Niech s : R → R b edzie naturaln , a funkcj , a sklejan , a pierwszego rz , edu opart , a na w , ez lach , x 0 < x 1 < · · · < x n . Wyka˙z, ˙ze s mo˙zna jednoznacznie przedstawi´ c w postaci

Zadania domowe

(termin: 14 czerwca 2019)

Zadanie 16.

Niech s : R → R b edzie naturaln , a funkcj _, a sklejan _, a pierwszego rz _, edu opart _, a na w _, ez lach _, x ₀ < x ₁ < · · · < x _n . Wyka˙z, ˙ze s mo˙zna jednoznacznie przedstawi´ c w postaci

s(x) = a +

n

X

j=0

c _j |x − x _j | dla pewnych a i c _j , 0 ≤ j ≤ n, przy czym P n

j=0 c _j = 0.

Zadanie 17.

Znajd´ z w eze l a ∈ [0, 1) oraz wsp´ _, o lczynniki α i β tak, aby kwadratura Q(f ) = αf (a) + βf (1)

przybli˙zaj aca ca lk _, e _, R 1

0 f (x) dx mia la najwi ekszy rz _, ad. _, Zadanie 18.

Czy istnieje kwadratura postaci Q(f ) = a ₀ f (x ₀ ) + a ₁ f (x ₁ ) dla ca lki f 7→

Z +∞

0

f (x)e ^−x

^/2 dx,

kt´ ora jest dok ladna dla wszystkich wielomian´ ow stopnia ≤ 3? Je´sli tak to wska˙z x ₀ , x ₁ i a ₀ , a ₁ .

Zadanie 19.

Niech ˆ T _n (f ) b edzie z lo˙zon _, a kwadratur _, a trapez´ _, ow dla aproksymacji ca lki I(f ) = R b

a f (x) dx, opart a na r´ _, ownomiernym podziale odcinka [a, b] na n pododcink´ ow. Niech

Q ˆ _n (f ) = ˆ T _n (f ) − (b − a) ²

12n ² f ⁰ (b) − f ⁰ (a)
.

Wyka˙z, ˙ze je´sli f ∈ C ⁴ ([a, b]) to b l ad kwadratury |I(f ) − ˆ _, Q _n (f )| zbiega do zera co najmniej tak szybko jak n ⁻⁴ gdy n → ∞. (Uwaga: preferowane b ed _, a rozwi _, azania nie korzystaj _, ace _, bezpo´srednio z formu ly Eulera-Maclurina.)

Zadanie 20.

Zaproponuj metod e iteracyjn _, a obliczania 1/a dla dowolnego a > 0 nie u˙zywaj _, ac _, a dziele- _, nia. Jak wybra´ c przybli˙zenie pocz atkowe, aby metoda by la zbie˙zna? Jaki jest wyk ladnik _, zbie˙zno´sci?

(Wskaz´ owka: zastosuj metod e Newtona do funkcji f (x) = 1/x − a.) _,