Funkcje wielu zmiennych
1 Zbiory na płaszczyźnie
Definicja Przestrzenią dwuwymiarową (płaszczyzną) nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (x, y), gdzie x, y ∈ R. Przestrzeń tę oznaczamy symbolem R2:
R2 = { (x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R }.
Elementy (x, y) tego zbioru nazywamy punktami płaszczyzny i oznaczamy P = (x, y). Liczby x, y nazywamy współrzędnymi punktu P .
Definicja Odległość punktów P1, P2 płaszczyzny oznaczamy symbolem d(P1, P2) i określamy wzorem:
d(P1, P2) = q(x2− x1)2+ (y2− y1)2, gdy P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) ∈ R2.
Uwaga Zamiast symbolu d(P1, P2), używa się także oznaczenia |P1P2|.
Przykład Odległość punktów P = (3, −4), Q = (4, −3) wynosi d(P, Q) =q(4 − 3)2+ (−3 − (−4))2 =√
2.
Definicja Otoczeniem punktu P0 ∈ R2 o promieniu r (r > 0) nazywamy zbiór:
U (P0, r) = { P ∈ R2 : d(P0, P ) < r }.
Otoczeniem punktu na płaszczyźnie jest koło otwarte o środku w punkcie P0 i promieniu r.
Uwaga Jeżeli promień otoczenia nie będzie istotny w rozważaniach, to zamiast U (P0, r) bę- dziemy pisać U (P0).
Definicja Sąsiedztwem punktu P0 ∈ R2 o promieniu r (r > 0) nazywamy zbiór:
S(P0, r) = { P ∈ R2 : 0 < d(P0, P ) < r }.
Łatwo zauważyć, że S(P0, r) = U (P0, r) \ { P0}.
Uwaga Jeżeli promień sąsiedztwa nie będzie istotny w rozważaniach, to zamiast S(P0, r) bę- dziemy pisać S(P0).
2 Funkcje dwóch zmiennych
Definicja Funkcją f dwóch zmiennych określoną na zbiorze D ⊂ R2 o wartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi (x, y) ∈ D dokładnie jednej liczby z = f (x, y) ∈ R.
Przykład
a) f (x, y) = ln(1 − x2− y2), b) g(x, y) =√
xy, c) F (x, y) = (x−2)(x−2)(y+1)2+(y+1)2. Definicja Dziedziną funkcji f nazywamy zbiór:
Df = { (x, y) ∈ R2 : ∃z∈R z = f (x, y) }.
Przykład Dziedziny funkcji podanych w poprzednim przykładzie są następujące:
a) Df = { (x, y) ∈ R2 : x2+ y2 < 1 }, b) Dg = { (x, y) ∈ R2 : xy 0 }, c) DF = R2 \ { (2, −1)}.
Definicja Wykresem funkcji f nazywamy zbiór:
Wf = { (x, y, z) : (x, y) ∈ Df ∧ z = f (x, y) }.
Definicja Poziomicą wykresu funkcji f odpowiadającą poziomowi h ∈ R nazywamy zbiór:
{ (x, y) ∈ Df : f (x, y) = h }.
Przykład
Wykresem funkcji f (x, y) = 1 − x − y jest płaszczyna o wektorze normalnym ~n = [1, 1, 1], a poziomicą odpowiadającą poziomowi h jest prosta określona równaniem krawędziowym
x + y + z = 1, z = h.
Wykresem funkcji f (x, y) = x2+y2jest paraboloida o wierzchołku w punkcie (0, 0, 0), a poziomicą odpowiadającą poziomowi h, gdzie h 0 jest okrąg x2+ y2 = h położony na płaszczyźnie z = h.
3 Granica funkcji dwóch zmiennych
Definicja Ciągiem punktów na płaszczyźnie nazywamy przyporządkowanie każdej liczbie na- turalnej punktu płaszczyzny R2.
Wartość tego przyporządkowania dla n ∈ N nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy przez Pn= (xn, yn). Ciąg taki oznaczamy symbolem {Pn} lub {(xn, yn)}.
Przykład
a) (xn, yn) = (1,n1), b) (xn, yn) = ((−1)n, (−1)n+1), c) (xn, yn) = (2−n, 3−n), n ∈ N.
Definicja Ciąg {Pn} = {(xn, yn)} jest zbieżny do punktu P0 = (x0, y0), co zapisujemy
n→∞lim Pn = P0 lub lim
n→∞(xn, yn) = (x0, y0),
wtedy i tylko wtedy, gdy
n→∞lim xn = x0 oraz lim
n→∞ yn = y0. Przykład
a) (xn, yn) = (1,n1), n ∈ N xn= 1, lim
n→∞ xn= 1, yn = 1
n, lim
n→∞ yn= 0, lim
n→∞(xn, yn) = (1, 0), b) (xn, yn) = ((−1)n, (−1)n+1), n ∈ N
n→∞lim (xn, yn) nie istnieje, c) (xn, yn) = (2−n, 3−n), n ∈ N.
n→∞lim (xn, yn) = (0, 0).
Definicja Niech P0 = (x0, y0) ∈ R2 oraz niech funkcja f będzie określona w sąsiedztwie S(P0).
Liczba A jest granicą funkcji f w punkcie P0, co zapisujemy lim
(x,y)→(x0,y0) f (x, y) = A, wtedy i tylko wtedy, gdy
n→∞lim (xn, yn) = (x0, y0) =⇒ lim
n→∞ f (xn, yn) = A dla dowolnego ciągu {(xn, yn)} ⊂ S(P0).
