1. Granice funkcji - wstępne deﬁnicje i obliczanie prostych granic

(1)

1. Granice funkcji - wstępne definicje i obliczanie prostych granic

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

(2)

1 Motywacja

2 Formalne definicje

3 Granice(w tym jednostronne) funkcji elementarnych

4 Działania na rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych

(3)

Granice - motywacja

Celem tej części wykładu jest uściślenie, co rozumiemy przez

stwierdzenie, że jakaś zmienna ekonomiczna zachowuje się w pewien sposób „w przybliżeniu” bądź „w granicy”.

(4)

Granice - motywacja - przykład 1

Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji

Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne są proporcjonalne do wielkości produkcji q przy współczynniku proporcjonalności v , czyli C (q) = vq + k. Ile wynosi koszt średni AC (q) = ^{C (q)}_q wyprodukowania jednostki towaru przy bardzo dużej skali produkcji?

Dla przykładu wybierzmy sobie k = 1, v = 2. Wtedy AC (q) = ^2q+1_q . Co oznacza analiza kosztu średniego „przy dużej skali produkcji”? Policzmy wartości funkcji AC w kilku punktach:

q 1 10 100 1000 1000000

AC (q) 3 2,1 2,01 2,001 2,000001

(5)

Granice - motywacja - przykład 1

Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji

Dla przykładu wybierzmy sobie k = 1, v = 2. Wtedy AC (q) = ^2q+1_q .

Co oznacza analiza kosztu średniego „przy dużej skali produkcji”? Policzmy wartości funkcji AC w kilku punktach:

q 1 10 100 1000 1000000

AC (q) 3 2,1 2,01 2,001 2,000001

(6)

Granice - motywacja - przykład 1

Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji

Dla przykładu wybierzmy sobie k = 1, v = 2. Wtedy AC (q) = ^2q+1_q . Co oznacza analiza kosztu średniego „przy dużej skali produkcji”?

Policzmy wartości funkcji AC w kilku punktach:

q 1 10 100 1000 1000000

AC (q) 3 2,1 2,01 2,001 2,000001

(7)

Granice - motywacja - przykład 1

Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji

Dla przykładu wybierzmy sobie k = 1, v = 2. Wtedy AC (q) = ^2q+1_q . Co oznacza analiza kosztu średniego „przy dużej skali produkcji”?

Policzmy wartości funkcji AC w kilku punktach:

q 1 10 100 1000 1000000

AC (q) 3 2,1 2,01 2,001 2,000001

(8)

Granice - motywacja - przykład 1

Na podstawie tych wyliczeń i wykresu, możemy stwierdzić, że:

Dla dużych q, AC jest w przybliżeniu równy 2... ...aczkolwiek nigdy nie jest dokładnie równy 2...

... jednak błąd przybliżenia AC przez 2 robi się coraz mniejszy, gdy q rośnie.

(9)

Granice - motywacja - przykład 1

Dla dużych q, AC jest w przybliżeniu równy 2...

...aczkolwiek nigdy nie jest dokładnie równy 2...

(10)

Granice - motywacja - przykład 1

(11)

Granice - motywacja - przykład 1

... jednak błąd przybliżenia AC przez 2 robi się coraz mniejszy,

(12)

Granice - motywacja - przykład 1

W takich okolicznościach tj. gdy zbliżając się do jakiegoś

„argumentu” (w tym przypadku ∞), wartości funkcji zbliżają się do jakiejś ustalonej „wartości” (w tym przypadku 2) możemy powiedzieć, że ta wartość jest granicą funkcji w danym argumencie.

Zapisujemy:

q→∞lim AC (q) = 2.

Oznaczenie lim to skrót od łacińskiego słowa limes (granica).

(13)

Granice - motywacja - przykład 1

W takich okolicznościach tj. gdy zbliżając się do jakiegoś

„argumentu” (w tym przypadku ∞), wartości funkcji zbliżają się do jakiejś ustalonej „wartości” (w tym przypadku 2) możemy powiedzieć, że ta wartość jest granicą funkcji w danym argumencie. Zapisujemy:

q→∞lim AC (q) = 2.

