Równania ró˙zniczkowe 1-go rz˛edu— podstawowe poj˛ecia

Równania ró˙zniczkowe 1-go rz ˛edu—

podstawowe poj ˛ecia

dr Mariusz Grz ˛adziel

Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu

rok akademicki 2019/2020

Wzrost wykładniczy- przykład

Załó˙zmy, ˙ze na pocz ˛atku eksperymentu liczebno´s´c kultury bakterii P(0) jest równa 10000. Przyjmujemy, ˙ze liczebno´s´c bakterii podwaja si ˛e po upływie 20 minut oraz ˙ze wzrost populacji jest wykładniczy:

P(t + 20) = 2P(t), t ­ 0,

P(t) = 10000a^t =10000e^{ln at} =10000e^bt, gdzie 1 6= a > 0 i b = ln a.

Chcemy znale´z´c:

(i) pr ˛edko´s´c zmiany liczebno´sci bakterii dla t = 10, t = 30 i t = 50 [min];

(ii) liczebno´s´c populacji dla warto´sci zmiennej t z (i).

Wzrost populacji — c.d.

P(20) = 10000e^20b=20000 sk ˛ad

e^20b = 2,

b = ln 2/20 = 0,034.

Pochodna P⁰(t) na R jest równa:

P⁰(t) = b · 10000e^tb0,034 · 10000e^0,034t.

Wzrost populacji — c.d.

St ˛ad:

P⁰(10) = 0,, 034 · 10000e^0,034·10=477,682;

P(10) = 10000e^0,034·10=14049,48.

oraz

P⁰(30) = 0,034 · 10000e^0,034·30=942,886;

P(30) = 10000e^0,034·30=27731,95 i

P⁰(50) = 0,034 · 10000e^0,034·50 =1861,142;

P(50) = 10000e^0,034·50=54739,47.

Równania ró˙zniczkowe

Dlaczego mogli´smy zało˙zy´c w Przykładzie 1, ˙ze liczebno´s´c bakterii ro´snie wykładniczo? Wynika to st ˛ad, ˙ze pr ˛edko´s´c wzrostu populacji jest proporcjonalna do liczebno´sci bakterii w danej chwili:

P⁰(t) = kP(t), k ­ 0. (1) Równanie (1) jest przykładem równania ró˙zniczkowego. Mo˙zna sprawdzi´c, ˙ze ma rozwi ˛azania postaci:

P(t) = Ce^kt,C ∈ R. (2)

Z teorii równa ´n ró˙zniczkowych wynika, ˙ze wszystkie

rozwi ˛azania równania (1) maj ˛a posta´c (2). Dokładnie jedno z tych rozwi ˛aza ´n spełnia tzw. warunek pocz ˛atkowy:

P(0) = 10000.

St ˛ad wynika, ˙ze P(t) = 10000e^kt.

Definicja 1

Niech X i Y b ˛ed ˛a ustalonymi zbiorami. Je˙zeli ka˙zdemu elementowi x ∈ R przyporz ˛adkujemy dokładnie jeden element y zbioru Y , to powiemy, ˙ze w zbiorze X została okre´slona funkcja f o warto´sciach w zbiorze Y , co zapisujemy

f : X → Y .

Zapis ten odczytujemy: funkcje f odwzorowuje lub przekształca X w Y .

I zbiór X : dziedzina lub zbiór argumentów funkcji f ;

I zbiór wszystkich f (x ) takich, ˙ze x ∈ X : zbiór warto´sci funkcji f lub obraz zbioru X poprzez funkcj ˛e f ; oznaczenia: Wf lub f (X );

I je˙zeli f (X ) = Y , to powiemy, ˙ze f jest suriekcj ˛a (odwzorowaniem „na”);

I je˙zeli z nierówno´sci x 6= x⁰wynika f (x ) 6= f (x⁰), powiemy ˙ze f jest ró˙znowarto´sciowa (jest iniekcj ˛a).

Definicja 2

Je˙zeli f jest funkcj ˛a z dziedzin ˛a X , to jej wykresem jest zbiór par uporz ˛adkowanych postaci (x , f (x )), gdzie x ∈ X .

Funkcje dwóch zmiennych

Zbiór R²: zbiór wszystkich par uporz ˛adkowanych (x₁,x₂)takich,

˙ze x₁∈ R i x2∈ R.

Warto´s´c funkcji f okre´slonej na zbiorze A ∈ R²dla argumentu (x₁,x₂)b ˛edziemy zapisywa´c f (x₁,x₂).

Wykres funkcji okre´slonej na R²(lub jej podzbiorze) o warto´sciach w R mo˙zna przedstawia´c przy u˙zyciu wykresu perspektywicznego lub poziomicowego.

Fragment wykresu funkcji f (x , y ) = x²− y²odpowiadaj ˛acy prostok ˛atowi o wierzchołkach: lewym dolnym (−2, −2) i prawym górnym (4, 4):

plot x^2-y^2 from (-2,-2) to (4,4)

Równania ró˙zniczkowe pierwszego rz ˛edu

Definicja 3 Równanie postaci

y⁰ =f (t, y ), (3)

b ˛edziemy nazywa´c równaniem ró˙zniczkowym pierwszego rz ˛edu w postaci normalnej, gdzie y = y (t) jest funkcj ˛a zmiennej t.

Definicja 4

Równanie (3) z warunkiem

y (t₀) =y₀

b ˛edziemy nazywa´c zagadnieniem pocz ˛atkowym.

Przy pewnych, w zagadnieniach praktycznych zazwyczaj spełnionych, zało˙zeniach zagadnienie pocz ˛atkowe ma dokładnie jedno rozwi ˛azanie.

Rozwi ˛ azanie równania ró˙zniczkowego i zagadnienia pocz ˛ atkowego

Definicja 5

Funkcj ˛e y (t) b ˛edziemy nazywa´c rozwi ˛azaniem równania ró˙zniczkowego pierwszego rz ˛edu (3) na przedziale (a, b), je˙zeli

y⁰=f (t, y (t)) na przedziale (a, b).

Wykres rozwi ˛azania równania ró˙zniczkowego b ˛edziemy nazywa´c krzyw ˛a całkow ˛a.

Definicja 6

Funkcj ˛e y (t) b ˛edziemy nazywa´c rozwi ˛azaniem zagadnienia pocz ˛atkowego, je˙zeli jest rozwi ˛azaniem równania (3) na pewnym przedziale zawieraj ˛acym t₀oraz

y (t₀) =y₀.

Przykład

Równanie ró˙zniczkowe y⁰ =1 ma rozwi ˛azanie ogólne postaci y = x + C, C ∈ R

na przedziale I = (−∞, ∞).

Pole kierunków

Polem kierunków b ˛edziemy nazywa´c zbiór odcinków, b ˛ed ˛acych podzbiorami stycznych do rozwi ˛aza ´n danego równania

ró˙zniczkowego; odcinki te zawieraj ˛a punkty styczno´sci (nale˙z ˛ace do wykresu rozwi ˛azania — krzywej całkowej), dla których odpowiadaj ˛ace im styczne zostały wyznaczone.

Rysunki, które zostan ˛a przedstawione na kolejnych 6 slajdach, pochodz ˛a z rozdziału e-podr ˛ecznika „Ordinary Differential Equations” pod tytułem „Graphing 1”,:

https://en.wikibooks.org/wiki/

Ordinary_Differential_Equations/Graphing_1 udost ˛enionego na licencji: Creative Commons

Attribution-ShareAlike License.

Wykład ten te˙z jest udost ˛epniany na tej licencji.

Rysunek: Pole kierunków dla równania y⁰=1

Rysunek: Kilka rozwi ˛aza ´n równania y⁰=1

Rozwi ˛azanie ogólne równania ma posta´c

y = t + C, C ∈ R. (4)

Pole kierunków — zastosowania

Maj ˛ac naszkicowane pole kierunków dla równania

y⁰(t) = f (y , t) (5)

mo˙zemy wyznaczy´c przybli˙zone warto´sci pochodnej funkcji b ˛ed ˛acej rozwi ˛azaniem tego równania dla odpowiednio dobranej sekwencji punktów.

Ten graficzny sposób wyznaczania przybli˙zonego rozwi ˛azania mo˙ze si ˛e okaza´c szczególnie przydatny w przypadku, gdy nie znamy analitycznego rozwi ˛azania równania (5).

