Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 10. Rodzaje zbieżności zmiennych losowych
Ćw. 10.1 Niech {Xn}n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, takich, że P (Xn = 1) = 1/n2, P (Xn = 0) = 1 − 1/n2.
Zbadaj zbieżność podanego ciągu do 0 według prawdopodobieństwa, prawie wszędzie i w przestrzeni L1.
Ćw. 10.2 Dla każdego n ∈ N rozkład zmiennej Xn zadany jest następująco:
P (Xn= −n − 4) = 1
n + 4, P (Xn = n + 4) = 3
n + 4, P (Xn= −1) = 1 − 4 n + 4. Wykaż, że ciąg {Xn}n∈N jest zbieżny według prawdopodobieństwa, a
E( lim
n→∞Xn) 6= lim
n→∞EXn.
Ćw. 10.3 Niech {Xn}n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie E(1). Niech
Yn = min{X1, . . . , Xn}.
Pokaż, że ciąg {Yn}n∈N jest zbieżny do 0 według prawdopodobieństwa i prawie wszę- dzie. Czy ciąg ten jest także zbieżny do 0 w przestrzeniach L1 i L2?
