Matematyka Dyskretna
Zestaw zada´n nr 10.
1. Pokaza´c, ˙ze dla dowolnego grafu G = (V, E) zachodzi
χe(G) ≥ |E|
h1 2|V |i,
gdzie [x] oznacz cze,´s´c caÃlkowita, liczby [x].
2. Niech G be,dzie grafem, w kt´orym ka˙zdy wierzchoÃlek z wyja,tkiem jed- nego ma stopie´n d. Pokaza´c, ˙ze je˙zeli mo˙zna pokolorowa´c krawe,dzie grafu G za pomoca, d kolor´ow, to
(a) G ma nieparzysta, liczbe, wierzchoÃlk´ow, (b) G ma wierzchoÃlek stopnia zero.
3. Niech G be,dzie grafem sp´ojnym, w kt´orym ka˙zdy wierzchoÃlek ma stopie´n d. ZaÃl´o˙zmy ponadto, ˙ze G ma wierzchoÃlek, kt´orego usunie,cie rozsp´ojnia G. Pokaza´c, ˙ze χe(G) = d + 1.
4. Niech G be,dzie grafem hamiltonowskim, w kt´orym ka˙zdy wierzchoÃlek ma stopie´n 3. Pokaza´c, ˙ze χe(G) = 3
5. Pokaz´c, ˙ze graf G = (V, E) jest dwudzielny wtedy i tylko wtedy, gdy χ(G) ≤ 2.
6. Wyznaczy´c tabelke,dziaÃlania ciaÃl GF (4), Z5. Na tej podstawie wyznaczy´c 3 wzjemnie ortogonalnych kwadrat´ow Ãlaci´nskich 4 × 4, 4 wzajemnie or- togonalne kwadraty Ãlaci´nskie 5 × 5.
7. Wyznaczy´c χe(G) i χ(G) dla poni˙zszych graf´ow: