Reprezentacja punktowa funkcji w postaci szeregu Fouriera
Uwagi:
• Oznaczamy: fN(t) =PNn=−Ncn(f )e2iπnat.
• Fakt, że f ∈ L2P(0, a) posiada rozwinięcie w szereg Fouriera oznacza, że
f (t) = L2−limN →∞
N
X
n=−N
cn(f )e2iπnat,
czyli
||f (t) −
N
X
n=−N
cn(f )e2iπnat||2 =
v u u t
Z a 0
|f (t) −
N
X
n=−N
cn(f )e2iπnat|2 dt → 0 przy N → ∞.
• Współczynniki szeregu Fouriera istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f należy do L1P(0, a). Można więc dla takiej funkcji napisać formalnie szereg Fouriera. Nie wiadomo tylko czy taki szereg jest zbieżny i do jakiej funkcji granicznej.
Pytanie: Kiedy zachodzi zbieżność punktowa?
Twierdzenie Dirichleta: Niech f ∈ L1P(0, a). Jeśli w punkcie t0 istnieją granice f (t+0) i f (t−0) oraz pochodne lewo- i prawostronna, to
fN(t0) → f (t+0) + f (t−0)
2 przy N → ∞.
Twierdzenie: Niech f : R → C będzie funkcją okresową o wariacji ograniczonej na okresie.
Wówczas
∀t0∈R fN(t0) → f (t+0) + f (t−0)
2 przy N → ∞.
Jeśli dodatkowo f jest ciągła na [α, β], to fn zbiega jednostajnie do f na [α, β].
Twierdzenie: Jeżeli funkcja f o okresie a jest:
• ciągła na R,
• różniczkowalna na [0, a] poza ewentualnie skończoną liczbą punktów,
• posiada pochodną f0 kawałkami ciągłą na [0, a], to
i) szereg Fouriera dla f0 otrzymujemy różniczkując wyraz po wyrazie szereg Fouriera dla f , ii) szereg współczynników Fouriera funkcji f jest bezwzględnie zbieżny,
iii) szereg Foriera funkcji f zbiega do f na całym R.
Wniosek: Niech f ∈ L2p(0, a) będzie funkcją, dla której współczynniki szeregu Fouriera tworzą szereg bezwzględnie zbieżny. Wówczas f jest ciągła i fN zbiega do f na całym R.