n =2 . 1.2Równaniaróżniczkowecząstkowepierwszegorzędu, 1.1Równaniaróżniczkowecząstkowe.Definicjeiozna-czenia. 1Równaniaróżniczkowecząstkowe.Równaniaróżniczkowecząstkowepierwszegorzędu.

33  Download (0)

Pełen tekst

(1)

1 Równania różniczkowe cząstkowe. Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu.

1.1 Równania różniczkowe cząstkowe. Definicje i ozna- czenia.

Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy wyrażenie postaci (RRCz) F (x1, x2, . . . , xn, u, ux1, ux2, . . . , uxn, ux1x1, ux1x2, . . .

| {z }

skończenie wiele

) = 0,

gdzie F jest zadaną funkcją, u = u(x1, . . . , xn)jest funkcją niewiadomą, a uxi, uxixj, itd., oznaczają jej pochodne cząstkowe. Maksymalny rząd pochodnej cząstkowej funkcji u występującej w równaniu nazywamy rzędem równania.

Jeśli równanie jest rzędu k, to funkcja ϕ = ϕ(x1, . . . , xn) jest rozwiąza- niem klasycznym równania w obszarze Ω ⊂ Rn, gdy ma ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu k włącznie w Ω i równość (RRCz) spełniona jest dla wszystkich (x1, . . . , xn) ∈ Ω. Niekiedy żąda się tylko by ϕ była funkcją ciągłą w Ω i miała w Ω ciągłe pochodne cząstkowe występujące w równaniu.

Rozpatruje się też rozwiązania mniej regularne, w tym także nie będą- ce funkcjami ciągłymi (rozwiązania uogólnione, słabe, mocne, dystrybucyjne, lepkościowe, . . . ). Każdorazowo wymaga to podania precyzyjnej definicji po- jęcia rozwiązania.

Przykład. Równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu dla funkcji u = u(x, y)

ux = 0 w R2

jest spełnione przez u(x, y) = f(y), gdzie f : R → R jest dowolną funk- cją. Rozwiązanie klasyczne powyższego równania ma zatem postać u(x, y) = f (y), gdzie f : R → R jest dowolną funkcją klasy C1 (lub, przy innej definicji rozwiązania klasycznego, dowolną funkcją ciągłą).

1.2 Równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu, n = 2.

W przypadku wymiaru przestrzeni n = 2 równanie pierwszego rzędu ma ogólną postać

F (x, y, u, ux, uy) = 0.

(2)

Szczególnymi przypadkami są

a(x, y)ux+ b(x, y)uy = c(x, y)u + f (x, y) – równanie liniowe, (liniowe jednorodne, gdy f(x, y) ≡ 0, liniowe niejednorodne w przeciwnym przypadku)

a(x, y)ux+ b(x, y)uy = c(x, y, u) – równanie semiliniowe, a(x, y, u)ux+ b(x, y, u)uy = c(x, y, u) – równanie quasiliniowe.

1.3 Zagadnienie Cauchy’ego dla równania quasiliniowe- go

Rozważmy równanie różniczkowe cząstkowe quasiliniowe pierwszego rzędu (RRCzQ) a(x, y, u)ux+ b(x, y, u)uy = c(x, y, u),

gdzie o funkcjach a, b i c zakładamy, że są klasy C1 na obszarze Ω ⊂ R3. Niech ℓ ⊂ Ω będzie krzywą klasy C1 zadaną w postaci parametrycznej

x = x0(s), y = y0(s), u = u0(s), s ∈ [s1, s2] =: I,

o tej własności, że jej rzut ℓ0 na płaszczyznę XOY jest też krzywą klasy C1 bez samoprzecięć. (1)

Zagadnienie Cauchy’ego

a(x, y, u)ux+ b(x, y, u)uy = c(x, y, u)

u(x0(s), y0(s)) = u0(s) dla s ∈ [s1, s2] (ZC)

polega na znalezieniu rozwiązania ϕ = ϕ(x, y) równania (RRCzQ), określo- nego w pewnym otoczeniu krzywej ℓ0 i spełniającego warunek Cauchy’ego:

(WC) u(x0(s), y0(s)) = u0(s) dla s ∈ [s1, s2].

Interpretacja geometryczna.

Wprowadzając oznaczenia A := (a, b, c), N = (ux, uy, −1), równanie (RRCzQ) można zapisać jako

(1.1) ⟨A, N⟩ = 0.

(1)Przypominam, że w definicji krzywej klasy C1 żąda się, m.in., by wektor styczny w każdym punkcie krzywej był niezerowy.

(3)

Ponieważ N jest wektorem normalnym do powierzchni zadanej równaniem u = u(x, y), wiec równość (1.1) oznacza, że wektor A leży w płaszczyźnie stycznej do tej powierzchni. Warunek (WC) oznacza z kolei, że krzywa ℓ leży na powierzchni danej równaniem u = u(x, y). Zatem zagadnienie Cau- chy’ego polega na znalezieniu powierzchni stycznej w każdym swym punkcie do zadanego pola wektorowego A i przechodzącej przez zadaną krzywą ℓ w przestrzeni R3.

Metoda charakterystyk.

Przytoczona interpretacja geometryczna leży u podstaw metody znaj- dowania rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego zwanej metodą charakterystyk (inaczej też metodą Lagrange’a – Charpita(2)). W skrócie polega ona na tym, że przez każdy punkt krzywej ℓ przeprowadzamy krzywą, która w każdym swoim punkcie jest styczna do pola wektorowego A. Powierzchnia utworzona („utkana”) przez te krzywe jest wykresem szukanego rozwiązania zagadnienia.

Przechodzimy do szczegółów. Dla ustalonego s ∈ [s1, s2] rozważamy na- stępujące zagadnienie początkowe

(1.2)

dx

dt = a(x, y, u), x(0) = x0(s),(3) dy

dt = b(x, y, u), y(0) = y0(s), du

dt = c(x, y, u), u(0) = u0(s).

Z twierdzenia Picarda – Lindelöfa dla układów równań różniczkowych zwy- czajnych (patrz Wykład nr 6 ze Wstępu do Teorii Równań Różniczkowych) wynika, że istnieje dokładnie jedno rozwiązanie

(1.3) ξ = ξ(t, s), η = η(t, s), υ = υ(t, s)

zagadnienia początkowego (1.2), określone dla t ∈ (−δs, δs), gdzie 0 < δs ¬

.

