• Nie Znaleziono Wyników

Pole powierzchni

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Pole powierzchni"

Copied!
14
0
0

Pełen tekst

(1)

1

Mechanika teoretyczna

Wykłady nr 9, 10 i 11

Charakterystyki geometryczne figur płaskich.

Główne centralne osie bezwładności.

2

Charakterystyki geometryczne

n Pole powierzchni

n Moment statyczny

– współrzędne środka ciężkości.

n Moment bezwładności

n Moment odśrodkowy

– główne centralne osie bezwładności.

3

Pole powierzchni

n Pole powierzchni jako całka z pól elementarnych:

A

A = ∫ dA

dA

ξ η

4

Pole powierzchni figury złożonej

n Pole powierzchni figury złożonej z figur prostych równe jest sumie pól

powierzchni figur składowych.

1 2

1 2

1

A A An

n

n i

i

A dA dA dA

A A A A

=

= + + + =

= + + + =

∫ ∫ ∫

K K

ξ η

A1

A2

A3

5

Masa a pole powierzchni

A A

G=

γhdA=γh dA

=γhA

ξ

η

h ξ

η η0

ξ0

G

dG

dA

C

6

Środek ciężkości

n Moment siły wypadkowej względem osi równy jest sumie momentów sił składowych:

0 A

h dA hA

γ ξ

=γ ξ ξ0 =γ ξhγ

AhAdA=

AξAdA

0

A A

h dA dA

hA A

γ η η

η = γ

=

0 A

h dA hA γ η

=γ η

7

Moment statyczny pola względem osi

(1)

n Suma iloczynów elementarnych pól powierzchni dA przez ich współrzędną względem osi (odległość ze znakiem), obejmująca całe pole.

0 A

Sη =

ξdA= ⋅A ξ

0 A

Sξ =

ηdA= ⋅A η

dA

ξ η

ξ

η

8

Moment statyczny pola względem osi

(2)

n Moment statyczny jest momentem rzędu pierwszego – współrzędna występuje w pierwszej potędze.

n Jednostką momentów statycznych jest jednostka długości w trzeciej potędze [m3, cm3, mm3].

n Znak momentu statycznego pola może być dodatni lub ujemny.

(2)

9

Moment statyczny figur złożonych

n Moment statyczny figury złożonej z figur prostych równy jest sumie

momentów statycznych figur prostych.

1 2

1

1 1 2 2

1 n

i n

i

n

n n i i

i

S S S S S

A A A A

η η η η η

ξ ξ ξ ξ

=

=

= = + + + =

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

K K

1 2

1

1 1 2 2

1 n

i n

i

n

n n i i

i

S S S S S

A A A A

ξ ξ ξ ξ ξ

η η η η

=

=

= = + + + =

= ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

K K

10

Współrzędne środka ciężkości

0 A

dA S

A A

η

ξ ξ =

=

0 A

dA S

A A

ξ

η η =

=

1 1 2 2

0

1 2

n n

n

S A A A

A A A A

η ξ ξ ξ

ξ = = ⋅ + ⋅ + + +

K K

1 1 2 2

0

1 2

n n

n

S A A A

A A A A

ξ η η η

η = = ⋅ + ⋅ + + + K

K

11

Osie środkowe

(1)

n Moment statyczny pola względem osi przechodzącej przez środek ciężkości równy jest 0.

n Jeżeli figura ma oś symetrii to środek ciężkości położony jest na niej.

η

C ξ

0 Sη =

0 Sξ =

C

12

Osie środkowe

(2)

n Jeżeli figura ma dwie osie symetrii to środek ciężkości położony jest na ich przecięciu.

n Jeżeli figura ma środek symetrii to jest on środkiem ciężkości.

C C C

13

Moment bezwładności pola

n Momenty bezwładności pola są

odpowiednikiem masowych momentów bezwładności stosowanych w dynamice brył.

n Momenty bezwładności – rzędu drugiego – kwadrat współrzędnej.

n Jednostką momentu bezwładności jest jednostka długości w czwartej potędze [m4, cm4, mm4].

n Moment bezwładności jest zawsze >0.

14

Moment bezwładności pola względem osi

n Moment bezwładności pola względem osi jest sumą iloczynów elementarnych pól dA przez kwadraty ich odległości od osi (współrzędne na osi

prostopadłej).

2

A

Iη =

ξ dA

2

A

Iξ =

η dA

dA

ξ η

ξ

η

15

Biegunowy moment bezwładności pola

(1)

n Moment bezwładności pola względem punktu równy jest sumie iloczynów pól elementarnych dA przez kwadraty ich odległości od bieguna.

2 0

A

I =

ρ dA dA

ξ η

ξ

ρ η

0 16

Biegunowy moment bezwładności pola

(2)

n Suma momentów bezwładności względem dwóch osi prostokątnego układu współrzędnych o początku w biegunie jest stała i równa

biegunowemu momentowi bezwładności (niezależnie od obrotu osi).

(3)

17

Biegunowy moment bezwładności pola

(3)

( ) ( )

2 2 2 2 2

0

A A A

I =

ρ dA=

ξ +η dA=

x +y dA

2 2 2 2

0 y x

A A A A

I =

ξ dA+

η dA=

x dA+

y dA= + = +Iη Iξ I I

dA

ξ η

ξ

ρ η x

y

x

y

2 2 2 2 2

x y ρ =ξ η+ = +

18

Odśrodkowy moment bezwładności

(1)

n Moment dewiacji, zboczenia.

n Suma iloczynów elementarnych pól dA przez iloczyn współrzędnych obejmująca całe pole.

A

Iξη =

ηξdA

dA

ξ η

ξ

η

19

Odśrodkowy moment bezwładności

(2)

n Moment rzędu drugiego – iloczyn współrzędnych.

n Jednostką odśrodkowego momentu bezwładności jest jednostka długości w czwartej potędze [m4, cm4, mm4].

n Znak momentu odśrodkowego może być dodatni lub ujemny.

20

Odśrodkowy moment bezwładności

(3)

n Moment odśrodkowy równy jest 0 jeżeli jedna z osi jest osią symetrii.

n Lustrzane odbicie figury lub obrót o 90o względem początku układu współrzędnych powoduje zmianę znaku momentu

odśrodkowego na przeciwny.

η0

ξ0

C

ξ

0 0 0 0

Iξ η =Iξη =

ξ0

η0

b

h ξ0

η0

b h

ξ0

η0

b

h

0 0 2 2

72 Iξ η = −b h

0 0 2 2

72 Iξ η =b h

0 0 2 2

72 Iξ η =b h

21

Momenty bezwładności pól figur złożonych

n Moment bezwładności figury złożonej z figur prostych równy jest sumie momentów bezwładności figur prostych:

– momenty bezwładności:

– odśrodkowy moment bezwładności:

1 2

1 n

n i

i

Iη Iη Iη Iη Iη

=

= + + +K =

1 2

1 n

n n

i

Iξ Iξ Iξ Iξ Iξ

=

= + + +K =

1 2

1 n

n n

i

Iξη Iξη Iξη Iξη Iξη

=

= + + +K =

22

Równoległe przesunięcie osi układu współrzędnych

(1)

1 2 a

ξ ξ= +

1 2 b

η η= +

ξ1

η1 η2

ξ2

a dA

b

23

Równoległe przesunięcie osi układu współrzędnych

(2)

( )

1

2 2 2 2

1 2 2 2 2

A A A A A

Iη =

ξ dA=

ξ +a dA=

ξ dA+ a

ξ dA a+

dA

1 2 2

2 2

Iη =Iη + a S η +a A

( )

1

2 2 2 2

1 2 2 2 2

A A A A A

Iξ =

η dA=

η +b dA=

η dA+ b

ηdA b+

dA

1 2 2

2 2

Iξ =Iξ + ⋅b Sξ +b A

n Momenty bezwładności:

24

Twierdzenie Steinera

(1)

n Jeżeli osie, z których dokonujemy transformacji są osiami własnymi, czyli:

n Moment bezwładności względem osi równoległych do osi własnych:

2 0

ξ =ξ η η2= 0

1 0

Iη =Iη +a A2

1 0

Iξ =Iξ +b A2

ξ1

η1 a

b η0

ξ0

C

0

(4)

25

Twierdzenie Steinera

(2)

n Moment bezwładności względem osi środkowych (własnych) jest najmniejszy z wszystkich momentów względem osi równoległych do osi własnych.

