej potędze [m3, cm3, mm3].
n Znak momentu statycznego pola może być dodatni lub ujemny.
9
Moment statyczny figur złożonych
n Moment statyczny figury złożonej z figur prostych równy jest sumie
momentów statycznych figur prostych.
1 2
1
1 1 2 2
1 n
i n
i
n
n n i i
i
S S S S S
A A A A
η η η η η
ξ ξ ξ ξ
=
=
= = + + + =
= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅
∑
∑
K K
1 2
1
1 1 2 2
1 n
i n
i
n
n n i i
i
S S S S S
A A A A
ξ ξ ξ ξ ξ
η η η η
=
=
= = + + + =
= ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅
∑
∑
K K
10
Współrzędne środka ciężkości
0 A
dA S
A A
η
ξ ξ =
∫
=0 A
dA S
A A
ξ
η η =
∫
=1 1 2 2
0
1 2
n n
n
S A A A
A A A A
η ξ ξ ξ
ξ = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + +
K K
1 1 2 2
0
1 2
n n
n
S A A A
A A A A
ξ η η η
η = = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + K
K
11
Osie środkowe
(1)n Moment statyczny pola względem osi przechodzącej przez środek ciężkości równy jest 0.
n Jeżeli figura ma oś symetrii to środek ciężkości położony jest na niej.
η
C ξ
0 Sη =
0 Sξ =
C
12
Osie środkowe
(2)n Jeżeli figura ma dwie osie symetrii to środek ciężkości położony jest na ich przecięciu.
n Jeżeli figura ma środek symetrii to jest on środkiem ciężkości.
C C C
13
Moment bezwładności pola
n Momenty bezwładności pola są
odpowiednikiem masowych momentów bezwładności stosowanych w dynamice brył.
n Momenty bezwładności – rzędu drugiego – kwadrat współrzędnej.
n Jednostką momentu bezwładności jest jednostka długości w czwartej potędze [m4, cm4, mm4].
n Moment bezwładności jest zawsze >0.
14
Moment bezwładności pola względem osi
n Moment bezwładności pola względem osi jest sumą iloczynów elementarnych pól dA przez kwadraty ich odległości od osi (współrzędne na osi
prostopadłej).
2
A
Iη =
∫
ξ dA2
A
Iξ =
∫
η dAdA
ξ η
ξ
η
15
Biegunowy moment bezwładności pola
(1)n Moment bezwładności pola względem punktu równy jest sumie iloczynów pól elementarnych dA przez kwadraty ich odległości od bieguna.
2 0
A
I =
∫
ρ dA dAξ η
ξ
ρ η
0 16
Biegunowy moment bezwładności pola
(2)n Suma momentów bezwładności względem dwóch osi prostokątnego układu współrzędnych o początku w biegunie jest stała i równa
biegunowemu momentowi bezwładności (niezależnie od obrotu osi).
17
Biegunowy moment bezwładności pola
(3)( ) ( )
2 2 2 2 2
0
A A A
I =
∫
ρ dA=∫
ξ +η dA=∫
x +y dA2 2 2 2
0 y x
A A A A
I =
∫
ξ dA+∫
η dA=∫
x dA+∫
y dA= + = +Iη Iξ I IdA
ξ η
ξ
ρ η x
y
x
y
2 2 2 2 2
x y ρ =ξ η+ = +
18
Odśrodkowy moment bezwładności
(1)n Moment dewiacji, zboczenia.
n Suma iloczynów elementarnych pól dA przez iloczyn współrzędnych obejmująca całe pole.
A
Iξη =
∫
ηξdAdA
ξ η
ξ
η
19
Odśrodkowy moment bezwładności
(2)n Moment rzędu drugiego – iloczyn współrzędnych.
n Jednostką odśrodkowego momentu bezwładności jest jednostka długości w czwartej potędze [m4, cm4, mm4].
n Znak momentu odśrodkowego może być dodatni lub ujemny.
20
Odśrodkowy moment bezwładności
(3)n Moment odśrodkowy równy jest 0 jeżeli jedna z osi jest osią symetrii.
n Lustrzane odbicie figury lub obrót o 90o względem początku układu współrzędnych powoduje zmianę znaku momentu
odśrodkowego na przeciwny.