Okazuje się, że odwzorowanie

[ ∆ ∋ (t, s) 7→ (ξ(t, s), η(t, s), υ(t, s)) ∈ R3], gdzie

∆ := [

s∈[s1,s2]

(−δs, δs) × {s} ⊃ (−δ, δ) × [s1, s2] dla pewnego δ > 0,

(2)Paul Charpit de Ville Coer (? – 1784), matematyk francuski

(3)Zauważmy, że dla x, itd., zmienna niezależna to t, zaś dla x0, itd., zmienna niezależna to s

(4)

jest klasy C1 (jest to wniosek z twierdzenia o różniczkowalnej zależności roz- wiązania zagadnienia początkowego od parametru dla układu równań różnicz- kowych zwyczajnych, wyniku dość technicznego, patrz notatki).

Szukamy teraz warunku dostatecznego na to, by, przynajmniej w pobliżu krzywej ℓ, wzory (1.3), gdy (t, s) ∈ ∆, były równaniami parametrycznymi pewnej powierzchni w R3 dającej się przedstawić jako wykres funkcji ϕ = ϕ(x, y) klasy C1.

Zdefiniujmy przekształcenie Φ: ∆ → R2, klasy C1, wzorem Φ(t, s) := (ξ(t, s), η(t, s)), (t, s) ∈ ∆.

Jakobian przekształcenia Φ w punkcie (t, s) ∈ ∆ wyraża się wzorem

JΦ(t, s) :=

∂ξ

∂t(t, s) ∂ξ

∂s(t, s)

∂η

∂t(t, s) ∂η

∂s(t, s)

Dla t = 0 otrzymujemy

JΦ(0, s) :=

a(x0(s), y0(s), u0(s)) x0(s) b(x0(s), y0(s), u0(s)) y0(s)

dla s ∈ [s1, s2].

Na podstawie twierdzenia o funkcji odwrotnej, warunkiem dostatecznym na to, by istniało otoczenie D ⊂ ∆ odcinka {0} × [s1, s2] takie, że Φ|D jest odwracalne, z odwzorowaniem odwrotnym (Φ|D)−1: E −−→1−1

na Dklasy C1, jest, by zachodziło

(1.4)

a(x0(s), y0(s), u0(s)) x0(s) b(x0(s), y0(s), u0(s)) y0(s)

̸= 0 dla każdego s ∈ [s1, s2].

Zauważmy, że (1.4) oznacza pewien warunek na położenie krzywej ℓ0: wektor styczny do ℓ0 i rzut wektora A na płaszczyznę XOY nie mogą być równoległe w żadnym punkcie krzywej ℓ0.

Definiujemy odwzorowanie ϕ: E → R, klasy C1, wzorem ϕ := υ ◦ (Φ|D)−1.

Udowodnimy teraz, że ϕ jest rozwiązaniem (klasycznym) zagadnienia Cau- chy’ego (ZC). Zapiszmy powyższą równość w postaci

ϕ(x, y) = υ(t(x, y), s(x, y)), (x, y) ∈ E,

(5)

gdzie (Φ|D)−1(x, y) = (t(x, y), s(x, y)). Dokonując zamiany zmiennych, otrzy- mujemy

ϕ(ξ(t, s), η(t, s)) = υ(t, s), (t, s) ∈ D.

Różniczkując powyższą równość po t, i uwzględniając równania różniczkowe zwyczajne w (1.2), otrzymujemy

ϕx(ξ(t, s), η(t, s)) · a(ξ(t, s), η(t, s), υ(t, s))

+ ϕy(ξ(t, s), η(t, s)) · b(ξ(t, s), η(t, s), υ(t, s))

= c(ξ(t, s), η(t, s), υ(t, s)), co po przejściu do zmiennych (x, y) daje

ϕx(x, y) · a(x, y, ϕ(x, y)) + ϕy(x, y) · b(x, y, ϕ(x, y)) = c(x, y, ϕ(x, y)).

To, że spełnione są warunki Cauchy’ego (WC), wynika z warunków począt- kowych w (1.2).

W dalszym ciągu udowodnimy, że rozwiązanie to jest wyznaczone jedno- znacznie w pewnym otoczeniu krzywej ℓ0. Niech ˜ϕ(x, y) będzie dowolnym roz- wiązaniem (klasycznym) zagadnienia (ZC). Wykażemy, że ˜ϕ(x, y) = ϕ(x, y) w pobliżu krzywej ℓ0. W zmiennych (t, s) równość ta jest równoważna z

˜

ϕ(ξ(t, s), η(t, s)) = υ(t, s)

dla (t, s) z pewnego otoczenia zbioru {0}×[s1, s2]. Dla ustalonego s ∈ [s1, s2] rozważmy różnicę

z(t) := ˜ϕ(ξ(t, s), η(t, s)) − υ(t, s).

Mamy z(0) = 0 oraz, różniczkując obustronnie względem t, z(t) = ˜ϕx(ξ(t, s), η(t, s))) · a(ξ(t, s), η(t, s), υ(t, s))

+ ˜ϕy(ξ(t, s), η(t, s))) · b(ξ(t, s), η(t, s), υ(t, s))

− c(ξ(t, s), η(t, s), υ(t, s))

= ˜ϕx(ξ(t, s), η(t, s))) · a(ξ(t, s), η(t, s), ˜ϕ(ξ(t, s), η(t, s)) − z(t)) + ˜ϕy(ξ(t, s), η(t, s))) · b(ξ(t, s), η(t, s), ˜ϕ(ξ(t, s), η(t, s)) − z(t))

− c(ξ(t, s), η(t, s), ˜ϕ(ξ(t, s), η(t, s)) − z(t))

=: G(t, s, z(t)).

Funkcja z(t) jest zatem rozwiązaniem zagadnienia początkowego

z = G(t, s, z) z(0) = 0.

