Określenie całki oznaczonej na półprostej Definicja 1 Niech funkcja f : [a,∞) → R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a,∞) określamy wzorem

115  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Określenie całki oznaczonej na półprostej

Definicja 1 Niech funkcja f : [a, ∞) → R będzie całkowalna na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a. Całkę niewłaściwą funkcji f na półprostej [a, ∞) określamy wzorem

Z a

f (x)dx = lim

T →∞

Z T a

f (x)dx o ile ta granica istnieje.

Analogicznie

Z b

−∞

f (x)dx = lim

S→−∞

Z b S

f (x)dx

(2)

Określenie całki oznaczonej na prostej

Definicja 2 Niech funkcja f : R → R będzie całkowalna na przedziałach [S, T ] dla do- wolnych S i T takich, że −∞ < S < T < ∞.

Z

−∞f (x)dx =

Z a

−∞f (x)dx +

Z a

f (x)dx, gdzie a oznacza dowolną liczbę rzeczywistą.

Jeżeli obie całkiR−∞a f (x)dx i Raf (x)dx są zbieżne , to mówimy, że całka niewłaściwa

Z

−∞f (x)dx jest zbieżna.

(3)

Wartość główna całki niewłaściwej

Definicja 3 Niech funkcja f : R → R będzie całkowalna na przedziałach [−S, S] dla dowolnych S takich, że 0 < S < ∞. Wielkość

V P

Z

−∞f (x)dx = lim

S→∞

Z S

−Sf (x)dx nazywamy wartością główną całki niewłaściwej R−∞ f (x)dx.

(4)

Kryteria zbieżności całki niewłaściwej

Twierdzenie 1 (Kryterium porównawcze)

Jeżeli 0 ¬ f (x) ¬ g(x) dla każdego x ∈ [a, ∞), to zbieżność Rag(x)dx implikuje zbieżność Raf (x)dx.

Rozbieżność Raf (x)dx implikuje rozbieżność Rag(x)dx.

(5)

Twierdzenie 2 (Kryterium ilorazowe) Niech funkcje dodatnie (ujemne) f i g będą cał- kowalne na przedziałach [a, T ] dla każdego T > a oraz niech

x→∞lim f (x) g(x) = k, gdzie 0 < k < ∞. Wówczas

Z a

f (x)dx jest zbieżna ⇔

Z a

g(x)dx jest zbieżna.

Analogicznie na (−∞, b].

(6)

Zbieżność bezwzględna całki niewłaściwej

Definicja 4 Mówimy, że całka Raf (x)dx jest zbieżna bezwzględnie gdy Ra|f (x)| dx jest zbieżna.

Twierdzenie 3 Jeśli całkaRaf (x)dx jest zbieżna bezwzględnie, to jest zbieżna. Ponadto

Z a

f (x)dx

¬

Z a

|f (x)| dx.

(7)

Całki niewłaściwe drugiego rodzaju

Definicja 5 Niech f : (a, b] → R będzie nieograniczona na prawostronnym sąsiedztwie punktu a oraz całkowalna na przedziałach [a + , b] dla każdego 0 <  < b − a.

Z b a

f (x)dx = lim

→0+

Z b a+

f (x)dx o ile ta granica istnieje.

(8)

Szeregi liczbowe

Definicja 6 Niech (an) będzie ciągiem liczbowym. Szeregiem liczbowym nazywamy ciąg (Sn), gdzie

Sn= a1+ a2+ · · · + an.

Szereg oznaczamy przez Pn=1an, an-n-ty wyraz, Sn-n-ta suma częściowa szeregu.

(9)

Definicja 7 Mówimy, że szereg Pn=1an jest zbieżny, jeżeli istnieje skończona granica ciągu (Sn).

Oznaczamy: limn→∞Sn =Pn=1an.

(10)

Jeżeli limn→∞Sn = ∞ (−∞), to mówimy, że szeregPn=1anjest rozbieżny do ∞ (−∞).

Jeżeli limn→∞Sn nie istnieje, to mówimy, że szereg jest rozbieżny.

(11)

Twierdzenie 4 Jeżeli szeregi Pn=1an, Pn=1bn są zbieżne i c ∈ R, to a)

X

n=1

(an+ bn) =

X

n=1

an+

X

n=1

bn,

b)

X

n=1

can = c

X

n=1

an.

(12)

Twierdzenie 5 Szereg geometryczny Pn=0xn jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy |x| <

1,

X

n=0

xn= 1 1 − x.

(13)

Twierdzenie 6 Jeżeli szereg Pn=1an jest zbieżny, to limn→∞an = 0.

Uwaga 1 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

(14)

Kryteria zbieżności szeregów

Twierdzenie 7 ( Kryterium całkowe) Niech f : [n0, ∞) → [0, ∞), gdzie n0 ∈ N, będzie funkcją nierosnącą. Wówczas

szereg

X

n=1

f (n) jest zbieżny ⇐⇒ całka

Z n0

f (x)dx jest zbieżna.