η0
ξ0
C
ξ
0 0 0 0
Iξ η =Iξη =
ξ0
η0
b
h ξ0
η0
b h
ξ0
η0
b
h
0 0 2 2
72 Iξ η = −b h
0 0 2 2
72 Iξ η =b h
0 0 2 2
72 Iξ η =b h
21
Momenty bezwładności pól figur złożonych
n Moment bezwładności figury złożonej z figur prostych równy jest sumie momentów bezwładności figur prostych:
– momenty bezwładności:
– odśrodkowy moment bezwładności:
1 2
1 n
n i
i
Iη Iη Iη Iη Iη
=
= + + +K =
∑
1 2
1 n
n n
i
Iξ Iξ Iξ Iξ Iξ
=
= + + +K =
∑
1 2
1 n
n n
i
Iξη Iξη Iξη Iξη Iξη
=
= + + +K =
∑
22
Równoległe przesunięcie osi układu współrzędnych
(1)1 2 a
ξ ξ= +
1 2 b
η η= +
ξ1
η1 η2
ξ2
a dA
b
23
Równoległe przesunięcie osi układu współrzędnych
(2)( )
1
2 2 2 2
1 2 2 2 2
A A A A A
Iη =
∫
ξ dA=∫
ξ +a dA=∫
ξ dA+ a∫
ξ dA a+∫
dA1 2 2
2 2
Iη =Iη + a S⋅ η +a A
( )
1
2 2 2 2
1 2 2 2 2
A A A A A
Iξ =
∫
η dA=∫
η +b dA=∫
η dA+ b∫
ηdA b+∫
dA1 2 2
2 2
Iξ =Iξ + ⋅b Sξ +b A
n Momenty bezwładności:
24
Twierdzenie Steinera
(1)n Jeżeli osie, z których dokonujemy transformacji są osiami własnymi, czyli:
n Moment bezwładności względem osi równoległych do osi własnych:
2 0
ξ =ξ η η2= 0
1 0
Iη =Iη +a A2
1 0
Iξ =Iξ +b A2
ξ1
η1 a
b η0
ξ0
C
0
25
Twierdzenie Steinera
(2)n Moment bezwładności względem osi środkowych (własnych) jest najmniejszy z wszystkich momentów względem osi równoległych do osi własnych.
0 1
Iη =Iη −a A2
0 1
Iξ =Iξ −b A2
ξ1
η1 a
b η0
ξ0
C
0
26
Przesunięcie bieguna
( )
1 12 2 2
0 1 1 1
A A
I =
∫
ρ dA=∫
η +ξ dA=Iξ +Iη( )
0 0
2 2 2 2
0 C
I =Iη +a A+Iξ +b A=I + a +b A
2
0 C
I =I +c A
2 2 2
c =a +b
ξ1
η1 a
b η0
ξ0
C
0 c
27
Transformacja momentów odśrodkowych
( )( )
1 1 1 1 2 2
2 2 2 2
A A
A A A A
I dA a b dA
dA b dA a dA ab dA
ξ η ξ η ξ η
η ξ ξ η
= = + + =
= + + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
1 1 2 2 2 2
Iη ξ =Iη ξ + ⋅b Sη + ⋅a Sξ +abA
ξ1
η1 η2
ξ2
a dA
b
28
Twierdzenie Steinera dla momentów odśrodkowych
n Jeżeli osie, z których dokonujemy transformacji są osiami własnymi, czyli:
n Moment odśrodkowy względem osi równoległych do osi własnych:
2 0
ξ =ξ η η2= 0
1 1 0 0
Iξ η =Iξ η +abA
1 2 0 0 2
Iξ η =Iξ η +a bA
0, 0 a> b>
2 0, 0
a < b> ξ
1
η1 a
b η0
ξ0
C
0
η2
a2
29
Przykład
(A1)x x0 h
b y0 y
dy dx
dA
x y
C
0
30
Przykład
(A2)0
3
2 2
0 0 0
2 2
0 3
hb h h
x A
b
y dx bh
I =∫y dA=∫∫ dy=∫y x dy=∫y b dy=
0
3
2 2
0 0 0
2 2
0 3
bh b b
y A
h
x dy hb
I =∫x dA=∫∫ dx=∫x y dx=∫x h dx=
n Momenty bezwładności względem osi przechodzących przez boki prostokąta:
( 2 2)
0 x y 3
I = + =I I bh h +b
0
2 2 2 2 2 2
0 0 2 0 2 0 2 2 0 4
hb h h
xy A
b h
xy dx x b b y b h
I =∫xydA=∫∫ dy=∫y dy= ∫y dy= =
x x0
h
b y0
y
dy dx
dA
x y
C
0
31
Przykład
(A3)2
0
2
3
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 12
b
b
h h h
x
h h h
A
b
y dx b bh
I y dA dy y x dy y b dy
− − − − −
=∫ =∫ ∫ =∫ =∫ =
2
0
2
3
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 12
h
h
b b b
y
b b b
A
h
x dy h hb
I x dA dx x y dx x h dx
− − − −
=∫ =∫∫ =∫ =∫ =
n Momenty bezwładności względem osi własnych – nowe granice całkowania:
( )
0 0
2 2
C x y 12
I =I +I =bh h +b
2
0 0
