Teoria pasmowa ciał stałych

Wykład III

Teoria pasmowa ciał stałych

Powstawanie pasm w krysztale sodu

Konfiguracja w izolowanym atomie

Na:

1s²2s²2p⁶ 3s¹ Energia elektronu (eV) Ne

Położenie

równowagowe Odległość między atomami

pasmo walencyjne (zapełnione częściowo)

Konfiguracja w izolowanym atomie

C:

1s²2s²2p²

Położenie

równowagowe Odległość między atomami

Energia elektronu (eV)

pasmo

przewodnictwa (puste)

pasmo

walencyjne (pełne)

Powstawanie pasm w krysztale diamentu

W Si 4 podpasma łączą się w pasmo walencyjne Konfiguracja w izolowanym atomie Si:

1s²2s²2p⁶3s²3p² -Każdy atom ma dwa stany1s

dwa 2s, 6 stanów 2p, dwa 3s, 6 stanów 3p i wyższe

-Dla N atomów dostępnych jest 2N stanów 1s, 2N

stanów 2s, 6N stanów 2p, 2N stanów 3s i 6N stanów 3p Po zbliżeniu atomów

największemu rozszczepieniu ulegają stany 3s i 3p. Stany te mieszają się dając 8N

stanów. Przy odległości równowagowej, pasmo to rozszczepia się na dwa pasma oddzielone przerwą E_g.

Górne pasmo –

przewodnictwa - zawiera 4N stanów i dolne –

walencyjne - też 4N stanów.

Metale, izolatory, półprzewodniki

• Zbliżenie atomów w krysztale prowadzi do rozszczepienia poziomów energetycznych

• Rozszczepione poziomy grupują się w pasma

a) i b) - metale, c) Półprzewodnik (przerwa wzbr. 1eV- umownie)

d) izolator

Metale, izolatory, półprzewodniki

metale półprzewodnik izolator

To podejście tłumaczy:

• małą oporność metali w niskiej T (brak przerwy wzbronionej: stany wolne znajdują się w sąsiedztwie stanów zajętych elektronami);

• większą oporność półprzewodników i największą - izolatorów (im większa E_g, tym mniejsze prawdopodobieństwo, że elektron znajdzie się w pasmie przewodnictwa);

𝒌 = 𝟏. 𝟑𝟖 ∙ 𝟏𝟎^𝟐𝟑𝑱/𝑲

• wykładniczy spadek oporności półprzewodników ze wzrostem temperatury (im wyższa temperatura, tym większe prawdopodobieństwo, że elektron znajdzie się w pasmie przewodnictwa).

𝒑~𝒆

−𝑬_𝒈 𝒌𝑻

To podejście tłumaczy również występowanie krawędzi absorpcji w półprzewodnikach i izolatorach (tylko fotony o energii większej od E_g zostaną zaabsorbowane):

Krawędź absorpcji

CdS

𝒉 = 𝟔. 𝟔𝟑 ∙ 𝟏𝟎^−𝟑𝟒𝑱𝒔 𝐜 = 𝟑 ∙ 𝟏𝟎^𝟖𝒎/𝒔

Bardzo użyteczna jednostka energii w fizyce ciała stałego 1eV to energia potrzebna do przeniesienia elektronu w polu

elektrycznym między punktami o różnicy potencjałów równej 1V Aby zamienić 1eV na 1J korzystamy z równania:

𝟏𝒆𝑽 = 𝟏. 𝟔 ∙ 𝟏𝟎

𝑪 ∙ 𝑽 = 𝟏. 𝟔 ∙ 𝟏𝟎

𝑱

Elektronovolt (eV)

𝝀(𝝁𝒎) = 𝟏. 𝟐𝟒 𝑬(𝒆𝑽)

Aby obliczyć jakiej długości fali λ odpowiada foton o energii E, wyrażonej w eV, korzystamy z równania:

𝝀(𝒏𝒎) = 𝟏𝟐𝟒𝟎

𝑬(𝒆𝑽)

To podejście nie jest wystarczające aby wyjaśnić, dlaczego trudno jest wykonać diodę świecącą z krzemu….

Problem rozwiązuje uwzględnienie periodyczności sieci krystalicznej.

Kłopoty

2 atomy Na izolowane

Atomy w krysztale sodu

Periodyczna sieć w krysztale

Periodyczność sieci i dozwolone pasma energii

Izolowane atomy mają dyskretne dozwolone poziomy energetyczne Periodyczność sieci w ciele stałym prowadzi również do pojawienia się pasm energetycznych oddzielonych obszarami wzbronionymi

Twierdzenie Blocha

W krysztale funkcje falowe będące rozwiązaniem równania Schrödingera z potencjałem periodycznym U(r) są iloczynem zespolonej fali płaskiej

𝒆i(k·r⁾ (odpowiadającej swobodnemu elektronowi) i funkcji periodycznej u_n,k(r) (n – liczba całkowita).

( )

( )

nk

e u

 r 

r

Niejednoznaczność wektora k

Funkcje Blocha posiadają dziwną własność: zarówno same funkcje

jak i odpowiadające im wartości własne energii E obliczone dla k oraz k+G są identyczne:

3 1 1 2

2 3

2 ^ 2 ^ 2 ^

  

     

2 3

1

1 2 3 1 2 3 1 2 3

a a a a a a

b b b

a a a a a a a a a



.