Z n+1

f (x)dx ¬ Rn ¬

Z n

f (x)dx, gdzie Rn=Pi=n+1f (i) jest n−tą resztą szeregu i n ­ n0.

(15)

Twierdzenie 8 Szereg Pn=1n1p jest zbieżny dla p > 1 i jest rozbieżny dla p ¬ 1.

(16)

Twierdzenie 9 (Kryterium porównacze) Niech 0 ¬ an ¬ bn dla każdego n ­ n0 i niech szereg Pn=1bn będzie zbieżny. Wtedy szereg Pn=1an jest zbieżny. Jeśli Pn=1an jest roz- bieżny do ∞ to szereg Pn=1bn jest też rozbieżny do ∞.

(17)

Twierdzenie 10 (Kryterium ilorazowe) Niech an, bn> 0 (an, bn< 0) dla każdego n ­ n0 oraz niech

n→∞lim an bn = k, gdzie 0 < k < ∞. Wówczas

szereg Pn=1an jest zbieżny ⇐⇒ szeregPn=1bn jest zbieżny.

(18)

Twierdzenie 11 (Kryterium d’Alemberta) 1. Jezeli

n→∞lim |an+1 an | < 1, to szereg Pn=1an jest zbieżny.

2. Jeżeli

n→∞lim |an+1 an | > 1, to szereg Pn=1an jest rozbieżny.

W przypadku

n→∞lim |an+1 an | = 1 kryterium nie rozstrzyga zbieżności.

(19)

Twierdzenie 12 (Kryterium Cauchego) 1. Jezeli

n→∞lim

qn

|an| < 1 to szereg Pn=1an jest zbieżny.

2. Jeżeli

n→∞lim

qn

|an| > 1 to szereg Pn=1an jest rozbieżny.

W przypadku

n→∞lim

qn

|an| = 1 kryterium nie rozstrzyga zbieżności.

(20)

Twierdzenie 13 (Leibnitza o zbieżności szeregu naprzemiennego) Jeżeli ciąg (bn) jest nierosnący od numeru n0 ∈ N i limn→∞bn = 0 to szereg naprzemienny Pn=1(−1)n+1bn jest zbieżny. Prawdziwe jest oszacowanie reszty szeregu

|Rn| ¬ bn+1 dla każdego n ­ n0.

(21)

Definicja 8 Mówimy, że szereg Pn=1an jest zbieżny bezwzględnie gdy szereg Pn=1|an| jest zbieżny.

Twierdzenie 14 Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny bezwzględnie to jest zbieżny.

(22)

Definicja 9 Szereg zbieżny, który nie jest zbieżny bezwzględnie, nazywamy szeregiem zbież- nym warunkowo.

(23)

Szeregi potęgowe

Definicja 10 Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0 ∈ R i współczynnikach cn ∈ R, nazywamy szereg postaci

X

n=0

cn(x − x0)n.

(24)

Granica górna i dolna ciągu

Definicja 11 Niech (kn) będzie rosnącym ciągiem liczb naturalnych oraz niech (an) będzie dowolnym ciągiem. Podciągiem ciągu (an) nazywamy ciąg (bn) określony wzorem bn = akn, gdzie n ∈ N.

(25)

Twierdzenie 15 Każdy podciąg ciągu zbieżnego (do granicy właściwej lub niewłaściwej) jest zbieżny do tej samej granicy.

(26)

Definicja 12 Liczba rzeczywista a jest właściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do granicy a.

Symbol −∞(∞) jest niewłaściwym punktem skupienia ciągu, jeżeli istnieje podciąg tego ciągu zbieżny do −∞(∞).

(27)

Definicja 13 Niech S oznacza zbiór punktów skupienia ciągu (an) (właściwych lub nie- właściwych). Wtedy

limn→∞an = inf S jest granicą dolną ciągu, a

limn→∞an= sup S jest granicą górną ciągu.

(28)

Twierdzenie 16 (Kryterium Cauchego) 1. Jezeli

limn→∞qn|an| < 1 to szereg Pn=1an jest zbieżny.

2. Jeżeli

limn→∞qn|an| > 1 to szereg Pn=1an jest rozbieżny.

W przypadku

limn→∞qn|an| = 1 kryterium nie rozstrzyga zbieżności.

(29)

Promień zbieżności szeregu potęgowego

R =

0 gdy limn→∞qn|cn| = ∞,

1 limn→∞n

|cn| gdy 0 < limn→∞n

q|cn| < ∞,

gdy limn→∞qn|cn| = 0.

(30)

Uwaga 2

R = lim

n→∞

1

qn

|cn|, R = lim

n→∞| cn cn+1| - o ile granice w tych wzorach istnieją.

(31)

Twierdzenie 17 (Cauchy’ego-Hadamarda) Niech 0 < R < ∞ będzie promieniem zbież- ności szeregu potęgowego Pn=0cn(x − x0)n. Wtedy szereg ten jest bezwzględnie zbieżny w każdym punkcie przedziału (x0 − R, x0 + R) i rozbieżny w każdym punkcie zbioru (−∞, x0− R) ∪ (x0+ R, ∞).