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
0 0 0
2 2
b
b
h h h
x y
h h h
A
b h
b h
xy dx x y
I xydA dy y dy y dy
− −
− − − −
=∫ =∫∫ =∫ = ⋅∫ = ⋅ =
x x0
h
b y0
y
dy dx
dA
x y
C
0
32
Przykład
(A4)0
2 3 2 3
2 3 4 12
x x
h bh h bh
I = −I A = −bh =
n Momenty bezwładności względem osi własnych – z tw. Steinera:
0
2 3 2 3
2 3 4 12
y y
b hb b hb
I = −I A = −bh =
( 2 2) 2 2 3 3 3 3 3 3
3 2 2 3 3 4 4 12 12
C
bh h b bh hb bh hb bh hb
I = h +b −bh + = + − − = +
0 0 2 2
4 2 2 0
x y
b h h b
I = −bh =
x x0
h
b y0
y
dy dx
dA
x y
C
0
33
Przykład
(B1)x y
b
y
h
dx
dA=ydx
y=Ax B+ 0
0
x y h
x b y
= =
= =
A h
= −b B=h ( 1)
h x
y x h h
b b
= − + = − −
x
34
Przykład
(B2)2
Iy=∫x dA
2 2
0 0
b b
y
I x ydx x hx h dx b
=∫ =∫ − +
3 2
0 b y
I hx hx dx
b
= −∫ +
4 3 3 3 3
0
1 1 1 1 1
4 3 4 3 12
b y
I hx hx hb hb hb
= − b + = − + =
1 3 x 12 I = h b
x y
b h y
dx
dA=ydx
x
35
Przykład
(B3)x y
b y
h dx
dA=dxdy ( 1)
h x
y x h h
b b
= − + = − −
dy x
2
Iy=∫x dA
2 2
0 0 0 0
2 2
0
0 0
3 2
0
h h
x h x h
b b b b
y
b h b
bx h
b
I x dydx x dydx
x y dx x hx h dx b hx hx dx b
− + − +
− +
= = =
= = − + =
= − + =
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫
4 3 3 3 3
0
1 1 1 1 1
4 3 4 3 12
b y
I hx hx hb hb hb
= − b + = − + =
36
Przykład
(B4)2
Ix=
∫
y dA3 3 2
0 0 0 0 0
1
3 3
hx h hx h
b b b b b
x
y h
I y dydx dx x h dx
b
− + − +
=∫ ∫ =∫ = ∫− + =
x y
b y h dx
dA=dxdy ( 1)
h x
y x h h
b b
= − + = − −
dy x
3 2 3
2 3
0
3 3 2 3 4 3 2
3 2 3 2
0 0
3 3 3
1 3 3
3
3 3 1 3
3 3 4 2
3
3 4 2 3 4 12
b
b b
h h h
x x h x h h dx
b b b
h x x x h x x x
dx x
b b b b b b
h b h b h b
b b b
= − + − + − + =
= − + − + = − + − + =
= − + − + = =
∫
∫
37
Przykład
(B5)Ixy =
∫
xydA2 2
0 0 0 0 0
2 2 2 2
2 2 3 2 2
2 2
0 0
2 4 2 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
0
1
2 2
1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
2 4 3 2 2 8 3 4 24
hx h hx h
b b b b b
xy
b b
b
y h
I xydydx x dx x x h dx
b
h h h h
x x x h dx x x h xdx
b b b b
h x h x x
h h b h b h b h b
b b
− + − +
= = = − + =
= − + = − + =
= − + = − + =
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
x y
b y h dx
dA=dxdy ( 1)
h x
y x h h
b b
= − + = − −
dy x
38
Przykład
(C1)( )
2
2
0 0 2
2 3
0 0
2 4 42
2 2
0 0 0
4 2 4
0
cos
cos
cos cos
4 4
sin cos
4 2 2 4
r y
r
r
I d d
d d
d r d
r r
π
π
π π
π
ρ ϕ ρ ρ ϕ
ϕ ρ ρ ϕ
ϕρ ϕ ϕ ϕ
φ ϕ ϕ π
= =
= =
= = =
= + =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
x y
dρ
dA=ρ ϕ ρd d
dϕ cos x=ρ ϕ
ρ ϕd
sin
y=ρ ϕ ρ ϕ
2
Iy=
∫
x dA39
Obrót układu współrzędnych
(1)2 x
A
I =
∫
y dA2 y
A
I =
∫
x dAxy A
I =
∫
xydA cos sin x=ξ φ η+ φsin cos y= −ξ φ η+ φ
dA
ξ η
ξ
η
x y
x
y
φ
ξ η
x y
φ ηcosφ
ηsinφ ξcosφ
ξsinφ
40
Obrót układu współrzędnych
(2)( )2
2
2 2 2 2
2 2
sin cos
sin 2 sin cos cos
sin cos 2 sin cos
x
A A
A A A
I y dA dA
dA dA dA
Iη Iξ Iξη
ξ φ η φ
ξ φ ξη φ φ η φ
φ φ φ φ
= = − + =
= − + =
= + −
∫ ∫
∫ ∫ ∫
( )2
2
2 2 2 2
2 2
cos sin
cos 2 sin cos sin
cos sin 2 sin cos
y
A A
A A A
I x dA dA
dA dA dA
Iη Iξ Iξη
ξ φ η φ
ξ φ ξη φ φ η φ
φ φ φ φ
= = + =
= + + =
= + +
∫ ∫
∫ ∫ ∫