Seria: ELE.ITRYKA z. 30 lir kol. 298
TERESA WRÓBLEWSKA Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Ogólnej
ZASTOSOWANIE GRAFÓW PRZEPŁYWU SYGNAŁU DO ANALIZY UKŁADU LEONARDA 7.E STABILIZUJĄCYM SPRZĘiENIU ZWROTNYM
Streszczenie. W artykule przedstawiono i omówiono sposób analizy układów elektromaszynowych w oparciu o metodę gra
fów przepływu sygnału.
Przykładowo przeprowadzono analizę układu Leonarda ze stabilizującym sprzężeniem zwrotnym. Zastosowano metodę su
perpozycji dla grafu mającego więcej niż jeden sygnał wej
ściowy.
Otrzymana tą metodą ostateczna tranamitancja pozwala na dalszą statyczną i dynamiczną analizę układu.Analizy doko
nano posługując się jednym z wybranych warunków stabilno
ści przebiegu zmiennych wyjściowych w układzie.
Teoria grafów przepływu sygnału pozwala na graficzne przedstawienie i rozwiązanie dowolnego układu liniowych równań różniczkowych, przy równo
czesnym uwydatnieniu pewnych relacji pomiędzy wielkościami reprezentowa
nymi przez zmienne w tym układzie.
Takim liniowym układem równań da się opisać przykładowy układ Leonarda ze sprzężeniem zwrotnym (rys. 1). Ułatwieniem w rozwiązaniu końcowego grar.
fu będzie zasada superpozycji, którą można zobrazować rysunkiem (rys. 2)
Rys. 2
Graf posiadający kilka sygnałów wejściowych rozwiązujemy dla każdego wejścia osobno. Całkowity sygnał wyjściowy jest sumą składowych sygnałów wyjściowych:
Wyliczenie w ten sposób transmitancji wydatnie upraszcza zagadnienie.
Założenia:
1. Prądnica główna układu Leonarda jest wzmacniaczem liniowym.
2. Pomija się oddziaływanie prądów wirowych i histerezy.
3. Pomija się oddziaływanie twornika.
4. Zakłada się stałość: strumienia 0 , prędkości obrotowej n^, momentu bezwładności J oraz momentu obciążenia (aktywnego).
5. Zakłada się zerowe warunki początkowe.
Przy takim założeniu transmitancję przejścia transformatora można wyzna
czyć tak, jakby był on obciążony tylko opornością czynną r ^ + r2 - Rys. 3
Wydzielmy początkowo do anali
zy sam transformator stabilizacyj
ny (rys. 3), który zasila oddziel
ne uzwojenie sterujące generatora głównego w układzie Leonarda.Zada
niem transformatora jest wytworze
nie przepływu proporcjonalnego do pochodnej napięcia U^. Nastąpi to wtedy, gdy siła elektromotoryczna, po stronie wtórnej transformatora jest dużo większa od siły elektro
motorycznej w obwodzie sterującym
t l i 2i>
z2t dt z2 dt
Wówczas prąd I2 będzie określony wzorem
_x
H i 12t z2t r1s ’ r2s
I 2 (P) = UL(PJ 1 + p(T---+-T2--f
gdzie odpowiednie stałe czasowe wynoszą
Ł 1t _ Ł1t.
Tlt = r1t + r 1d = ^ '1b = rit + rid
Ł2t _ Ł2t
.
l2t = r2t + r2 = ^ r2s = r2t + r2
Wprowadzając oznaczenia:
Ts - Tn
+
T2t-
COEh= L2t *
z1t 1 z2t r1s ’ r2s
otrzymujemy ostatecznie
PT' I2 (p) = UŁ (P) 1 + PT
Zależności dla pozostałych części obwodu są następujące:
al obwód wzbudzenia generatora
, ,
®1G^P> " ®2G^p) EG (p) = G --- 1 + p g T---- gdzie©2G(p) = z2 I2(p)
’M i ’1
®1G<P> * - V *1 po podstawieniu powyższego otrzymamy
U^(p) U^(p).pT2z2 r z i " 1 + p r ; - EG (p) = kG --- 1 + pffT
(1)
(2 )
(3)
(4)
bl obwód główny od strony generatora
UL (p) = EG (p) - I(p) . r g
przy założeniu
*18 c) obwód główny od strony silnika
uL (p) = EjjCp) + I(p) Rm
stąd
.