(32)

Definicja 14 Przedziałem zbieżności szeregu potęgowegoPn=0cn(x−x0)nnazywamy zbiór

(

x ∈ R : szereg

X

n=0

cn(x − x0)n jest zbieżny

)

.

(33)

Szereg Taylora funkcji Wzór Taylora

Niech f ma w przedziale (x0 − δ, x0+ δ) pochodne dowolnego rzędu. Wtedy

f (x) =

n−1

X

k=0

f(k)(x0)

k! (x − x0)k+ Rn(x) gdzie

Rn(x) = f(n)(c)

n! (x − x0)n, c-punkt pośredni między x i xo.

(34)

Twierdzenie 18 Jeżeli dla każdego x ∈ (x0− δ, x0+ δ) limn→∞Rn(x) = 0, to f (x) =

X

n=0

f(n)(x0)

n! (x − x0)n dla każdego x ∈ (x0− δ, x0+ δ)

(35)

Uwaga 3 Jeżeli istnieje M > 0 takie, że |f(n)(x)| ¬ M dla każdego n ∈ N ∪ {0} oraz dla każdego x ∈ (x0− δ, x0 + δ), to limn→∞Rn(x) = 0.

(36)

Różniczkowanie szeregu potęgowego

Twierdzenie 19 Niech 0 < R ¬ ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu potęgowego

P

n=0cnxn. Wtedy

(

X

n=0

cnxn)0 =

X

n=1

ncnxn−1 dla każdego x ∈ (−R, R).

Wniosek 1 Jeżeli f (x) =Pn=0cn(x − x0)n dla każdego x ∈ (x0− δ, x0+ δ), gdzie δ > 0, to

cn= f(n)(x0) n!

dla n = 0, 1, ...

(37)

Całkowanie szeregu potęgowego

Twierdzenie 20 Niech 0 < R ¬ ∞ będzie promieniem zbieżności szeregu Pn=0cnxn. Wtedy

Z x 0

(

X

n=0

cntn)dt =

X

n=0

cn n + 1xn+1 dla każdego x ∈ (−R, R).

(38)

Twierdzenie 21 (Abela) Jeżeli szereg f (x) = Pn=0cnxn jest zbieżny w końcowym prze- dziale zbieżności (np. w R), to

lim

x→Rf (x) =

X

n=0

cnRn.

(39)

Funkcje dwóch i trzech zmiennych Niech R2 = {(x, y) : x, y ∈ R} oznacza płaszczyznę,

R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R} przestrzeń.

Odległość punktów będziemy określali następująco:

|P1P0| =q(x1− x0)2+ (y1− y0)2, P0 = (x0, y0), P1 = (x1, y1),

|P1P0| =q(x1− x0)2 + (y1− y0)2+ (z1− z0)2, P0 = (x0, y0, z0), P1 = (x1, y1, z1).

Definicja 15 Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu P0 na płaszczyźnie lub w przestrzeni nazywamy zbiór

O(P0, r) =nP ∈ R2(R3) : |P0P | < ro.

(40)

Definicja 16 Zbiór jest otwarty, jeżeli każdy punkt tego zbioru jest zawarty w tym zbiorze wraz z pewnym swoim otoczeniem

(41)

Definicja 17 Funkcją f dwóch (trzech) zmiennych określoną na zbiorze A ⊂ R2(R3) o wartościach w R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej liczby rzeczywistej.

z = f (x, y), (x, y) ∈ A Zbiór A nazywamy dziedziną funkcji f i oznaczamy przez Df.

(42)

Definicja 18 Wykresem funkcji dwóch zmiennych nazywamy zbiór {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ Df} .

Definicja 19 Poziomicą wykresu funkcji f , odpowiadającą poziomowi h ∈ R, nazywamy zbiór

{(x, y) ∈ Df : f (x, y) = h} .

(43)

Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x0, y0).

Definicja 20 f jest ciągła w punkcie (x0, y0), gdy

^

>0

_

δ>0

^

(x,y)∈D

[(q(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ) ⇒ (|f (x, y) − f (x0, y0)| < )]

(44)

Pochodne cząstkowe

Definicja 21 Pochodną cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem x w punkcie (x0, y0) określamy wzorem

∂f

∂x(x0, y0) = lim

∆x→0

f (x0+ ∆x, y0) − f (x0, y0)

∆x ,

o ile ta granica istnieje.

Uwaga 4 Niech F (x) = f (x, y0). Wtedy ∂f∂x(x0, y0) = F0(x0).

(45)

Analogicznie

∂f

∂y(x0, y0) = lim

∆y→0

f (x0, y0+ ∆y) − f (x0, y0)

∆y ,

o ile ta granica istnieje.

Uwaga 5 Niech G(y) = f (x0, y). Wtedy ∂f∂y(x0, y0) = G0(y0).

(46)

Definicja 22 Jeżeli f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w każdym punkcie zbioru otwartego D ⊂ R2, to funkcje

∂f

∂x(x, y), ∂f

∂y(x, y), gdzie (x, y) ∈ D

nazywamy pochodnymi cząstkowymi pierwszego rzędu f na zbiorze D.

(47)

Płaszczyzna styczna

Załóżmy, że pochodne cząstkowe ∂f∂x,∂f∂y są ciągłe w punkcie (x0, y0). Wtedy płaszczyzna o równaniu

z = ∂f

∂x(x0, y0)(x − x0) + ∂f

∂y(x0, y0)(y − y0) + f (x0, y0) jest styczna do wykresu funkcji z = f (x, y) w punkcie (x0, y0, f (x0, y0)).

(48)

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

Niech f ma pochodne ∂f∂x,∂f∂y na zbiorze otwartym D oraz niech (x0, y0) ∈ D.

Definicja 23 Pochodne cząstkowe drugiego rzędu f w punkcie (x0, y0) określamy wzora- mi:

2f

∂x2(x0, y0) =

∂x(∂f

∂x)(x0, y0) = fxx(x0, y0)

2f

∂x∂y(x0, y0) =

∂x(∂f

∂y)(x0, y0) = fxy(x0, y0)

2f

∂y∂x(x0, y0) =

∂y(∂f

∂x)(x0, y0) = fyx(x0, y0)

2f

∂y2(x0, y0) =

∂y(∂f

∂y)(x0, y0) = fyy(x0, y0)

(49)

Twierdzenie 22 (Schwartza o pochodnych mieszanych)

Niech pochodne cząstkowe ∂x∂y2f ,∂y∂x2f istnieją na otoczeniu punktu (x0, y0) oraz będą ciągłe w punkcie (x0, y0). Wtedy

2f

∂x∂y(x0, y0) = 2f

∂y∂x(x0, y0).

(50)

Pochodna cząstkowa n-tego rzędu

nf

∂yk∂xl(x0, y0), gdzie k + l = n

-pochodna cząstkowa n-tego rzędu funkcji f w punkcie (x0, y0) powstała w wyniku l- krotnego różniczkowania względem zmiennej x i następnie k-krotnego różniczkowania względem zmiennej y

(51)

Pochodne cząstkowe funkcji złożonej

Twierdzenie 23 Niech

1. funkcje x = x(u, v), y = y(u, v) mają pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (u0, v0),

2. funkcja z = f (x, y) ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie (x(u0, v0), y(u0, v0)).

Wtedy funkcja złożona F (u, v) = f (x(u, v), y(u, v)) ma w punkcie (u0, v0) pochodne cząst- kowe pierwszego rzędu wyrażone wzorami:

∂F

∂u = ∂f

∂x · ∂x

∂u + ∂f

∂y · ∂y

∂u, ∂F

∂v = ∂f

∂x · ∂x

∂v + ∂f

∂y · ∂y

∂v. W szczególności jeśli x = x(t), y = y(t) to

dF dt = ∂f

∂x · dx dt + ∂f

∂y · dy dt.

(52)

Pochodna kierunkowa funkcji

Niech ~v = (vx, vy) będzie wersorem na płaszczyźnie. Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D ⊂ R2 oraz niech punkt (x0, y0) ∈ D.

Definicja 24 Pochodną kierunkową funkcji f w punkcie (x0, y0) w kierunku wersora ~v określamy wzorem:

∂f

∂~v(x0, y0) = lim

t→0+

f (x0+ tvx, y0+ tvy) − f (x0, y0)

t .

Uwaga 6 Niech F (t) = f (x0+ tvx, y0+ tvy). Wtedy ∂f∂~v(x0, y0) = F+0 (0).

(53)

Gradient funkcji

Definicja 25 Niech istnieją pochodne cząstkowe ∂f∂x(x0, y0),∂f∂y(x0, y0). Gradientem funkcji f w punkcie (x0, y0) nazywamy wektor

grad f (x0, y0) = (∂f

∂x(x0, y0),∂f

∂y(x0, y0)).

(54)

Twierdzenie 24 Niech pochodne ∂f∂x,∂f∂y istnieją na zbiorze otwartym D i będą ciągłe w punkcie (x0, y0) ∈ D. Wtedy

∂f

∂~v(x0, y0) = grad f (x0, y0) ◦ ~v.

Interpretacja geometryczna

Gradient funkcji w punkcie wskazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji w tym punk- cie.

(55)

Ekstrema lokalne

Niech f będzie określona na zbiorze otwartym D zawierającym punkt (x0, y0).

Definicja 26 f ma w punkcie (x0, y0) minimum lokalne, jeżeli

_

δ>0

^

(x,y)∈D

[(x, y) ∈ O((x0, y0), δ) ⇒ f (x, y) ­ f (x0, y0)].

(56)

Twierdzenie 25 (Warunek konieczny istnienia ekstremum)

Niech f będzie określone na otoczeniu punktu (x0, y0). Jeśli f ma ekstremum lokalne w (x0, y0) i istnieją pochodne cząstkowe ∂f∂x(x0, y0),∂f∂y(x0, y0) to

∂f

∂x(x0, y0) = ∂f

∂y(x0, y0) = 0.