Oznaczenie lim to skrót od łacińskiego słowa limes (granica).

(14)

Granice - motywacja - przykład 1

Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji

Analogicznie rozumując, dochodzimy do wniosku, że:

q→∞lim AC (q) = v ,

a zatem, koszt średni wyprodukowania jednostki towaru przy dużej skali produkcji jest równy (w przybliżeniu) współczynnikowi

proporcjonalności i praktycznie nie zależy od kosztów stałych.

(15)

Granice - motywacja - przykład 1

Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji

Analogicznie rozumując, dochodzimy do wniosku, że:

q→∞lim AC (q) = v ,

a zatem, koszt średni wyprodukowania jednostki towaru przy dużej skali produkcji jest równy (w przybliżeniu) współczynnikowi

proporcjonalności i praktycznie nie zależy od kosztów stałych.

(16)

Granice - motywacja - przykład 2

Rozważmy teraz przykład nieco bardziej skomplikowany. Powiedzmy, że koszty zmienne nie są proporcjonalne do wielkości produkcji, ale rosną coraz szybciej.

Najprościej można to zamodelować funkcją liniową v (q) = Aq + B.

Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji

Niech k oznacza koszty stałe wyprodukowania pewnej ilości towaru, a koszty zmienne w zależności od wielkości produkcji q wynoszą qv (q), gdzie v (q) = Aq + B, więc C (q) = (Aq + B)q + k. Jak zmienia się koszt średni AC (q) = ^{C (q)}_q wyprodukowania jednostki towaru przy bardzo dużej skali produkcji?

(17)

Granice - motywacja - przykład 2

Rozważmy teraz przykład nieco bardziej skomplikowany. Powiedzmy, że koszty zmienne nie są proporcjonalne do wielkości produkcji, ale rosną coraz szybciej. Najprościej można to zamodelować funkcją liniową v (q) = Aq + B.

Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji

(18)

Granice - motywacja - przykład 2

Rozważmy teraz przykład nieco bardziej skomplikowany. Powiedzmy, że koszty zmienne nie są proporcjonalne do wielkości produkcji, ale rosną coraz szybciej. Najprościej można to zamodelować funkcją liniową v (q) = Aq + B.

Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji

(19)

Granice - motywacja - przykład 2

Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji

Wiemy, że:

AC (q) = C (q)

q = Aq + B + k

q = v (q) + k q.

Jako, że q jest bardzo duże, otrzymamy, że ^k_q jest pomijalnie małe, czyli A(q) ≈ v (q) - jak w poprzednim przykładzie.

(20)

Granice - motywacja - przykład 2

Przykład - Koszt średni przy dużej skali produkcji

Wiemy, że:

AC (q) = C (q)

q = Aq + B + k

q = v (q) + k q.

Jako, że q jest bardzo duże, otrzymamy, że ^k_q jest pomijalnie małe, czyli A(q) ≈ v (q) - jak w poprzednim przykładzie.

(21)

Granice - motywacja - przykład 2

W tym przykładzie AC nie dąży do żadnej liczby, a upodabnia się do pewnej prostej (w takiej sytuacji zwanej asymptotą - ale to pojęcie dokładniej omówimy w przyszłości). Koszt średni zmienia się w przybliżeniu „liniowo”.

(22)

Granice - motywacja - przykład 2

W tym przykładzie AC nie dąży do żadnej liczby, a upodabnia się do pewnej prostej (w takiej sytuacji zwanej asymptotą - ale to pojęcie dokładniej omówimy w przyszłości). Koszt średni zmienia się w przybliżeniu „liniowo”.

(23)

Granice - motywacja - przykład 3

Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji)

Rozważmy produkcję z funkcją kosztu C (q) = ₁₀¹q²+ 3q + 500 dla wielkości produkcji q. Obecna wielkość produkcji wynosi q₀ = 100, a cena rynkowa P = 20. Czy opłacalne jest zwiększenie produkcji (przy założeniu, że znajdzie ona zbyt po tej samej cenie)?