(6)

Zauważmy przy tym, że G(t, s, z) i Gz(t, s, z)są funkcjami ciągłymi. Ponad- to, funkcja stale równa zeru jest rozwiązaniem tego zagadnienia. Ponieważ zagadnienie powyższe ma jednoznaczne rozwiązanie, więc z(t) ≡ 0, co kończy dowód jednoznaczności rozwiązania zagadnienia (ZC).

Podsumowując, udowodniliśmy następujące twierdzenie.

Twierdzenie 1.1. Załóżmy, że a, b, c : Ω → R, gdzie Ω ⊂ R3 jest obszarem, są funkcjami klasy C1. Niech ℓ ⊂ Ω będzie krzywą klasy C1 zadaną w postaci parametrycznej (x0, y0, u0) : [s1, s2] → Ω, o tej własności, że jej rzut ℓ0 = { (x0(s), y0(s)) : s ∈ [s1, s2] } też jest krzywą klasy C1 bez samoprzecięć.

Jeżeli dla każdego s ∈ [s1, s2] zachodzi

a(x0(s), y0(s), u0(s)) x0(s) b(x0(s), y0(s), u0(s)) y0(s)

̸= 0,

to zagadnienie Cauchy’ego

a(x, y, u)ux+ b(x, y, u)uy = c(x, y, u)

u(x0(s), y0(s)) = u0(s) dla s ∈ [s1, s2] ma rozwiązanie. Rozwiązanie to jest lokalnie jednoznaczne.

Kierunek wektora (a, b, c) nazywamy kierunkiem charakterystycznym (lub osią Monge’a(4)) w punkcie (x, y, u). Układ równań różniczkowych zwyczaj- nych występujący w zagadnieniu (1.2) nosi nazwę układu równań charakte- rystycznych równania (RRCzQ), trajektorie (to znaczy, obrazy rozwiązań) tego układu nazywają sie charakterystykami (równania (RRCzQ)) a rzuty tych trajektorii na płaszczyznę XOY — rzutami charakterystycznymi.

Przykład. Znaleźć rozwiązanie równania xux+ yuy = (x + y)u spełniające warunek u = 1 dla x = 1, 1 ¬ y ¬ 2.

Rozwiązanie. Zapisujemy równanie krzywej ℓ w postaci parametrycznej:

x0(s) = 1, y0(s) = s, u0(s) = 1, s ∈ [1, 2]. Rozwiązujemy zagadnienie począt- kowe dla układu równań charakterystycznych

dx

dt = x, x(0) = 1,

dy

dt = y, y(0) = s,

du

dt = (x + y)u, u(0) = 1,

(4)Gaspard Monge (1746 – 1818), od 1808 Comte de Péluse et de l’Empire, matematyk i polityk francuski

(7)

dla s ∈ (1, 2). Rozwiązaniem jest ξ(t, s) = et, η(t, s) = set, υ(t, s) = e(1+s)(et−1). Za pomocą pierwszych dwóch równań eliminujemy zmienne (t, s) w trzecim równaniu otrzymując u(x, y) = e(1+y/x)(x−1).

1.4 Rozwiązania funkcyjnie niezależne. Rozwiązania ogól- ne

Rozważmy liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu (RRCzL) f (x, y, z)ux+ g(x, y, z)uy + h(x, y, z)uz = 0,

gdzie o funkcjach f, g i h zakładamy, że są klasy C1 na obszarze Ω ⊂ R3. Zakładamy ponadto, że

|f (x, y, z)| + |g(x, y, z)| + |h(x, y, z)| > 0 dla każdego (x, y, z) ∈ Ω.

Analogicznie jak poprzednio możemy zastosować tutaj metodę charak- terystyk: rozwiązanie u = u(x, y, z) równania (RRCzL) jest funkcją stałą wzdłuż rozwiązania układu równań różniczkowych zwyczajnych

(U)

dx

dt = f (x, y, z) dy

dt = g(x, y, z) dz

dt = h(x, y, z).

W szczególności, każda całka pierwsza(5) układu (U) jest rozwiązaniem rów- nania (RRCzL).

Całki pierwsze ϕ: Ω → R i ψ : Ω → R układu (U) nazywamy funkcyjnie niezależnymi, gdy

grad ϕ(x, y, z) × grad ψ(x, y, z) ̸= 0 ∀ (x, y, z) ∈ Ω.(6)

Przypomnijmy, że gradient jest w każdym punkcie prostopadły do po- ziomicy funkcji. Z definicji funkcyjnej niezależności wynika, że w żadnym punkcie gradient funkcji ϕ nie jest równoległy do gradientu funkcji ψ. W

(5)Całką pierwszą układu (U) nazywamy funkcję ϕ klasy C1, spełniającą f∂ϕ∂x+ g∂ϕ∂y + h∂ϕ∂z ≡ 0, i nie równą stałej na żadnym zbiorze otwartym.

(6)Jest to definicja funkcyjnej niezależności dostosowana do naszych bieżących potrzeb.

Patrz Dodatek na końcu notatek.

(8)

szczególności, funkcyjna niezależność pociąga za sobą, że poziomice funkcji ϕi poziomice funkcji ψ nie są nigdzie styczne, i przecinają się wzdłuż krzy- wych klasy C1.

Często zdarza się, że całki pierwsze, rozwiązania, itp., są określone na pewnym właściwym podobszarze obszaru Ω.

Twierdzenie 1.2. Dla każdego (x0, y0, z0) ∈ Ω istnieją: otwarte i spój- ne otoczenie U punktu (x0, y0, z0) oraz funkcyjnie niezależne całki pierwsze ϕ : U → R i ψ : U → R układu (U).

Dowód. Ustalmy (x0, y0, z0) ∈ Ω. Z twierdzenia o lokalnym prostowaniu pola wektorowego (patrz notatki) wynika istnienie otwartego i spójnego otoczenia U punktu (x0, y0, z0)i zamiany zmiennych H : U → R3, H(x, y, z) = (ξ, η, ζ), klasy C1, takiej, że w nowych zmiennych układ (U) przybiera postać

(1.5)

dt ≡ 0 dt ≡ 0 dt ≡ 1.

