Obliczy¢ pola obszarów mi¦dzy krzywymi: a) y = cos x, y = 2x + 3, x = 0, x = 2π b) y = x13, x = 2, x = 4, y = x1

Analiza - zestaw 12

Caªki - zastosowania ekonomiczne i geometryczne.

Nale»y zapozna¢ si¦ z zagadnieniami z wykªadu: caªki, pola gur, caªki niewªa±ciwe.

Zadanie 1. Obliczy¢ pola obszarów mi¦dzy krzywymi:

a) y = cos x, y = 2x + 3, x = 0, x = 2π b) y = _x¹³, x = 2, x = 4, y = _x¹;

c) y =√³

x, y = 8, x = 1;

d) y = 4x³+ 2x + 1, y = 0, x = 1, x = 4;

e) y = −³_x, y = arctg x, x = 1, x =√ 3; f) y = _x¹2, y = 4, x = 3;

g) y = e^x, y = x + 1, x = −3, x = 2;

h) y = x sin x, y = −x√

1 + x², x = ^π₄.

Zadanie 2. Obliczy¢ pola obszarów mi¦dzy krzywymi:

a) y = ln x, y = 1; x = e³; b) y =√

x, y = x⁵;

c) y = x + 1, y = 2^−x, y = 8;

d) y = 9 − x², y = 6x + 18, y = 9;

e) y = ln x, y = e⁻²x + 1, x = 1;

f) y² = 2x + 1, x − y − 1 = 0;

g) y = −x²+ 4x − 3, y = 4x − 3, y = −2x + 6;

h) x²+ 8y = 16, x²− 24y = 48; i) y = _1+x¹ 2, y = ^x₂²;

j) y = x²− x − 6, y = −x²+ 5x + 14; k) xy = 6, x + y − 7 = 0;

l) y = arctg x, y = x − 1 + ^π₄, y = (π − 3)x;

m) y = x², y = ¹₂x², y = 3x;

n) y = 2^x, y = 4^−x, y = 16;

o) y =√³

x, y = ¹₇(x + 6); p) y = 9√

x, y = _x⁹2, y = ¹₃x; (wybrany z dwóch obszarów)

q) xy = 6, 4x − y = 23, y − x = 1; (obszar zawarty w I ¢wiartce ukªadu wspóªrz¦dnych) r) y =√

x, 2x − y = 1 i x + 3y = 18.

Zadanie 3. Wyznaczy¢ warto±¢ ±redni¡ podanych funkcji w podanych przedziaªach:

a) f(x) = ^ln_x^2x w [1, e²] b) g(x) = 3^1−3x w [0, 1], c) h(x) = x2^−x w [0, 2], d) l(x) = x²sin xw [0, π].

Zadanie 4. Wydajno±¢ pracy robotnika w pewnej fabryce jest funkcj¡ czasu f (t) = 3 + 8t − t²−√

t w przedziale [0, 8]. Poda¢ ±redni¡ godzinow¡ wydajno±¢ pracy robotnika w ci¡gu pierwszych 4 godzin pracy.

Zadanie 5. Je»eli wiadomo, »e kapitaª 2500 zª jest kapitalizowany w sposób ci¡gªy z roczn¡ stop¡ procentow¡ 6%, znale¹¢ ±redni¡ roczn¡ warto±¢ tego kapitaªu w ci¡gu pierwszych 3 lat (wzór na ilo±¢ pieni¦dzy na koncie w momencie t lat, przy rocznej stopie procentowej r : K(t) = e^tr).

Zadanie 6. Warto±¢ akcji rmy X w pierwszych t latach po wej±ciu na gieªd¦ mo»na okre±li¢ funkcj¡ V (t) = (t²− t)p0, 6t³− 0, 9t²+ 2 + 50. Jaka byªa ±rednia roczna warto±¢

rmy w ci¡gu pierwszych 3 lat od wej±cia na gieªd¦?

1

2

Zadanie 7. Za pomoc¡ metody trapezów dla podanego numeru przybli»enia n obliczy¢

przybli»on¡ warto±¢ poni»szych caªek oraz oszacowa¢ bª¡d tego przybli»enia:

a) R₋₂⁴ 3x − 1 dx, n = 3, b) R_−π⁰ cos x dx, n = 6, c) R₁³ _3x+2² dx, n = 6, d) R₀¹ _10x+1³ dx, n = 5, e) R₋₆⁴ 2^−x+1 dx, n = 5, f) R₋₁² _x^x+12−5 dx, n = 6.

Zadanie 8. Za pomoc¡ metody trapezów dla podanego numeru przybli»enia n obliczy¢

przybli»on¡ warto±¢:

a) ln 7, n = 6

b) arctg(−4), n = 8 c) arcsin⁵₈, n = 5.

Zadanie 9. Obliczy¢ caªki:

a) R₁^{+∞ dx}_x4; b) R₃^+∞_4x−3^dx ;c) R₁^+∞e_x^1x2dx; d) R^ππ

2

ctg xdx;

e) R₁^+∞ _{x ln}^dx3_x;f) R₋₁¹ _x2^x−1dx; g) R₀^+∞xe^−x2dx; h) R₀^{1 √}_2−2x¹ 2dx;

i) R₀^π4 _cos^dx22xdx; j) R₁^e _x^√dx_{ln x}; k) R₀¹x ln xdx;l) R_−∞^+∞arctg_x2+1^2xdx.

Zadanie 10. Obliczy¢ pola obszarów ograniczonych wykresem funkcji y = f(x) i jej asymptot¡:

a) f(x) = _x¹6, x ≥ 2;

b) f(x) = ^√3x+2√_x^√x3, x ≥ 1;

c) f(x) = xe^−3x2+1, x ≤ 2;

d) f(x) = ^3x2_x+1^+x−1, x ≥ 0.

e) f(x) = tg x, x ∈ [0,^π₂), y ≥ 0;

f) f(x) = _x^2x₋₁, x ∈ (−1, 0], y ≤ 0.

Zadanie 11. Obliczy¢ warto±¢ nadwy»ki konsumentów, je±li funkcja popytu od ceny wyra»a si¦ wzorem Q(p) = 5e^1−2x, a w warunkach konkurencji cena ustala si¦ na poziomie p = 3.

Zadanie 12. Na podstawie twierdze« z wykªadu, obliczy¢ caªki a) R₀^+∞e^−x22 dx;

b) R₋₁¹ sin xdx;

c) R_−∞^+∞arctg xdx;

d) R₋₄⁴ sin(arctg(x³− x))dx.

Dobrej zabawy!

Grzesiek Kosiorowski