Wykład III
Teoria pasmowa ciał stałych
Powstawanie pasm w krysztale sodu
Konfiguracja w izolowanym atomie
Na:
1s22s22p6 3s1 Energia elektronu (eV) Ne
Położenie
równowagowe Odległość między atomami
pasmo walencyjne (zapełnione częściowo)
Konfiguracja w izolowanym atomie
C:
1s22s22p2
Położenie
równowagowe Odległość między atomami
Energia elektronu (eV)
pasmo
przewodnictwa (puste)
pasmo
walencyjne (pełne)
Powstawanie pasm w krysztale diamentu
W Si 4 podpasma łączą się w pasmo walencyjne Konfiguracja w izolowanym atomie Si:
1s22s22p63s23p2 -Każdy atom ma dwa stany1s
dwa 2s, 6 stanów 2p, dwa 3s, 6 stanów 3p i wyższe
-Dla N atomów dostępnych jest 2N stanów 1s, 2N
stanów 2s, 6N stanów 2p, 2N stanów 3s i 6N stanów 3p Po zbliżeniu atomów
największemu rozszczepieniu ulegają stany 3s i 3p. Stany te mieszają się dając 8N
stanów. Przy odległości równowagowej, pasmo to rozszczepia się na dwa pasma oddzielone przerwą Eg.
Górne pasmo –
przewodnictwa - zawiera 4N stanów i dolne –
walencyjne - też 4N stanów.
Metale, izolatory, półprzewodniki
• Zbliżenie atomów w krysztale prowadzi do rozszczepienia poziomów energetycznych
• Rozszczepione poziomy grupują się w pasma
a) i b) - metale, c) Półprzewodnik (przerwa wzbr. 1eV- umownie)
d) izolator
Metale, izolatory, półprzewodniki
metale półprzewodnik izolator
To podejście tłumaczy:
• małą oporność metali w niskiej T (brak przerwy wzbronionej: stany wolne znajdują się w sąsiedztwie stanów zajętych elektronami);
• większą oporność półprzewodników i największą - izolatorów (im większa Eg, tym mniejsze prawdopodobieństwo, że elektron znajdzie się w pasmie przewodnictwa);
𝒌 = 𝟏. 𝟑𝟖 ∙ 𝟏𝟎𝟐𝟑𝑱/𝑲
• wykładniczy spadek oporności półprzewodników ze wzrostem temperatury (im wyższa temperatura, tym większe prawdopodobieństwo, że elektron znajdzie się w pasmie przewodnictwa).
𝒑~𝒆
−𝑬𝒈 𝒌𝑻
To podejście tłumaczy również występowanie krawędzi absorpcji w półprzewodnikach i izolatorach (tylko fotony o energii większej od Eg zostaną zaabsorbowane):
Krawędź absorpcji
CdS
𝒉 = 𝟔. 𝟔𝟑 ∙ 𝟏𝟎−𝟑𝟒𝑱𝒔 𝐜 = 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟖𝒎/𝒔
Bardzo użyteczna jednostka energii w fizyce ciała stałego 1eV to energia potrzebna do przeniesienia elektronu w polu
elektrycznym między punktami o różnicy potencjałów równej 1V Aby zamienić 1eV na 1J korzystamy z równania:
𝟏𝒆𝑽 = 𝟏. 𝟔 ∙ 𝟏𝟎
−𝟏𝟗𝑪 ∙ 𝑽 = 𝟏. 𝟔 ∙ 𝟏𝟎
−𝟏𝟗𝑱
Elektronovolt (eV)
𝝀(𝝁𝒎) = 𝟏. 𝟐𝟒 𝑬(𝒆𝑽)
Aby obliczyć jakiej długości fali λ odpowiada foton o energii E, wyrażonej w eV, korzystamy z równania:
𝝀(𝒏𝒎) = 𝟏𝟐𝟒𝟎
𝑬(𝒆𝑽)
To podejście nie jest wystarczające aby wyjaśnić, dlaczego trudno jest wykonać diodę świecącą z krzemu….
Problem rozwiązuje uwzględnienie periodyczności sieci krystalicznej.
Kłopoty
2 atomy Na izolowane
Atomy w krysztale sodu
Periodyczna sieć w krysztale
Periodyczność sieci i dozwolone pasma energii
Izolowane atomy mają dyskretne dozwolone poziomy energetyczne Periodyczność sieci w ciele stałym prowadzi również do pojawienia się pasm energetycznych oddzielonych obszarami wzbronionymi
Twierdzenie Blocha
W krysztale funkcje falowe będące rozwiązaniem równania Schrödingera z potencjałem periodycznym U(r) są iloczynem zespolonej fali płaskiej
𝒆i(k·r) (odpowiadającej swobodnemu elektronowi) i funkcji periodycznej un,k(r) (n – liczba całkowita).
( )
i( )
nk
e u
nk r
krr
Niejednoznaczność wektora k
Funkcje Blocha posiadają dziwną własność: zarówno same funkcje
jak i odpowiadające im wartości własne energii E obliczone dla k oraz k+G są identyczne:
3 1 1 2
2 3
2 2 2
2 3
1
1 2 3 1 2 3 1 2 3
a a a a a a
b b b
a a a a a a a a a
.
