Inne spojrzenie. Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, odchylenie standardowe
Wprowadzenie Przeczytaj
Prezentacja mul medialna Sprawdź się
Dla nauczyciela
W tym materiale powtórzymy i utrwalimy wiadomości dotyczące średniej arytmetycznej, średniej ważonej oraz mediany. Do czego można je wykorzystać? Średnia arytmetyczna jest bodaj najczęściej wykorzystywana, np. podczas wyliczania średniej ocen ucznia na koniec roku – z tym na pewno mieliście już okazję się spotkać. Średnia ważona z kolei, przydaje się, gdy chcemy uśrednić wartości mające różną ważność (wagę) - często jest wykorzystywana w badaniach naukowych, w analizach, ale również w szkole, gdy na danym przedmiocie oceny z prac klasowych, kartkówek, odpowiedzi ustnych, za aktywność mają różny wpływ na ocenę podsumowującą. Mediana, podobnie jak średnia, jest jedną z tak zwanych miar tendencji centralnej i jest wykorzystywana między innymi w psychologii i statystyce.
Będziemy rozwiązywać ćwiczenia interaktywne, bazując na części teoretycznej materiału i podanych przykładach.
Twoje cele
Będziesz operować pojęciami ze statystyki, takimi jak: średnia arytmetyczna i ważona, mediana, wariancja oraz dominanta.
Określisz różnice między medianą, dominantą i średnią arytmetyczną tego samego zestawu danych.
Będziesz analizować dane statystyczne w celu wyznaczenia średniej, mediany, wariancji oraz mody.
Inne spojrzenie. Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, odchylenie standardowe
Źródło: Plush Design Studio, [online], dostępny w internecie:www.unsplash.com.
Przeczytaj
Średnie
Średnie to liczby, które określają różne rodzaje związków, jakie mogą zaistnieć między co najmniej trzema liczbami.
Średnia arytmetyczna dwóch liczb a, c nazywana jest potocznie średnią; jest to połowa sumy tych liczb: b=a+c2.
Liczba b jest średnią arytmetyczną liczb a i c tylko wtedy, gdy spełnia warunek a-b=b-c.
Średnią arytmetyczną n liczb a1,a2,…,an nazywamy liczbę a¯=a1+a2+…+ann. Średnia arytmetyczna n liczb to suma tych liczb podzielona przez liczbę n.
Średnią ważoną n liczb a1,a2,…,an, z których każda ma przyporządkowaną pewną nieujemną wagę w1,w2,…,wn, nazywamy liczbę w1·a1+w2·a2+…+wn·anw1+w2+…+wn.
Wartość średniej ważonej zależy od danych, którym przypisano określone wagi, większy udział w określeniu średniej ważonej mają dane o większej wadze niż te, którym przypisano mniejsze wagi.
Ciekawostka
Jeśli wszystkie wagi są równe, wówczas średnia ważona jest równa średniej arytmetycznej.
Przykład 1
Uczeń ma takie oto oceny:
prace klasowe: 4, 2, kartkówki: 4, 3, prace domowe: 5, 5.
Ocena końcowa z przedmiotu jest wyznaczona w oparciu o średnią arytmetyczną bądź ważoną.
Zobaczmy co jest korzystniejsze dla ucznia ? Jeśli wszystkie oceny mają takie same wagi to ich średnia arytmetyczna wynosi
4+2+4+3+5+56=236≈3,83.
Uczeń domaga się więc czwórki.
Gdyby jednak były wprowadzone wagi dla ocen np. za pracę klasową waga wynosi 5, za kartkówkę 3, a za pracę domową tylko 1, to średnia ważona wynosi:
5·4+5·2+3·4+3·3+1·5+1·55+5+3+3+1+1=5·(4+2)+3·(4+3)+1·(5+5)18=6118≈3,38 Teraz sytuacja wygląda inaczej, a oceną sugerowaną jest 3....
Mediana
Jeżeli mamy n liczb uporządkowanych niemalejąco, czyli takich, że: a1≤a2≤…≤an, to medianę zestawu tych liczb M określamy następująco: M=an+12 jeżeli n jest liczbą nieparzystą an2+an2+12, jeżeli n jest liczbą parzystą
Inaczej mówiąc, gdy uporządkujemy n liczb w niemalejący ciąg, to:
Źródło: www.pixabay.com, Autor: Jan Vasek
dla nieparzystej liczby wyrazów medianą nazywać będziemy środkowy wyraz (nie mylić ze średnią!), gdy zaś n jest parzyste, to mediana ma wartość średniej arytmetycznej dwóch środkowych
wyrazów tego ciągu.
Przykład 2
Wariancja
Jeżeli mamy n liczb uporządkowanych niemalejąco, czyli takich, że: a1≤a2≤…≤an, to wariancję σ2 określamy następująco: σ2=a1-a¯2+a2-a¯2+…+an-a¯2n,
gdzie a¯=a1+a2+…+ann (średnia arytmetyczna).
Odchylenie standardowe σ z n uporządkowanych danych a1,a2,…,an jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji: σ=σ2.
Przykład 3
Przyjrzyjmy się jeszcze raz ocenom Twojej koleżanki z poprzedniego przykładu. Ootrzymała dziesięć następujących ocen: 4, 5, 2, 3, 6, 3, 5, 4, 5, 6.
Policzmy średnią arytmetyczną, wariancję oraz odchylenie standardowe dla tej próbki.
2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6
a¯=2+3+3+4+4+5+5+5+6+610=4310=4,3
σ2=(2-4,3)2+(3-4,3)2+(3-4,3)2+(4-4,3)2+(4-4,3)2+(5-4,3)2+(5-4,3)2+(6-4,3)2+(6-4,3)210==(-2,3)2+(-1,3)2+(-1,3)2+
Odchylenie standardowe: σ=σ2=1,2688577540449520380193772746089…≈1,27
Wariancja i odchylenie standardowe charakteryzują rozproszenie danych (takich jak np. wiek, oceny, wzrost itp.) wokół średniej arytmetycznej. Mniejsza wartość odchylenia standardowego oznacza, że więcej jest liczb bliskich średniej arytmetycznej.
Przykład 4
Rozpatrzmy dwa ciągi: an=(1,2,2,3,3,3,3,4,4,5);bn=(1,1,1,2,3,3,4,5,5,5).
Średnie arytmetyczne wyrazów tych ciągów w obu przypadkach są jednakowe.
a¯=1+2+2+3+3+3+3+4+4+510=3010=3b¯=1+1+1+2+3+3+4+5+5+510=3010=3
Natomiast jak policzymy odchylenie standardowe, otrzymamy:
σa≈1,1 σb≈1,6 Średnia arytmetyczna
Wariancja
Średnia arytmetyczna
Wariancja
Podsumowanie
Gdy odchylenie jest małe, to liczby bliskie są średniej arytmetycznej, a im jest większe – tym bardziej wyrazy próbki przyjmują wartości skrajne.
Słownik
średnia arytmetyczna
n liczb to suma tych liczb podzielona przez liczbę n średnia ważona
n liczb a1,a2,…,an, z których każda ma przyporządkowaną pewną nieujemną wagę w1,w2,…,wn, to liczba w1·a1+w2·a2+…+wn·anw1+w2+…+wn
Prezentacja mul medialna
Polecenie 1
Przeanalizuj poniższą prezentację mul medialną i rozwiąż zadania.
Polecenie 2
Na diagramie przedstawiono wyniki codziennych pomiarów temperatury w południe w miejscowości X, w zaokrągleniu do pełnych stopni.
1. Oblicz, z ilu dni pochodzą obserwacje przedstawione na diagramie.
2. Jaka była średnia temperatura w miejscowości X w południe w badanym okresie? Wynik podaj z dokładnością do jednego stopnia.