Dotąd C (100) = 1800, więc AC = 18 < 20 = P - czyli średni koszt produkcji jest jak na razie mniejszy od ceny, więc produkcja jest opłacalna i byłaby opłacalna również po niewielkim zwiększeniu. Jednak pytanie jest nie o opłacalność całej produkcji, ale o

opłacalność jej zwiększenia, więc musimy obliczyć średni koszt nie całej produkcji, a tylko produkcji nadwyżkowej ponad q₀ = 100, którą oznaczymy przez h.

(24)

Granice - motywacja - przykład 3

Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji)

Dotąd C (100) = 1800, więc AC = 18 < 20 = P - czyli średni koszt produkcji jest jak na razie mniejszy od ceny, więc produkcja jest opłacalna i byłaby opłacalna również po niewielkim zwiększeniu.

Jednak pytanie jest nie o opłacalność całej produkcji, ale o

(25)

Granice - motywacja - przykład 3

Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji)

Dotąd C (100) = 1800, więc AC = 18 < 20 = P - czyli średni koszt produkcji jest jak na razie mniejszy od ceny, więc produkcja jest opłacalna i byłaby opłacalna również po niewielkim zwiększeniu.

Jednak pytanie jest nie o opłacalność całej produkcji, ale o

(26)

Granice - motywacja - przykład 3

Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji)

Jeśli przez A(h) oznaczamy średni koszt dodatkowej produkcji, to otrzymamy:

A(h) = C (100 + h) − C (100)

h =

= 1

h(1000 + 20h + h²

10+ 300 + 3h + 500 − 1800).

(27)

Granice - motywacja - przykład 3

Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji)

A(h) = C (100 + h) − C (100)

h =

= 1

h(1000 + 20h + h²

10+ 300 + 3h + 500 − 1800).

(28)

Granice - motywacja - przykład 3

Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji)

A(h) = C (100 + h) − C (100)

h =

= 1

h(1000 + 20h + h²

10+ 300 + 3h + 500 − 1800).

(29)

Granice - motywacja - przykład 3

Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji)

A(h) = C (100 + h) − C (100)

h =

= 1

(1000 + 20h + h²

+ 300 + 3h + 500 − 1800).

(30)

Granice - motywacja - przykład 3

Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji)

Po skróceniu, zostanie nam:

A(h) = 23 + h 10.

Stąd widać, że średni koszt produkcji każdej kolejnej jednostki towaru (tzw. koszt krańcowy) przekraczałby jej cenę, więc nie opłaca się zwiększać produkcji, nawet o niewiele.

(31)

Granice - motywacja - przykład 3

Przykład - Koszt krańcowy (rentowność produkcji)

Po skróceniu, zostanie nam:

A(h) = 23 + h 10.

Stąd widać, że średni koszt produkcji każdej kolejnej jednostki towaru (tzw. koszt krańcowy) przekraczałby jej cenę, więc nie opłaca się zwiększać produkcji, nawet o niewiele.

(32)

Koszt krańcowy

A(h) = 23 + h 10.

Jaka jest wartość kosztu krańcowego dla małych h?

h 1 0,1 0,01 0,000001

A(h) 23,1 23,01 23,001 23,0000001

Zatem, analogicznie jak poprzednio, możemy powiedzieć, że

„graniczna wartość” kosztu średniego dodatkowej produkcji wynosi 23, czyli:

h→0limA(h) = lim

h→0

C (100 + h) − C (100)

h = 23.

(33)

Koszt krańcowy

A(h) = 23 + h 10.

h 1 0,1 0,01 0,000001

A(h) 23,1 23,01 23,001 23,0000001

h→0

C (100 + h) − C (100)

h = 23.

(34)

Koszt krańcowy

A(h) = 23 + h 10.

h 1 0,1 0,01 0,000001

A(h) 23,1 23,01 23,001 23,0000001

h→0

C (100 + h) − C (100)

h = 23.

