Analyse en voorspelling van het getij bij Vlissingen d.m.v. de Systeemaanpak volgens Munk en Cartwright

I

I

I

Vakgroep Vloeistofmechanica Afdeling der Civiele Techniek Technische Hogeschool Delft

ANALYSE EN VOORSPELLING VAN HET GETIJ BIJ VLISSINGEN D.M.V. DE SYSTEEMAANPAK VOLGENS MUNK EN CARTWRIGHT

R/!983/!/H

Joh. G.S. Pennekamp

I'

I

'

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I'

ANALYSE EN VOORSPELLING VAN

HET GETIJ BIJ VLISSINGEN

D.M.V. DE SYSTEEMAANPAK

VOLGENS

MUNK

EN CARTWRIGHT

I

Joh.G.So

Pennekamp Delft, januari,

1983.

I

I

\,

I

I

I

I

I

I

I

-

I

I

I

I

I

I

1

I

I

I.

I

I

Inhoudsopgave. SamenvattiI!g 1. Inleiding. 1 1 1 1.1. De Opdracht. 1.2. Analyse van de Opdracht. Grondbeginselen en gere~dschap. 2.1. Systemen. 2.101. Alljemeen.

2.1.2. Het systeemmodel binnen dit onderzoek. 2.2. Mathematische systeemaanpak.

2.2.1. Eigenschappen van lineaire, t~dsinvariante systemen.

2.2.2. Naar het frequentiedomein m.b.v. de Fouriertransformatie. 2.2.3. Korrelatiefunkties en dichtheidsspectrao 2.2.4. De coherentiefunktie.

3

3

3

5

9

9

12 Signaalverwerking. 14

17

19 2.3.1. Vensters. 19

Het rechthoekige venster. 19

Het Hann-venster. 22

2.3.2. Aliasing. 23

2.3.3. Bepaling van de frequentieresponsiefunktie 25 van een systeem met ruis.

2.3.4. De methode der kleinste kwadraten.

28

Algemeen.

Mathematische beschrtving.

Rekenformalisme voor de overdrachtsfunktie.

31 31

33

39 39

47

Het'systeem volgens Munk e~ Cartwright.

3.3.1. Berekening via het frequent.LedomeLn , 3.3.2. Berekening via het t~dsdomein.

I

I

I

I

I

4.

Eerste doelstelling. 401. Eerdere berekeningen.

4.1.1.

Algemeen.

4

01.20 De berekeningsopzeto

4.1.3. BeschQuwingen van de rekenopzet. 4020 Herberekening.

4.201. Opzet van de herberekening. 402020 Resultaten van de herberekeningo

52

5

2

52

52

53

55

55

57

I

I

I

I

50

'I'weede doelstelling.

60

5.10

Algemeen.

60

5.2.

Niet-lineaire uitbreiding in de berekening

62

via het frequentiedomein.

5.3.

Niet-lineaire uitbreiding in de berekening

65

via het tjjdsdomein.

I

I

I

I

6.

Nabeschouwingen en conclusies.

68

Appendices. Ljjstvan gebruikte symbolen•. Literatuur ltst.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

Samenvatting.

I

De gangbare methoden om het getijte analyseren en voorspellen zijnde harmonische methoden. Bijdeze methoden worden de

frequenties van de get~komponenten bekend verondersteld, zodat uit een getijvaar-nemj.nge nz-eeks de bijbehorende amplituden en fasen kunnen worden bepaald.

Munk en Cartwright (LitolO) hebben met hun aanpak een geheel andere methode geintroduceerd. Bijdeze methode worden

veranderingen in de gravitatiepotentiaal rond de aarde en meteorologische veranderingen als ingangssignaal beschouwd op een "bLack box" systeem, waarvan het verticale getijop een bepialde plaats (A) op aarde het uitgangssignaal is. Beoogd wordt om msb ,v ; een getij.vaarnemingenreeksvan A de impuls- of frequentieresponsiefunktie van het systee~ voor A te berekenen.

I

I

I

I

I

I

I

Reeds eerder is er aan de Technische Hogeschool Delft onderz.oekverricht (Lit.19) naar de mogelijkheidom deze methode op het getijbijVlissingen toe te passen, waarbij de analyse was beperkt tot de invloeden van de gravitatie-potentiaal.

Voortbouwend op dat onderzoek is in dit onderzoek geprobeerd het resultaat van de analyse en de voorspelling m.b.vo de systeemaanpak van Munk en Cartwright te

verbetereno Ook in dit onderz.oekis afgezien van de mogeltkheid de meteorol~gische invloed op het'getijin de analyse te

betrekken.

I

I

I

I

I

Als eerste wordt d.m.vo een breedere opzet van de berekeningen het resultaat van de zuiver lineaire berekening verbeterd. Vervolgens wordt getracht de analyse en de

voorspelling verder te verbeteren door een niet-lineaire

·uitbreiding in het systeem mogel:iJkte makeno Deze uitbreiding is mogelijkmet behoud van het lineaire karakter van het

systeem door ook ingangssignalen to~e~aten die produkten van de zuivere lineaire ingangssignalen zijn,

I

.

1

I

I

I

I

I

I

van de lineairDeze prGduktfe ingaunnkties bgssignalen met zirengen somc-h meeen vero De moschilfrequentigeljJkheides is nu aanwezig dat de produktf~nkties gedeeltel~k of geheel lineair afhankel~ ztn van de oorspronkel~ke lineaire

ingangssignalen, waardoor er geen scheiding kan worden

gemaakt tussen de invloed van het lineaire ingangssignaal

en de invloed van de lineair afhankelijke-produktfunktie

op het uitgangssignaal.

M.bov

o onderlirigecoherentie van de ingangsfunkties

en een gladheidseis voor de frequentieresponsiefunkties wordt toch een scheiding van invloeden mogelijkgemaakt en z~n de frequentieresponsiefunkties van elke ingangsfunktie

afzonderlijkte bepalen.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

.

1

-

I

I

I

I

I

I

I

I

I

-1-Afstudeeropdracht.

I

I

I

~el •. De Opdracht.

I

I

I

I

I

·

1

I

1

1

I

I

I

I

I

I

I

Buiten de bekende aanpak voor de analyse en voor-spelling van het getijdoor middel van beschouwing van de in het getijte verwachten frequenties, is er een systeem -aanpak mogel~k zoals beschreven in de publicatie van

Munk en Cartwright (1966), die meer fysisch expliciet is. De fysica van deze responsiemethode uit zich hierin dat reeds in het begin van het rekenformalisme astronomische variaties worden gekenmerkt als verwekker van het getij. De geometrie van de banen van de hemellicpamen veroorzaakt wijzigingenin het gravitatieveld van de aarde, die als zog. excitatie (input) een responsie (output) oplevert, die het getijis. Beoogd wordt de overdrachtsfunktie of responsie funktie zo nauwkeurig mogelijk te bepalen.