Rysunek: Pole kierunków dla równania y⁰=t

Rysunek: Pole kierunków dla równania y⁰=t

Posta´c ogólna rozwi ˛azania y (t) = t²

2 +C, C ∈ R.

Rysunek: Pole kierunków dla równania y⁰=ty

Rysunek: Pole kierunków dla równania y⁰=ty

Posta´c ogólna rozwi ˛azania

y (t) = Ce^t2/2, C ∈ R.

Przykład– ci ˛ agła kapitalizacja odsetek

Bank B prowadzi konto a’vista z ci ˛agł ˛a kapitalizacj ˛a odsetek.

Mo˙zna pokaza´c, ˙ze K (t), kapitał w chwili t, zdeponowany w tym banku spełnia równanie:

K⁰(t) = rK (t),

gdzie r > 0 jest pewn ˛a stał ˛a („roczn ˛a stop ˛a procentow ˛a”); czas t jest liczony w latach. Zakładamy, ˙ze w czasie t = 0 kapitał jest równy K₀.

Ci ˛ agła kapitalizacja odsetek–c.d.

Przy kapitalizacji rocznej, po t latach, kapitał urósłby do warto´sci

K₀(1 + r )^t

Je´sli kapitalizacja nast ˛epowałaby n razy w roku, to po t latach kapitał byłby równy

K₀^1 + r n

nt

. (6)

Przechodz ˛ac z n do ∞ (co odpowiadałoby ci ˛agłej kapitalizacji) otrzymujemy:

K (t) = K₀e^rt.

Funkcja K jest rozwi ˛azaniem zagadnienia pocz ˛atkowego:

K⁰(t) = rK (t), K (0) = K₀.

Równania ró˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Definicja 7

Równanie ró˙zniczkowe, które mo˙zna przedstawi´c w postaci:

y⁰=g(t)h(y ) (7)

b ˛edziemy nazywa´c równaniem o zmiennych rozdzielonych.

Je˙zeli g(t) i h(y ) s ˛a ci ˛agłe, h(y ) 6= 0, to rozwi ˛azanie (7) otrzymujemy znajduj ˛ac rozwi ˛azanie równania

Z 1

h(y )dy = Z

g(t)dt + C, (8)

gdzie C jest dowoln ˛a stał ˛a a całki w (8) rozumiemy s ˛a jako dowolne (aczkolwiek ustalone) funkcje pierwotne.

Uwaga 1

Je˙zeli istnieje y₀∈ R taki, ˙ze h(y0) =0, to funkcja stała y (t) = y₀jest jednym z rozwi ˛aza ´n równania (7).

Równania ró˙zniczkowe o zmiennych rozdzielonych—

istnienie i jednoznaczno´s´c rozwi ˛ azania

Twierdzenie 1 Je˙zeli

I funkcja g jest ci ˛agła na przedziale (a, b),

I funkcja h jest ci ˛agła na przedziale (c, d ),

I h(y ) 6= 0 dla y ∈ (c, d ),

I t₀∈ (a, b) oraz y0∈ (c, d ), to dla zagadnienia pocz ˛atkowego

y⁰ =g(t)h(y ), y (t₀) =y₀ istnieje dokładnie jedno rozwi ˛azanie.

Ci ˛ agła kapitalizacja odsetek— c.d.

Równanie

K⁰(t) = rK (t),

mo˙zna rozwi ˛aza´c korzystaj ˛ac z metody „rozdzielania zmiennych”; otrzymujemy:

Z 1 KdK =

Z rdt, sk ˛ad

ln K = rt + C i

K = e^Ce^rt =C₁e^rt.

Je´sli okre´slony jest warunek pocz ˛atkowy K (0) = K₀,to stała C₁ jest równa K₀.

Przykład

Dla kapitału pocz ˛atkowego K₀=1000 i stopy oprocentowania 3 procent w skali rocznej, przy zało˙zeniu ci ˛agłej kapitalizacji odsetek, zale˙zno´s´c kapitału K (t) od czasu t ma posta´c

K (t) = 1000e^0,03t.