(35)

Koszt krańcowy

A(h) = 23 + h 10.

h 1 0,1 0,01 0,000001

A(h) 23,1 23,01 23,001 23,0000001

h→0

C (100 + h) − C (100)

h = 23.

(36)

Granica w punkcie - definicja

Rozważamy funkcje, których dziedziną i przeciwdziedziną jest pewien podzbiór R (dla innych funkcji definicje są bardzo podobne, jednak w ramach tego kursu praktycznie nie będziemy się nimi zajmować w kontekście liczenia granic).

Granica

Granicą funkcji f w punkcie x0 ∈ R nazywamy liczbę g taką, że

∀_>0∃_δ>0∀_{x ∈(x}₀_−δ,x₀_+δ)|f (x) − g | < . Oznaczamy ją przez lim

x →x0

f (x ). Potocznie mówimy, że w punkcie x₀ funkcja f dąży do g .

(37)

Granica w punkcie - definicja

Rozważamy funkcje, których dziedziną i przeciwdziedziną jest pewien podzbiór R (dla innych funkcji definicje są bardzo podobne, jednak w ramach tego kursu praktycznie nie będziemy się nimi zajmować w kontekście liczenia granic).

Granica

Granicą funkcji f w punkcie x₀ ∈ R nazywamy liczbę g taką, że

∀_>0∃_δ>0∀_{x ∈(x}₀_−δ,x₀_+δ)|f (x) − g | < . Oznaczamy ją przez lim

x →x0

f (x ).

Potocznie mówimy, że w punkcie x0 funkcja f dąży do g .

(38)

Granica w punkcie - definicja

Granica w punkcie

Granicą funkcji f w punkcie x₀ ∈ R nazywamy liczbę g taką, że

∀_>0∃_δ>0∀_{x ∈(x}₀−δ,x₀+δ)|f (x) − g | < . Oznaczamy ją przez lim

x →x0

f (x ).

Potocznie mówimy, że w punkcie x₀ funkcja f dąży do g . Idea tej definicji jest następująca: jeśli weźmiemy jakiś punkt x

„bardzo blisko” punktu x₀ to wartość f (x ) nie będzie daleko od g . Graficznie możemy zinterpretować, że „w pobliżu” x₀ wykres funkcji musi się zawierać w pewnym poziomym pasie otaczającym prostą y = g .

(39)

Granica w punkcie - definicja

Granicą funkcji o widocznym wykresie w x jest g .

Powiększony niebieski prostokąt z lewego rysunku.

(40)

Nieskończona granica w punkcie - definicja

Nieskończona granica w punkcie

Granicą funkcji f w punkcie x₀ ∈ R jest +∞, jeśli

∀M∃δ>0∀x ∈(x0−δ,x0+δ)f (x ) > M . Potocznie mówimy, że w x0 funkcja f dąży do +∞ i zapisujemy lim

x →x0

f (x ) = +∞.

Nieskończona granica w punkcie

Granicą funkcji f w punkcie x₀ ∈ R jest −∞, jeśli

∀_M∃_δ>0∀_{x ∈(x}₀−δ,x₀+δ)f (x ) < M . Potocznie mówimy, że w x₀ funkcja f dąży do −∞ i zapisujemy lim

x →x0

f (x ) = −∞.

Jak widać, definicje te są prawie analogiczne, dlatego rysunki będą tylko dla przypadku +∞.

(41)

Nieskończona granica w punkcie - definicja

Granicą funkcji o widocznym

wykresie w x jest +∞. Powiększony niebieski

(42)

Granica - idea

Idea definicji granic nieskończonych (bądź w nieskończoności) jest podobna do skończonych (w punktach z R) z wyjątkiem tego, że

„pobliże” nieskończoności nie jest małym przedziałem ograniczonym, lecz przedziałem nieograniczonym, zaczynającym się od jakiejś (dużej) wartości.

Jeśli granicą ma być nieskończoność, wykres w „pobliżu” danego argumentu (lub nieskończoności) musi znajdować się „powyżej” pewnej prostej poziomej („poniżej”, w wypadku minus

nieskończoności).