Als eerst zal het afstuderen zich richten op een onderzoek van onbevredigende/resultaten uit eerdere lineaire responsie berekeningen voor het verticale getij bijYlissingen en zo nodig vaststellen in hoeverre de geconstateerde onnauwkeurigheden hun oorsprong vinden in niet-lineairiteiten.

Vervolgens zal voortbouwend op deze kennis onderzocht worden in hoeverre de juistheid van de voorspelling kan worden verhoogd doo.rhet lineaire systeem uitte breiden tot een zwak niet-lineair systeem.

( Originele tekst, Mei 1981)

1.2. Analyse van de Opdracht.

Doelstelling van het onderzoek waarbinnen deze

opdracht is gegeven is het realiseren van een voors pellings-methode voor het getijvan Nederlandse havens d.m.v~ een

systeemaanpak volgens Munk en Cartwright (1966). Munk en Cartwright zetten in hun artikel met redelijk succes een voorspellingssysteem op voor de meetstations Honolulu (USA) en Newlyn (GB). Deze twee stations onder-scheiden zich evenwel van'de Nederlandse stations.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

-2-Honolulu mag als lineair geken~erkt worden en Newlyn als zwak niet-lineair.

Het get~ zoals dat wordt waargenomen aan de Nederlandse kust is veel meer beinvloed door niet-lineairiteiten dan de stations die gebruikt z~n door Munk ~n Cartwright. De systeemaanpak volgens Munk en Cartwright staat open Voor invloeden op het get~ van verschillende oorsprong zoals astronomische en meteorologische ~nvloeden, zonne-straling en mogel~e andere.

In dit onderzoek worden slechts de astronomische invloeden in beschouwing genomen.

De probleemstelling is een zo goed mogel~ke

voorspellingsmethode voor het get~demeetstation Vlissingen te ontwikkelen met betrekking tot het astronomische

gedeelte zoals aangegeven door Munk en Cartwright. Als eerste deel-probleemstelling ~eldt: Wat z~n de oorzaken van de onbevredigende resultaten van eerdere berekeningen aan zo'n systeemaanpak voor Vlissingen?

Als tweede deel-probl~emstelling geldt: Is de systeemaanpak d.m.v. het beperkt toelaten van niet-lineaire interacties te verbeteren?

-3-I

_{lIoofdstuk20 Gr.ondbeginselen en gereedschap.}

I

I

I

2.1. Systemen. 2.1.1. Algemeen.

I

I

I

I

I

We komen in de ervaringswereld om ons heen een rijkeverscheidenheid aan systemen tegen. Het is moeilijk een algemene beschrijvingvan systemen te geven waarmee een ieder instemde Een mogelijkedefinitie is de volgende:

"Een systeem is een met een bepaald oogmerk binnen de totale werkelijkheidvan de omgeving te onderscheiden geordende verzameling van elementen, die in relatie

kunnen staan tot elkaar of tot de omgeving". (Schönfeld

1978)

In het algemeen kunnen we een systeem als volgt

voorstellen:

-~~JOooI~,,-1

_5_Y_S_;.~E_t:_M

_

_;--

:"_

I

I

I

I

I

1

-Oftewel er is een systeem, dat bestaat in een syst eem-omgeving, dat door die omgeving wordt beinvloed of waarop de omgeving inwerkt (ingangssignalen, input). Het systeem beinvloedt de omgeving of werkt op deze in

(uitgangssignalen, output).

We onderscheiden dus een systeem, een systeemomgeving, ingangssignalen en uitgangssignalen. In principe is het mogelijkdat de uitgangssignalen via de omgeving weer de ingangssignalen kunnen beinvloeden.

Een doel van de theorie van systemen is een uitspraak doen over de relatie tussen de ing angs-signalen en de uitgangssignalen. Om zinnig aan een systeem te kunnen rekenen, proberen we het systeem in een model te weerspiegelen. Afhankelijkvan hetgeen we aan een systeem willen onderzoeken zijnverschillende modellen mogelijk.

I

I

I

I

I

V

I

I

-4-I

I

D.e gehele verzameling van.systeemmodellen laat zich door'

overeenkomsten en verschillen qua karakter en kenmerken in verschillende - onderling niet pers§ disjunkte

-klassen indelen.

Mogelijke klassificàties kunnen b~voorbeeld z~n: - lin~air / ~iet lineair: Is'va~het systeem een lineaire, mathematische beschr~ving mogelijkof niet?

- t~dsvariant / t~dsinvariant : Z~n de gedrag s-bepalende kenmerken van het systeem konstant in de tijd

of niet?

- statisch / dynamisch: Verwerkt het systeem veranderingen momentaan of vergt dat tijd?

- continu / discreet: Z~n in het inwendige van het systeem de eigenschappen ononderbroken verdeeld

in de ruimte of zijndeze samen te nemen in onderscheidelijke elementen? (Binnen de klasse van de continuemodellen kan· weer worden ingedeeld naar het aantal ruimtel~"ke

dimensies).

- n - voudig / enkelv~udig: Kent het systeem meerdere beinvloedingen of rekenen we slechts met één ingangssignaal en één uitgangssignaal?

- terugkoppelend / niet terugkoppelend: Beinvloedt het systeem de o~geving zodanig dat daardoor de omgeving het systeem weer anders beinvloedt of niet?

deterministisch / stochatisch: Z~n de oorzaken voor het gedrag allen bekend en te beschrijvenof moeten we met een waarschijnlzycheidwerken?

- parametrisch / niet parametrisch: Is het inwendige van het systeem met behulp van parameters te beschrijvenof k~en we niet naar het inwendige (black box)?

Voor een nadere beschrijvingwordt naar de literatuur verwezen.

In het algemeen zal een uitsn~ding uit de

fysische werkel~heid, een systeem, niet exact overeen-komen met de eisen en wetmatigheden·van een bepaalde modelklasse.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

-5-201020 Het systeemmodel binnen dit onderzoek.

I

Het systeem waarop het onderzoek zich richt bestaat in principe uit de gehele aarde met z~n geometr~e en

topografie, waarop·vanuit de systeemomgeving .(het heelal) .een beinvloeding van de gravitatiepotentiaal plaats

vindt.

In zichzelf reageert het systeem hierop met ondermeer get~den, die groeien en veranderen naar aanleiding van de topografie van de oceanen en zee~n en de veranderende' diepten~

Als uitgangssignalen bezien we nu slechts de vertikale waterstandvariaties op een bepaalde plek op aarde (i.c. Vlissingen) •

Het beschr~ven van de fysica van varierende gravitatie-potentiaal via oceanen, landzeeën, opslingering,demping, terugkoppeling en interacties naar een varierende water-stand op een bepaalde plaats op aarde in één integraal systeem is welhaast onmogelijK.

Het is dus noodzakel~ een "black box" benadering aan te nemen.

Dat dit op zinvolle w~ze mathematisch mogel~ is, wordt aangeduid in hoofdstuk

3

.