UL (P J - W I(P> * ---W7.---(5)
(6)
d) z równania momentów wyznaczamy
n(p) = -J7K P ) - I
(7)
p
m
K oparciu o równania (4)-(7) narysowano całkowity graf układu (rys. 4).
Powyższy graf jest grafem złożonym z dwóch sygnałów wejściowych:
1) napięcia zasilającego obwód wzbudzenia generatora 2) prądu obciążeniowego Iffl.
Stosując metodę superpozycji otrzymamy odpowiednie sygnały wyjściowe.
Rys. 5
Na podstawie rys. 5
n'(p) = ¿’(^(p)]
z. k r
„ 1 Ł G 1 1
U 1(pJ 77 T 7 & T IC -T3-
w ; p
~ kGz2pT2 k-ZppTu RG .Rp kE k„ f. .r kGZ2pT 2
1 + n w p y + ię + t t t ; [1 +
podstawiając
f J <R G + V .
^0kmkE " m
RG + Rli = Rg U, (p)
r 1kE
oraz przekształcając odpowiednio powyższy wzór otrzymamy:
ntp)=
“o R^ pTm(1+BCT)
pTm( H ^ h U p T s ) ^ ^ B W ) l H p T s )lU p T m) + ^ ( U p T ^ ^ p T ^ (8)
i ostatecznie
i(p) = V 1 * PTS>
p3TsTn>Z:T+p2(TsTm+Z?T- W T+T2Tm TT kG ,+p( Tm+-CT+V kGz2T2 ) + 1 6
Ka podstawie (rys. 6)
rítp) =
T .1 RG kGz2pT2
m ir ¡ 1 Rm U + p T g U I + E C T )
. kGz2p 2 .HG , 1 kGz2pT2
1 1 U + p c T J U + p T g ) ’\ r T O ¡ "
’ükm kE
1 í1+p2 T ) ( 1 + p T sT
w p r o wa dz a ją c p o pr zednie oznaczenie
' (p)”
pTmCU^T)VlVpT)- ^ [l1+BOTni+PTS)pIm+ ^ V 2 Pl2 V V 2 P(r2+l1+BErni+P!rfl)]
oraz zakładając
otrzym am y
I R
-SL-£ = dni
(P)
4
- ón., I (1 +p£T) (1 +pTg) + ^ kGz2pT'2
^ ^ :
p ’V g E T + p (Ts V Tn ? T + T SC T + T '2Tm kGz2 +p< V V £ T+T2kGz2 } + 1 (9)
Sumując wyniki (8) i (9) otrzymujemy całkowity sygnał wyjściowy
n(p) = n'(p) + n" (p)
i(p) =
n0 (1+PTs )- [(1+pCT8 ) + V 2 P TJ
P ^ . I / ^ d m W W i W m ^ kGz2 )+p(Tm+Ta^ T +T2kGz2 )+1 (*»
Otrzymany tą drogą wynik pozwala na analizę własności dynamicznych układu.
1) Wartości początkowe i końcowe dla t = 0 p — <— n = 0
dla t — ~ p = 0 nU8t = nQ - ńn,
2) Analizy stabilności dokonamy rozpatrując równanie charakterystyczne
P Tm TsC T + ? (Tm Ts + Tm £ T + Ts ^ T + Tm T2 kGz2 } + + p(£7T + + Tg + z2 kG T'2) + 1 = 0
Równanie to należy do typu równań
( 1 1 )
3 2
ap + bp + cp + 1 = 0 ( 1 2 )
Warunek stabilności układu o takim równaniu charakterystycznym określa np.
kryterium stabilności Hurwitza
' b 1 a c
Układ Leonarda bez sprzężenia zwrotnego jest układem stabilnym.Ograni
czenia stabilności należy zatem szukać w sprzężeniu. Należy tak dobrać e—
lementy transformatora stabilizującego by została spełniona nierówność (13) określająca warunek stabilności układu. Elementem decydującym o speł
nieniu tej nierówności będzie oporność dodatkowa r ^ . Kładziemy:
r1d + r 1t = rx
o r a z :
T' Ł 2t Z 1t a
2 " ir2 t + r 2 U r 1d + r 1tJ z2t " r x
g d z i e •
, _ Ł2t z1t r2+r2t Z2t
t = Ł ^ ... + - A l . = b + h i
3 r 1 t + r 1d r 2 t + r 2 r x
g d z i e
w ó w c z a s r ó w n a n i e charakterystyczne przejmuje postać
T +
>3 |ST T m (tí + íll)] + p 2 [(ET+Tm ) (b' + í l i ) + T m r
+ z2 k G !4 ] + P [S T + Tm + b ' +
+ * 7 + Z2 k G k \
+ 1 = C
g d z i e
. L lt a = r T . T m (b + JLI)
b = C T +Tm )(b' + +i7 T.V z2 kQ Tm f-
» ^11 af
c = ¿ 7 T + T + b + — + z9 kp
m rx 2 G rx
Podstawiając wprowadzone wielkości do równania (13) otrzymamy
bc - a > 0
a więc
[£T+V ł » T m + ^ z2 kG Tm f •]*
. [l7T+Tm+l5+ ii* + z2kG f-j-CT Tn (b + ^LŁ) > 0
Z równania tego dla interesującego nas przypadku szczególnego wyznacza
my wartość opornika rx = r it + r1d ^ w ^en 3P0S°k dobieramy transforma
tor stabilizujący tak, że układ pozostaje stabilnym.
LITERATURA
[1] Lagasse J.: "Teoria obwodów elektrycznych". WNT 1965.
[2] Siwiński J.: "Automatyka napędu elektrycznego". PWN 1960.
[?] Andriejew W.P., Sabinin J.A.: "Podstawy napędu elektrycznego".WNT 1966 [4] Robiszo, Byawer, Rober: "Naprawliennyje grafy i ich priłożenije k elek-
triczeskim ciepiam i maszinami". Moskwa-Leningrad 1962.
HPhiuEHlilhŁ ri'A®OB llPOTEKAHŁ.n GwrHAJIA HJln AHAJHn3A Cl.GTŁinill JIEOHAI'ÄA GO CTABV.®iŁhPyiUiiŁi"i OEPATHOh GBubbU
P e 3 ki m e
3 c i a T Ł » n p e n c T a B J i e H u p a c c M o T p e H c n o c o ó n p o B e , n e H n a a H a n z 3 a s j i e K T p o M a -
I D H H H U X c z c T e M u e T O Ä O M rpac*)OB n p o T e K a H H H c z r H a n a .
ÄJia n p z M e p a n p o B e s e a o a H a j i n 3 c z c T e M b i J l e o a a p a a c o C T a 6 n Jin3 n p y » m e ä o ó p a T - h o M C B a 3 ŁK>. I l p z M e H e H o u e T O Ä c y n e p n o 3 H U H H » a a rpa ip a , m i e i o m e r o C B u m e o a h o t o B x o f l H o r o C H T H a n a . n o J i y u e a a a a , s t w i « e T o n o M , o K O H u a T e j i b a a a n e p e a a T O A a a a (JiyHKUHa p a3p e m a e T n p o B e c T H C T a T z n e c K M i i z a n H a i i z M e c K u f i a a a j i K 3 C M C T e u u Aaa-
J1H 3 n p o B e s e H o a a o c H O B e o f l a o r o H 3 o 6 p a H H o r o y c a o B z a y c T o a n H B O C T z n p o ó e r a b u x o a h h x n e p e u e H H H X b c z c T e u e .
APPLICATION OP PLOW SIGNAL GRAPHS FOR AN ANALYSIS OP THE LEONARD SYSTEM WITH STABILIZING FEEDBACK
S u m m a r y
In this article there is presented and discussed the way analyzing e- lectromachinery systems based on the flow signal graphs method.As an exam
ple there was carried out an analysis of the Leonard system with the sta
bilizing feedback. A supperpositioning method was applied for a graph which has more than one input signal. The received by this method final transmittance allows to make a further static and dynamic analysis of this system. The analysis was carried out by help cf one of the selected sta
bility conditions process of the input variable in this system.