Jeśli granicę liczymy w nieskończoności, wykres badamy „na prawo” pewnej prostej pionowej („na lewo”, w wypadku minus

nieskończoności).

(43)

Granica - idea

Jeśli granicą ma być nieskończoność, wykres w „pobliżu” danego argumentu (lub nieskończoności) musi znajdować się „powyżej”

pewnej prostej poziomej („poniżej”, w wypadku minus nieskończoności).

Jeśli granicę liczymy w nieskończoności, wykres badamy „na prawo” pewnej prostej pionowej („na lewo”, w wypadku minus

nieskończoności).

(44)

Granica - idea

Jeśli granicą ma być nieskończoność, wykres w „pobliżu” danego argumentu (lub nieskończoności) musi znajdować się „powyżej”

pewnej prostej poziomej („poniżej”, w wypadku minus nieskończoności).

Jeśli granicę liczymy w nieskończoności, wykres badamy „na prawo”

pewnej prostej pionowej („na lewo”, w wypadku minus nieskończoności).

(45)

Granica w nieskończoności - definicja

Granica w nieskończoności

Granicą funkcji f w +∞ nazywamy liczbę g taką, że

∀_>0∃_M∀_{x >M}|f (x) − g | < . Oznaczamy ją przez lim

x →∞f (x ).

Potocznie mówimy, że w nieskończoności funkcja f dąży do g .

Granica w nieskończoności

Granicą funkcji f w −∞ nazywamy liczbę g taką, że

∀_>0∃_M∀_{x <M}|f (x) − g | < . Oznaczamy ją przez lim

x →−∞f (x ).

Potocznie mówimy, że w minus nieskończoności funkcja f dąży do g . Jak widać, definicje te są prawie analogiczne, dlatego rysunki będą tylko dla przypadku +∞.

(46)

Granica w nieskończoności - definicja

Granicą funkcji o widocznym wykresie w +∞ jest g .

Powiększony niebieski prostokąt z lewego rysunku.

(47)

Nieskończona granica w nieskończoności - definicja

Zostały jeszcze cztery definicje nieskończonych granic w

nieskończoności. Jako, że są prawie takie same (różnią się tylko znakiem i kierunkiem nierówności) zapiszę w nawiasach, co się może zmienić, gdy +∞ zmienimy na −∞

Nieskończona granica w nieskończoności

Granicą funkcji f w punkcie (−)∞ jest (−)∞, jeśli

∀_M∃_m∀x >m(x <m)f (x ) > M(f (x ) < M) . Potocznie mówimy, że w (−)∞ funkcja f dąży do (−)∞ i zapisujemy

x →∞lim f (x ) = ±∞( lim

x →−∞f (x ) = ±∞).

Rysunek będzie tylko dla przypadku granicy +∞ w +∞.

(48)

Nieskończona granica w nieskończoności - definicja

Granicą funkcji o widocznym wykresie w +∞ jest +∞.

(49)

Otoczenie - uściślenie

Jako, że na matematycznych przedmiotach staramy się mówić ściśle, o co nam chodzi, doprecyzuję, co oznacza użycie zwrotu „w pobliżu”.

Ściśle, jest to zbiór, który matematycy nazywają otoczeniem.

Otoczenie

Dla x₀ ∈ R otoczeniem będziemy nazywać odcinek (x0− , x₀+ ) dla wybranego > 0. W rozszerzonym zbiorze liczb rzeczywistych

otoczeniem +∞ jest dowolny przedział otwarty nieograniczony z prawej strony (a, +∞), a otoczeniem −∞ jest dowolny przedział otwarty nieograniczony z lewej strony (−∞, a).

Analogicznie można definiować ideę otoczenia w Rⁿ, gdzie otoczeniem będzie kwadrat, sześcian itp. wokół danego punktu przestrzeni.