Resumerend wordt de beschr~ving als volgt:

Aan de eene z~de een beinvloeding van het systeem, de ingangssignalen (meerdere), funkties die informatie dragen over gravitatiepotentiaal variaties of onderdelen daarvan, vervolgens het systeem waarvan het inwendige

onbeschreven bl~ft en tenslotte het uitgangssignaal (één), de vertikale waterstandsvariaties op een bepaalde plaats op aarde.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

1

I

I

I

I

I

I

I

I·

I

I

I

I

'I

I

I

1

I

I·

1

I

I

I

I

L

I

I

I

I

I

I

-

6-Er is met het afbaken

e

n van het systeem

e

n het

b

en

o

emen

van de

onderdelen in het geheel n

o

g geen

u

i

ts

p

r

aak gedaan

o

ver de k

l

asse

w

aa

rin

een m

od

e

l v

an

het sy

steem m

o

e

t

w

o

rde

n on

d

er

ge

br

a

c

h

t, b

eha

lv

e

d

an

dat

het

m

odel n

i

e

t pa

r

amet

ri

sc

h

za

l z

~n

o

Het i

s

nu

n

odi

g

dat d.

m

.v. b

es

tude

r

in

g

v

a

n

he

t s

ysteem

een ind

el

i

ng w

ordt

gemaak

t in d

e m

odel

k

l

asse

n,

z

od

at

er

een wer

kzaam m

odel wordt

gek

o

ze

n dat h

e

t sy

s

t

e

e

m z

o

g

oed

m

o

g

el

~

rep

r

ese

n

t

e

e

r

t

.

Een o

pt

im

a

al j

u

is

te wee

r

sp

i

ege

lin

g za

l l

ei

d

e

n

t

ot een

m

o

ge

l

ijke

ov

e

rbodi

ge

ko

m

pl

ex

h

e

id v

a

n het

m

od

e

lo

Er die

nt

d

us

oo

k

g

ek

o

ze

n

te w

orden t.

a.

vo

s

i

g

nifi

can

t

nut v

a

n de introd

uk

tie v

a

n e

e

n bepa

a

ld

e k

o

mp

l

ex

h

e

id.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

-7-Voor dit onderzoek zijndan de relevante klassificaties:

a. lineair;

bo tijdsinvarant;

c. n-voudig;

d. niet terugkoppe~end;

e. deterministisch;

fo niet-parametrisch.

ado ao Dat de keuze zich beperkt tot lineaire

modellen vloeit niet direkt voort uit het karakter van

het systeem, indien als uitgangssignaal een station

gekozen is waar niet-lineaire afw~kingen evident zijn.

Een onderzoek via een lineair model verliest derhalve aan precisie naarmate de niet lineaire effecten toenemen.

Later zal worden aangetoond dat zwakke niet-lineairiteiten

kunnen worden opgevangen met behulp van een uitbreiding van de lineaire theorie.

Lineaire systeemmodellen hebben twee zeer belangrijke

eigenschappen.

Deze zijn:- het superpositie~beginsel is van kracht; van

onderscheidelijkeingangssignalen die tegelijkertijdwerken

is het uitgangssignaal de som van de uitgangssignalen behorende bijdie ingangssignalen afzonderlijk.Dit geldt voor elke kombinatie.

- het model is frequentie konservatief; een bepaalde

frequentie in het ingangssignaal draagt zorg voor niets meer dan slechts die frequentie in het uitgangssignaal.

Er worden dus geen nieuwe frequenties in het model opgewekt. ad. bo Op de keper beschouwt is de bepaling dat

het systeem wel tijdsinvariantzal zijnniet direkt voor

de hand liggendo Immers, de omstandigheden die het uitgangssignaal beinvloeden zijnzeker niet in de tijd

konstant. Men behoeft maar te denken aan zeespiegelrijzing, relatieve bodemdaling en veranderende geometrie van de

zee, kust of estuarium volgens natuurlijkverloop dan wel

I

'

I

I

I

I

I

I

I

I

I

-

8

-I

I

I

I

I

I

I

Deze w~zigende omstandigheden z~n evenwel veranderingen met een grote'tot zeer grote t~dskonstante (m.uov. eventueel het ingr~pen van de mens). Als we het model als

t~ds-invariant adopteren dan is te verwachten dat het model een minder juiste representatie zal hebben in de laag-frequente gebeur~enisseno Hierop wordt later in de resultaten teruggekomen.

ad. c. Er wordt gerekend met ~én uitgangssignaal en n-ingangssignalen. Onbepaald is nog hoeveel n moet z~n.

Hierin ligt een kardinaal vraagstuk: Hoeveel

ingangs-signalen dienen meegenomen te worden en welke dragen het

duidel~~st b~ tot een goed resultaat?

Dit vereist inzicht in de hoeveelheid en het karakter van de ingangssignalen. Derhalve zal een besluit daaromtrent genomen worden als deze ingangssignalen geanalyseerd z~n.

ad. d. De overweging dat de waterstandsvariaties

op een bepaalde plaats op aarde het gedrag van de

gravitatie-potentiàal niet meetbaar zal beinvloeden, zal weinig oppositie vinden.

ad. e. Het systeem is'in principe deterministisch;

de ingangssignalen zijneen eenduidig in mathematische funkties vast te leggen. Het systeem zelf kan wel

stochastisch reageren, bezien naar het uitgangssignaal.

Men bedenke b~voorbeeld interactie tussen het meteorologische get~ en het astronomische get~, die een afw~ing in het

~ uitgangssignaal geeft.

ad. f. Een niet parametrische aanpak is al eerder gemotiveerd.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

1

I

I

I

I

·

1

1

I

1

1

I

I

I

I

I

I

-9-2~2. Mathematische systeem aanpak.

20201. Eigenschappen van lineaire, tijclsinvariantesystemen..!,.

Om de gebruikte rekenregels en grootheden enige grond

te verschaffen, zullen eerst in het kort enige algemene

eigenschappen van lineaire, t~dsinvariante 'systemenworden

besproken.

We beperken ons voorlopig tot het onderstaande elementaire

model van zo'n systeem.

In het algemeen kan y(t) uit verschillende delen

met ongelijkeoorzaak bestaan: uit een "eigen"-signaal en

een "gedwongen"-signaal. Het "eigen"-signaal is het gevolg

van een eigenproces van het systeem. Dit eigenproces

wordt alleen bepaald door de eigenschappen van het systeem

en de beginwaarde van de toestandsgrootheden.

Het "gedwongen"-signaal vloeit voort uit het gedwongen

proces van het systeem dat ontstaat onder invloed van

de omgeving.

Hiervan kan een deel worden gekenmerkt als inloop- of

inschakelversch~nsel. Het overig~ deel is dan het permanent

gedwongen signaal (steady state). Schönfeld

(1

9

7

8

).

We introduceren nu de eenheidspuls of delta-funktie:

b (

f;

-t

o) .

zo ook:

Deze is zodanig gedefinieerd dat geldt:

& ( t -t

6 )

=

0

)

\)ooct

t '# to ;

+00

_ooJ b"Ll;-to) db:

1 ;

(2..2.1.1)

x

(I

;

) .

b (

t -

Co)

==

0 )

vooR

1:-"*

t

0 ; ~oo

_oof

~(~)

.

b(t-t())=

X(t

o) j

(1.7..'