Dla układu (1.5) funkcje ˜ϕ(ξ, η, ζ) = ξ i ˜ψ(ξ, η, ζ) = η są funkcyjnie nieza- leżnymi całkami pierwszymi. Szukane całki pierwsze (w wyjściowych współ- rzędnych) to ϕ := ˜ϕ ◦ H, ψ := ˜ψ ◦ H

Fakt 1.3. Niech u1, u2 będą rozwiązaniami równania (RRCzL). Wówczas dla każdej funkcji rzeczywistej F dwóch zmiennych rzeczywistych klasy C1, której dziedzina zawiera iloczyn kartezjański zbiorów wartości funkcji u1 i u2, funkcja złożona F (u1, u2) jest rozwiązaniem równania (RRCzL).

Twierdzenie 1.4. Niech ϕ i ψ będą ustalonymi funkcyjnie niezależnymi roz- wiązaniami równania (RRCzL). Wówczas dla każdego rozwiązania u rów- nania (RRCzL) i dla każdego (x0, y0, z0) ∈ Ω istnieją: otoczenie U punktu (x0, y0, z0) i funkcja F klasy C1, ϕ(U ) × ψ(U ) ⊂ dom F , takie, że

u(x, y, z) = F (ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z)) ∀ (x, y, z) ∈ U.

Dowód. Zauważmy, że układ równań liniowych (ux itd. to współczynniki, (f, g, h) to rozwiązanie)

f · ux+ g · uy + h · uz = 0 f · ϕx+ g · ϕy+ h · ϕz = 0 f · ψx+ g · ψy + h · ψz = 0

(9)

jest spełniony dla wszystkich (x, y, z) ∈ Ω. Jako że wektor (f, g, h) jest wszę- dzie w Ω niezerowy, musi zachodzić

ux uy uz

ϕx ϕy ϕz ψx ψy ψz

= 0.

Z funkcyjnej niezależności wynika, że w każdym punkcie co najmniej jeden z

minorów

ϕx ϕy ψx ψy

,

ϕx ϕz ψx ψz

,

ϕy ϕz ψy ψz

musi być niezerowy. Inaczej mówiąc, pochodna odwzorowania Φ: Ω → R3, Φ(x, y, z) := (u(x, y, z), ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z)),

ma w każdym punkcie (x, y, z) ∈ Ω rząd 2.

Ustalmy (x0, y0, z0), i załóżmy, dla ustalenia uwagi, że

ϕx(x0, y0, z0) ϕy(x0, y0, z0) ψx(x0, y0, z0) ψy(x0, y0, z0)

̸= 0.

Oznaczmy wartości funkcji ϕ przez v, wartości funkcji ψ przez w i wartości funkcji u przez t: v = ϕ(x, y, z), w = ψ(x, y, z), ϑ = u(x, y, z). Dalej, v0 :=

ϕ(x0, y0, z0), w0 := ψ(x0, y0, z0), ϑ0 := u(x0, y0, z0). Z twierdzenia o funkcji uwikłanej (zadanej funkcją trzech zmiennych o wartościach w R2) wynika, że dla (v, w, ϑ) dostatecznie bliskich (v0, w0, ϑ0) układ równań

ϕ(x, y, z) − u(x, y, z) = 0 ψ(x, y, z) − u(x, y, z) = 0

z niewiadomymi (x, y) ma, blisko (x0, y0), dokładnie jedno rozwiązanie

(1.6)

x = G(v, w, z) y = H(v, w, z),

gdzie G i H są funkcjami klasy C1takimi, że G(v0, w0, z0) = x0, H(v0, w0, z0) = y0. Mamy więc

x = G(v(x, y, z), w(x, y, z), z) y = H(v(x, y, z), w(x, y, z), z).

Dalej, zachodzi

(1.7) ϑ = u(x, y, z) = u(G(v, w, z), H(v, w, z), z) =: K(v, w, z).

(10)

Wykażemy teraz, że w istocie prawa strona nie zależy od zmiennej z. Róż- niczkując równość

ϑ = u(G(v, w, z), H(v, w, z), z) po z otrzymujemy

(1.8) ∂ϑ

∂z = ux

∂G

∂z + uy

∂H

∂z + uz. Następnie, z równości

v = ϕ(G(v, w, z), H(v, w, z), z) w = ψ(G(v, w, z), H(v, w, z), z) wynika, że ich lewe strony są niezależne od z, co daje

(1.9)

0 = ϕx∂G

∂z + ϕy ∂H

∂z + ϕz 0 = ψx∂G

∂z + ψy ∂H

∂z + ψz. Przedstawiamy (1.8)+(1.9) w postaci układu Cramera:

ux ∂G

∂z + uy ∂H

∂z − 1 ·∂ϑ

∂z = −uz ϕx∂G

∂z + ϕy ∂H

∂z − 0 ·∂ϑ

∂z = −ϕz ψx∂G

∂z + ψy ∂H

∂z − 0 ·∂ϑ

∂z = −ψz Zatem

∂ϑ

∂z =

ux uy −uz ϕx ϕy −ϕz

ψx ψy −ψz

ux uy −1 ϕx ϕy 0 ψx ψy 0

=

ux uy uz ϕx ϕy ϕz

ψx ψy ψz

ϕx ϕy ψx ψy

,

co jest stale równe zeru. Wynika stąd, że ∂ϑ/∂z = (∂K/∂z)(v, w, z) ≡ 0 w pewnym otoczeniu punktu (v0, w0, z0), więc K musi się wyrażać tam jako ϑ = F (v, w).

W świetle powyższego twierdzenia, wyrażenie F (ϕ(x, y, z), ψ(x, y, z)), gdzie ϕi ψ są (ustalonymi) funkcyjnie niezależnymi rozwiązaniami równania (RRCzL), zaś F jest dowolną funkcją klasy C1, nazywamy rozwiązaniem ogólnym rów- nania (RRCzL).

(11)

1.4.1 Praktyczne metody szukania rozwiązań funkcyjnie niezależ- nych

Układ (U) można zapisać w postaci symetrycznej : dx

f (x, y, z) = dy

g(x, y, z) = dz h(x, y, z). Przykład 1. Rozważmy równanie różniczkowe cząstkowe (1.10) xux+ yuy + xy(z2+ 1)uz = 0.

W postaci symetrycznej ma ono postać:

dx x = dy

y = dz

xy(z2+ 1).