3. Jaka jest mediana odnotowanych temperatur?
4. Jaka jest dominanta odnotowanych temperatur?
Polecenie 3
Dany jest zestaw liczb, określających wiek (w latach) zawodników drużyny piłkarskiej A:
24,25,24,30,19,20,21,20,19,25,27,19,28,24,31,22.
1. Uporządkuj ten zestaw niemalejąco.
2. Wyznacz przeciętny wiek zawodników drużyny A.
3. Czy mediana tego zestawu jest równa średniej arytmetycznej wieku zawodników tej drużyny?
4. Wyznacz dominantę tego zestawu danych, jeśli istnieje.
Uzupełnij
Sprawdź się
Ćwiczenie 1
Diagram przedstawia podział uczniów pewnej klasy ze względu na wybór języka obcego zdawanego na maturze. Liczba uczniów w klasie wynosi 32. Liczba uczniów, którzy wybrali język francuski, jest równa:
6 8 9 10 Ćwiczenie 2
Średnie zużycie paliwa trzech samochodów jest równe 8 litrów na 100 km.
6, 83, 82, 4
Gdyby każdy samochód spalał o połowę mniej paliwa, to średnie zużycie wynosiłoby: ...
Ćwiczenie 3
Osoby A, B, C mają wzrost odpowiednio: 170 cm, 175 cm i 180 cm. Oblicz średni wzrost tych osób.
Odpowiedź: ... cm.
Ćwiczenie 4
Mediana danych przedstawionych na diagramie jest równa:
200 300 350 400 Ćwiczenie 5
Trzy klasy A, B, C brały udział w sprawdzianie z matematyki. Klasa A liczy 30 uczniów i średnia liczba punktów uzyskanych ze sprawdzianu wynosi 40. Klasa B liczy 36 uczniów i średnia liczba punktów wynosi 28. Klasa C liczy 22 uczniów i średnia liczba punktów wynosi 45. Oblicz średnią liczbę punktów uzyskanych przez wszystkich uczniów tych trzech klas. Wynik podaj w zaokrągleniu do całości.
Odpowiedź: ...
Ćwiczenie 6
W pewnej firmie 30% pracowników ma 5-letni staż pracy, 40% pracowników ma 4-letni staż pracy, dwóch pracowników ma 2-letni staż pracy, pozostali mają roczny staż pracy. Średni staż pracy wszystkich
pracowników wynosi 3,6 lat. Oblicz liczbę pracowników mających najdłuższy staż pracy.
Odpowiedź: ...
Ćwiczenie 7
Średnia długość dziewięciu etapów wyścigu kolarskiego jest równa 190 km. Jaki dystans powinien mieć dziesiąty etap, aby średnia długość etapu z całego wyścigu była równa 200 km?
Odpowiedź: ... km.
Ćwiczenie 8
Poniższy diagram przedstawia zgrupowane dane statystyczne wyników matury z matematyki uczniów pewnej klasy. Oblicz średnią arytmetyczną i odchylenie standardowe tych danych.
<math><mn>10</mn><mo>,</mo><mn>96</mn></math>, <math><mn>23</mn><mo>,</mo>
<mn>83</mn></math>
Średnia arytmetyczna:
Odchylenie standardowe:
Dla nauczyciela
Autor: Adam Jackowski Przedmiot: Matematyka
Temat: Inne spojrzenie. Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, odchylenie standardowe Grupa docelowa:
Szkoła ponadpodstawowa, liceum ogólnokształcące, technikum Podstawa programowa:
Treści nauczania – wymagania szczegółowe:
XII. Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka. Zakres podstawowy. Uczeń:
3) oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę;
4) oblicza odchylenie standardowe zestawu danych (także w przypadku danych odpowiednio pogrupowanych), interpretuje ten parametr dla danych empirycznych;
Kształtowane kompetencje kluczowe:
kompetencje obywatelskie;
kompetencje cyfrowe;
kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się;
kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii.