.2.)

stel het systeem is in rust, dat wil zeggen een eventueel

eigenproces is uitgedempt, zodat:

I

I

I

I

-

10-stel oo

k

d

a

t

he

t sy

s

teem

OP

tij

d

t:.

to

vanuit d

e

o

mg

evin

g

een ee

nh

eid

sp

u

ls

o

nde

rvi

ndt.

We re

gis

tr

e

ren d

e

y

Ct ) :

+.t-X(f:) :;

,

]

...

j(J;)

=

~

t

o

f:.o

Omd

a

t het

sys

teem t

:ij

dsinvari

a

nt

is, ma

a

kt het voor

de vorm v

a

n de y(t) niet uit of de pul

s

nu pl

aa

t

s

vond op

t

= to

o

f t=t1

;

de funktie zal v

o

lko

m

en k

o

n

g

ruent

z

:ijn

,

alleen in totalit

e

it verpl

aa

tst van

t

o

naar

t1

We noe

m

en de

z

e y

(

t) nu d

e

i

m

pulsrespo

n

siefun

k

tie het

)

(irp).

D

e

ee

n

heid

sp

uls k

a

n natuurl

:ijk

ook met

ee

n f

a

ktor

vermeni

g

vuldi

g

d

w

ord

e

n. D

i

t heeft als y

(

t

)

dan

s

lechts

e

en

door d

ez

e f

a

ktor

g

e

s

ch

aa

ld

e

v

e

r

s

ie van de i

m

puls

-respon

s

ie

f

u

nk

tie. De uit

e

indelijke fun

k

tie

s

bl

ij

v

e

nvol

k

o

me

n

gel

:ijk

vormi

g

.

Zou op t:ijd

t

o

èn op t

ij

d

t1

een puls h

e

bb

e

n pl

a

a t

s

-gevond

e

n

a

ld

a

n

nie

t met e

e

n faktor

,

d

an z

o

u de y(t) de so

m

van d

e twe

e

a

f

z

o

nde

r

li

jk

e

re

sp

on

si

e

s z:ijn

gewèes

t

.

Het

s

y

s

te

em

is im

m

ers li

nea

ir.

Co

t

1

t

ED

c

e fu

nktie x

(t)

kan gezien w

o

r

d

e

n al

s

ee

n

onaf

gebr

o

ken

r:ij

v

an ge

s

c

h

aa

lde pul

s

e

n

.

I"\b.~=c ~~L..U,..i,L..__

~

lt)

»

~

(!:

l

=

L

I

I

I

I

I

I

I

I

I

u.

+

t+-

_~

~

(

~

)

=

I ~

~

tt-t-Voor y(t)

m

et

I

I

I

I

I

I

I

I

+

~>

t

1

kan nu g

e

schr

e

ven word

e

n

::

h(è

-to

)

+

h(

è-t

1)

I

'

I

-11

-I

I

zodat:

_I::

J

)

.

_(~.~.1.5)

=

I

I

Zo is op een meer intuftieve w~ze gestalte gegeven aan de convolutiegraal.

Opgemerkt z~ nog dat de bovengrens t ook vervangen

mag worden door

+

00 • De funktie he

h -

-c )

heeft waarde 0

voor

L<b,

zodat de integraal met deze bovengrens dezelfde

oplossing geeft.

Vervanging van

T

door

(l:--"'t)

levert de eveneens bekende

versie van de convolutieintegraai:

I

I

I

1

400

.Y( ~

I :::.

f

:;IC

(I:: -1:)

h

Ct) d-c

.J ( .2.2.1.~)

-00

1

1

I

1

I

1

1

I

I

I

I

'

1

I

I

I

-12-202020 Naar het frequentiedomeinm.b.v.de Fouriertransformatie.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

De Fouriertransformatie is gedefinieerd als:

+cO

f

-2T1t.(jt

X

(cr) :' .

x

C

l:

) .

e

d

b.)

_at:I

Gelijktijdigtransformeren van het linker en het rechter lid van de convolutieintegraal geeft:

::

7

[

:tel

)

,

heb-

'

t),

ë

llll<T

't:

clt:

d

l; ,

-

-

~

_00 zodat:

y

Co-}

oftewel:

(2.2.1.2 )

I

Convolueren van tijdsfunkties in het tijdsdomein komt overeen met vermenigvuldigen van hun getransformeerden in het frequentiedomein.

H (0-) wordt de frequentieresponsie (frp.) genoemd. De frequentieresponsiefunktie is de fouriergetransformeerde

van de impulsresponsiefunktie

h

C

t

)

.

~

.

J

-'lllL<ïC

H

(0')

=

h(

~

)

e

d

l;

)

.

(2.2.2.3)

_00

I

I

I

In het algemeen is de fr p, ~ (0") complex.

De frp. is ook te bepalen indien het mogelijk is het systeem

een scala van afzonderlijke frequenties te laten ondergaan. Bijv.neem:

X.

(c)

=

Q.

sim

<Jo

t:; •

I

I

y(t) zal ook een harmonische funktie van gelijke frequentie zijn,

evenwel met niet voorhands bekende amplitude en fas e-verschuiving too.v. x(t).

Bijv.

:t

0;)

=

-6

s'vn

(0"'0

t

+

1Y

).

I

I

I

-13-De amplitude overdracht is dan en de faseverschui~ing ~

waarbij:

!

₌₁

~(~I)\

:l

m

(H}~

I j

cjh1(~)

Y

=

C\rd~

'Re.

(H )

)

(2

.

2

.

2.5)

Deze bepaling zou dan voor alle frequenties moeten geschieden.

Als dit in de praktijkwordt gedaan, wordt gesproken van

het " doorfluiten " van het systeem.

Terugtransformeren van een convolutiebewerking in het frequentiedomein levert een volgende regel:

I

+00

=

J

X

(

cr

').

Z

(

0"-0""

)

ol

cr'

_00

I

I

I

y(J)

tJoO

lTltlJ"t;

"'JoO

'2.71

t(

<T-(J")

I:

.

=

X((j')

e

der\

.

Z

(O"...o-')·e

.

c{

(O"-a'

,

-00 -c:P

I

I

I

:J('c;)

-

-

(

1..

2.2.7)

I

De convolutiebewerking in het frequentiedomein van

getransformeerde tijdsfunktiesis equivalent met een

vermenigvuldiging van die tijdsfunktiesin het tijdsdomein.

·

1

I

I

I

I

'

,

I

-14-,2e2.3o Korrelatiefunkties en dichtheidsspectra.

I

Uit tijdsfunktieskunnen toegevoegde tijdsfunkties worden samengesteld die diverse handige eigenschappen blijkente hebben.

De definiti~ van een korrelatiefunktie is:

I

I

I

I

waarin E = de mathematische verwachting. Deze definitie kan ook geschreven worden als:

+'/7.T

L-v,

'

~

J

:;l!(t)

.j

(t+

-r)

dl:;

T~oO

-~'J.T

Indien voor y(t) dezelfde funktie wordt ingevuld als voor

x(t) dan wordt de ~xx(~) een autokorrelatiefunktie

C'X:J

(L)

=

( 2.'2.';.2)

I

I

(auto-correlationfunction) genoemd.