Nakładając całkę nieoznaczoną na dwa wyrażenia po lewej stronie otrzymu- jemy, po standardowych przekształceniach, że funkcja

ϕ(x, y, z) = y x

jest całką pierwszą układu równań różniczkowych zwyczajnych

(1.11)

dx dt = x dy dt = y dz

dt = xy(z2+ 1),

zatem jest rozwiązaniem wyjściowego równania różniczkowego cząstkowego.

Rozważmy teraz

dx

x = dz

xy(z2+ 1).

Ale y/x = C1, czyli y = C1x. Podstawiając to do powyższej równości otrzy- mujemy, po standardowych przekształceniach

C1x dx = dz z2+ 1, co daje

C1

2 x2 = arc tg z + C2.

(12)

Lecz C1 = y/x, więc

1

2xy − arc tg z = C2. Zatem

ψ(x, y, z) = 1

2xy − arc tg z

jest całką pierwszą układu (1.11), zatem rozwiązaniem równania (1.10).

Przypominam, że równaniu różniczkowemu cząstkowemu w postaci syme- trycznej

dx f = dy

g = dz h

odpowiada układ równań różniczkowych zwyczajnych

dx dt = f dy

dt = g dz

dt = h.

Można wziąć kombinację liniową równań z powyższego układu d(ax)

dt + d(bx)

dt + d(cx)

dt = af + bg + ch, a, b, c ∈ R, otrzymując

dx f = dy

g = dz

h = d(ax + by + cz) af + bg + ch .

W niektórych przypadkach ułatwia to znalezienie całek pierwszych.

Przykład 2. Rozważmy równanie różniczkowe cząstkowe w postaci syme- trycznej

dx

y + z = dy

y = dz x − y. Z równości

d(x + z) x + z = dy

y otrzymujemy, że

ϕ(x, y, z) = x + z y jest rozwiązaniem.

(13)

Zaś z równości

d(x − y)

z = dz

x − y otrzymujemy, że

ψ(x, y, z) = (x − y)2− z2 jest rozwiązaniem.

1.5 Liniowe równanie transportu

1.5.1 Równanie ciągłości

Niech u(t, x) oznacza gęstość pewnej substancji w punkcie x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn i chwili t ­ 0 (substancję rozumiemy tu w raczej filozoficznym sensie:

może to być, np., energia, ładunek elektryczny). Wymiar u to [„masa”] × [długość]−n.

Substancja jest unoszona (przez otaczający ośrodek, powiedzmy) ze (zna- ną) prędkością v(t, x). Każda ze współrzędnych wektora v ma wymiar [dłu- gość] × [czas]−1. Ponadto, dopuszczamy tworzenie/znikanie substancji, z wy- dajnością f(t, x). Wymiar f to [„masa”] × [długość]−n × [czas]−1. Nie do- puszczamy natomiast możliwości dyfuzji substancji.

Niech U ⊂ Rn będzie ograniczonym obszarem domkniętym, o dostatecz- nie regularnym brzegu ∂U (tak regularnym, by można było zastosować twier- dzenie o dywergencji). Niech t1 < t2. Zasada zachowania „masy” przyjmuje postać:

Z

U

u(t2, x) dx −

Z

U

u(t1, x) dx =

= −(7)

t2

Z

t1

Z

∂U

⟨u(t, x)v(t, x), n(x)⟩ dS dt +

t2

Z

t1

Z

U

f (t, x) dx dt (u(t, x)v(t, x) to strumień (ang. flux)w punkcie x w chwili t; jest to wektor, którego współrzędne mają wymiar [„masa”] × [długość]−n+1 × [czas]−1 (8)).

Stosujemy teraz twierdzenie o dywergencji do wewnętrznej całki w pierwszym składniku po prawej stronie:

Z

∂U

⟨u(t, x)v(t, x), n(x)⟩ dS =

Z

U

divx(u(t, x)v(t, x)) dx

(7)Znak minus bierze się stąd, że n oznacza wektor normalny skierowany na zewnątrz obszaru U.

(8)Niekiedy strumieniem przez powierzchnię Σ nazywamy całkę z pola wektorowego u(t, ·)v(t, ·)po Σ; wówczas wymiar to [„masa”] × [czas]−1.

(14)

(divx oznacza operator dywergencji względem współrzędnych „przestrzen- nych”, divx(·) := ⟨∇x, ·⟩, gdzie ∇x := (∂x

1, . . . ,∂x

n)). Ponieważ zarówno obszar U jak i momenty t1 < t2 były dowolne, otrzymujemy równanie róż- niczkowe cząstkowe pierwszego rzędu (równanie ciągłości)

(RC) ut+ divx(uv) = f w [0, ∞) × Rn,

gdzie u = u(t, x) jest szukaną funkcją, v: [0, ∞) × Rn → Rn jest zadaną funkcją wektorową, zaś f : [0, ∞) × Rn→ R jest zadaną funkcją (skalarną).

Niekiedy równanie ciągłości zapisuje się w postaci ut+ ⟨∇x, uv⟩ = f, 1.5.2 Liniowe równanie transportu

Liniowym równaniem transportu nazywamy równanie różniczkowe cząstkowe liniowe pierwszego rzędu

(RT) ut+ ⟨v, ∇xu⟩ = f w [0, ∞) × Rn,

gdzie u = u(t, x) = u(t, x1, . . . , xn) jest szukaną funkcją, v = (v1, . . . , vn) ∈ Rn jest zadanym wektorem, zaś f : [0, ∞) × Rn→ R jest zadaną funkcją.

Równanie (RT) jest szczególnym przypadkiem równania ciągłości (RC), gdy założymy, że funkcja wektorowa v jest stała.

Liniowe równanie transportu (RT) nazywamy jednorodnym, gdy f ≡ 0.

W przeciwnym przypadku, liniowe równanie transportu nazywamy niejedno- rodnym.

Rozważmy liniowe jednorodne równanie transportu (RTJ) ut+ ⟨v, ∇xu⟩ = 0 w [0, ∞) × Rn.

W istocie znaczy ono, że pochodna funkcji u w kierunku wektora (1, v1, . . . , vn) = (1, v) ma być równa zeru, zatem funkcja u ma być stała na każdej prostej równoległej do wektora (1, v).

Rozpatrzmy zagadnienie początkowe (RTJ-ZP)

ut+ ⟨v, ∇xu⟩ = 0 w [0, ∞) × Rn

u = g na {0} × Rn,

gdzie g : Rn → R jest zadaną funkcją.

Dla ustalonego (t, x) ∈ [0, ∞) × Rn, prosta przechodząca przez ten punkt i równoległa do (1, v) przecina hiperpłaszczyznę {0} × Rn w punkcie (0, x −

(15)

tv). Jeśli zagadnienie początkowe (RTJ-ZP) ma rozwiązanie ϕ, to ϕ(t, x) = ϕ(0, x − tv) = g(x − tv), czyli

(1.12) ϕ(t, x) = g(x − tv), t ­ 0, x ∈ Rn.

Jeśli funkcja g jest klasy C1, to tak zdefiniowane ϕ jest klasycznym rozwią- zaniem równania (RTJ).

Przejdźmy teraz do zagadnienia początkowego dla niejednorodnego linio- wego równania transportu

(RTN-ZP)

ut+ ⟨v, ∇xu⟩ = f w [0, ∞) × Rn

u = g na {0} × Rn,

gdzie f : [0, ∞) × Rn → R i g : Rn → R są zadanymi funkcjami.

Niech ψ : [0, ∞) × Rn → R będzie rozwiązaniem zagadnienia (RTN-ZP).

Ustalmy (t, x) ∈ [0, ∞) × Rn, i połóżmy z(s) := ψ(t + s, x + sv), s ∈ [−t, ∞).

Wówczas (D1 oznacza pochodną cząstkową względem pierwszej zmiennej) z(s) = D1ψ(t + s, x + sv) + ⟨v, ∇xψ(t + s, x + sv)⟩ = f (t + s, x + sv), co daje

z(0) − z(−t) =

0

Z

−t

z(s) ds =

0

Z

−t

f (t + s, x + sv) ds =

t

Z

0

f (s, x + (s − t)v) ds.

Ale z(0) − z(−t) = ψ(t, x) − ψ(0, x − tv) = ψ(t, x) − g(x − tv), zatem

(1.13) ψ(t, x) = g(x − tv) +

t

Z

0

f (s, x + (s − t)v) ds, t ­ 0, x ∈ Rn.

Prostą równoległą do wektora (1, v) nazywamy rzutem charakterystycz- nym równania (RT) (niekiedy używana jest też nazwa charakterystyka).

1.6 Prawa zachowania. Fale uderzeniowe

W bieżącym podrozdziale, oprócz literatury wymienionej na stronie interne- towej, korzystam też z następujących artykułów:

• A. Bressan, Hyperbolic conservation laws. An illustrated tutorial, no- tatki na stronie internetowej Pennsylvania State University.

• P. D. Lax, The formation and decay of shock waves, Amer. Math.

Month. 79 (1979) (3), 227 – 241.

(16)

1.6.1 Prawa zachowania

Niech u = u(t, x) będzie miarą gęstości pewnej substancji w punkcie x ∈ R i w chwili t ­ 0 (wymiar to [„masa”] × [czas]−1). Zakładamy, że substancja ta nie powstaje ani nie znika (czyli jest zachowywana), może tylko przepły- wać (i też nie dyfunduje). Ponadto, zakłada się, że strumień substancji w danym punkcie (czyli chwilowa prędkość przepływu substancji z lewa na pra- wo, o wymiarze [„masa”] × [czas]−1) zależy tylko od gęstości substancji w tym punkcie (i zadany jest funkcją f = f(u)).

Zmiana masy substancji na przedziale [x1, x2]od chwili t1do chwili t2 jest równa

x2

Z

x1

u(t2, x) dx −

x2

Z

x1

u(t1, x) dx =

t2

Z

t1

f (u(t, x1)) dt −

t2

Z

t1

f (u(t, x2)) dt.

Jako że x1, x2, t1, t2 są dowolne, otrzymujemy, przy założeniu że wszystkie funkcje są na tyle regularne, że można zmieniać kolejność różniczkowania i całkowania, itp., następujące skalarne prawo zachowania w przestrzeni jed- nowymiarowej:

(PZ) ut+ (f (u))x= 0.(9)

Jako przykład może służyć ruch samochodów po autostradzie. Niech u = u(t, x) będzie gęstością (w samochodach na kilometr). Oczywiście, zakła- damy, że samochody to substancja ciągła (niewątpliwie jest to idealizacja).

Następne idealizujące założenie to takie, że prędkość samochodu, v, w danej chwili i miejscu, zależy tylko od gęstości u, v = v(u), oraz że v(u) ¬ 0. Strumień to f(u) = uv(u).

Zakładamy odtąd, że w prawie zachowania (PZ) znana funkcja f : R → R jest klasy C1.

Przykład. W różnych działach fizyki pojawia się równanie ut+ uux = 0,

zwane równaniem Burgersa(10) bez lepkości, równaniem Riemanna, równa- niem Kortewega(11) – deVriesa(12) bez dyspersji, i in.

(9)Zapis ten jest dosyć nieformalny: chodzi oD1u(t, x)+D2(f ◦ u)(t, x)= 0, gdziena czer- wonozaznaczono o pochodną względem której zmiennej (pierwszej, czyli t, bądź drugiej, czyi x) chodzi,kolorem morskimoznaczono funkcję, której pochodną sie wylicza, aniebie- skioznacza punkt, w którym ewaluujemy odpowiednie pochodne.

(10)Jan (Johannes Martinus) Burgers (1895 – 1981), fizyk holenderski (11)Diederik Johannes Korteweg (1848 – 1941), matematyk holenderski.

(12)Gustav deVries (1866 – 1934), matematyk holenderski.

(17)

Warunek początkowy dla (PZ) to

(PZ-WP) u(0, x) = u0(x), x ∈ R, gdzie u0: R → R jest znaną funkcją.

Rozważmy zagadnienie początkowe

(PZ-ZP)

ut+ (f (u))x= 0, t ­ 0, x ∈ R u(0, x) = u0(x), x ∈ R,

gdzie f : R → R jest funkcją klasy C1, a u0: R → R jest funkcją lokalnie całkowalną na R.