( )
.( )
( ) ( )
n n
n n
E E
k
r
k Gr
k k G
gdzie G jest wektorem sieci odwrotnej:
n1,n2 i n3 – liczby całkowite, ai są wektorami podstawowymi sieci krystalicznej, bi są wektorami podstawowymi sieci odwrotnej.
Węzły sieci odwrotnej są wyznaczone przez zbiór wektorów G
3 2
1
b b
b
G n
1 n
2 n
3Sieć odwrotna
Sieć odwrotna to zbiór wektorów falowych dla których odpowiednie fale płaskie mają okresowość sieci krystalicznej:
G·T=2n lub
cos(G·T)=1 gdzie T – wektor translacji
Dla sieci 1D, w której odległość między atomami wynosi a:
G=2/a
( ) ( )
n n
E k E k G
Periodyczność E(k)
Ze względu na tę periodyczność, wystarczy ograniczyć się do obszaru od
−
𝝅𝒂 do
+
𝝅𝒂
,
czyli do tzw. I-szej strefy BrillouinaI strefa Brillouina dla sieci regularnej fcc
Komórka elementarna sieci fcc
I strefa Brillouina dla sieci fcc
Jak wcześniej wspomniano, ze względu na periodyczność E(k), wystarczy ograniczyć się do obszaru tzw. I-szej strefy Brillouina.
W większości półprzewodników pasmo przewodnictwa i pasmo walencyjne w pobliżu swoich krawędzi mają postać jak na rysunku obok. Z całej zależności E(k) „wycinamy” obszar zaznaczony na górnym rys. na czerwono
E(k) (relacja dyspersji)
Półprzewodniki z prostą i skośną przerwą wzbronioną
Przerwa prosta Przerwa skośna
E(k) dla Si (skośna przerwa) i GaAs (prosta przerwa)
E(k) dla Si i GaAs
Pełne pasmo Puste pasmo
Przerwa wzbr.
Pełne pasmo
Częściowo pełne pasmo
Przerwa wzbr.
Częściowo pełne p.
Częściowo pełne pasmo
EF
IZOLATOR METAL METAL
lub półprzewodnik lub półmetal
EF
Koncepcja dziury
Elektron opisany funkcją Blocha jest naładowaną cząstką biegnącą przez kryształ. W obrazie klasycznym reprezentuje prąd elektryczny. W paśmie całkowicie zapełnionym każdemu elektronowi o wektorze falowym k towarzyszy elektron z -k i odpowiednie przyczynki do prądu znoszą się.
Jeśli zabierzemy jeden elektron, to wytworzymy dziurę, ale prąd będzie wówczas
różny od zera:
( ) 0
N i i
J e V
Taki sam prąd wytworzymy jeśli do całkowicie zapełnionego pasma wprowadzimy dziurę o nieznanym ładunku qhi nieznanej prędkości vh
0
( )
i h h h hi
J e q q
V V V
0
( ) i ( ) e e
i
J e e e
V V VPojęcie i właściwości dziury
0
( )
i( )
e ei
J e e e
V V V
0
( )
i h h h hi
J e q q
V V V
q
h e v = v
h ePrzyspieszenie brakującego elektronu i dziury są takie same:
* *
e h
e h
eE eE
a a
m m
* *
h e
m m
Masa efektywna
2 2
2
d E
dk m
2 2 2
2 2
p k
E m m dE
2k dk m
2 1 2
2
m d E
dk
2 1 2
*
2 em d E
dk
h
-
eE E m
h* m
e*k
h= - k
eh
ev v
𝒑 = 𝒎
∗𝒗 = ħ𝒌
Dla elektronu w sieci krystalicznej:
Dla elektronu swobodnego:
Dla dziury w sieci krystalicznej (w pasmie walencyjnym):
Ponieważ
Relacja E(k) decyduje o masie efektywnej!
• Masa efektywna elektronów w punkcie w GaAs w pasmie
przewodnictwa jest mała (duża krzywizna, pochodna duża i me* mała) w porównaniu do masy efektywnej dziur w punkcie (mała
krzywizna, pochodna mała i mh* duża)
• Elektrony przy wierzchołku pasma
walencyjnego mają masę efektywną ujemną.
Dziury – dodatnią.
2 2
dk E d
2 2
dk E d
2 1 2
*
2 em d E
dk
Prawdziwe (m
e, m
h) i efektywne masy (m
e*, m
h*)
- masy efektywne są różne dla różnych półprzewodników - prawdziwe – równe masie elektronu swobodnego
- dlaczego ?
dp/dt =d(mv)/dt = F : II zasada dynamiki Newtona ! F = Fwewn + Fzewn
Fzewn = siła zewnętrzna
Fwewn = siła wynikająca z istnienia potencjału periodycznego; to
oddziaływanie prowadzi do zależności E(k), z której z kolei wynika masa efektywna, me*.
dp/dt =d(m
e*v)/dt = F
zewnZatem elektron zachowuje się w polu siły zewnętrznej, tak jakby
miał nową masę, m
e*.
Półprzewodnik w polu elektrycznym
( ) ( ) ( )
( )
p
p
F dE
dx
e x e dV
dx x dV
dx
x const c V cx
E cex
+ -