0 1

Iη =Iηa A2

0 1

Iξ =Iξb A2

ξ1

η1 a

b η0

ξ0

C

0

26

Przesunięcie bieguna

( )

1 1

2 2 2

0 1 1 1

A A

I =

ρ dA=

η +ξ dA=Iξ +Iη

( )

0 0

2 2 2 2

0 C

I =Iη +a A+Iξ +b A=I + a +b A

2

0 C

I =I +c A

2 2 2

c =a +b

ξ1

η1 a

b η0

ξ0

C

0 c

27

Transformacja momentów odśrodkowych

( )( )

1 1 1 1 2 2

2 2 2 2

A A

A A A A

I dA a b dA

dA b dA a dA ab dA

ξ η ξ η ξ η

η ξ ξ η

= = + + =

= + + +

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

1 1 2 2 2 2

Iη ξ =Iη ξ + ⋅b Sη + ⋅a Sξ +abA

ξ1

η1 η2

ξ2

a dA

b

28

Twierdzenie Steinera dla momentów odśrodkowych

n Jeżeli osie, z których dokonujemy transformacji są osiami własnymi, czyli:

n Moment odśrodkowy względem osi równoległych do osi własnych:

2 0

ξ =ξ η η2= 0

1 1 0 0

Iξ η =Iξ η +abA

1 2 0 0 2

Iξ η =Iξ η +a bA

0, 0 a> b>

2 0, 0

a < b> ξ

1

η1 a

b η0

ξ0

C

0

η2

a2

29

Przykład

(A1)

x x0 h

b y0 y

dy dx

dA

x y

C

0

30

Przykład

(A2)

0

3

2 2

0 0 0

2 2

0 3

hb h h

x A

b

y dx bh

I =y dA= dy=y x dy=y b dy=

0

3

2 2

0 0 0

2 2

0 3

bh b b

y A

h

x dy hb

I =x dA= dx=x y dx=x h dx=

n Momenty bezwładności względem osi przechodzących przez boki prostokąta:

( 2 2)

0 x y 3

I = + =I I bh h +b

0

2 2 2 2 2 2

0 0 2 0 2 0 2 2 0 4

hb h h

xy A

b h

xy dx x b b y b h

I =xydA= dy=y dy=y dy= =

x x0

h

b y0

y

dy dx

dA

x y

C

0

31

Przykład

(A3)

2

0

2

3

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 12

b

b

h h h

x

h h h

A

b

y dx b bh

I y dA dy y x dy y b dy

= = = = =

2

0

2

3

2 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 12

h

h

b b b

y

b b b

A

h

x dy h hb

I x dA dx x y dx x h dx

= = = = =

n Momenty bezwładności względem osi własnych – nowe granice całkowania:

( )

0 0

2 2

C x y 12

I =I +I =bh h +b

2

0 0

2

2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

0 0 0

2 2

b

b

h h h

x y

h h h

A

b h

b h

xy dx x y

I xydA dy y dy y dy

= = = = ⋅ = ⋅ =

x x0

h

b y0

y

dy dx

dA

x y

C

0

32

Przykład

(A4)

0

2 3 2 3

2 3 4 12

x x

h bh h bh

I = −I A    = bh =

n Momenty bezwładności względem osi własnych – z tw. Steinera:

0

2 3 2 3

2 3 4 12

y y

b hb b hb

I = −I A    = bh =

( 2 2) 2 2 3 3 3 3 3 3

3 2 2 3 3 4 4 12 12

C

bh h b bh hb bh hb bh hb

I = h +b bh    +    = + = +

0 0 2 2

4 2 2 0

x y

b h h b

I = bh =

x x0

h

b y0

y

dy dx

dA

x y

C

0

(5)

33

Przykład

(B1)

x y

b

y

h

dx

dA=ydx

y=Ax B+ 0

0

x y h

x b y

= =

 = =

A h

= −b B=h ( 1)

h x

y x h h

b b

= − + = −

x

34

Przykład

(B2)

2

Iy=x dA

2 2

0 0

b b

y

I x ydx x hx h dx b

== +

3 2

0 b y

I hx hx dx

b

= − +

4 3 3 3 3

0

1 1 1 1 1

4 3 4 3 12

b y

I hx hx hb hb hb

= − b + = − + =

1 3 x 12 I = h b

x y

b h y

dx

dA=ydx

x

35

Przykład

(B3)

x y

b y

h dx

dA=dxdy ( 1)

h x

y x h h

b b

= − + = −

dy x

2

Iy=x dA

2 2

0 0 0 0

2 2

0

0 0

3 2

0

h h

x h x h

b b b b

y

b h b

bx h

b

I x dydx x dydx

x y dx x hx h dx b hx hx dx b

− + − +

− +

= = =

= = + =

= − + =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

4 3 3 3 3

0

1 1 1 1 1

4 3 4 3 12

b y

I hx hx hb hb hb

= − b + = − + =

36

Przykład

(B4)

