1. Korzystając z definicji, zbadać, czy podane funkcje mają pochodną w punkcie z = 0:

Lista nr 5 Elektrotechnika sem.III, studia niestacjonarne, 2019/20

Różniczkowalność funkcji zespolonej zmiennej zespolonej

1. Korzystając z definicji, zbadać, czy podane funkcje mają pochodną w punkcie z = 0:

a) f (z) = z ² , b) f (z) = z, c) f (z) = Re z, d) f (z) = Im z 2. Obliczyć pochodne funkcji:

a) f (z) = 5z ⁴ + z ³ sin z, b) f (z) = e ^z

cos z , c) f (z) = sin(z ⁵ + 4z ² ), d) f (z) = e ^z

^+sin(2z) 3. Sprawdzić, w jakich punktach spełnione są warunki Cauchy–Riemanna dla podanych funkcji:

a) f (z) = z ² , b) f (z) = |z|, c) f (z) = Im z.

4. Znaleźć punkty, w których podane funkcje mają pochodne, a następnie obliczyć te pochodne w punktach, w których istnieją:

a) f (z) = z

|e ^z | , b) f (z) = Re z · Im z, c) f (z) = z ² Re z, d) f (z) = z + z 5. Wyznaczyć punkty (obszary), w których podane funkcje są holomorficzne:

a) f (z) = e ^z , b) f (z) = 1

z , c) f (z) = (Re z) ² 6. Sprawdzić, czy część rzeczywista i urojona funkcji:

a) f (z) = j + z ² , b) f (z) = 1

z , c) f (z) = cos z, d) f (z) = z + e ^z są funkcjami harmonicznymi.

7. Sprawdzić, czy podane funkcje są harmoniczne:

a) u(x, y) = x ² − y ² + xy, b) u(x, y) = x

x ² + y ² , c) u(x, y) = x cos y − y sin x

Znaleźć funkcję holomorficzną f (z) = u(x, y) + jv(x, y).