7. Badanie przebiegu zmienności funkcji.
Zadanie 1. Znaleźć asymptoty następujących funkcji:
a)
1) 5
( 3
= − x x x
f b)
2 ) 4
(
22
− +
= −
x x x x
f c)
) 4
(
23
−
= − x
x x x
f d)
9 ) 3
( 2 −
= − x x x
f e)
x x x
f −
= − 2 ) 4
( f)
1 ) 5
( 2
= − x x x f
g) x
x x
f sin
)
( = h)
x x x
f
1
2)
( = + i) 2 ln
2)
( x
x x
f =
j)
f(x)=x2e−x k) f(x)= x2 +1+3x l) f(x)= x2 +2x −x Zadanie 2. Wyznaczyć
przedziały monotonicznoś
ci i ekstrema lokalne funkcji:a) f(x)=x2 +3x−20 b) f(x)=x3 −3x2 +4 c) f(x)=x4 +4x−2
d) 2
4 ) 2
(
3
− +
= − x
x x x
f e)
) 4
( 2
3
= − x x x
f f) 2
2
) 1 ) (
( = −
x x x f
g) x x
x x
f 1
)
( = − h) ln2
)
( x
x x
f = i)
x x x
f( )=ln
j) f(x)=x2e−x2 k) f(x)=x − x l) f(x)=(x2 −3)e−x Zadanie 3. Wyznaczy
ć
punkty przegię
cia, przedziały wypukłoś
ci oraz przedziały wklę
słoś
ci funkcji:a) f(x)=x3 −3x2 +4 b) f(x)=x4 +4x−2 c) f(x)=xe−x d) ( ) 2 12
3
= + x x x
f e)
4 ) 1
( 2
= − x x
f f)
x x x
f ln
)
( =
g) f(x)=(x2 −3)e−x h) f(x)=ln(1+ x2) i) f(x)=2x2 +lnx Zadanie 4. Zbada
ć
przebieg zmiennoś
ci i sporzą
dzić
wykres funkcji:a) f(x)=x3 −3x2 +4 b) f(x)=x4 +4x−2 c) f(x)=(x −1)2(x −2) d) ( ) 2 4
3
= − x x x
f e) 2
) 1
( x
x x
f = − f) 3 2
)
( x
x x
f = −
g) f(x)=2x2 +lnx h) f(x)=(x2 −3)e−x i) ln2 )
( x
x x
f =
Zadanie 5. Znale
źć
najwię
kszą
i najmniejszą
wartość
funkcjif
na wskazanym przedziale:a)
f
(x
)=x
3 −3x
2 +4,[− 2 , 3 ]
b)f ( x ) = 2 x − x , [ 0 , 6 ]
c) f ( x ) = x
5− x
3+ 2 x − 10 , [− 1 , 2 ] d) f ( x ) = 2 sin x + sin 2 x , [ 0 ,
23π ]
e) f ( x ) = ( x
2− 3 )e
−x, [ − 2 , 0 ] f) f ( x ) = x
4− 2 x
3− 2 x
2+ 6 x , [ − 1 , 2 ]
Zadanie 6. O funkcji f :R\{ −2}→ R wiadomo, że 0
) 1 ( ) 3
( − = f =
f , f ( − 5 ) = f ( 2 ) = 3 , f ( 0 ) = − 2
+∞−∞ =
→ ( ) lim f x
x , −
= −∞
−
→
( )
lim
2
x f
x
, lim ( ) 0
2+
=
−
→
f x
x
, = +∞
+∞
→
( )
lim f x
x
,
) 1
lim ( =
+∞
→
x
x f
x
, lim [ ( ) − ] = 2
+∞
→
f x x
x
= −∞
−∞
→
x
x f
x
)
lim ( ,
) , 0 ( 0
)
( > ⇔ ∈ ∞
′ x x
f oraz f′(x)=0⇔ x=0
) 2 , 2 ( ) 5 , ( 0
)
( > ⇔ ∈ −∞ − ∪ −
′′ x x
f oraz f ′′(x)=0⇔ x=−5∨x =2
Narysowa