Niech x = x(t), x(0) = x0, będzie krzywą klasy C1 taką, że wzdłuż niej rozwiązanie u zagadnienia (PZ-ZP) jest stałe. Musi zatem zachodzić

0 ≡ d

dtu(t, x(t)) = ut+dx dtux,

więc dx/dt jest stale równe f(u). Z drugiej strony, u jest stałe na tej krzywej, i równe u0(x0).

Półprostą x = x0 + f(u0(x0))t, t ­ 0, nazywamy rzutem charaktery- stycznym równania (PZ) przechodzącym przez punkt (0, x0)(13). f(u0(x0)) interpretuje się jako prędkość fali wychodzącej z punktu x0 (niekiedy nazy- wamy ją prędkością sygnału).

Powyższe rozważania dają oczywistą metodę szukania rozwiązań zagad- nienia początkowego (PZ-ZP): dla x ∈ R bierzemy półprostą przechodzącą przez (0, x), o współczynniku kierunkowym f(u0(x)), i na tej półprostej za- dajemy wartość u równą u0(x).

Jednak mogą się tutaj pojawić pewne trudności.

• Jeśli u0 jest funkcją nieciągłą, może się zdarzyć, że istnieją punkty na otwartej prawej półpłaszczyźnie, i to dowolnie blisko prostej t = 0, które nie leżą na żadnym rzucie charakterystycznym. Zatem metoda powyż- sza nie daje nam przepisu na wartości rozwiązania w takich punktach.

Należy zaznaczyć, że często w zastosowaniach występuje zagadnienie Riemanna, polegające na znalezieniu rozwiązania zagadnienia (PZ-ZP) gdy u0 jest funkcją kawałkami stałą mającą tylko skok w x = 0.

• Gdy u0 jest funkcją ciągłą, dowodzi sie, że dla ustalonego przedziału [x1, x2] ⊂ R można znaleźć takie T > 0, że dla dwóch różnych ξ, η ∈ [x1, x2]odcinki rzutów charakterystycznych przechodzących przez (0, ξ)

(13)W wielu opracowaniach półprostą taką nazywa się charakterystyką.

(18)

i (0, η) odpowiadające t ∈ [0, T ] są rozłączne. Wynika stąd istnienie oto- czenia prostej {0}×R w [0, ∞)×R na którym rozwiązanie zagadnienia początkowego (PZ-ZP) jest dobrze określone. Jeśli u0 jest C1, wtedy to

„lokalne” rozwiązanie jest rozwiązaniem klasycznym.

Gdy f◦ u0 jest funkcją niemalejącą, wówczas rzuty charakterystyczne odpowiadające różnym punktom na prostej {0} × R nigdzie się nie przecinają. Zatem rozwiązanie można wtedy dobrze określić na całej półpłaszczyźnie [0, ∞)×R (i będzie to rozwiązanie klasyczne gdy f◦u0

jest klasy C1).

X

T

Na powyższym rysunku, tak jak i na dalszych, koloremczerwonymoznaczono rzuty charakterystyczne.

Natomiast gdy f ◦ u0 jest funkcją malejącą, rzuty charakterystyczne odpowiadające różnym punktom na prostej {0}×R zawsze się przetną.

W takim przypadku, nawet gdy u0 jest bardzo regularne, nie można mieć nadziei na istnienie rozwiązania klasycznego określonego na całej półpłaszczyźnie [0, ∞) × R. Trzeba wtedy szukać rozwiązań słabszych niż klasyczne.

1.6.2 Rozwiązania słabe

Definicja. Funkcję u: Ω → R, gdzie Ω jest relatywnie otwartym i spójnym podzbiorem [0, ∞) × R(14), nazywamy słabym rozwiązaniem zagadnienia po-

(14)Przez relatywnie otwarty podzbiór domkniętej prawej półpłaszczyzny [0, ∞) × R ro- zumiemy zbiór postaci U ∩ ([0, ∞) × R), gdzie U jest otwartym podzbiorem R2.

(19)

X

T

czątkowego (PZ-ZP), gdy zarówno u jak i f ◦ u są lokalnie całkowalne(15) oraz dla każdej funkcji ϕ: [0, ∞) × R → R klasy C1, o zwartym nośniku(16) zawartym w Ω, zachodzi

(1.14)

Z

−∞

Z

0

(u(t, x)ϕt(t, x) + f (u(t, x)) ϕx(t, x)) dt dx +

Z

−∞

u0(x)ϕ(0, x) dx = 0.

Fakt 1.5. Każde klasyczne rozwiązanie u : Ω → R, gdzie Ω jest relatywnie otwartym i spójnym podzbiorem [0, ∞) × R, zagadnienia (PZ-ZP) jest roz- wiązaniem słabym (PZ-ZP).

Dowód. Niech ϕ: [0, ∞) × R → R będzie klasy C1, o zwartym nośniku za- wartym w Ω. Wówczas zachodzi

Z

−∞

Z

0

(ut+ f (u)x)ϕ dt dx = 0.

Całkując przez części, otrzymujemy, dla każdego x ∈ R,

Z

0

ut(t, x)ϕ(t, x) dt = −u(0, x)ϕ(0, x) −

Z

0

u(t, x)ϕt(t, x) dt, i dla każdego t ­ 0,

Z

−∞

f (u)x(t, x)ϕ(t, x) dx = −

Z

−∞

f (u(t, x))ϕx(t, x) dx

(15)Funkcja v jest lokalnie całkowalna na Ω, jeśli jest całkowalna na każdym zwartym K ⊂ Ω.

(16)Nośnik funkcji to domknięcie przeciwobrazu zbioru R \ {0} przez tę funkcję.

(20)

(wykorzystujemy zwartość nośnika funkcji ϕ). Wystarczy teraz tylko zauwa- żyć, że można zmieniać kolejność całkowania.

Funkcje ϕ występujące w definicji rozwiązania słabego nazywamy funk- cjami próbnymi (lub testowymi).