(57)

Twierdzenie 26 (Warunek wystarczający istnienia ekstremum)

Jeżeli f ma ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego na otoczeniu punktu (x0, y0) i

∂f

∂x(x0, y0) = ∂f∂y(x0, y0) = 0 oraz det

2f

∂x2(x0, y0) ∂x∂y2f (x0, y0)

2f

∂x∂y(x0, y0) ∂y2f2(x0, y0)

> 0 to f ma ekstremum lokalne w (x0, y0) i jest to :

minimum lokalne właściwe , gdy ∂x2f2(x0, y0) > 0 albo maksimum lokalne właściwe, gdy ∂x2f2(x0, y0) < 0.

Uwaga 7 Jeśli det[ ] < 0, to f nie ma w (x0, y0) ekstremum lokalnego.

(58)

Ekstrema warunkowe

Definicja 27 Funkcja f ma w punkcie (x0, y0) minimum lokalne właściwe z warunkiem g(x, y) = 0 gdy g(x0, y0) = 0 i

_

δ>0

^

(x,y)∈D

[(x, y) ∈ S((x0, y0), δ) ∧ g(x, y) = 0] ⇒ [f (x, y) > f (x0, y0)]

(59)

Reguła nieoznaczonego czynnika Lagrange’a Określamy nową funkcję

Φ(x, y) = f (x, y) + λg(x, y)

gdzie λ jest stałe. Szukamy punktów, w których Φ może mieć ekstremum lokalne Φx = fx+ λgx = 0, Φy = fy+ λgy = 0.

Następnie z układu równań : fx(x, y) + λgx(x, y) = 0, fy(x, y) + λgy(x, y) = 0, g(x, y) = 0 wyznaczamy punkt (x, y), w którym możliwe jest ekstremum funkcji f przy warunku g = 0,

(60)

Zbiory domknięte Niech A będzie zbiorem na płaszczyźnie lub w przestrzeni:

Definicja 28 Punkt P jest punktem brzegowym zbioru A jeżeli

^

r>0

O(P, r) ∩ A 6= ∅ oraz O(P, r) ∩ A0 6= ∅.

A0-dopełnienie zbioru A.

(61)

Definicja 29 Brzegiem zbioru nazywamy zbiór wszystkich jego punktów brzegowych.

Definicja 30 Zbiór jest domknięty jeżeli zawiera swój brzeg.

(62)

Definicja 31 Zbiór D jest ograniczony jeżeli jest zawarty w otoczeniu pewnego punktu

_

P0

_

r>0

D ⊂ O(P0, r).

Twierdzenie 27 (Weierstrassa o osiąganiu kresów)

Jeżeli zbiór D jest domknięty i ograniczony i funkcja f jest ciągła na D, to

_

(x1,y1)∈D

f (x1, y1) = sup {f (x, y) : (x, y) ∈ D}

_

(x2,y2)∈D

f (x2, y2) = inf {f (x, y) : (x, y) ∈ D}

(63)

Znajdowanie wartości największej i najmniejszej funkcji ciągłej na zbiorze domkniętym

1. Na zbiorze otwartym szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne.

2. Na brzegu zbioru szukamy punktów, w których funkcja może mieć ekstrema lokalne (ekstrema warunkowe).

Wśród wartości funkcji w tych punktach znajduje się wartość największa i najmniejsza.

(64)

Całki podwójne Całka podwójna po prostokącie

Niech P = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d} = [a, b] × [c, d]

i P = {P1, P2, ..., Pn} będzie podziałem prostokąta P na prostokąty Pk, 1 ¬ k ¬ n.

Oznaczmy

∆xk, ∆yk -wymiary prostokąta Pk, 1 ¬ k ¬ n,

dk =q(∆xk)2+ (∆yk)2 -długość przekątnej prostokąta Pk, 1 ¬ k ¬ n,

δ(P) = max {dk : 1 ¬ k ¬ n}

-średnica podziału P,

(xk, yk) ∈ Pk

-punkt pośredni k-tego prostokąta podziału P, 1 ¬ k ¬ n Σ = {(xk, yk) : 1 ¬ k ¬ n}

-zbiór punktów pośrednich podziału P.

(65)

Niech funkcja f będzie ograniczona na prostokącie P.

Definicja 32 Sumę

σ(f, P) =

n

X

k=1

f (xk, yk)∆xk∆yk nazywamy sumą całkową.

Ciąg podziałów (Pn) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostokąta P jeżeli

n→∞lim δ(Pn) = 0.

Definicja 33 Całkę podwójną z funkcji f po prostokącie P określamy wzorem

R R

P f (x, y)dxdy = lim

n→∞σ(f, Pn)

gdzie (Pn) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla dowolnego normalnego ciągu podziałów (Pn) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów pośrednich Σn

(66)

Twierdzenie 28 (Warunek wystarczający całkowania funkcji)

Funkcja ograniczona w prostokącie P jest całkowalna, jeżeli wszystkie jej punkty niecią- głości leżą na skończonej ilości krzywych postaci y = y(x) lub x = x(y).

(67)

Twierdzenie 29 Jeżeli f i g są całkowalne na prostokącie P oraz c ∈ R, to

R R

P (f (x, y) + g(x, y))dxdy =

R R

P f (x, y)dxdy + R RP g(x, y)dxdy,

R R

P cf (x, y)dxdy = c

R R

P f (x, y)dxdy,

R R

P f (x, y)dxdy =

R R

P1 f (x, y)dxdy +

R R

P2 f (x, y)dxdy gdzie {P1, P2} jest podziałem prostokąta P na prostokąty P1, P2.

(68)

Twierdzenie 30 Jeżeli istnieje

R R

P f (x, y)dxdy oraz istnieje całkaRd

c

f (x, y)dy dla każdego x, to

R R

P f (x, y)dxdy =

b

Z

a

dx

d

Z

c

f (x, y)dy =

d

Z

c

dy

b

Z

a

f (x, y)dx.

Wniosek 2 Niech funkcja f będzie ciągła na prostokącie P = [a, b] × [c, d]. Wtedy

R R

P f (x, y)dxdy =

b

Z

a

dx

d

Z

c

f (x, y)dy =

d

Z

c

dy

b

Z

a

f (x, y)dx.

(69)

Interpretacja geometryczna

Niech V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ P, 0 ¬ z ¬ f (x, y)} . Wtedy

|V | = R RP f (x, y)dxdy.

(70)

Obszary

Definicja 34 Zbiór D ⊂ R2 (R3) nazywamy obszarem, jeżeli jest otwarty i każde dwa punkty zbioru można połączyć łamaną całkowicie w nim zawartą.

Obszar łącznie ze swoim brzegiem nazywamy obszarem domkniętym.

(71)

Całka podwójna po obszarze

Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym D ⊂ R2. Niech P będzie dowolnym prostokątem takim, że D ⊂ P. Określamy funkcję

f(x, y) =

( f (x, y) dla (x, y) ∈ D 0 dla (x, y) ∈ R2− D.

Definicja 35 Całkę podwójną z funkcji f po obszarze D określamy wzorem

R R

D f (x, y)dxdy =

R R

P f(x, y)dxdy.

(72)

Definicja 36 a) Obszarem normalnym względem osi Ox nazywamy zbiór {(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)}

gdzie funkcje g i h są ciągłe na [a, b] oraz g(x) < h(x) dla każdego x ∈ (a, b).

b) Obszarem normalnym względem osi Oy nazywamy zbiór {(x, y) : c ¬ y ¬ d, p(y) ¬ x ¬ q(y)}

gdzie funkcje p i q są ciągłe na [c, d] oraz p(y) < q(y) dla każdego y ∈ (c, d).

(73)

Twierdzenie 31 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze normalnym a) D = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, g(x) ¬ y ¬ h(x)}, to

R R

D f (x, y)dxdy =

Zb

a

(

h(x)

Z

g(x)

f (x, y)dy)dx,

b)D = {(x, y) : c ¬ y ¬ d, p(y) ¬ x ¬ q(y)} , to

R R

D f (x, y)dxdy =

Zd

c

(

q(y)

Z

p(y)

f (x, y)dx)dy.

(74)

Całka podwójna po obszarze regularnym

Definicja 37 Obszar D, który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( wzglę- dem osi Ox lub Oy ) D1, ..., Dn o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym na płaszczyźnie.

Twierdzenie 32 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym D, to

R R

D f (x, y)dxdy =

R R

D1 f (x, y)dxdy + ... +

R R

Dnf (x, y)dxdy.

(75)

Zamiana zmiennych w całkach podwójnych

Niech będą dane dwie płaszczyzny uOv i xOy. Na obszarze ∆ płaszczyzny uOv określona jest para funkcji x = ξ(u, v), y = η(u, v).

Zbiór D = {(x, y) : x = ξ(u, v), y = η(u, v), (u, v) ∈ ∆} nazywamy obrazem zbioru ∆ przez przekształcenie T (u, v) = (ξ(u, v), η(u, v)).

Załóżmy, że ξ(u, v) i η(u, v) mają ciągłe pochodne cząstkowe w obszarze ∆.

Definicja 38 Jakobianem przekształcenia T (u, v) = (ξ(u, v), η(u, v)) nazywamy funkcję JT(u, v) = det

" ∂ξ

∂u(u, v) ∂ξ∂v(u, v)

∂η

∂u(u, v) ∂η∂v(u, v)

#

.

Inne oznaczenie ∂(ξ,η)∂(u,v) lub D(u,v)D(ξ,η).