Cele operacyjne:
Uczeń:
utrwala podstawowe pojęcia ze statystyki: średnia arytmetyczna i ważona, mediana, wariancja oraz dominanta,
wyznacza średnią, medianę, wariancję oraz dominantę,
określa różnice między medianą, dominantą i średnią arytmetyczną tego samego zestawu danych, analizuje, interpretuje i przetwarza dane statystyczne w celu wyznaczenia średniej, mediany, wariancji, dominanty.
Strategie nauczania:
konstruktywizm;
konektywizm.
Metody i techniki nauczania:
odwrócona klasa;
rozmowa nauczająca w oparciu o treści zawarte w sekcji „Prezentacja multimedialna” i ćwiczenia interaktywne;
dyskusja.
Formy pracy:
praca indywidualna;
praca w parach;
praca w grupach;
praca całego zespołu klasowego.
Środki dydaktyczne:
komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;
zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale;
tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.
Przebieg lekcji Przed lekcją:
Uczniowie na podstawie informacji zawartych w sekcji ,,Przeczytaj'' przypominają sobie wiadomości o średnich, medianie, dominancie i wariancji.
Faza wstępna:
1. Prowadzący wyświetla na tablicy interaktywnej zawartość sekcji „Wprowadzenie” i omawia cele do osiągnięcia w trakcie lekcji w temacie: „Inne spojrzenie. Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, odchylenie standardowe”.
2. Nauczyciel prosi o przygotowanie w parach pytań związanych z tematem. Czego się uczniowie chcą dowiedzieć? Co ich interesuje w związku z tematem lekcji?
Faza realizacyjna:
1. Nauczyciel czyta polecenie numer 1 - „Przeanalizuj poniższą prezentację multimedialną i rozwiąż zadania.” z sekcji „Prezentacja multimedialna”. Uczniowie zapoznają się treścią materiału, następnie na forum klasy wspólnie wyjaśniają ewentualne wątpliwości.
2. Nauczyciel przechodzi do sekcji „Sprawdź się”. Zapowiada uczniom, że w kolejnym kroku będą rozwiązywać ćwiczenia numer 1 i 2, i będą to robić wspólnie. Wybrana osoba czyta po kolei polecenia. Po każdym przeczytanym poleceniu ochotnik udziela odpowiedzi. Reszta uczniów ustosunkowuje się do niej, proponując swoje pomysły. Nauczyciel w razie potrzeby koryguje odpowiedzi, dopowiada istotne informacje, udziela uczniom informacji zwrotnej.
3. Nauczyciel dzieli klasę na 4‑osobowe grupy. Uczniowie rozwiązują zadania 3‑5 na czas (od zadania łatwiejszego do trudniejszych). Grupa, która poprawnie rozwiąże zadania jako pierwsza, wygrywa, a nauczyciel może nagrodzić uczniów ocenami za aktywność. Rozwiązania są prezentowane na forum klasy i omawiane krok po kroku.
4. Uczniowie indywidualnie wykonują ćwiczenia nr 6‑8, ale następnie konsultują swoje rozwiązania z innym uczniem i zapisują na kartce problemy, które mieli podczas ich wykonywania.
Faza podsumowująca:
1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.
2. Wybrany uczeń podsumowuje zajęcia, zwracając uwagę na nabyte umiejętności, odnosząc się do wyświetlonych na tablicy interaktywnej celów z sekcji „Wprowadzenie”.
Praca domowa:
1. Uczniowie wykonują ćwiczenia interaktywne, które nie zostały dokończone na zajęciach.
Średnia, mediana, dominanta
Średnia arytmetyczna i mediana zestawu danych Wskazówki metodyczne:
Medium w sekcji „Prezentacja multimedialna” można wykorzystać na lekcji jako podsumowanie i utrwalenie wiedzy w temacie „Inne spojrzenie. Średnia arytmetyczna, średnia ważona, mediana, odchylenie standardowe”.
