• Nie Znaleziono Wyników

Funkcje wielu zmiennych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Funkcje wielu zmiennych"

Copied!
5
0
0

Pełen tekst

(1)

Funkcje wielu zmiennych

1 Zbiory na płaszczyźnie

Definicja Przestrzenią dwuwymiarową (płaszczyzną) nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych (x, y), gdzie x, y ∈ R. Przestrzeń tę oznaczamy symbolem R2:

R2 = { (x, y) : x ∈ R ∧ y ∈ R }.

Elementy (x, y) tego zbioru nazywamy punktami płaszczyzny i oznaczamy P = (x, y). Liczby x, y nazywamy współrzędnymi punktu P .

Definicja Odległość punktów P1, P2 płaszczyzny oznaczamy symbolem d(P1, P2) i określamy wzorem:

d(P1, P2) = q(x2− x1)2+ (y2− y1)2, gdy P1 = (x1, y1), P2 = (x2, y2) ∈ R2.

Uwaga Zamiast symbolu d(P1, P2), używa się także oznaczenia |P1P2|.

Przykład Odległość punktów P = (3, −4), Q = (4, −3) wynosi d(P, Q) =q(4 − 3)2+ (−3 − (−4))2 =

2.

Definicja Otoczeniem punktu P0 ∈ R2 o promieniu r (r > 0) nazywamy zbiór:

U (P0, r) = { P ∈ R2 : d(P0, P ) < r }.

Otoczeniem punktu na płaszczyźnie jest koło otwarte o środku w punkcie P0 i promieniu r.

Uwaga Jeżeli promień otoczenia nie będzie istotny w rozważaniach, to zamiast U (P0, r) bę- dziemy pisać U (P0).

Definicja Sąsiedztwem punktu P0 ∈ R2 o promieniu r (r > 0) nazywamy zbiór:

S(P0, r) = { P ∈ R2 : 0 < d(P0, P ) < r }.

Łatwo zauważyć, że S(P0, r) = U (P0, r) \ { P0}.

Uwaga Jeżeli promień sąsiedztwa nie będzie istotny w rozważaniach, to zamiast S(P0, r) bę- dziemy pisać S(P0).

(2)

2 Funkcje dwóch zmiennych

Definicja Funkcją f dwóch zmiennych określoną na zbiorze D ⊂ R2 o wartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi (x, y) ∈ D dokładnie jednej liczby z = f (x, y) ∈ R.

Przykład

a) f (x, y) = ln(1 − x2− y2), b) g(x, y) =√

xy, c) F (x, y) = (x−2)(x−2)(y+1)2+(y+1)2. Definicja Dziedziną funkcji f nazywamy zbiór:

Df = { (x, y) ∈ R2 : ∃z∈R z = f (x, y) }.

Przykład Dziedziny funkcji podanych w poprzednim przykładzie są następujące:

a) Df = { (x, y) ∈ R2 : x2+ y2 < 1 }, b) Dg = { (x, y) ∈ R2 : xy ­ 0 }, c) DF = R2 \ { (2, −1)}.

Definicja Wykresem funkcji f nazywamy zbiór:

Wf = { (x, y, z) : (x, y) ∈ Df ∧ z = f (x, y) }.

Definicja Poziomicą wykresu funkcji f odpowiadającą poziomowi h ∈ R nazywamy zbiór:

{ (x, y) ∈ Df : f (x, y) = h }.

Przykład

Wykresem funkcji f (x, y) = 1 − x − y jest płaszczyna o wektorze normalnym ~n = [1, 1, 1], a poziomicą odpowiadającą poziomowi h jest prosta określona równaniem krawędziowym

x + y + z = 1, z = h.

Wykresem funkcji f (x, y) = x2+y2jest paraboloida o wierzchołku w punkcie (0, 0, 0), a poziomicą odpowiadającą poziomowi h, gdzie h ­ 0 jest okrąg x2+ y2 = h położony na płaszczyźnie z = h.

3 Granica funkcji dwóch zmiennych

Definicja Ciągiem punktów na płaszczyźnie nazywamy przyporządkowanie każdej liczbie na- turalnej punktu płaszczyzny R2.

Wartość tego przyporządkowania dla n ∈ N nazywamy n-tym wyrazem ciągu i oznaczamy przez Pn= (xn, yn). Ciąg taki oznaczamy symbolem {Pn} lub {(xn, yn)}.

Przykład

a) (xn, yn) = (1,n1), b) (xn, yn) = ((−1)n, (−1)n+1), c) (xn, yn) = (2−n, 3−n), n ∈ N.

Definicja Ciąg {Pn} = {(xn, yn)} jest zbieżny do punktu P0 = (x0, y0), co zapisujemy

n→∞lim Pn = P0 lub lim

n→∞(xn, yn) = (x0, y0),

(3)

wtedy i tylko wtedy, gdy

n→∞lim xn = x0 oraz lim

n→∞ yn = y0. Przykład

a) (xn, yn) = (1,n1), n ∈ N xn= 1, lim

n→∞ xn= 1, yn = 1

n, lim

n→∞ yn= 0, lim

n→∞(xn, yn) = (1, 0), b) (xn, yn) = ((−1)n, (−1)n+1), n ∈ N

n→∞lim (xn, yn) nie istnieje, c) (xn, yn) = (2−n, 3−n), n ∈ N.

n→∞lim (xn, yn) = (0, 0).

Definicja Niech P0 = (x0, y0) ∈ R2 oraz niech funkcja f będzie określona w sąsiedztwie S(P0).

Liczba A jest granicą funkcji f w punkcie P0, co zapisujemy lim

(x,y)→(x0,y0) f (x, y) = A, wtedy i tylko wtedy, gdy

n→∞lim (xn, yn) = (x0, y0) =⇒ lim

n→∞ f (xn, yn) = A dla dowolnego ciągu {(xn, yn)} ⊂ S(P0).

Uwaga Granicę funkcji f w punkcie (x0, y0) zapisujemy także w postaci

x→x0lim

y→y0

f (x, y).

Można też pisać

f (x, y) → A, gdy (x, y) → (x0, y0).

Przykład

(x,y)→(0,0)lim

q

x2+ y2 = 0, lim

(x,y)→(0,0)

1

x4+ y4 = ∞, lim

(x,y)→(0,0)

x

x + y nie istnieje.

4 Ciągłość funkcji dwóch zmiennych

Definicja Niech P0 = (x0, y0) ∈ R2 oraz niech funkcja f będzie określona w otoczeniu U (P0).

Funkcja f jest ciągła w punkcie (x0, y0) wtedy i tylko wtedy, gdy lim

(x,y)→(x0,y0)f (x, y) = f (x0, y0).

Przykład

Funkcja f (x, y) =√

x2+ y2 jest ciągła w punkcie (0, 0).

Funkcje f (x, y) = x4+y1 4 i f (x, y) = x+yx nie są ciągłe w punkcie (0, 0).

(4)

5 Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych

Definicja Niech P0 = (x0, y0) ∈ R2 oraz niech funkcja f będzie określona w otoczeniu U (P0).

Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej x w punkcie P0 określamy wzorem

∂f

∂x(x0, y0) = lim

∆x→0

f (x0+ ∆x, y0) − f (x0, y0)

∆x

Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej y w punkcie P0 określamy wzorem

∂f

∂y(x0, y0) = lim

∆y→0

f (x0, y0+ ∆y) − f (x0, y0)

∆y

Pochodne cząstkowe oznacza się także symbolami fx0(x0, y0), fy0(x0, y0), fx(x0, y0), fy(x0, y0), D1f (x0, y0), D2f (x0, y0).

Przykład

Pochodne cząstkowe funkcji f (x, y) = (x − y)3 w punkcie (0, 0) są właściwe (skończone)

∂f

∂x(0, 0) = lim

∆x→0

f (0 + ∆x, 0) − f (0, 0)

∆x = lim

∆x→0

(∆x)3− 0

∆x = 0

∂f

∂y(0, 0) = lim

∆y→0

f (0, 0 + ∆y) − f (0, 0)

∆y = lim

∆y→0

(−∆y)3− 0

∆y = 0

Pochodne funkcji f (x, y) =√3

x − y w punkcie (0, 0) są niewłaściwe

∂f

∂x(0, 0) = lim

∆x→0

f (0 + ∆x, 0) − f (0, 0)

∆x = lim

∆x→0

3

∆x − 0

∆x = +∞

∂f

∂y(0, 0) = lim

∆y→0

f (0, 0 + ∆y) − f (0, 0)

∆y = lim

∆y→0

3

−∆y − 0

∆y = −∞

Pochodne funkcji f (x, y) =√

x2 + y2 w punkcie (0, 0) nie istnieją

∂f

∂x(0, 0) = lim

∆x→0

f (0 + ∆x, 0) − f (0, 0)

∆x = lim

∆x→0

|∆x|

∆x nie istnieje

∂f

∂y(0, 0) = lim

∆y→0

f (0, 0 + ∆y) − f (0, 0)

∆y = lim

∆y→0

|∆y|

∆y nie istnieje

Niech P = (x, y) ∈ R2 oraz niech funkcja f będzie określona w otoczeniu U (P ). Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej x w punkcie P określamy wzorem

∂f

∂x(x, y) = lim

∆x→0

f (x + ∆x, y) − f (x, y)

∆x

Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem zmiennej y w punkcie P określamy wzorem

∂f

∂y(x, y) = lim

∆y→0

f (x, y + ∆y) − f (x, y)

∆y Przykład

Funkcja f (x, y) = (x − y)3 = x3− 3x2y + 3xy2− y3 ma pochodne cząstkowe

fx0 = 3x2− 6xy + 3y2 = 3(x − y)2, fy0 = −3x2 + 6xy − 3y2 = −3(x − y)2

(5)

Funkcja f (x, y) =√3

x − y ma pochodne cząstkowe

fx0 = 1 3q3(x − y)2

, fy0 = −1 3q3 (x − y)2 Funkcja f (x, y) =√

x2+ y2 ma pochodne cząstkowe fx0 = x

√x2+ y2, fy0 = y

√x2 + y2

6 Gradient funkcji dwóch zmiennych

Definicja Gradientem funkcji f w punkcie P0 = (x0, y0) nazywamy wektor określony wzorem gradf (x0, y0) =hfx0(x0, y0), fy0(x0, y0)i

Gradient funkcji f oznacza się także symbolem ∇f (x0, y0).

Przykład

Gradient funkcji f (x, y) = x3− y3 w punkcie P0 = (1, 1) jest równy gradf (1, 1) = [ 3, −3 ]

Gradient funkcji f (x, y) = x3− y3 w punkcie P = (x, y) jest równy gradf =h3x2, −3y2i

7 Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji dwóch zmiennych

Definicja Niech funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe fx0 i fy0 w punkcie P0 = (x0, y0).

Płaszczyznę styczną do wykresu z = f (x, y) funkcji f w punkcie P0 określamy wzorem z − z0 = fx0(x0, y0)(x − x0) + fy0(x0, y0)(y − y0),

gdzie z0 = f (x0, y0). Płaszczyznę styczną oznacza się symbolem π.

Przykład

Płaszczyzna styczna do wykresu funkcji f (x, y) = x3− y3 w punkcie P0 = (1, 1) jest postaci π : z = 3(x − 1) − 3(y − 1)

lub po przekształceniach

π : 3x − 3y − z = 0

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zajmiemy się teraz różniczkowaniem funkcji wielu zmiennych. Zaczniemy od pojęcia pochodnej cząstkowej, bo jest ono najważniejszym i zarazem najprostszym z tych, którymi przyjdzie

[r]

Konstrukcja będzie bardzo podobna do konstrukcji definicji całki Riemanna jednej zmiennej rzeczywistej - tylko.. oczywiście obiekty jednowymiarowe (jak odcinek) zastąpimy

Wiadomo było, że się porusza zgodnie z równaniami Keplera ruchów planet, ale konkretne parametry tego ruchu były tajemnicą. Jedynym, któremu udało się poprawnie

Na razie przeformułujmy to zagadnienie na język ekstremów warunkowych, rozwiązanie zostawiając na później... Załóżmy, że konsument ma do wydania na te

Jeśli największe wartości znajdują się jednocześnie w dwu wierzchołkach wielokąta, to te wierzchołki są sąsiednie i największe wartości są przyjmowane na krawędzi

Wewnątrz obszaru szukamy za pomocą pochodnych cząstkowych, na brzegu obszaru za pomocą pochodnej funkcji jednej zmiennej.. Na koniec wybieramy wartość najmniejszą

Wniosek: całka podwójna to objętość „krzywopowierzchniowego” prostopadłościanu... Całka podwójna