Liczby zespolone
Podstawowe wªasno±ci 1. Wykona¢ podane dziaªania:
a) (−3 + 2i) + (4 + i) , b) (7− 6i) − (1 + 4i) , c) 1 + i√3 · (3 − 2i) , d) 5 + 3i
1− i.
2. W zbiorze liczb zespolonych rozwi¡za¢ podane równania : a) z2
− z = 0,_ b) z2+ z− 2 = 0,
c) 2z + (1 + i)_z = 1− 4i.
3. Znale¹¢ takie liczby rzeczywiste λ i µ aby zachodziªy równo±ci: a) λ (2 + 3i) + µ (4 − 5i) = 6 − 2i,
b) λ (4 − 3i)2 + µ (1 + i)2 = 7− 12i, c) 2λ− 3i 5 + 3i + 3µ + 2i 3− 5i = 0.
Posta¢ trygonometryczna liczby zespolonej Wzór de'Moivre'a
4. Przedstawi¢ w postaci trygonometrycznej (bez u»ycia tablic ) nast¦puj¡ce liczby zespolone:
a) 1, −1, i, −i, b) 1 + i, 1 − i, −1 − i, c) √6 +√2 + i √6−√2 , d) −√5.
5. Wykona¢ dziaªania stosuj¡c przedstawienie liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej: a) (1 + i)1− i√3, b) 1 + i 1− i√3, c) √ 6 +√2 + i √6−√2 √ 3 + i ! , d) (1 + i)7.
6. Obliczy¢. Wynik poda¢ w postaci algebraicznej liczby zespolonej): a) 1 + i i−√3 2004 , b) √3− i100, c) (cos 330+ i sin 330)10, d) − cosπ 7 + i sin π 7 14 , e) 1 + i i−√3 2004 , f) Re √ 3 + i −1 + i√3 (1 + i)2 ! . 1
7. Korzystaj¡c ze wzoru de Moivre'a wyprowadzi¢ wzory na: a) sin 3x, b) cos 5x, c) sin 6x.
8. Udowodni¢ nast¦puj¡ce wzory:
a) cos 2nx = n X k=0 2n 2k (−1)k cos2(n−k)x sin2kx, b) sin 2nx = n−1 X k=0 2n 2k + 1 (−1)k cos2(n−k)−1sin2k+1x, gdzie x ∈ R, a n ∈ N.
9. Obliczy¢ i narysowa¢ na pªszczy¹nie zespolonej podane pierwiastki: a) √−2i, b) p4 −8 + 8√3 i, c) √6
1.
10. Przedstawi¢ w postaci algebraicznej pierwiastki kwadratowe nastepuj¡cych liczb zespolonych, bez posªugiwania si¦ postacia trygonometryczn¡ liczby zespolonej:
a) i, −i, b) 3 + 4i, 8 + 6i, c) − 2 − 3i.
11. Obliczy¢: a) √4 16, b) √4
−1, c) √4 i.
12. Znale¹¢ rozwi¡zania podanych równa«: a) z4 = (1− i)4,
b) (z− 1)6 = (i− z)6, c) z3 = (iz + 1)3.
13. Rozwi¡za¢ równanie kwadratowe: a) z2 − 3z + 3 + i = 0,
b) (4− 3i) z2− (2 + 11i) z − (5 + i) = 0, c) z2+ 2 (1 + i) z + 2i = 0.
14. Rozwi¡za¢ równanie dwukwadratowe: a) z4 − 2z2+ 4 = 0,
b) z4− (18 + 4i) z2+ 77− 36i = 0.
15. Rozwi¡za¢ równanie: a) (z3− i) (z2− 5iz − 6) = 0, b) z6− (1 + 8i) z3+ 8i = 0, c) (z− i)n+ (z + i)n= 0, d) z6 = 1− i√312 , e) z4 = −18 1 + i√4.
16. Niech εi oznacza i-ty pierwiastek n-tego stopnia z jedno±ci, i =
1, 2, ..., n− 1. Policzy¢ a) ε0+ ε1+ ... + εn−1,
b) ε0· ε1· ... · εn−1.
Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
17. Poda¢ interpretacj¦ geometryczn¡ zbioru liczb zespolonych speªniaj¡cych warunek: a) |z − i| = |z + 2| , b) 3 ≤ |z + i| ≤ 5 c) |z − 2 + i| = 6, d) Imz ≤ 3 i Rez ≥ 5. e) 0 < Argz3 < π 2, f) Arg (z − 1) = π 3, g) 0 ≤ Arg (z − 3 + 2i) ≤ π 3, h) |z − 1| |z + 1| = λ, λ≥ 0, i) log√3 |z|2 +|z| + 1 2 +|z| ! < 1.
18. Zaznaczy¢ na pªaszczy¹nie zespolonej zbiór A ∩ B, gdy
a) A ={z ∈ C; 1 ≤ |z + 1 + 2i| ≤ 2} , B =z ∈ C; −π2 ≤ Arg (z + 1) ≤ 0 , b) A ={z ∈ C; Im (z2) = 2} , B =z ∈ C; [Re (z + i)]2 = 1 , c) A =z ∈ C; 0 < Arg (i z) < π2 , B ={z ∈ C; |z| = Re z + 1} , d) A ={z ∈ C; Arg (z6) = π} , B ={z ∈ C; |z + i| + |z − i| < 2} . 19. Udowodni¢ to»samo±¢: |z1 + z2| 2 +|z1− z2| 2 = 2 |z1| 2 +|z2| 2 .
Jaki jest sens geometryczny tej to»samo±ci?
