Podsumowanie W4:

J.Z na podstawie W. Gawlika,2014

J

L S

• Dla oddz. spin-orbita model wektorowy daje: V_LS = a₃ l₁ ∙s₁+ a₄ l₂ ∙ s₂ = A L∙S tzn. L & S precesują wokół J a częstość precesji

jest miarą siły oddziaływania (A L∙S)

Podsumowanie W4:

 model wektorowy: jeśli V , to l s gdzie

LS

 



 ^_{j  l}^_{ s}^ _{ const}

 l, s precesują wokół wypadkowego krętu j

•

Dla czystego sprzężenia L-S, interwały między składowymi struktury subtelnej spełniają

regułę interwałów Landégo _{( 1)}

0

1 0

0





 E A J

EJ J

l s dtl

d   



 s l s

dt

d  

c V s m

dr l dW r c m c

m eV p

m

H  p²   ₃⁴ ₂  _{2 2}   ₂² ₂  8

1 2

1 8

2



 

Efekty relatywistyczne

r. Diraca elektronu w polu zewn.

 

^A

c p e p

eV E

E A

V  









 ,

,





 



  



 

 

 

V e mc c A

p e t c

d

id ^{  }  ² 







 



 









 



 







 





 0 1ˆ

0 , 1ˆ

ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ

0 ,

, 0  



 

 x y z

y x z

e e

i e

e i e

U  e



 

Dla małych prędkości r. Diraca  r. Pauliego:

U mc B

V e e c A

p e HU m

t d i dU











    



 

 



     

 

2 2

1 ²

mc s e mc

e 

 

   

 2

 różni się od r. Schr. o potencjalną energię dipola w polu zewn. B = rotA  elektron

zachowuje się jak cząstka mająca ładunek i moment magnetyczny:



E c di

m p e

c E m

e c

m eV p

m

H p² ₃⁴ ₂ _{2 2}    ₂² ₂   ] 8

4 [ 8

2      



  

J.Z na podstawie W. Gawlika,2014

poprawka : ₃⁴ _{2 2} ^{2 2} ₂  ₀ ²

2 1 2

2 1

8 H W

mc m

p mc c

m

p    

 



 







 



  

 

 

 

 



 ^' _{2 0} ^{2 0 2} ₂ ² 2 ^{2 2}₂ ⁴

2 ) 1

2 ( 1

r e Z r

E Ze mc E

r W Ze

E H

W mc H

E _{n n}

n

n n



wykorzyst. funkcje wodorowe:

0 2

2 2 2

0 3 2 2 1

0

2 2

, 1 )

( 1 , 1

1 1

a n

e E Z

a Z n l

r a

Z n

r  ⁿ  











 





 





 







2 2 1

2 2 '

4 3

l E n

n E Z

n n



poprawka  - oddz. spin – orbita:

l r s d dW r c E m

n

 

 



 1

2 ^{2 2}

2

" ,

) 1 ( ) (

1 , 1

, 1

3

0 3 2

3 1 3

2 2















 

 

 a

Z n l

l l r

r Ze r

d dW r r

W Ze gdy

l l s

l l E n n E Z

n n

 

 

 



 ² ( ₂¹)( 1)

2 2

"  ^{sl } ₂¹



^{j(j1)l(l 1)s(s1)}



^{, j l  1}₂



 





 



















2 2 1

2 2

4 '' 3

'

"

' j

E n n

E Z E

E

E  _n

poprawka  (Darwina)

) 2 (

) (

4 ^{2 2}

2 2

c r m

e Z r

Z V

V grad

E  





 

 







   0 tylko tam, gdzie

są ładunki (r=0)

l0, E= E’+ E”; l=0, E= E’+ E’’’

n=3 n=2

n=1

Wodór:

1

²

S

_1/2

2

²

S

_1/2

, 2

²

P

_1/2

2

²

P

_3/2

3

²

S

_1/2

, 3

²

P

_1/2

3

²

P

_3/2

, 3

²

D

_3/2

3

²

D

_5/2



^pozostaje

degeneracja przypadkowa E

c di m

Ze²₂²₂  

8

n n E

Z n

a Z c

m e E Z

n n

n 2

2 2 3

3 0 2 3

2 2

2 2 2 '

"

) 0 ( )

0 2 (





 _{    }





 



J.Z na podstawie W. Gawlika,2014

Magnetyzm atomowy:



oddział. atomów z polem magnet. – skomplikowane, bo J złożone z różnych krętów, – konkurencja różnych oddziaływań.

gdy pole = stałe, jednorodne pole B||0z, to:

0 ,

,

) (

, 0

2 1 2

1

2 1















z z

y z

x B y A B x A

A

r B A

V   

 

 ² ₂ ^{2 2 2}

2

8 sin

2 B r

m Bl e

H   m  _{B z}  _z

efekty Zeemana i Paschena-Backa

eV e A

e A i

e A m i

H  









 



 



 



















2

2 ( ) 2

2

1  

 



   

  

) (

0 cechowanie Coulomba A

di

A 



  

 

 





2 2

2 2 2 2

2 2

4 sin )

( )

4 ( e B r

r B r e B

e A

 z







 



 



     



z B z

z y

x z

y x

z e B l m Bl

grad e A

i x

y i l x

y B grad

A 



 ²

2 )

( )

2 (

1            





  

 

 

m e

B 2

 







 c Gauss

c² ₂ SI

0 0

2 1







poprawka diamagnetyczna

• cząstka o ładunku e w polu ^{(A,V) p e A eV}

H m  



 

 



2

2

1  



_B = magneton Bohra

ogólnie B  _B lB

• atom w polu B:

H=H

₀

+T

_ES

+T

_LS

+W _

  

i i

i i

i i

B

i B S

i i

i

i B

r m B

B e s l

W

B s B

r m B

B e l W

i

 







 



2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

8 sin )

2 (

2 8 sin































 



 

 

 

rzędy wielkości dla l=1, B=1T :

J m

r r

m B e

J mB

B e

i i

i i

B

28 10

2 2 2 2 2

23

10 10

sin 8 sin

2 10



















 

 ^



dla niskich stanów zaniedb. popr. diamagnet.

(<r>  n² )

oddz. atomu z polem – konieczne przybliżenia zależne od relacji T_ES ,T_LS , W

• efekt Zeemana w słabym polu dla sprzęż. L-S:

) 2 (L S B

W B

 

  

 

B B

B S L

W _B  _B   _L _S   



















 (  2 ) (  ) 

kryterium słabego pola; W<< str. subt.



rach. zaburzeń wzgl. poziomu ^2S+1L_J



!

J.Z na podstawie W. Gawlika,2014

poprawka od oddz. z zewn. polem (L-S):

W komutuje z J_z,  macierz (W) – diagonalna w bazie |E⁰ Jm_J>

rach. perturbacyjny możliwy, gdy: _'0 ¹

' 0

'

, 

 J J

m m

E E

W

J J

problem – obliczenie el. macierzowego z

operatora L+2S w bazie stanów J, m_J , gdy ^{L 2S J, L}_z ^2S_z ^J_z^{, B|| 0z}







   

podstawa modelu wektorowego:

tylko J jest całką ruchu, wektor A precesuje wokół J

 określony tylko jego rzut A_||

(częstość precesji - miarą J•A)

J

A A

_{|| A}^ _{ A}^ _{ cJ}^

||

tw. Wignera-Eckarta (tw. rzutowe):



dla operatorów wektorowych w przestrz. |Jm_J> {J², J_z}:

J J

A J

A 





 

2

 

) 2 (

, '

|

| ⁰

0

, ^' E Jm W E Jm W B L S

W _{J J B}

m m_{J J}





 







 

(



zastosowaliśmy już na W4 licząc V_LS dla at.2-el.)

] 2 [

) (

) 2

( ^{2 1}₂ ^{2 2 2}

2 2 2

2 J J S L

S J S

J L

S J S L

J J S J J S L

J    















 















    











 

















czynnik Landego

J g S

L  



2

J  

) 1 (

)]

1 ( ) 1 ( ) 1 ( [ ) 1

( ₂¹















 

J J

L L S

S J

J J

g J 0

) 1 (

)]

1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2

1 1  _^











 

 g_J

J J

L L S

S J

g J

q m m J J

q J

J q

J E Jm J E Jm g m _{J J}

J J

A Jm J

E A Jm

E    _







 



 ^{0 0 0} | | ⁰ ' _{, '}

) 1 (

| ' |

|

| 





J g S

L  



2

J2

g J

g  





J 

czynnik Landego (Landé factor)

• problem: znalezienie el. macierz. w bazie J, m_{W B (L 2S) J}

B





 

 

 tw. Wignera-Eckarta dla A  L+2S:

• równ. dla el.macierz.  równ. operatorów:

J J

A J

A 





 

2

 

J.Z na podstawie W. Gawlika,2014

 

 

B m g B

J g E

J

L S

J J

J S J

L J

J J

J J

J S J

J L

S L J

J

J B

B B

B B

B S

B L

S J L J

J

















 













 

 













 



 



   





 





 















 





























 

 



 







 

2 2 2

2

2

2 3

| 2 2 |

|

|

2

ef. Zeemana w modelu wektorowym

• oddz. B z atomem =

)

( L S

B   

^ ^{ }  ^  ^



B || 0z





_S



_L

S S

L

L _{L B}   _{S B} 







   ,   2



•

J, 2J+1 równoodległych podpoziomów

J S

L

• L i S precesują wokół J



_J

• gdy słabe pole mgt., precesja L i S niezaburzona





_L

i 

_S precesują wokół

J





nie pokrywa się z kierunkiem

J

ale szybko (~L•S) precesuje wokół

J

• przy obliczaniu

(, B) szybko oscyluje, ale ma średnią wartość = (J, B)



B E  







 

)

)

B

E J

 

 





 

klasyczny „ normalny ” ef. Zeemana:

S=0 (singlety), J=L,



^||J=L

 g_L=1, efekt czysto orbitalny,

₀ ₀ , ₀ E/h

„normalny”

tryplet Lorentza



B m E  

_{B L}

L=2 

2 1 0 -1 -2

 Dowód  spinu el.

Dowody

 spinu:

• str. subtelna, dubletowa str.

widm alkaliów,

• „anomalny” ef. Z.

• Doświadczenie Sterna-Gerlacha Gdy L=0, J=S,  g_S=2, efekt czysto spinowy, (naprawdę g_S  2+0.001 QED!)

m = 0, ±1 kwestia reguł wyboru później

Gdy S  0, J  L, g_J  1

 Różne rozszczepienia, dla różnych J

 „anomalny” efekt Zeemana

Nobel 1908 (+ H.A. Lorentz)

B m E  

_{B L}

L=1 

1 0 -1

 m_L

 kombinacji L (|m|1)

J.Z na podstawie W. Gawlika,2014

od lewej: Peter Zeeman, Albert Einstein, Paul Erhenfest

(źródło: http://www.mlahanas.de/Physics/Bios/PieterZeeman.html)

Przykład – sprzężenie. L-S + ef. Zeemana dla konfiguracji. p

²

H₀

p

²

[15]

 stopień degeneracji

+W

 m

_J

B  0

w sumie

15 podpoziomów

J

2J+1 równoodległych podpoziomów

Zeemanowskich

H₀ + V_ES

L=0, S=0 L=2, S=0

L=1, S=1

[(2L+1)(2S+1)]



H₀+V_ES+V_LS

J=1

³

P

₁

J=2

³

P

₂

J=0

³

P

₀

J=2

¹

D

₂

J=0

¹

S

₀

[2J+1]