2

Ix=

y dA

3 3 2

0 0 0 0 0

1

3 3

hx h hx h

b b b b b

x

y h

I y dydx dx x h dx

b

+ +

=∫ ∫ == + =

x y

b y h dx

dA=dxdy ( 1)

h x

y x h h

b b

= − + = −

dy x

3 2 3

2 3

0

3 3 2 3 4 3 2

3 2 3 2

0 0

3 3 3

1 3 3

3

3 3 1 3

3 3 4 2

3

3 4 2 3 4 12

b

b b

h h h

x x h x h h dx

b b b

h x x x h x x x

dx x

b b b b b b

h b h b h b

b b b

= + − + − + =

= + + = + + =

= − + − + = =

37

Przykład

(B5)

Ixy =

xydA

2 2

0 0 0 0 0

2 2 2 2

2 2 3 2 2

2 2

0 0

2 4 2 3 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

0

1

2 2

1 1 1

2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 4 3 2 2 8 3 4 24

hx h hx h

b b b b b

xy

b b

b

y h

I xydydx x dx x x h dx

b

h h h h

x x x h dx x x h xdx

b b b b

h x h x x

h h b h b h b h b

b b

+ +

= = = + =

= + = + =

= + = + =

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

x y

b y h dx

dA=dxdy ( 1)

h x

y x h h

b b

= − + = −

dy x

38

Przykład

(C1)

( )

2

2

0 0 2

2 3

0 0

2 4 42

2 2

0 0 0

4 2 4

0

cos

cos

cos cos

4 4

sin cos

4 2 2 4

r y

r

r

I d d

d d

d r d

r r

π

π

π π

π

ρ ϕ ρ ρ ϕ

ϕ ρ ρ ϕ

ϕρ ϕ ϕ ϕ

φ ϕ ϕ π

= =

= =

= = =

= + =

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

x y

dA=ρ ϕ ρd d

cos x=ρ ϕ

ρ ϕd

sin

y=ρ ϕ ρ ϕ

2

Iy=

x dA

39

Obrót układu współrzędnych

(1)

2 x

A

I =

y dA

2 y

A

I =

x dA

xy A

I =

xydA cos sin x=ξ φ η+ φ

sin cos y= −ξ φ η+ φ

dA

ξ η

ξ

η

x y

x

y

φ

ξ η

x y

φ ηcosφ

ηsinφ ξcosφ

ξsinφ

40

Obrót układu współrzędnych

(2)

( )2

2

2 2 2 2

2 2

sin cos

sin 2 sin cos cos

sin cos 2 sin cos

x

A A

A A A

I y dA dA

dA dA dA

Iη Iξ Iξη

ξ φ η φ

ξ φ ξη φ φ η φ

φ φ φ φ

= = − + =

= + =

= +

∫ ∫

∫ ∫ ∫

( )2

2

2 2 2 2

2 2

cos sin

cos 2 sin cos sin

cos sin 2 sin cos

y

A A

A A A

I x dA dA

dA dA dA

Iη Iξ Iξη

ξ φ η φ

ξ φ ξη φ φ η φ

φ φ φ φ

= = + =

= + + =

= + +

∫ ∫

∫ ∫ ∫

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

23. Dana jest liczba rzeczywista a. Niech P będzie dowolnym punktem wewnątrz czworokąta wypukłego ABCD. Udowod- nij, że środki ciężkości trójkątów 4P AB, 4P BC, 4P CD, 4P

Metalowy stożek, którego tworząca ma 12cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30 0 , przetopiono na 48 jednakowych kulek. Oblicz objętość jednej kulki oraz jej

pole powierzchni bocznej (czyli suma wszystkich pól ścian bocznych) całkowitej prostopadłościanu możemy obliczyć.. +2·a·c+2·b·c lub P c =2⋅(a·b+a·c+b·c)

Wskazani uczniowie, gdy wykonają zadania, muszą niezwłocznie przesłać wyniki przez komunikator na e-dzienniku, lub mailem na adres:.. matematyka2LOpm@gmail.com skan

Sposób obliczania https://www.youtube.com/watch?v=NYggdH2QuCI Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa to pole jego siatki, czyli podstaw (dolnej i górnej) oraz wszystkich

Oblicz pole powierzchni bocznej

Pole powierzchni bocznej sto˙zka jest trzy razy wie ι ksze od pola jego podstawy.. Ile razy obje ι to´s´ c sto˙zka jest wie ι ksza od obje ι to´sci kuli wpisanej w