Is y(t) een andere dan xCt) dan heet

C?C:J

Ct) een kruis-korrelatiefunktie (cross-correlationfunction); hetgeen

ook tot uiting komt in de indices.

Op grond van de definitie kan worden bewezen dat

de autokorrelatiefunktie altijdeen even funktie zal z.ijn, De funktie kan derhalve gezien worden als zijndeopgebouwd

uit cosinussen met als extra kenmerk dat deze cosinussen

I

I

I

I

een amplitude hebben gel~k aan de halve, gekwadrateerde

amplitude van de frequenties van het oorspronkel~ke signaal.

De autokorrelatiefunktie heeft altijdof slechts één

maximum bij""C:'O of 00 veel maxima's, waaronder een bij1:'=0 Dit laatste geval treed op als x(t) oneindig lang en zuiver

periodiek (eindig aantal harmonischen) is. Hierdoor is ook

de

C

7:X

Cr)

periodiek en bereikt de funktie de maximum

-waarde van

-r

=0 regelmatig.

Het maximum voor t=o is in beide gevallen gelijkaan de gemiddelde kwadratische waarde van het signaal oftewel

het tweede moment.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

-15-I

De kruiskorrelatiefunktie is a.h ,wo een vergelijking

van de hierin verenigde funkties. De funktie is niet per definitie even. Pieken in deze funktie geven informatie

ov~r t~dsverschuivingen van gemeenschappel~e delen van

de oorspronkel~Ke signalen.

Ook deze t~dsfunkties hebben een tegenhanger in het frequentiedomein. Transformeren naar het frequentiedomein levert:

I

I

I

I

I

I

In het exponent van de transformatie van x(~) staat een + teken i.p.v. een teken zodat:

I

,

I

+~

+$

J

:>c

C1:)·

COS(2.no-

1.

) dL

t-

'

L

J

.7<:

Ct) .

Sw.

(l.nO-l:)

cl-c

-~

~~

Dit ,is de complextoegevoegde van de X(~)geschreven als

Xc:cCO"~

(complex geconjugeerde). Zodat:

1

1

f"Y

_{\.. xv}

_(Q'"}

=

r"

_kiWI

TT .

X

Ge_(0").

y

_(cr)

T-oo

1

I

De fourier-gétransformeerde van de autokorrelatie

-funktie wordt de vermogensdichtheids-funktie (power spectral

densityfunction) genoemd en die van de kruiskorrelatiefunktie

het kruisvermogensdichtheidsspectrum (cross spectral density

function)

De naam vermogensdichtheidsspectrum ligt voor de hand

gezien de opmerkingen b~ de autokorrelatiefunktie.

Omdat de autokorrelatiefunktie opgebouwd kan worden gezien

uit alleen cosinussen, kent de fourier-getransformeerde alleen

een reëel deel (~h'\ C'~;.(9')

=

0)

.

Dit vertegenwoordigt dan direkt

de amplituden van de frequenties. Deze waren het gehalveerde kwadraat van de amplituden van het oorspronkel~e signaal, i.co het vermogeno

1

I

I

I

I

I

I

I

-16-I

Voor een signaal met een eindige lengte spreekt men liever van het energiespectrum•.

Met deze kennis is het mogelijk het

vermogens-dichtheidspectrum op een andere w~ze samen te stellen dan

I

I

I

door transformatie van de autokorrelati~funktie:

IJm

_J_

2.

C

"

X

(

0-

)

₌

I

X

_((f")

I

.

2T

.)

T-'>oo

.

of:

(.2

.

i.

3.

'·0

C

xx

(cr) :::

cc

X

(cr)·

X

(cr) J

(2.

.

2..?>.S)

I

Het kruisvermogensdichtheidspectrum is in het

algemeen niet reëel:

I

I

I

C

~

y

(0-) ::

t

P

XY

(0-)

+

i.

o

.

,

(cr) }

;

z~

nog opgemerkt dat de volgorde van de indices belangrijk is; kennelijkgeldt nl.:

I

_C

_xy

_l<r)

cc

C

yx

lcr-)

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

-17-2.2.40 De coherentiefunktieo

I

De coherentiefunktie voor enkelvoudige ~ystemen wordt gedefinieerd als:

I

)

l..

2..1..(.(.,)

I

I

I

~

Voor

cJX'I

l....

O-)

geldt daardoor:

o

~

1

J

I

I

I

'l.

Waarbij ~Xy(cr)=O betekent dat x(t) en y(t) voor wat die

2-zijnen ~~ 0-)

=

1

volledig frequentie betreft volledig incoherent

betekent dat x(t) en y(t) voor die

cr

I

coherent zijn.

Als d.m.v. de coherentiefunktie het uitgangssignaal van een systeem met het ingangssignaal wordt vergeleken,

geven de waarden van deze funktie de mate aan, waarin het uitgangssignaal kan worden toegeschreven aan het inga ngs-signaal. Omgekeerd geeft

(I -

è{~

(J')

)

een maat voor de ruis of eventueel niet-lineairiteit die in het uitgangssignaal

I

aanwezig is.

De uitdrukking vo~r

~:'f

(

cr

)

als deze niet naar

CXyy(rr)

wordt genormeerd, wordt coherente-energie genoemd.

I

a

xy (0-)

t

'1.

=

.

) (2.1.~.~)

I

I

C

xx lcr)

I

Analoog geldt de redenering als het uitgangssignaal (y)

het gevolg is van meerdere ingangssignalen (Xl,2,•••••n). (Zie Fig.)

Men spreekt in dit geval van de meervoudige coherentiefunktie.

Deze is in formulevorm:

I

I

C

_C

)(iX~_{XiXi (Cj}

w)

₎

• Cyx,(Q"")

_.

_C.

_yy

_l<J)

.

)

('2,.1.4.4)

I

De coherente-ènergie is hier:

h

t_

(cr)

-

-

L

-

C~}(

_

i

X

l

(çr

)

.

ç_yX

j

~

)

_J

(2

.1.4

.

5

)

CO'rf

ex

·

X.eer

_{I ,}

)

i

~1

I

De coherente-energie is de hoeveelheid energie in het

uitgangssignaal dat verklaard kan worden uit de ingangs

-signalen.

Genormeerd naar de hoeveelheid energie in het uitgangs

-signaal levert dit ook hier de coherentie funktie op die voor elke frequentie geen andere waarde kan aannemen dan

van 0 tot en met 1, wat kwalitatief weer overeenkomt met

1. .

een nuance tussen volledig incoherent

("6

::

0) en

volledig coherent (~'L ==

1) .

•

~I(t) ~I(l:)

"

'lt.!:;)

_,..I I ~2~) r

't3(~)

_{Ft _I}

~~(ë)

_:y

_(I;)

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

:l.,(f:) --~

...