Niekiedy nie uwzględnia się warunku początkowego: mówimy o słabym rozwiązaniu prawa zachowania (PZ), gdy

(1.15)

Z

−∞

Z

0

(u(t, x)ϕt(t, x) + f (u(t, x)) ϕx(t, x)) dt dx = 0

dla każdej funkcji próbnej ϕ o zwartym nośniku zawartym w Ω∩((0, ∞)×R).

Czasami w definicji rozwiązania słabego o funkcjach próbnych zakłada się, że są to funkcje klasy C o zwartych nośnikach. Definicje te są równoważne, choć dowód równoważności wymaga (żmudnego) wykazania, że funkcję klasy C1 o zwartym nośniku da się w odpowiedni sposób (w sensie normy C1) przybliżać funkcjami klasy C o zwartych nośnikach.

1.6.3 Fale uderzeniowe. Warunek Rankine’a – Hugoniota Wprowadzamy następujące założenie:

(FU) u: Ω → R, gdzie Ω jest otwartym i spójnym podzbiorem (0, ∞) × R, jest słabym rozwiązaniem równania (PZ), oraz następujące warunki są spełnione:

(FU1) Ω = Γ ∪· Ω+∪· Ω, z

Γ = { (t, x) : t ∈ I, x = ξ(t)}

+ = { (t, x) ∈ Ω : t ∈ I, x > ξ(t)}

= { (t, x) ∈ Ω : t ∈ I, x < ξ(t)},

gdzie ξ : I → R jest funkcją klasy C1 określoną na przedziale I;

(FU2) u jest klasycznym rozwiązaniem równania (PZ) na Ω+, i na Ω; po- nadto, u|+ przedłuża się w sposób ciągły na domknięcie Ω+ w Ω i u| przedłuża się w sposób ciągły na domknięcie Ω w Ω

(FU3) dla każdego t ∈ I zachodzi

u(t) ̸= u+(t), gdzie

u(t) := lim

x→ξ(t)u(t, x), u+(t) := lim

x→ξ(t)+u(t, x).

(21)

Powyższe rozwiązanie u nazywa sie falą uderzeniową. Krzywa Γ to czoło fali uderzeniowej, ξ(t) to prędkość fali uderzeniowej.

Twierdzenie 1.6. Załóżmy, że u = u(t, x) spełnia założenie (FU). Wówczas są spełnione warunki Rankine’a(17) – Hugoniota(18):

(RH) ξ(t) = f (u+(t)) − f (u(t))

u+(t) − u(t) ∀ t ∈ I.

Dowód. Niech ϕ będzie funkcją próbną. Warunek (1.15) przybiera teraz po-

stać ZZ

(uϕt+ f (u)ϕx) dt dx +

Z Z

+

t+ f (u)ϕx) dt dx = 0.

Stosując do pierwszej z całek po lewej stronie twierdzenie o dywergencji otrzy- mujemy

ZZ

(uϕt+f (u)ϕx) dt dx = −

ZZ

(ut+f (u)x)ϕ dt dx+

Z

Γ

(uϕν1+f (u)ϕν2) ds,

gdzie (ν1, ν2)oznacza jednostkowy wektor normalny skierowany na zewnątrz.

Stosując do drugiej całki twierdzenie o dywergencji (i pamiętając, że jednost- kowy wektor normalny skierowany na zewnątrz to teraz −(ν1, ν2)) otrzymu- jemy

ZZ

+

(uϕt+f (u)ϕx) dt dx = −

ZZ

+

(ut+f (u)x)ϕ dt dx−

Z

Γ

(u+ϕν1+f (u+)ϕν2) ds.

Jako że u jest rozwiązaniem klasycznym na Ω+ i Ω, zachodzi

ZZ

(ut+ f (u)x)ϕ dt dx =

Z Z

+

(ut+ f (u)x)ϕ dt dx = 0.

Ostatecznie otrzymujemy, że

Z

Γ

((uν1+ f (u2) − (u+ν1+ f (u+2)) ϕ ds = 0.

Ponieważ ϕ było dowolne, musi zachodzić f (u+) − f (u)

u+− u

= −ν1 ν2.

(17)William John Macquorn Rankine (1820 – 1872), inżynier i fizyk szkocki (18)Pierre-Henri Hugoniot (1841 – 1887), inżynier i fizyk francuski

(22)

Istotnie, gdyby tak nie było, istniałby punkt na Γ w którym funkcja (uν1+ f (u2) − (u+ν1 + f (u+2) byłaby różna od zera (powiedzmy, dodatnia).

Z ciągłości wynika, że moglibyśmy wtedy znaleźć relatywne otoczenie tego punktu w Γ, na którym funkcja ta byłaby dodatnia. Wystarczy wziąć nie- ujemne ϕ, klasy C1, o zwartym nośniku zawartym w tym otoczeniu.

Zauważmy, że

−ν1

ν2 = ξ(t), co kończy dowód.

Uważna analiza powyższego dowodu wykazuje, że warunki Rankine’a – Hugoniota są w istocie też warunkami wystarczającymi. Mówiąc dokładniej, jeśli funkcja ograniczona u spełnia (FU1), (FU2), (FU3) oraz warunki (RH), to jest rozwiązaniem słabym równania (PZ) na Ω.

Rzeczą naturalną jest spytać, co się stanie, gdy we wszystkich (czy nawet niektórych) punktach krzywej Γ zachodzi u = u+. Dokładnie przygląda- jąc się powyższemu dowodowi można zauważyć, że niepotrzebne są żadne warunki na pochodną ξ w takich punktach.

1.6.4 Przykłady

Rozważmy zagadnienie początkowe dla równania Burgersa bez lepkości

ut+ uux = 0, t > 0, x ∈ R, u(0, x) = u0(x), x ∈ R,

gdzie

u0(x) =

1 dla x < 0, 1 − x dla 0 < x < 1, 0 dla x > 1.

Zagadnienie powyższe ma, dla t ∈ [0, 1), rozwiązanie

u(t, x) =

1 dla x < t, 1 − x

1 − t dla t < x < 1, 0 dla x > 1.

Rozwiązanie to jest jednoznaczne. Chcielibyśmy je przedłużyć dla t ­ 1.

Rzecz jasna, skoro rzuty charakterystyczne się przecinają, nie będzie to już funkcja ciągła. Jednak chcemy, by to słabe rozwiązanie było rozwiązaniem

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :