Ile wynosi maksymalny rząd kwadratur opartych na n + 1 węzłach, przy czym każdy węzeł jest dwukrotny?

Zadania domowe 23-26

(termin: 30 maja 2020)

Zadanie 23.

Ile wynosi maksymalny rząd kwadratur opartych na n + 1 węzłach, przy czym każdy węzeł jest dwukrotny?

Zadanie 24.

Niech x _j dla 0 ¬ j ¬ n będą zerami (n + 1)-szego wielomianu ortogonalnego w przestrzeni L _2,ρ (a, b). Niech dalej l _j ∈ Π _n będą odpowiadającymi tym węzłom wielomianami Lagrange’a.

Wykaż, że dla f, g ∈ Π _n iloczyn skalarny w L _2,ρ (a, b) można wyrazić jako hf, gi L

:=

Z b a

f (x)g(x)ρ(x) dx =

n

X

j=0

w _j f (x _j )g(x _j ), gdzie w j = kl j k ² _L

= hl j , l j i L

.

Zadanie 25.

Wykaż, że jeśli |a| ¬ ¹ ₂ to sup

f ∈C

([−1,1])

Z 1

−1

(x ² − a ² )f [−a, a, x] dx = 1 2

Z 1

−1

(x ² − a ² ) dx = 1 3 − a ² .

Zadanie 26.

Niech F będzie klasą funkcji f : [0, 1] → R takich, że f (0) = f (1) oraz f jest lipschitzowska ze stałą 1. Całkę

S(f ) =

Z 1 0

f (x) dx, f ∈ F,

aproksymujemy algorytmem używającym jedynie wartości f w n punktach, tzn. przy pomocy formuły

A _n (f ) = Φ ^ f (x ₁ ), f (x ₂ ), . . . , f (x _n ) ^ ,

gdzie 0 ¬ x ₁ ¬ x ₂ ¬ · · · ¬ x _n ¬ 1, a Φ : R ⁿ → R jest dowolnym przekształceniem. Jak dobrać punkty x _i oraz przekształcenie Φ aby zminimalizować błąd

E _n (Φ, x 1 , . . . , x _n ) = sup

f ∈F

 S(f ) − Φ ^ f (x ₁ ), f (x 2 ), . . . , f (x n ) ^   ,

czyli błąd najgorszy aproksymacji całki w klasie F ?