Rozpatrujemy zagadnienie Cauchy'ego:

Regularna teoria zaburze«

Rozpatrujemy zagadnienie Cauchy'ego:

( ˙x = f (t, x, ε),

x(t ₀ ) = x ₀ , (1)

gdzie 0 < ε  1 nazywamy maªym parametrem.

Rozwi¡zania tego zagadnienia poszukujemy w formie:

x ε (t) = x 0 (t) + εx 1 (t) + ε ² x 2 (t) + . . . + ε ⁿ⁻¹ x n−1 (t) + O(ε ⁿ ) i nazywamy asymptotycznym rozwini¦ciem wzgl¦dem maªego parametru ε dla x ε (t).

Przykªad 1. Znajd¹ asymptotyczne rozwini¦cie rozwi¡zania zagadnienia Cauchy'ego ( ˙x = ⁶ _t ε − x ² ;

x(1) = 1 + 3ε (2)

wzgl¦dem maªego parametru ε.

Rozwi¡zanie: Rozwini¦cia szukamy w postaci:

x _ε (t) = x ₀ (t) + εx ₁ (t) + ε ² x ₂ (t) + O(ε ³ ) (3) Ró»niczkujemy

˙x(t) = ˙x ₀ (t) + ε ˙x ₁ (t) + ε ² ˙x ₂ (t) + O(ε ³ ) (4) nast¦pnie kªadziemy (3)-(4) w równaniu ˙x(t) = ⁶ _t ε − x ² (t) :

˙x ₀ (t) + ε ˙x ₁ (t) + ε ² ˙x ₂ (t) + O(ε ³ ) = 6

t ε − x ₀ (t) + εx ₁ (t) + ε ² x ₂ (t) + O(ε ³ )
2

oraz w warunku pocz¡tkowym x(1) = 1 + 3ε

x ₀ (1) + εx ₁ (1) + ε ² x ₂ (1) + O(ε ³ ) = 1 + 3ε

Porównuj¡c skªadniki przy tych samych pot¦gach ε dostajemy zagadnienia na wyznaczenie x 0 (t), x 1 (t), x 2 (t) :

ε ⁰ :

( ˙x 0 = −x ² ₀ ; x 0 (1) = 1, ε ¹ :

( ˙x ₁ = ⁶ _t − 2x ₀ x ₁ ; x ₁ (1) = 3, ε ² :

( ˙x ₂ = −x ² ₁ − 2x ₀ x ₂ ;

x ₂ (1) = 0.

Kolejno szukamy rozwi¡za« powy»szych zagadnie«. Dla ε ⁰

˙x ₀ = −x ² ₀ ⇒ − 1

x ² ₀ dx = dt ⇒ − Z 1

x ² ₀ dx = Z

dt ⇒ 1

x ₀ = t + C ⇒ x ₀ = 1 t + c, Korzystaj¡c z warunku pocz¡tkowego x 0 (1) = 1, mamy

x 0 (t) = 1

t . (5)

Dla ε ¹ wykorzystuj¡c (5)

˙x ₁ = 6

t − 2x ₀ x ₁ ⇒ ˙x ₁ = 6 t − 2x ₁

t . (6)

Jest to równanie liniowe pierwszego rz¦du. Najpierw szukamy rozwi¡zania ogólnego równania jednorodnego:

˙x ₁ = − 2x ₁

t ⇒

Z 1

x ₁ dx ₁ = −2 Z 1

t dt ⇒ x ⁰ ₁ (t) = Ct ⁻² .

Teraz metod¡ uzmienniania staªej rozwi¡zania szczególnego równania niejednorodnego

x e ₁ (t) = C(t)

t ² ⇒ e x ⁰ ₁ = C ⁰ (t)t ² − 2C(t)t

t ⁴ .

Wstawiaj¡c x e 1 , x e ⁰ ₁ do (6) mamy C ⁰ (t)t ² − 2C(t)t

t ⁴ = 6

t − 2C(t)

t ³ ⇒ C ⁰ (t) = 6t ⇒ C(t) = 3t ² , wi¦c e x ₁ (t) = 3t ² · t ⁻² = 3. Zatem rozwi¡zanie ogólne równania (6) ma posta¢

x 1 (t) = C t ² + 3.

Korzystaj¡c z warunku pocz¡tkowego x 1 (1) = 3 dostajemy rozwi¡zanie x ( t) = 3.

Dla ε ² stosujemy (5) oraz x 1 (t) = 3 :

˙x ₁ = −x ² ₁ − 2x ₀ x ₂ ⇒ ˙x ₂ = −9 − 2

t x ₂ . (7)

Równie» jest to równanie liniowe pierwszego rz¦du. Wyznaczamy rozwi¡zanie ogólne równania jednorodnego:

˙x 2 = − 2x 2

t ⇒

Z 1

x ₂ dx 2 = −2 Z 1

t dt ⇒ x ⁰ ₂ (t) = C 2 t ⁻² .

