• Nie Znaleziono Wyników

Reprezentacja punktowa funkcji w postaci szeregu Fouriera

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Reprezentacja punktowa funkcji w postaci szeregu Fouriera"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Reprezentacja punktowa funkcji w postaci szeregu Fouriera

Uwagi:

• Oznaczamy: fN(t) =PNn=−Ncn(f )e2iπnat.

• Fakt, że f ∈ L2P(0, a) posiada rozwinięcie w szereg Fouriera oznacza, że

f (t) = L2−limN →∞

N

X

n=−N

cn(f )e2iπnat,

czyli

||f (t) −

N

X

n=−N

cn(f )e2iπnat||2 =

v u u t

Z a 0

|f (t) −

N

X

n=−N

cn(f )e2iπnat|2 dt → 0 przy N → ∞.

• Współczynniki szeregu Fouriera istnieją wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja f należy do L1P(0, a). Można więc dla takiej funkcji napisać formalnie szereg Fouriera. Nie wiadomo tylko czy taki szereg jest zbieżny i do jakiej funkcji granicznej.

Pytanie: Kiedy zachodzi zbieżność punktowa?

Twierdzenie Dirichleta: Niech f ∈ L1P(0, a). Jeśli w punkcie t0 istnieją granice f (t+0) i f (t0) oraz pochodne lewo- i prawostronna, to

fN(t0) → f (t+0) + f (t0)

2 przy N → ∞.

Twierdzenie: Niech f : R → C będzie funkcją okresową o wariacji ograniczonej na okresie.

Wówczas

t0∈R fN(t0) → f (t+0) + f (t0)

2 przy N → ∞.

Jeśli dodatkowo f jest ciągła na [α, β], to fn zbiega jednostajnie do f na [α, β].

Twierdzenie: Jeżeli funkcja f o okresie a jest:

• ciągła na R,

• różniczkowalna na [0, a] poza ewentualnie skończoną liczbą punktów,

• posiada pochodną f0 kawałkami ciągłą na [0, a], to

i) szereg Fouriera dla f0 otrzymujemy różniczkując wyraz po wyrazie szereg Fouriera dla f , ii) szereg współczynników Fouriera funkcji f jest bezwzględnie zbieżny,

iii) szereg Foriera funkcji f zbiega do f na całym R.

Wniosek: Niech f ∈ L2p(0, a) będzie funkcją, dla której współczynniki szeregu Fouriera tworzą szereg bezwzględnie zbieżny. Wówczas f jest ciągła i fN zbiega do f na całym R.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Dobrej zabawy!.

W każdym przypadku należy wyznaczyć częstotliwość i okres podstawowy sygnału oraz na- rysować wykresy widma amplitudowego, fazowego i widma mocy..

Niech funkcja f ma w przedziale [−l, l] co najwy»ej sko«czon¡ liczb¦ punktów nieci¡gªo±ci pierwszego rodzaju oraz co najwy»ej sko«czon¡

Napięcie takie może służyć do okresowego odchylania wiązki elektronów padającej na wewnętrzną stronę

Udowodnij, że funkcja kawałkami ciągła na odcinku [a, b] jest ograniczona (przy a i

Rozwijanie funkcji w szereg w bazie ortogonalnej.. zadania

[r]

Transformata Fouriera funkcji całkowalnych. zadania