(76)

Twierdzenie 33 ( o zamianie zmiennych w całce podwójnej ) Niech

1. przekształcenie T (u, v) = (ξ(u, v), η(u, v)) odwzorowuje różnowartościowo wnętrze ob- szaru regularnego ∆ na wnętrze obszaru regularnego D,

2. funkcje ξ, η mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego na pewnym zbiorze otwar- tym zawierającym obszar ∆,

3. funkcja f jest ciągła na obszarze D, 4. jakobian JT 6= 0 wewnątrz obszaru ∆.

Wtedy

R R

D f (x, y)dxdy =

R R

f (ξ(u, v), η(u, v))|JT(u, v)|dudv.

(77)

Współrzędne biegunowe

P = (x, y) ≈ (ϕ, ρ),

gdzie ϕ-miara kąta między dodatnią częścią osi Ox a promieniem wodzącym punktu P 0 ¬ ϕ < 2π (albo −π < ϕ ¬ π),

ρ-odległość punktu P od początku układu współrzędnych.

B :=

( x = ρcosϕ y = ρsinϕ.

B- przekształcenie, które parze (ϕ, ρ) przyporządkowuje parę (x, y) i JB= −ρ.

(78)

Twierdzenie 34 Niech obszar U we współrzędnych biegunowych będzie obszarem normal- nym i ma postać

U = {(ϕ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, g(ϕ) ¬ ρ ¬ h(ϕ)} ,

gdzie funkcje nieujemne g i h są ciągłe na przedziale [α, β] ⊂ [0, 2π]. Niech f będzie ciągła na obszarze D = B(U ). Wtedy

R R

D f (x, y)dxdy =

R R

U f (ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρdϕ =

β

Z

α

[

h(ϕ)

Z

g(ϕ)

f (ρcosϕ, ρsinϕ)ρdρ]dϕ.

(79)

Całki potrójne Całka potrójna po prostopadłościanie

Niech P = {(x, y, z) : a ¬ x ¬ b, c ¬ y ¬ d, p ¬ z ¬ q} = [a, b] × [c, d] × [p, q]

i P = {P1, P2, ..., Pn} będzie podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany Pk, 1 ¬ k ¬ n.

Oznaczmy

∆xk, ∆yk, ∆zk -wymiary prostopadłościanu Pk, 1 ¬ k ¬ n,

dk=q(∆xk)2+ (∆yk)2+ (∆zk)2 -długość przekątnej prostopadłościanu Pk, 1 ¬ k ¬ n,

δ(P) = max {dk : 1 ¬ k ¬ n}

-średnica podziału P,

(xk, yk, zk) ∈ Pk

-punkt pośredni k-tego prostopadłościanu podziału P, 1 ¬ k ¬ n Σ = {(xk, yk, zk) : 1 ¬ k ¬ n}

-zbiór punktów pośrednich podziału P.

(80)

Niech funkcja f będzie ograniczona na prostopadłościanie P.

Definicja 39 Sumę

σ(f, P) =

n

X

k=1

f (xk, yk, zk)∆xk∆yk∆zk nazywamy sumą całkową.

Ciąg podziałów (Pn) nazywamy ciągiem normalnym podziałów prostopadłościanu P jeżeli

n→∞lim δ(Pn) = 0.

Definicja 40 Całkę potrójną z funkcji f po prostopadłościanie P określamy wzorem

R R R

P f (x, y, z)dxdydz = lim

n→∞σ(f, Pn)

gdzie (Pn) jest normalnym ciągiem podziałów, o ile granica jest właściwa i taka sama dla dowolnego normalnego ciągu podziałów (Pn) oraz nie zależy od sposobów wyboru punktów pośrednich Σn

(81)

Interpretacja fizyczna całki potrójnej

Niech f oznacza gęstość objętościową masy. Wtedy prostopadłościan P ma masę M =

R R R

P f (x, y, z)dxdydz.

(82)

Twierdzenie 35 Jeżeli f i g są całkowalne na prostopadłościanie P oraz α ∈ R, β ∈ R, to

R R R

P (αf (x, y, z) + βg(x, y, z))dxdydz = α

R R R

P f (x, y, z)dxdydz + β

R R R

P g(x, y, z)dxdydz,

R R R

P f (x, y, z)dxdydz =

R R R

P1 f (x, y, z)dxdydz +

R R R

P2 f (x, y, z)dxdydz gdzie {P1, P2} jest podziałem prostopadłościanu P na prostopadłościany P1, P2.

(83)

Twierdzenie 36 (O zamianie całki potrójnej na iterowaną)

Niech funkcja f będzie ciągła na prostopadłościanie P = [a, b] × [c, d] × [p, q]. Wtedy

R R R

P f (x, y, z)dxdydz =

b

Z

a

dx

d

Z

c

dy

q

Z

p

f (x, y, z)dz

(84)

Całka potrójna po obszarze

Niech f będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym V ⊂ R3.

Niech P będzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar V. Określamy funkcję f(x, y, z) =

( f (x, y, z) dla (x, y, z) ∈ V 0 dla (x, y, z) ∈ R3− V.

Definicja 41 Całkę potrójną z funkcji f po obszarze V określamy wzorem

R R R

V f (x, y, z)dxdydz =

R R R

P f(x, y, z)dxdydz.