Stosujemy metod¦ uzmienniania staªej do otrzymania rozwi¡zania szczególnego równania niejed- norodnego

e x ₂ (t) = C ₂ (t)

t ² ⇒ x e ⁰ ₂ = C ₂ ⁰ (t)t ² − 2C ₂ (t)t

t ⁴ .

Wstawiaj¡c x e ₂ , x e ⁰ ₂ do (7) mamy C ₂ ⁰ (t)t ² − 2C ₂ (t)t

t ⁴ = −9 − 2C ₂ (t)

t ³ ⇒ C ₂ ⁰ (t) = −9t ² ⇒ C 2 (t) = −3t ³ , wi¦c e x ₂ (t) = −3t ³ · t ⁻² = −3t. Zatem rozwi¡zanie ogólne równania (7) ma posta¢

C

Korzystaj¡c z warunku pocz¡tkowego x 2 (1) = 0 dostajemy rozwi¡zanie x 2 (t) = _t ³

2

− 3t.

Wstawiaj¡c otrzymane wyniki do (3) mamy rozwi¡zanie asymptotyczne postaci:

x _ε (t) = 1

t + 3ε + 3ε ²  1 t ² − t



+ O(ε ³ ).

Przykªad 2. Znajd¹ asymptotyczne rozwini¦cie rozwi¡zania zagadnienia Cauchy'ego



 

 

¨

x = −ε ˙x − 10;

x(0) = 0;

x ⁰ (0) = 1

(8)

wzgl¦dem maªego parametru ε.

Rozwi¡zanie: Warto tutaj zaznaczy¢, »e jest to równanie okre±laj¡ce ruch ciaªa rzuconego pionowo w powietrze je»eli opory powietrza s¡ brane pod uwag¦ (proporcjonalne do pr¦dko±ci).

W równaniu tym przy±pieszenie ziemskie g ≈ 10m/s ² , natomiast ε = _m ^k , gdzie k to wspóªczynnik zaburzenia, a m to masa ciaªa.

Rozwini¦cia szukamy w postaci:

x _ε (t) = x ₀ (t) + εx ₁ (t) + ε ² x ₂ (t) + O(ε ³ ) (9) Ró»niczkuj¡c mamy

˙x(t) = ˙x ₀ (t) + ε ˙x ₁ (t) + ε ² ˙x ₂ (t) + O(ε ³ )

¨

x(t) =¨ x ₀ (t) + ε¨ x ₁ (t) + ε ² x ¨ ₂ (t) + O(ε ³ ) (10) Kªadziemy (9)-(10) w równaniu oraz w warunkach pocz¡tkowych:



 

 

¨

x 0 (t) + ε¨ x 1 (t) + ε ² x ¨ 2 (t) + O(ε ³ ) = −ε ˙x 0 (t) − ε ² ˙x 1 (t) − 10 + O(ε ³ );

x 0 (0) + εx 1 (0) + ε ² x 2 (0) + O(ε ³ ) = 0;

˙x 0 (0) + ε ˙x 1 (0) + ε ² ˙x 2 (0) + O(ε ³ ) = 1.

Porównuj¡c skªadniki przy odpowiednich wykªadnikach ε dostajemy zagadnienia Cauchy'ego na wyznaczenie x 0 (t), x ₁ (t), x ₂ (t) :

ε ⁰ :



 

 

¨

x ₀ (t) = −10;

x ₀ (0) = 0;

˙x ₀ (0) = 1,

ε ¹ :



 

 

¨

x ₁ (t) = − ˙x ₀ (t);

x ₁ (0) = 0;

˙x ₁ (0) = 0,

ε ² :



 

 

¨

x ₂ (t) = − ˙x ₁ (t);

x ₂ (0) = 0;

˙x ₂ (0) = 0,

Kolejno szukamy rozwi¡za« powy»szych zagadnie«. Dla zagadnienia przy ε ⁰



 

 

¨

x 0 (t) = −10;

x 0 (0) = 0;

˙x 0 (0) = 1,

⇒



 

 

x 0 (t) = −5t ² + C 1 t + C 2 ; x 0 (0) = 0;

˙x 0 (0) = 1,

⇒



 

 

x 0 (t) = −5t ² + C 1 t + C 2 ; C 2 = 0;

C 1 = 1

⇒ x 0 (t) = −5t ² + t.

Dla zagadnienia przy ε ¹



 

 

¨

x ₁ (t) = − ˙x ₀ (t);

x ₁ (0) = 0;

˙x ₁ (0) = 0,

⇒



 

 

¨

x ₁ (t) = 10t − 1;

x ₁ (0) = 0;

˙x ₁ (0) = 0,

⇒



 

 

x ₁ (t) = ⁵ ₃ t ³ − ¹ ₂ t ² + C ₁ t + C ₂ ; x ₁ (0) = 0;

˙x ₁ (0) = 0,

⇒



 

 

x ₁ (t) = ⁵ ₃ t ³ − ¹ ₂ t ² ; C ₂ = 0;

C ₁ = 0

⇒ x ₁ (t) = 5 3 t ³ − 1

2 t ² . Dla zagadnienia przy ε ²



 

 

¨

x ₂ (t) = − ˙x ₁ (t);

x ₂ (0) = 0;

˙x ₂ (0) = 0,

⇒



 

 

¨

x ₂ (t) = −5t ² + t;

x ₂ (0) = 0;

˙x ₂ (0) = 0,

⇒



 

 

x ₂ (t) = − ₁₂ ⁵ t ⁴ + ¹ ₆ t ³ + C ₁ t + C ₂ ; x ₂ (0) = 0;

˙x ₂ (0) = 0,

⇒



 

 

x ₂ (t) = − ₁₂ ⁵ t ⁴ + ¹ ₆ t ³ ; C ₂ = 0;

C ₁ = 0

⇒ x 2 (t) = − 5

12 t ⁴ + 1 6 t ³ . Wstawiaj¡c otrzymane wyniki do (9) mamy rozwi¡zanie asymptotyczne postaci:

x ε (t) = −5t ² + t
+  5 3 t ³ − 1

2 t ²

 ε +



− 5

12 t ⁴ + 1 6 t ³



ε ² + O(ε ³ ).

Dla tego zagadnienia wyznaczmy dokªadne jego rozwi¡zanie i porównajmy z rozwi¡zaniem asymptotycznym otrzymanym przed chwil¡.

Rozwi¡»my najpierw równanie ¨x = −ε ˙x − 10, ε > 0. Jest to równanie liniowe drugiego rz¦du o staªych wspóªczynnikach. Równanie charakterystyczne dla cz¦±ci jednorodnej jest postaci:

k ² + εk = 0, ⇒ k(k + ε) = 0, ⇒ k ₁ = 0, k ₂ = ε.

St¡d rozwi¡zanie ogólne równania jednorodnego ma form¦

x ⁰ (t) = C 1 + C 2 e ^−εt .

Stosujemy metod¦ przewidywa« do wyznaczenia rozwi¡zania szczególnego (przypadek rezonan- sowy), mamy

x(t) = At, e A = const.

Licz¡c e x ⁰ (t) = A, x e ⁰⁰ (t) = 0 oraz wstawiaj¡c do równania niejednorodnego otrzymujemy

10

Zatem z zasady superpozycji otrzymujemy rozwi¡zanie ogólne:

x(t) = C ₁ + C ₂ e ^−εt − 10 ε t.

Teraz wyznaczmy rozwi¡zanie szczególne speªniaj¡ce warunki pocz¡tkowe (czyli rozwi¡zanie (8)):



 

 

x(t) = C ₁ + C ₂ e ^−εt − ¹⁰ _ε t;

x(0) = 0;

˙x(0) = 1

⇒

( x(t) = C ₁ + C ₂ e ^−εt − ¹⁰ _ε C ₁ = −C ₂ ; C ₂ = − ^10+ε _ε

2

⇒ x(t) = 10 + ε

ε ² 1 − e ^−εt
− 10

ε t. (11) Porównajmy otrzymane wyniki (11) z (10). Poniewa» e ^x = 1 + x + ^x _2!

²

+ ^x _3!

³

+ ^x _4!

⁴

+ . . . , wi¦c

1 − e ^−εt = εt − 1

2 ε ² t ² + 1

6 ε ³ t ³ − 1

24 ε ⁴ t ⁴ + . . . . St¡d

x(t) = 10 + ε

ε ² 1 − e ^−εt
− 10

ε t =  10 ε ² + 1

ε

  εt − 1

2 ε ² t ² + 1

6 ε ³ t ³ − 1

24 ε ⁴ t ⁴ + . . .



= 10

ε t − 5t ² + 5

3 εt ³ − 5

12 ε ² t ² + t − 1

2 εt ² + 1

6 ε ² t ³ − 1

24 ε ³ t ⁴ − 10 ε t

= −5t ² + t
+  5 3 t ³ − 1

2 t ²

 ε +



− 5

12 t ⁴ + 1 6 t ³



ε ² + O(ε ³ ).

W przykªadzie tym widzimy, »e rozwi¡zanie dokªadne i asymptotyczne s¡ jednakowe. Jednak»e, zazwyczaj otrzymanie rozwi¡zani ogólnego (b¡d¹ te» przeksztaªcenie go do rozwi¡zania asympto- tycznego) jest bardzo trudne.

Przykªady do samodzielnej pracy:

Zadanie: Znale¹¢ asymptotyczne rozwi¡zania zagadnienia Cauchy'ego wzgl¦dem maªego para- metru ε:

a)

( ˙x = 4εt − ² _x ;

x(1) = 1 + ε, b)

( ˙x = 4εt − x ² ; x(1) = 1 + 2ε,

c)

( ˙x = −5εt + ² _x ;

x(1) = 2, d)

( ˙x = e ^x−t + εx;

x(0) = −ε,