V Всеукраїнська студентська науково - технічна конференція "ПРИРОДНИЧІ ТА ГУМАНІТАРНІ НАУКИ.
АКТУАЛЬНІ ПИТАННЯ"
119 УДК 517.944
Дан Е. – ст. гр. МА-11
Тернопільський національний технічний університет імені Івана Пулюя ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДО
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ПРИКЛАДНИХ ЗАДАЧ Науковий керівник: к.ф.-м.н., доцент Фурсевич Л.В.
Світ диференціальних рівнянь багатий майже настільки, наскільки різноманітним є реальний світ. Диференціальні рівняння описують різні еволюційні процеси і явища.
Вони вирішують завдання загальнотехнічних і прикладних дисциплін і самі виникають при їх вирішенні.
Розглянемо задачу: Тіло масою m падає з деякої висоти зі швидкістю v
. При падінні на тіло діє сила опору повітря F
o, яка пропорційна квадрату швидкості. Знайти закон руху падаючого тіла.
В момент часу t тіло знаходиться під дією сили тяжіння F
t( | F
t| mg
) і сили опору повітря ( | F
o| kv
2). Під дією цих сил тіло буде рухатись із прискоренням a . Запишемо другий закон Ньютона
для такого руху: m a F
t F
o. Спроектовуючи вектори цього рівняння на вісь s та враховуючи, що сила опору повітря спрямована протилежно до напрямку руху тіла, одержимо рівняння: ma mg kv
2, яке разом із початковими умовами s |
t0 і 0
|
t 00
v
, визначає задачу Коші для диференціального рівняння другого порядку:
2 2 2
d s ds
m mg k
dt dt
. Враховуючи що ds
dt і v d s
22dv ds dv ds dt v ds
dt рівняння набуде
вигляду: dv
2mv mg kv
ds . Відокремлення змінних приводить до інтеграла
2 1
mvdv ds C mg kv
, який дорівнює: ln | 2|
1
2
m mg kv C s
k . Враховуючи початкові умови одержимо, що mg
k C m ln
1
2 . Перетворення приводять до диференціального рівняння першого порядку:
1
2 2
1
ks
ds
mp e
dt
, де
k
p mg . Після відокремлення
змінних, одержимо:
1
2 2
1
2 kse
mds p dt C
. За допомогою підстановки
ks
z e
mми знаходимо розв’язок диференціального рівняння, який з урахуванням початкових умов, матиме вигляд:
2
ln 1
ks ks
m m
m mg
e e t
k k
. Після перетворень, одержимо шуканий
закон руху падаючого тіла: ln ln
2
kg kg
t t
m m