( )

( )

( ) ( )

n n

n n

E E

  

 

k

r

r

k k G

gdzie G jest wektorem sieci odwrotnej:

n₁,n₂ i n₃ – liczby całkowite, a_i są wektorami podstawowymi sieci krystalicznej, b_i są wektorami podstawowymi sieci odwrotnej.

Węzły sieci odwrotnej są wyznaczone przez zbiór wektorów G

3 2

1

b b

b

G  n

 n

 n

Sieć odwrotna

Sieć odwrotna to zbiór wektorów falowych dla których odpowiednie fale płaskie mają okresowość sieci krystalicznej:

G·T=2n lub

cos(G·T)=1 gdzie T – wektor translacji

Dla sieci 1D, w której odległość między atomami wynosi a:

G=2/a

( ) ( )

n n

E k  E k  G

Periodyczność E(k)

Ze względu na tę periodyczność, wystarczy ograniczyć się do obszaru od

−

𝒂 do

+

𝒂

,

I strefa Brillouina dla sieci regularnej fcc

Komórka elementarna sieci fcc

I strefa Brillouina dla sieci fcc

Jak wcześniej wspomniano, ze względu na periodyczność E(k), wystarczy ograniczyć się do obszaru tzw. I-szej strefy Brillouina.

W większości półprzewodników pasmo przewodnictwa i pasmo walencyjne w pobliżu swoich krawędzi mają postać jak na rysunku obok. Z całej zależności E(k) „wycinamy” obszar zaznaczony na górnym rys. na czerwono

E(k) (relacja dyspersji)

Półprzewodniki z prostą i skośną przerwą wzbronioną

Przerwa prosta Przerwa skośna

E(k) dla Si (skośna przerwa) i GaAs (prosta przerwa)

E(k) dla Si i GaAs

Pełne pasmo Puste pasmo

Przerwa wzbr.

Pełne pasmo

Częściowo pełne pasmo

Przerwa wzbr.

Częściowo pełne p.

Częściowo pełne pasmo

E_F

IZOLATOR METAL METAL

lub półprzewodnik lub półmetal

E_F

Koncepcja dziury

Elektron opisany funkcją Blocha jest naładowaną cząstką biegnącą przez kryształ. W obrazie klasycznym reprezentuje prąd elektryczny. W paśmie całkowicie zapełnionym każdemu elektronowi o wektorze falowym k towarzyszy elektron z -k i odpowiednie przyczynki do prądu znoszą się.

Jeśli zabierzemy jeden elektron, to wytworzymy dziurę, ale prąd będzie wówczas

różny od zera:

( ) 0

N i i

J   e  ^V 

Taki sam prąd wytworzymy jeśli do całkowicie zapełnionego pasma wprowadzimy dziurę o nieznanym ładunku q_hi nieznanej prędkości v_h

0

( )

i

J e q q



   ^V  ^V  ^V

0

( ) _i ( ) _{e e}

i

J e e e



 



Pojęcie i właściwości dziury

0

( )

( )

i

J e e e



   ^V   ^V  ^V

0

( )

i

J e q q



   ^V  ^V  ^V

q

  e v = v

Przyspieszenie brakującego elektronu i dziury są takie same:

* *

e h

e h

eE eE

a a

m m

   

* *

h e

m   m

Masa efektywna

2 2

2

d E

dk  m

2 2 2

2 2

p k

E  m  m dE

k dk  m

2 1 2

2

m d E

dk

 

  

 

2 1 2

*

m d E

dk

 

  

 

h

-

E  E m

  m

k

= - k

h



v v

𝒑 = 𝒎

𝒗 = ħ𝒌

Dla elektronu w sieci krystalicznej:

Dla elektronu swobodnego:

Dla dziury w sieci krystalicznej (w pasmie walencyjnym):

Ponieważ

Relacja E(k) decyduje o masie efektywnej!

• Masa efektywna elektronów w punkcie  w GaAs w pasmie

przewodnictwa jest mała (duża krzywizna, pochodna duża i m_e* mała) w porównaniu do masy efektywnej dziur w punkcie  (mała

krzywizna, pochodna mała i m_h* duża)

• Elektrony przy wierzchołku pasma

walencyjnego mają masę efektywną ujemną.

Dziury – dodatnią.

2 2

dk E d

2 2

dk E d

2 1 2

*

m d E

dk

 

  

 

Prawdziwe (m

, m

) i efektywne masy (m

*, m

*)

- masy efektywne są różne dla różnych półprzewodników - prawdziwe – równe masie elektronu swobodnego

- dlaczego ?

dp/dt =d(mv)/dt = F : II zasada dynamiki Newtona ! F = F_wewn + F_zewn

F_zewn = siła zewnętrzna

F_wewn = siła wynikająca z istnienia potencjału periodycznego; to

oddziaływanie prowadzi do zależności E(k), z której z kolei wynika masa efektywna, m_e*.

dp/dt =d(m

v)/dt = F

Zatem elektron zachowuje się w polu siły zewnętrznej, tak jakby

miał nową masę, m

*.

Półprzewodnik w polu elektrycznym

( ) ( ) ( )

( )

p

p

F dE

dx

e x e dV

dx x dV

dx

x const c V cx

E cex







 

   

 

  

  



+ -