Przy u˙zyciu programu Wolfram Alpha mo˙zna ten wynik uzyska´c wydaj ˛ac polecenie

dy/dt=0.03 * y, y(0)=1000

Przykład

Równanie y⁰=ty jest równaniem o rozdzielonych zmiennych:

Z dy y =

Z

tdt + C, wi ˛ec

ln |y | = 1

2t²+C,

|y | = e^12t2· e^C,

y = e^12t2· e^C lub y = −e^12t2· e^C, wi ˛ec ogólne rozwi ˛azanie ma posta´c:

y = C₁e^12t2, C₁∈ R.

Wzrost populacji— funkcja logistyczna

Niech N(t)— liczebno´s´c populacji bakterii; zakładamy, ˙ze dN

dt =kN(a − N), (9)

gdzie a i k s ˛a stałymi dodatnimi. Stała a mo˙ze by´c

interpretowana jako ograniczenie górne liczebno´sci populacji, je´sli warunek pocz ˛atkowy ma posta´c N(x₀) =N₀<a.

Równanie (9) nazywane jest w literaturze równaniem logistycznym.

Wzrost populacji — funkcja logistyczna — c.d.

Zauwa˙zmy, ˙ze (9) jest równaniem o zmiennych rozdzielonych, gdzie g(t) = k i h(N) = N(a − N), sk ˛ad:

Z dN

N(a − N) = Z

kdt;

lub

Z dN

N(1 − N/a) = Z

rdt gdzie r = ak . Uwaga^R _{f (x )}^dx to skrócony zapis^R _{f (x )}¹ dx

Wzrost populacji— c.d.

Poniewa˙z

1 N +

1 a

1 − ^N_a = 1 N(1 − N/a) wi ˛ec nasze równanie mo˙zna przepisa´c w postaci:

Z dN N +

1 adN 1 − ^N_a =

Z rdt.

Poniewa˙z

Z dN

N =ln |N|+C₁,

Z ¹

adN

1 − ^N_a = −ln1−N a   +C₂,

Z

rdt = rt+C₃,

wi ˛ec

ln N 1 − ^N_a

=rt + C₀, gdzie C₀=C₃− C₁− C₂. (10)

Wzrost populacji— równanie logistyczne

Warunkowi pocz ˛atkowemu N(t₀) =N₀<a odpowiada nierówno´s´c

N(t) < a, t ∈ R, warunkowi N(t₀) =N₀>a

N(t) > a, t ∈ R, warunkowi N(t₀) =N₀=a odpowiada

N(t) = a, t ∈ R.

Równanie logistyczne— zało˙zenie N

< a

Przy zało˙zeniu N(t₀) =N₀<a z równania (10) wynika N

1 − ^N_a =e^C0+rt =Ce^rt, (11) gdzie C = e^C0.

Znajdujemy, ˙ze

N = (1 − N a)Ce^rt, N(1 +C

ae^rt) =Ce^rt, N = Ce^rt

1 + ^C_ae^rt.

Równanie logistyczne— zało˙zenie N

< a—

wyznaczanie stałej na podstawie warunku pocz ˛ atkowego

Je´sli dany jest warunek pocz ˛atkowy N(0) = N₀<a, to łatwo pokaza´c, ˙ze

C = aN₀ a − N₀

Równanie logistyczne— zało˙zenie N

< a

Funkcja

N(t) = Ce^rt

1 + ^C_ae^rt = a

1 + _C^ae^−rt = a 1 + be^−rt, gdzie b := _C^a.

Poniewa˙z z naszych rozwa˙za ´n wynika, ˙ze a, b, r > 0, wi ˛ec N⁰(t) > 0 oraz

N⁰⁰(t) = abr²e^−rt(be^−rt− 1)

(1 + be^−rt)³ =0 wtedy i tylko wtedy, gdy b = e^rt, N⁰⁰(t) > 0 dla t < t₀= ^{ln b}_r i N⁰⁰(t) < 0 dla t > t₀,a wi ˛ec t₀jest punktem przegi ˛ecia N.

Funkcja logistyczna— wykres

−5 0 5 10 15

010203040

t

f(t)

Rysunek:Wykres funkcji logistycznej dla a = 40, b = 5 i r = 0,5

Lektura uzupełniaj ˛ aca

M. Gewert, Z. Skoczylas, Równania ró˙zniczkowe zwyczajne, wyd. 16 Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2016.