(85)

Definicja 42 a) Obszarem normalnym względem płaszczyzny xOy nazywamy zbiór {(x, y, z) : (x, y) ∈ U, D(x, y) ¬ z ¬ G(x, y)}

gdzie U jest obszarem regularnym na xOy, funkcje D i G są ciągłe na U , przy czym D(x, y) < G(x, y) dla (x, y) należących do wnętrza obszaru U.

Analogicznie:

b) względem xOz

{(x, y, z) : (x, z) ∈ U, D(x, z) ¬ y ¬ G(x, z)}

c) względem yOz

{(x, y, z) : (y, z) ∈ U, D(y, z) ¬ x ¬ G(y, z)} .

(86)

Twierdzenie 37 Jeżeli funkcja f jest ciągła na obszarze

V = {(x, y, z) : (x, y) ∈ U, D(x, y) ¬ z ¬ G(x, y)}

normalnym względem płaszczyzny xOy, gdzie funkcje D i G są ciągłe na obszarze regu- larnym U , to

R R R

V f (x, y, z)dxdydz =

R R

U (

G(x,y)

Z

D(x,y)

f (x, y, z)dz)dxdy.

Jeżeli

U = {(x, y) : a ¬ x ¬ b, d(x) ¬ y ¬ g(x)} , gdzie d i g są ciągłe na [a, b], to

R R R

V f (x, y, z)dxdydz =

Zb

a

dx

g(x)

Z

d(x)

dy

G(x,y)

Z

D(x,y)

f (x, y, z)dz.

(87)

Całka potrójna po obszarze regularnym

Definicja 43 Obszar V , który jest sumą skończonej liczby obszarów normalnych ( wzglę- dem płaszczyzn układu ) V1, ..., Vn o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni.

Twierdzenie 38 Jeżeli funkcja f jest całkowalna na obszarze regularnym V , to

R R R

V f (x, y, z)dxdydz =

R R R

V1 f (x, y, z)dxdydz + ... +

R R R

Vn f (x, y, z)dxdydz.

(88)

Zamiana zmiennych w całkach potrójnych Współrzędne walcowe

P = (x, y, z) ≈ (ϕ, ρ, h), gdzie (ϕ, ρ)- współrzędne biegunowe (x, y),

0 ¬ ϕ < 2π, (−π < ϕ ¬ π), 0 ¬ ρ < ∞, −∞ < h < ∞

W :=

x = ρcosϕ y = ρsinϕ z = h.

W - przekształcenie, które trójce (ϕ, ρ, h) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).

(89)

Twierdzenie 39 Niech obszar U we współrzędnych walcowych będzie obszarem normal- nym i ma postać

U = {(ϕ, ρ, h) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ρ ¬ g(ϕ), D(ϕ, ρ) ¬ h ¬ G(ϕ, ρ)} ,

gdzie funkcje nieujemne d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze {(ϕ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ρ ¬ g(ϕ)} .

Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = W (U ), to

R R R

V f (x, y, z)dxdydz =

β

Z

α

g(ϕ)

Z

d(ϕ)

G(ϕ,ρ)

Z

D(ϕ,ρ)

f (ρcosϕ, ρsinϕ, h)ρdh.

(90)

Współrzędne sferyczne

P = (x, y, z) ≈ (ϕ, ψ, ρ), 0 ¬ ϕ < 2π, (−π < ϕ ¬ π), −π2 ¬ ψ ¬ π2, 0 ¬ ρ < ∞.

S :=

x = ρcosϕcosψ y = ρsinϕcosψ z = ρsinψ.

S- przekształcenie, które trójce (ϕ, ψ, ρ) przyporządkowuje trójkę (x, y, z).

(91)

Twierdzenie 40 Niech obszar U we współrzędnych sferycznych będzie obszarem normal- nym i ma postać

U = {(ϕ, ψ, ρ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ψ ¬ g(ϕ), D(ϕ, ψ) ¬ ρ ¬ G(ϕ, ψ)} , gdzie funkcje d i g są ciągłe na przedziale [α, β], a D i G są ciągłe na obszarze

{(ϕ, ψ) : α ¬ ϕ ¬ β, d(ϕ) ¬ ψ ¬ g(ϕ)} . Jeżeli f jest ciągła na obszarze V = S(U ), to

R R R

V f (x, y, z)dxdydz =

β

Z

α

g(ϕ)

Z

d(ϕ)

G(ϕ,ψ)

Z

D(ϕ,ψ)

f (ρcosϕcosψ, ρsinϕcosψ, ρsinψ)ρ2cosψdρ.

(92)

Zastosowania całek wielokrotnych

Pole płata Σ, który jest wykresem funkcji z = f (x, y), gdzie (x, y) ∈ D, wyraża się wzorem

|Σ| = R RD

s

1 + (∂f

∂x)2+ (∂f

∂y)2dxdy.

Zakładamy, że ∂f∂x, ∂f∂y są ciągłe na obszarze D.

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :