O pewnym kształcie równań różniczkowych o różniczkach zupełnych

O PEWNYM KSZTAŁCIE

UKŁADÓW RÓWNAŃ RÓŻNICZKOW YCH

O RÓŻNICZKACH ZUPEŁNYCH.

KRAKÓW.

NAKŁADEM AKADEMII UMIEJĘTNOŚCI.

S K Ł A D O Ł Ó W i r r W K S IĘ G A R N I S P Ó Ł K I W Y D A W N IC Z E J P O L S K I E J .

1892.

W m

A. J. S

.

0 PEWNYM KSZTAŁCIE

O K Ł A D Ó W R Ó W N A Ń R ÓŻ NI CZ KOWYCH

O RÓŻNICZKACH ZUPEŁNYCH.

KRAKÓW.

NAKŁADEM AKADEMII UM IEJĘTNOŚCI.

S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K S IĘ G A R N I S P Ó Ł K I W Y D A W N IC Z E J P O L S K I K J .

1892.

Osobne odbicie z T om u X X II. Rozpraw W ydziału m atem atyczno-przyrodniczego A kadem ii U m iejętności w K rakowie.

6 ^ 3 1 U 5" U L

3 ? / r ? m

— D r u k a r n i a U n i w e r s y t e t u j a g i e l l o ń s k i e g o p o d z a r z a d e m A . M. k o B te rk ie w ic z a .

O p e w n y m k s z ta łc ie

układów równań różniczkowych o różniczkach zupełnych.

Przez

A. J. S t o d ó ł k i e w i c z a .

(lizecz przedstaw iona a a posiedzeniu W ydziału 20 P aździernika 1891 r. ; referow ał członek W . Zajączkow ski.)

---

N i e c h b ę d z i e u k ł a d n r ó w n a ń r ó ż n i c z k o w y c h o r ó ż n i c z k a c h z u p e ł ­ n y c h z 2 n z m i e n n e m i

X , , d x t + X , i2 d x 2 + . . . 4- X 1>2n d x 2n = 0 , X 2>1 d x , 4- X 22 d x 2 + . . . + X 2|2„ d x 2n = 0 ,

A",,i + • • • + X U2n d x !n =

X , , + X , h2 d x 2 + . . . + x „ )2„ ćfa2„

k t ó r e g o c a ł k i s a

/ , ( * „ x 2 , . . j 2 ( x ^ x 2 , . .

f i { x „ x 2 , . .

f n ( * ,; * 2 , • •

*2„)

*^2n) ”

**»)

= c,

=

( 1 )

( 2 )

Gdyby każde z równań (1), n. p. i - t e , otrzymywało się tylko z odpowiedniej całki / , przez różniczkowanie i następne opuszczenie wspólnego czynnika, natenczas każde równanie posiadałoby niezależnie jedne całkę, któraby było można znaleźć wiadomym sposobem z tego jednego równania.

Spółczynniki zaś każdego z równań powinnyby czynić zadość

^ (2n—l){2n—2) znanym warunkom całkowalności. U kład taki nie przed­

stawiałby wiec nic godnego uwagi. Może jednak być jeszcze inny przy­

padek, zasłitgujac.y na uwagę. Mianowicie, każde z równań (1) mieć może wszystkie spółczynniki, nieczyniace wcale zadość znanym warun­

kom. Natenczas, według twierdzenia Pfaffa, każde równanie z 2n zmien­

nemi będzie określać n zmiennych zależnych i układ (1) mieć będzie n całek wspólnych wszystkim równaniom.

Na zasadzie twierdzenia Pfaffa, mamy

9f, _ 9f. , „ Sf„

F fifci J- F ■ - 4- 4- F ' ■. = X J~ ‘ * 2 o™ 1 ' • ' T ” ci™ J.z ’

2 A . ,T. ST0DÓŁK1EWICZ. [3 0 0 ]

(3).

Sx, 2 3xt " " 9x, 3l± w 9 A + . j /,■ w*

Sx.. + 2 9x, + ‘ • + ’ 9x2

F + F 5Ż - + . . . + F W - = X gdzie F ,. 1 \ , ■ . • . F a sa pewne nieznane funkcyje.

Podobne związki (3) można napisać dla wszystkich pozostałych równań układu (1).

W pracy niniejszej zajmiemy się szczególnym przypadkiem, gdy nie tylko wszystkie całki f t sa wspólne układowi (1), lecz i wszystkie funkcyje F t także sa wspólne wszystkim równaniom. Różnica więc za­

chodzić może tylko w znakach funkcyj Ft . Może być następujaca kom- binacyja znaków : dla pierwszego równania z układu danego funkcyja F, jest dodatna, a wszystkie pozostałe Fky ( k — 2, 3, . . . }, n), sa ujemne

Dla drugiego równania tylko F2 dodatne, wszystkie zaś inne F,, (l = 1 , 3 , . . . , n) będa ujemne, i t. d ., nakoniec dla m-tego równania będzie Fn dodatne, a reszta F r > (r = / , 5, . . . , n —1) ujemne. Tym spo­

sobem będziemy mieli dla każdego skaźnika i:

O PEW NYM k s z t a ł c i e u k ł a d ó w k ó w n a ń r ó ż n i c z k o w y c h.

o o

_ j? A _ F W* _ F ' + y WŁ _ F 3 J

±1 _ _ ' Sx, 2 9x, ■“ ~ to, 1 ' 5*. ,+i m ,

_ 7 ' ^ ___F 3A + _ y . g/f~* + 2^. _ j.\ _ . . . _ (4)

'to , 2 ófr,- ‘ * 9xt l 9x., 3*. 1 ;

_ . . . ^ p A ==x 9x% "* ’

:- $ 9 A ^ v * A - _ F dA - + F . d A - F . 3 A ± - 1 t o 2„ 2 to 2„ ’ ‘ <9^„ ’ 3

2„ t o 2„

- . . - F d— = X- . ' 3xm

Przy powyższej kom binacji znaków, wszystkie spółczynniki ukła­

da (1) będą w każdem z osobna równaniu niezależne i nie uczynią zadość wzmiankowanym warunkom całkowalności; układ określaj będzie n ca­

łek , wspólnych wszystkim równaniom. Jeżeli układ dany rozwiążemy, czyli wyznaczymy różniczki dx„+t, dxn + 2, . . . dxsn w funkcyjach różni­

czek zmiennych niezależnych dx, , dx2 , . . . , dxn , to będziemy mieli zw ykła, dobrze znaną postać układów równań różniczkowych o różnicz­

kach zupełnych, określającą n zmiennych zależnych, jako funkcyje po­

zostałych n zmiennych niezależnych.

Utwórzmy następujące sumy algebraiczne z równań danego układu:

(X iit- X „ t- . . . - X , „ - ... - x,v ) dxt +(X„ - X 2- .. - X, - ., - X,h,)dx2 +

.. . + (X,„ - z 2i211 - . . - ^{X W}

- ... - x,§ ^dx2n = ⁰ ,

X x ,t + ( - Z J,2+ X , - Xf> - . . . - X„„) <fe2 +

• . . + (• - . . . - - . . . - x „ , j = o ,

... ( 5 )

( - X , - X,, X , -••■+

.. . + J 2,2„ - . . . - x , 2„ - . . . + X„,2„) d x2n = 0.

Następnie, podstawmy w powyższych równaniach na miejsce fuilk-

cyj

, , A'. , , . . . , .V,v;, ich wartości (4), (*=='./, 2 , . . . , w), to po

uproszczeniu otrzymamy ;

«F, g - dx, + r f , g L + ,F t & - O,

»F, g? dx, + » F , 3 Ą „x,+ . . . + »F, gj-

nFu dx1 + n F n § ^ + ... + nF„ dxn = 0.

Widzimy więc, źe w tak zmienionej postaci każde równanie (5) powinno czynić zadość znanym — - § § war unkom całkowalno- ści, które po wprowadzeniu oznaczeń

— X ,i — X,,- — . ' . + X7(ii — . . . — = TJk>{

(i = 1, 2 , } 2 n ; h = 1, 2, . . . n) można napisać t a k :

i 7 t ( 9 T f y >2n 9 Z7V { ^ ^ ^

+ -

U>

gdzie i i h tworzą, kombinacyje liczb / , 2, . . ., 2n — 1 po dwie, zaś v = 1, 2, 5; ■ . . n. Będą to warunki dla układu (1) a liczba ich będzie -g- w (2n—l)(2n—2).

Ztad wnosimy, iż# po utworzeniu równań (5) można, za pomocą jednego z wiadomych sposobów, scałkować każde równanie niezależnie od innych, a tak odnaleźć wszystkie całki układu (1).

Zauważyć tutaj wypada, że, jeżeli każde z równań (1) określa mniej niż połowę zmiennych zależnych, czyli jeżeli posiada h < . n całek wspólnych całemu układowi, natenczas warunków eałkowalności będzie znacznie więcej, aniżeli (6), i będa one miały postać wyznaczników zło­

żonego kształtu.

Z własności powyżej opisanych układów możnaby było także sko­

rzystać w tym szczególnym przypadku, gdy dane jest jedno tylko ró­

wnanie , określające n zmiennych zależnych. Należałoby jednak wtedy szukać równań dołączonych do równania danego i tworzących z niem układ. Odnajdywanie jednak spółczynników takich równań z warun­

ków (6), jakkolw iek, z teoretycznego punktu widzenia, możliwe, pro­

wadzi w ogóle do równań różniczkowych cząstkowych, które się trudno całkują.

4 A. J . ST0DÓŁKIEW1CŹ. [ 3 0 2 ]

[303] O PEW NYM K SZTA ŁCIE UKŁADÓW RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. 5

Dla potwierdzenia teoryi wyłożonej przytoczyć można przykład dwu równań z czterema zmiennemi, tworzących układ o dwóch całkach wspólnych

(u + y + 1) dx + ( I — x — z) dy + (x + 2y + u) dz + ( y —z ) du = O , (.1 — y — u ) d x + ( i + x + z) dy + (x — u ) dz + ( 2 x + y -\-z) du = 0.

Przez dodawanie, a następnie odejmowanie otrzymamy z łatwościa z powyższych równań dwa nowe, całkujace się niezależnie:

dx + dy + {x + y) dz + (x + y) du — 0 ,

{u + y) dx + (— x — z) dy + (y + u) dz + (— x — z) du = 0, Po scałkowaniu mieć będziemy:

0 * + y) e'+“ = c, ,