Uwaga Granicę funkcji f w punkcie (x0, y0) zapisujemy także w postaci
x→x0lim
y→y0
f (x, y).
Można też pisać
f (x, y) → A, gdy (x, y) → (x0, y0).
Przykład
(x,y)→(0,0)lim
q
x2+ y2 = 0, lim
(x,y)→(0,0)
1
x4+ y4 = ∞, lim
(x,y)→(0,0)
x
x + y nie istnieje.
4 Ciągłość funkcji dwóch zmiennych
Definicja Niech P0 = (x0, y0) ∈ R2 oraz niech funkcja f będzie określona w otoczeniu U (P0).
Funkcja f jest ciągła w punkcie (x0, y0) wtedy i tylko wtedy, gdy lim
(x,y)→(x0,y0)f (x, y) = f (x0, y0).
Przykład
Funkcja f (x, y) =√
x2+ y2 jest ciągła w punkcie (0, 0).
Funkcje f (x, y) = x4+y1 4 i f (x, y) = x+yx nie są ciągłe w punkcie (0, 0).
5 Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych
Definicja Niech P0 = (x0, y0) ∈ R2 oraz niech funkcja f będzie określona w otoczeniu U (P0).
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej x w punkcie P0 określamy wzorem
∂f
∂x(x0, y0) = lim
∆x→0
f (x0+ ∆x, y0) − f (x0, y0)
∆x
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej y w punkcie P0 określamy wzorem
∂f
∂y(x0, y0) = lim
∆y→0
f (x0, y0+ ∆y) − f (x0, y0)
∆y
Pochodne cząstkowe oznacza się także symbolami fx0(x0, y0), fy0(x0, y0), fx(x0, y0), fy(x0, y0), D1f (x0, y0), D2f (x0, y0).
Przykład
Pochodne cząstkowe funkcji f (x, y) = (x − y)3 w punkcie (0, 0) są właściwe (skończone)
∂f
∂x(0, 0) = lim
∆x→0
f (0 + ∆x, 0) − f (0, 0)
∆x = lim
∆x→0
(∆x)3− 0
∆x = 0
∂f
∂y(0, 0) = lim
∆y→0
f (0, 0 + ∆y) − f (0, 0)
∆y = lim
∆y→0
(−∆y)3− 0
∆y = 0
Pochodne funkcji f (x, y) =√3
x − y w punkcie (0, 0) są niewłaściwe
∂f
∂x(0, 0) = lim
∆x→0
f (0 + ∆x, 0) − f (0, 0)
∆x = lim
∆x→0
√3
∆x − 0
∆x = +∞
∂f
∂y(0, 0) = lim
∆y→0
f (0, 0 + ∆y) − f (0, 0)
∆y = lim
∆y→0
√3
−∆y − 0
∆y = −∞
Pochodne funkcji f (x, y) =√
x2 + y2 w punkcie (0, 0) nie istnieją
∂f
∂x(0, 0) = lim
∆x→0
f (0 + ∆x, 0) − f (0, 0)
∆x = lim
∆x→0
|∆x|
∆x nie istnieje
∂f
∂y(0, 0) = lim
∆y→0
f (0, 0 + ∆y) − f (0, 0)
∆y = lim
∆y→0
|∆y|
∆y nie istnieje
Niech P = (x, y) ∈ R2 oraz niech funkcja f będzie określona w otoczeniu U (P ). Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej x w punkcie P określamy wzorem
∂f
∂x(x, y) = lim
∆x→0
f (x + ∆x, y) − f (x, y)
∆x
Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej y w punkcie P określamy wzorem
∂f
∂y(x, y) = lim
∆y→0
f (x, y + ∆y) − f (x, y)
∆y Przykład
Funkcja f (x, y) = (x − y)3 = x3− 3x2y + 3xy2− y3 ma pochodne cząstkowe
fx0 = 3x2− 6xy + 3y2 = 3(x − y)2, fy0 = −3x2 + 6xy − 3y2 = −3(x − y)2
Funkcja f (x, y) =√3
x − y ma pochodne cząstkowe
fx0 = 1 3q3(x − y)2
, fy0 = −1 3q3 (x − y)2 Funkcja f (x, y) =√
x2+ y2 ma pochodne cząstkowe fx0 = x
√x2+ y2, fy0 = y
√x2 + y2
6 Gradient funkcji dwóch zmiennych
Definicja Gradientem funkcji f w punkcie P0 = (x0, y0) nazywamy wektor określony wzorem gradf (x0, y0) =hfx0(x0, y0), fy0(x0, y0)i
Gradient funkcji f oznacza się także symbolem ∇f (x0, y0).
Przykład
Gradient funkcji f (x, y) = x3− y3 w punkcie P0 = (1, 1) jest równy gradf (1, 1) = [ 3, −3 ]
Gradient funkcji f (x, y) = x3− y3 w punkcie P = (x, y) jest równy gradf =h3x2, −3y2i
7 Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji dwóch zmiennych
Definicja Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe fx0 i fy0 w punkcie P0 = (x0, y0).
Płaszczyznę styczną do wykresu z = f (x, y) funkcji f w punkcie P0 określamy wzorem z − z0 = fx0(x0, y0)(x − x0) + fy0(x0, y0)(y − y0),
gdzie z0 = f (x0, y0). Płaszczyznę styczną oznacza się symbolem π.
Przykład
Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji f (x, y) = x3− y3 w punkcie P0 = (1, 1) jest postaci π : z = 3(x − 1) − 3(y − 1)
lub po przekształceniach
π : 3x − 3y − z = 0