_{''-- ..1}

I

-

18

-C

~

E

De x\)(~

(cr)

in de uitdrukkingen voor ~

(.0")

en CoH

«r) ,

staat voor het kruisvermogensdichtheidsspectrum van het

ingangssignaal Xt(~) en het aandeel (

xi'O:) )

van

Xi(t)

in het uitgangssignaal y(t).(Zie ook

Li

t

.19)

I

I

I

I

I

I

I

I

-19

-2.3. Signaalverwerking.

I

2.3.1. Vensters.

I

In de definitie van de Fouriertransformatie is sprake

.

van een kontinue integratie van het signaal over de t~d

I

·van -00 tot

+

00 • Op analytische w~ze is het in

I

diverse gevallen mogel~ m.b.v. oneigenl~ke integralen de integratie uit te.voeren, zodat een analytische uitdrukking

in 0- wordt verkregen. Een numerieke oplossing kent evenwel twee mankementen.

I

Ten eerste is het signaal niet k.ontinu bekend maar in een bemonsterde versie en ten tweede is een numerieke integratie van - 00 tot

+

oe:> onmogelijk.Op het eerste fenomeen zal later worden teruggekomen. (2.3.20)

Het tweede geval betreft de problematiek van de vensters

(windows). Van een signaal kan slechts een begrensd deel

in de numerieke berekening worden meegenomen; een begrensd deel wordt "gezien".

I

I

I

I

Het rechthoekige venster.

I

I

Zonder de primaire grenzen van de Fouriertransformatie te w~zigen kan toch een begrensd deel van een funktie

worden getransformeerd. Het begrensde deel van de funktie komt dan tot stand door de zich tot in het oneindige

uitstrekkende funktie te vermenigvuldigen met een eveneens in de t~d oneindige funktie die buiten de beoogde begrenzing

de waarde nul he~ft, maar binnen deze grenzen de waarde één.

( Deze laatste funktie is het venster). Deze vermenigvuldiging levert Uiteindel~ een moot uit de funktie, een exacte kopie.

I

I

I

I

I

x

-

-I

I

-

T

w

o

I

I

-20

-I

Doordat de nu in de t~d begrensde funktie de waarde nul heeft voor de waarde van

t

< -

Twen

t

>

T"""

is de

oneindige integraal te vervangen door een integraal met de

eindige grenzen

--r~

~N

+11~,

die in beginsel numeriek

te berekenen iso

De Fouriergetransformeerde van het blokvenster is op analytische w~ze te berekenen. Dit levert de zog. s inc-of diffraktiefunktie op; een produkt van een orthogon~le hyperbool en een sinusfunktie, waarvan de vorm nog een

I

I

I

funktie is van T ( zie fLg. )

w. Slt1(211cr

Tw)

1;

Tw

. l:

{

We,(rJ)

=

J

W

s

(t)

e-2.nlO-

dl::

-::

rr,

2.11

0""1""

-Tw _{(2..3.1. I)}

I

I

I

2 .3 f;rw 2..T"w

Vermenigvuldigen in het t~dBdomein betekent convolueren in het frequentiedomein. ( zie hoofdstuk 2.2.2. )

I

I

;

De analytische getransformeerde van een oneindige cosinuB

-funktie

o

c

es

(2.1\(fol:) zou in het frequentiedomein twee Cl)C CS

--funktie-pieken opleveren op -(.)0 en +(lo • De transformatie van een eindige moot van deze cosinusfunktie Q.COSC.1n<rol:) .We,d:;)

levert nu dus de convolutie van de oneindige getransformeerde

cosinus en het oneindige getransformeerde blokvenster.

Gemakke Lijkis in te zien dat het uit.eLndeLijke spectrum dan twee diffraktiefunkties oplevert, rond - (To en +()o

gecentreerd.

I

I

I

I

I

*

--G"o 0

+cr

o _{0 -G"o} 0 +<1"0 ...

-

+Tw X(O") ~

W

2:, (.<r)"Tw

-

-

-iw

X(c:r)

-(10

Het eindige van het signaal zorgt er klaarbLijkelijk

I

I

I

I

voor dat ook.andere frequenties rond de ei.genLijkefrequenties een amplitude ongelijknul hebben en het totaal geschaald wordt met T , of anders gezegd de energie van de funktie (van

0-

0 )

w

wordt uitgesmeerd (leakage) over meerdere frequenties en met een faktor vermenigvuldigd.

I

I

-21

-I

N

u i

s

d

ui

del

j,Jk

te

z

i

en

d

at de ma

t

e

v

an

"le

ak

a

g

e" di

re

kt

verband houdt m

et

d

e v

orm v

a

n h

et

venster d.m.

v

. d

e

getransfo

r

me

e

rde v

a

n

h

e

t

v

e

n

s

t

e

r. Het blo

k

v

e

nster h

e

eft

een "h

o

eki

g

e" v

o

rm

.

D

e

re

p

re

s

ent

a

tie v

a

n

"

ho

e

ki

g

e"

f

un

kt

ies

in het fr

e

quentiedo

~e

in bevat ho

g

ere h

a

r

m

o

n

i

s

ch

e

n. D

e

ze

h

o

g

ere

frequenties

'

vloeien v

o

ort uit de achar-pehoeken v

a

n de

tijd

s

fun

kt

ieoHet is dus gewen

st

een venster te gebruiken

~

et

e

en gladder

v

er

~

o

op

,

opdat de ~nergte van het si

gn

a

~

l

_

dichter rond de ei

ge

nlijke.frequ

e

nties

g

econcentre

e

rd

.

blijft.

Met deze ken

n

is zijn

o

ntelbare ven

s

ters te bedenken die

"

leak

a

ge

"

in

m

eer o

f

mindere m

a

te beper

k

en

o

Het spe

c

trum v

a

n he

t

blo

k

v

e

n

s

ter he

ef

t nuldoor

ga

n

g

en

o

p regelm

a

ti

g

e afst

a

nden v

a

n de freque

n

tie

,~

0

Indien ee

n s

pectru

m

,

waarb

ij

t

w

ee

oo

r

-ap

r-on

k

L

e

r

'ke

sp

ectr

aa

l

-lijnendichter bijel

k

aa

r li

gg

en dan

::k

,

w

o

rd

t

ge

co

nvolu

e

erd met e

en

diffractiefunk

t

ie

, (

wat bij

e

indi

g

ê

si

g

nalen onontkomb

a

ar is

;

eindi

g

e t

ij

dre

e

k

s

en

)

z

ij

ni

n

de

eindige ver

s

ie deze l

ijn

enniet van elk

a

ar te

o

nd

e

r

s

cheid

e

n

.

A

ls de lijnen~w

v

a

n elk

a

ar ~er

w

ij

derd

zij

n

,

z

ullen d

e

pi

eke

n

v

a

n de diffr

a

ctiefun

k

tie

o

p el

kaa

r

s

e

e

r

s

te nuldoor

ga

n

g

en

k

o

m

en en on

g

e

s

ch

o

nd

e

n b

l

ijven

.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

D

e freq

u

entie

~

wordt da

a

r

o

m

res

o

lutie of

o

pl

o

ssendv

e

r

m

o

gen

genoemd

.

H

e

t oplo

ssen

dv

e

r

m

o

g

en

w

ordt verhoo

g

d na

a

r

m

a

te h

e

t

v

enster br

e

d

e

r

is ofwel de sig

naa

l

len

gt

e

g

rote

r

is

o

In het tijd

sd

o

m

eing

e

ze

g

d

:

I

n

dien

m

en.van een fun

k

tie twee

bijelk

a

ar

g

elegen fr

e

quenties on

g

eschonden wilt onder

s

chei

d

en

,

mo

e

t de len

g

te

(

T

)

v

a

n het t

e

transfor

mer

e

n

deel zo

g

root

w

zijnals één ged

e

e

l

d d

o

or het verschil van dez

e

frequenties

:

I

I

I

I

I

(2.3.1.2.)

I

I

WH

«r)

:

T

w { ~

oI

j

Ç~Tw

(0-)

+

~

d

iÇ

Ç

(0"

-ti,

)

+

~

cl

jçç

(Ir-

{;;,)

J )

(2.?>.1.2)

Het spectrum wor

,

dt opgebouwd uit

3

diffractiefunkties

Tw

uit elkaar,

I

-

22-I

_{Het Hann-venster.}

I

Een ee~voudig glad venster is het Hann-venster.

I

I

I

-

i

Tw

0

Transformeren van deze t~dsfunktie levert:

I

I

I

I

o

I

o

-_."",',

1

"1

'W

w

dat de z~lobben elkaar tegenwerken.

.~,..,

_!!. - ~ ,I

T

w

Tw -

Tw

Duidelijk is te zien I

- "f

w

I

De eerste zijlobbenzijnca. een faktor 10 kleiner dan die

van het blokvenster.

De eerste nuldoorgangen van het spectrum

W

H

(Q") Liggen

2

evenwel op

Tw

rond de piekwaarde• Het oplossendvermogen is hiermee met een faktor 2 achteruitgegaan.

Zoals al opgemerkt, zijner vele vensters te bedenken, die geringe zijlobbenhebben. Het kriterium hierbijis de

gladheid van de vensterfunktie. Niet elke t~dsfunktie heeft evenwel een aangename getransformeerde vorm, zodat niet elke verbetering ook rekenkundig winst oplevert.

Het transformeren van diverse vensters leert dat blj,Jkbaar de regel geldt, dat het beter onderdrukken van zijlobben een ongunstiger oplossendvermogen ten gevolg heeft.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

{ 2.?'.1.1) ..!.. Tw

I

I

-·23-2.3

0

2.

Ali

a

sin

g

o

I

Doordat er op discrete tijdstip

p

en

waa

rne

m

ingen

zijngedaan, zijnde signalen slechts in een be

m

onsterde

versie beke

n

d. Zo'n bemon

s

terde versie

k

an

w

orden opgevat

als het produkt van een kontinu signaal en een trein van

deltafunkties. Dit produkt levert immer

s

geintegreerd de

funktiewaarden van het signaal

o

p de tijdstippenvan de

deltafunkties op.

D

e fouriergetransformeerde van een

o

neindige,

regelmatige reeks van deltafun

k

ties is in

h

et

frequentie-d

o

mein eveneens een oneindige

,

regelmatige reeks v

a

n

d

eltafunkties

o

I

I

I

I

I

I

I

·

A

nders d

a

n langs mathematische weg is dit op een min

o

f meer he

u

ristische wijzeals volgt te zie

n

. Neem de

r

eeks zo

,

dat een deltapuls voorko

m

t op t

=

0 •

De reeks

delta

f

un

k

ties is dan een even funktie en k

a

n derhalve

slec

h

ts op

g

ebouwd worden met co

s

inussen

(

Elke sinu

s

is

o

rthogonaal

m

et een even funktie)

.

D

o

ord

at

de ree

k

s

zuiver periodiek is

,

kun

n

en sle

c

hts

d

i

e

co

s

inussen een

b

ijdr-age

leveren die elke d

e

ltapuls met e

e

n gel

ijk

e

w

a

a

rde

snijden

.

Bijonein

d

ige somm

a

tie van bijdragenkunnen anders

geen identieke pul

s

en ontstaan.

D

e deltafunkties dienen

o

p gelijkewij

z

e te zijnopgebouwd

.

Eenvoudig is nu

i

n te z

i

en dat de eerste har

m

onische die

hierv

o

or in aanm

e

rking ko

m

t de cosinus is

m

et als

...L

frequ,entie

bt •

I

I

I

I

I

I

I

--,.t-J__.__._n~

G""

~

f)1: I 6é

2-D

e eerst da

a

rop v

o

lgende i

s

de c

o

sinus met

(J: At:. ,dan

'Cl f:

1

e nz, ,

I

I

I

I

I

I

I

-24-I

Zo ontstaat in het frequentiedomein eveneens een reeks

\

deltafunkties op re.gelmatigeafstand

(1E"

.

Uiteindel~k geldt (natuurlj,Jkook zuiver mathematisch):

I

I

1

I

_A

_è

I

I

I

Lt

I

l'

I

I I

I~~

bt:

I

I

Indien nu een bemonsterd signaal wordt ~etrarisformeerd, ontstaan er in het frequentiedomein rond elke deltafunktie, door de convolutiebewerking, telkens weer kopieën van

het spectrum van het oorspronkelijkekontinue signaal. (Vermenigvuldigen in het t~dsdomein is convolueeren in het frequentiedomein).

I

I

I

I

I

I

I

Het is nu mogel~ dat de uiteinden van de geconvolueerde spectra elkaar overlappen. Dit gebeurt als de delta-funkties in het frequentiedomein dichter b~ elkaar liggen dan

2. <Jö)

waarb~

Oö

de hoogste frequentie in het

I

oorspronkel~e spectrum is, hetgeen in het t~dsdomein inhoud dat de bemonsteringen verder uit elkaar liggen

..J_

dan

20ö

.

Dit fenomeen wordt aliasing genoemd. De frequentie

t)(

~I::

(OV)

wordt de vouwfrequentie genoemd.

Op veelvouden van deze frequentie sch~nt het spectrum te z~n gevouwen of gespiegeld.

Wilt men aliasing verm~den, dan mag de vouwfrequentie niet kleiner .z~n dan de hoogste frequentie die in het kontinue signaal voorkomt.

I

I

I

I

I

I

-

0':

_"

>cr

_{. M~)()}

(2.~.2.1)

I

r-I

25

-I

2.3.3. Bepalin

g

van de fr

e

gu

e

nti

e

r

es

pon

s

ieftin

k

tie

van

e

en

s

y

s

tee

m

met ruis

.

I

I

D

e frp van een systeem

,

wa

a

rb~ het uit

g

angssignaal

verst

o

o

rd i

s

,

kan niet z

o

nde

r

meer berekend worden met de

uitdrukking

:

I

H

(cr~ -::

I

We k

v

oo

rstel

u

nn

e

n

l

en

e

:

en enke

l

voudig systeem met ruis als

vo

lg

t

I

I

t

z(b)

~(~)

-~

....

....tll.-

----Jt---

_.t

---

-!lDr--

:J

(I:)

Mathematisch

i

n het t~dsd

o

me

i

n uitged

r

uk

t:

I

,+00 ~(t:} ~

f

x

tt).h(t-

1:

)

.

d-r

--O

f eq

u

i

v

alent in

h

et frequentiedomei

n:

+

z(l:)

j

I

yfJr)

::

X<o-)

·

1-\(0")

+

Z

CO""}

)

I

D

i

t

is één vergel~ing

met twee onbekenden

.

He t

is toch mo

g

el:iJk

de frp

H

(cr)

explicie

t

u

it

deze vergel~ing

o

p te lossen

,

als de aanna

m

e gedaan kan

w

o

rden dat z

e

t

)

het gedrag heeft v

a

n witt

e

ruis

.

Een kenmerk van witte ruis is dat de kruiskorrelatie

-funktie van

d

e witte ruis met het ingangssignaa

l

ident

i

ek

nul is

,

z

o o

ok het

v

ermogensdichtheidsspectrum

(

zie 2.2.3.

):

I

I

I

I

I

I

r

I

cc

Z

l-i

m

qT

X

(_o-) .

(f) T->c<> '"

kruisvermogensdichtheidsspectrum

=

0 .

_J

(2.3.3.')

Het

van het uitgangssignaa

l

met het ingangssignaal is

:

CxyLO")

I

I

I

I

I

-26-I

Dit levert de uitdrukking voor de frp:

H

_

c.x

'

y

to-

)

(<r)

-

G)(X

«j)

De ruis is door het overgaan naar het

kruisvermogens-dichtheidsspectrum ui~gemiddeld~

(

2.3.3.2

)

I

I

B~ het ver~erken van signalen kan niet met oneindige

signalen worden gerekend. Dit houdt in dat het uitmiddelen

van ruis b~ de bepaling van de frp's mob.v. de

kruis-vermogensdichtheidsspectrum niet opgaat, omdat de benodigde

limietovergang niet kan worden genomen. In eindige versies

heeft de

a

xz

(

<r

l

in het algemeen een waarde ongeLijknul.

Toch kan via een omweg gebruik gemaakt worden van het

ongekorreleerd z~n van de witte ruis met het

ingangs-signaal en wel op de volgende manier.

De ter beschikking z~nde signaallengte (in en uit) wordt

opgedeeld in parten. Van deze deelreeksen worden afzonderlijk

de kruisvermogensdichtheidsspectra (zonder limietovergang)

berekend.

I

I

I

I

I

I

I

"'"

cr

K

y

,(Cl) ~ \ cc t

21

Xi

en.

Z

i«(T) )

(2.3.1.3)

I

Het ongekorreleerd z~n van het ingangssignaal en de witte

ruis betekent dat de laatste term.in uitdrukking

(

3

)

de verwachting nul heeft; msasw , gemiddeld over n-edeeLr-eek.aen

volgt:

I

_c

₎₍

(y-z)

n

A

~

* [

CXY

t

ter)

t=l

I

I

waarb~ geldt dat de relatie betrouwbaarder wordt naarmate n

groter is.

Als de totale signaallengte vast ligt kan n natuurlijkniet

zonder meer groot gekozen worden, omdat de nauwkeurigheid

van het spectrum (oplossendvermogen) recht evenredig is

met de lengte van de deelreeks, terw~l nomgekeerd

evenredig is met de deelreekslengte, Er moet dus een kompromis-beslissing genomen worden.

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

I

·

1

I

I

I

-

2

7-Uiteindelijk

w

o

rdt de uitdrukking v

oor d

e frp

:

I

-28-I

2

.

3

.4.

D

e methode et

er

klein

ste k

w

a

d

r

a

t

en

.

I

I

De

v6

orsp

e

lli

n

g

sm

e

t

hode v

o

or h

e

t

ge

t

ijd

i

e mo

m

e

nteel

al

g

emeen

w

ordt

g

ebrui

k

t

,

is de h

a

r

m

onisc

h

e

me

th

o

de,

gebaseerd op een klein

s

te k

wa

dr

a

ten sch

a

tt

in

g van

"

verklarende

"

harmoni

s

chen

. D

e voorsp

e

lli

ng

i

s

hier a

.

h

.

w

.

een harmoni

s

che extr

a

pol

a

tie. De

m

ethod

e

'

d

e

r

k

lein

s

te

kwadraten

w

or

d

t

o

ok in de

s

ystee

maa

np

a

k g

e

bruikt

,

z

ijhet

dan in een andere koritekst

.

In het algemeen

v

erloopt

d

e klei

n

ste

k

w

a

dr

a

ten

m

ethode

a

ls

vo

lgt

:

Een te ver

k

laren v

ar

i

a

b

l

e

prob

ee

rt

m

en

o

p te bouwen uit een lineaire ko

m

bina

t

ie v

an

een

a

a

n

tal

onafhankel

ijk

everkl

ar

ende vaiabelen.

D

i

t ~

o

r

dt

o

ok we

l

aangeduid als lineaire re

g

ressie

.

De

z

e v

e

r

k

l

a

rende

variabelen

m

ogen opzichzelf niet

-

lineair z

ij

n.

Indie

n

aan de te

v

erklaren v

a

riabele

vo

ld

o

ënd

e

w

a

arnemingen zijngedaan bijverschillend

e

i

ns

tel

l

in

g

va

n

de verklarende variabelen

,

kan men m

.

b

.

v

.

sta

ti

s

ti

s

che the

o

rie

de lineaire kombinati

e

z

o

kie

z

en dat he

t

g

es

ommeerde

gekwad

r

ateerde ver

s

ch

i

l t

u

ssen de waarne

m

inge

n

en de

lineaire kombinatie min

i

maal is

.

E

.

e

.

a

.

is in formulev

o

rm

:

I

I

I

I

I

I

I

I

I

EJ

=

(30'" fol

X,

+

~'l

X

2

+

p

,..?(

..

(

2.

~.4.1)

I

Waari

n:

E

₌

de verw

a

c

h

ting

s

op

e

rat

or

:J

=

de te verklar

e

n

va

riab

l

e

{30

₌

k

o

nstante term

I

I

f.>

., .. ~

.(3.,.

=

r-e

g

rea

s

d.e

,

koëff

i

cient

en

X,...

Xt-

=

ve

rk

la

r

ende variabelen

.

N.B.

Xi

m

ag b

ij

v.ook v

a

n de vor

m

Ln

X

Y

of

en in dit"geval

sÎHl X"

Het

s

telsel waar

n

emingen

k

an worden

g

e

s

chr

e

ven a

l

s

:

,2-X

zijn

I

I

\I .... Ji -

.

-

'

/;r

X

i.r

+

ei.

·

t

=-

1J2J

....

n

(2.:,.'1.2.)

I

Waarin

:

et

=

het residu.

I

I