(50)

Otoczenie - uściślenie

Otoczenie

(51)

Otoczenie - uściślenie

Otoczenie

(52)

Otoczenie - uściślenie

Otoczenie

(53)

Zunifikowana definicja otoczeniowa

Dzięki definicji otoczenia, można wszystkie definicje granicy zawrzeć w jednej:

Granica - definicja otoczeniowa

Granicą funkcji f w x₀ ∈ R jest g ∈ R, jeśli dla dowolnego U - otoczenia g istnieje V - otoczenie x₀ takie że ∀_{x ∈V}f (x ) ∈ U.

(54)

Zunifikowana definicja otoczeniowa

Dzięki definicji otoczenia, można wszystkie definicje granicy zawrzeć w jednej:

Granica - definicja otoczeniowa

Granicą funkcji f w x₀ ∈ R jest g ∈ R, jeśli dla dowolnego U - otoczenia g istnieje V - otoczenie x₀ takie że ∀_{x ∈V}f (x ) ∈ U.

(55)

Granica jest jak matka

Jednoznaczność granicy

Granica (jeśli istnieje) może być tylko jedna tj. jeśli g₁ = lim

x →x0

f (x ) i g₂ = lim

x →x0

f (x ) (x₀, g₁, g₂ ∈ R), to g1 = g₂.

Zauważmy, że granica może nie istnieć (co za chwilę zbadamy na przykładzie)!

Teraz, kiedy już mamy intuicję, co oznacza granica, spróbujemy wykorzystać definicje do jej obliczania.

(56)

Granica jest jak matka

Jednoznaczność granicy

x →x0

f (x ) i g₂ = lim

x →x0

f (x ) (x₀, g₁, g₂ ∈ R), to g1 = g₂.

(57)

Granica jest jak matka

Jednoznaczność granicy

x →x0

f (x ) i g₂ = lim

x →x0

f (x ) (x₀, g₁, g₂ ∈ R), to g1 = g₂.

(58)

Obliczanie granic z definicji - przykład 1

Ile wynosi lim

x →22x + 1?

Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 · 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5.

Zadanie

Udowodnić z definicji, że lim

x →22x + 1 = 5.

Niech f (x ) = 2x + 1. Z definicji, musimy wykazać, że

∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .

Zatem, ustalamy dowolne > 0. Chcemy, żeby |f (x ) − 5| < , czyli

|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .

Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 − ₂, 2 + ₂). Zatem wystarczy wybrać δ = ₂, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy

, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od (i zazwyczaj zależy). Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze.

(59)

Obliczanie granic z definicji - przykład 1

Ile wynosi lim

x →22x + 1? Jako, że granica jest tylko jedna, a 2 · 2 + 1 = 5, jedyną kandydatką na granicę jest g = 5.

Zadanie

x →22x + 1 = 5.

∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .

|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .

(60)

Obliczanie granic z definicji - przykład 1

Ile wynosi lim

Zadanie

x →22x + 1 = 5.

∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .

|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .

(61)

Obliczanie granic z definicji - przykład 1

Ile wynosi lim

Zadanie

x →22x + 1 = 5.

∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .

|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .

(62)

Obliczanie granic z definicji - przykład 1

Ile wynosi lim

Zadanie

x →22x + 1 = 5.

∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .

Zatem, ustalamy dowolne > 0.

Chcemy, żeby |f (x ) − 5| < , czyli

|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .

(63)

Obliczanie granic z definicji - przykład 1

Ile wynosi lim

Zadanie

x →22x + 1 = 5.

∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .

Zatem, ustalamy dowolne > 0. Chcemy, żeby |f (x ) − 5| < ,

czyli

|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .

(64)

Obliczanie granic z definicji - przykład 1

Ile wynosi lim

Zadanie

x →22x + 1 = 5.

∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .

|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .

(65)

Obliczanie granic z definicji - przykład 1

Ile wynosi lim

Zadanie

x →22x + 1 = 5.

∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .

|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .

Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 −₂, 2 + ₂).

Zatem wystarczy wybrać δ = ₂, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy

(66)

Obliczanie granic z definicji - przykład 1

Ile wynosi lim

Zadanie

x →22x + 1 = 5.

∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .

|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .

Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 −₂, 2 + ₂). Zatem wystarczy wybrać δ = ₂, by warunek z definicji został spełniony.

Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy

(67)

Obliczanie granic z definicji - przykład 1

Ile wynosi lim

Zadanie

x →22x + 1 = 5.

∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .

|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .

Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 −₂, 2 + ₂). Zatem wystarczy wybrać δ = ₂, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy

, a potem mamy wyznaczyć δ, dlatego δ może zależeć od (i zazwyczaj zależy).

Niemniej, nie jest to najefektywniejszy sposób liczenia granic - wkrótce poznamy lepsze.

(68)

Obliczanie granic z definicji - przykład 1

Ile wynosi lim

Zadanie

x →22x + 1 = 5.

∀>0∃δ>0∀x ∈(2−δ,2+δ)|f (x) − 5| < .

|2x + 1 − 5| < , czyli |2x − 4| < .

Rozwiązując tą nierówność, otrzymujemy, że jest ona spełniona dla x ∈ (2 −₂, 2 + ₂). Zatem wystarczy wybrać δ = ₂, by warunek z definicji został spełniony. Zauważmy, że w definicji najpierw ustalamy

(69)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Definicja natomiast może się przydać do wykazania, że jakaś granica nie istnieje.

Zadanie

x →∞sin x nie istnieje.

Wskazówką jest to, że wszystkie liczby z przedziału [−1, 1] mają

„równe szanse” na bycie tą granicą, a jak wiemy, granica jest tylko jedna. Ale jak tego dowieść?

(70)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Zadanie

(71)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Zadanie

(72)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Zadanie

(73)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Zadanie

Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą. Gdyby tak było, to:

∀_>0∃_M∀_{x >M}| sin x − 1| < .

Skoro chcemy udowodnić, że to nieprawda, udowodnimy zaprzeczenie tego zdania, czyli:

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − 1| .

(74)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Zadanie

Najpierw udowodnimy, że 1 nie jest tą granicą.

Gdyby tak było, to:

∀_>0∃_M∀_{x >M}| sin x − 1| < .

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − 1| .

(75)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Zadanie

∀_>0∃_M∀_{x >M}| sin x − 1| < .

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − 1| .

(76)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Zadanie

∀_>0∃_M∀_{x >M}| sin x − 1| < .

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − 1| .

(77)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Zadanie

∀_>0∃_M∀_{x >M}| sin x − 1| < .

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − 1| .

(78)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Mamy dowieść:

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − 1| .

Zatem możemy wybrać = ¹₂.

M teraz niech będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = kπ > M. Oczywiście, sin x = sin kπ = 0, a zatem

| sin x − 1|  ¹₂ = .

Zatem 1 nie jest szukaną granicą.

(79)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Mamy dowieść:

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − 1| .

Zatem możemy wybrać = ¹₂. M teraz niech będzie dowolną liczbą.

Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = kπ > M. Oczywiście, sin x = sin kπ = 0, a zatem

| sin x − 1|  ¹₂ = .

(80)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Mamy dowieść:

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − 1| .

Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = kπ > M.

Oczywiście, sin x = sin kπ = 0, a zatem

| sin x − 1|  ¹₂ = .

(81)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Mamy dowieść:

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − 1| .

Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = kπ > M. Oczywiście, sin x = sin kπ = 0,

a zatem

| sin x − 1|  ¹₂ = .

(82)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Mamy dowieść:

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − 1| .

| sin x − 1|  ¹₂ = .

(83)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Mamy dowieść:

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − 1| .

| sin x − 1|  ¹₂ = .

(84)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Zadanie

Udowodnię teraz, że dla każdego a 6= 1, a nie jest tą granicą. Gdyby tak było:

∀_>0∃_M∀_{x >M}| sin x − a| < .

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − a| .

(85)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Zadanie

Udowodnię teraz, że dla każdego a 6= 1, a nie jest tą granicą.

Gdyby tak było:

∀_>0∃_M∀_{x >M}| sin x − a| < .

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − a| .

(86)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Zadanie

∀_>0∃_M∀_{x >M}| sin x − a| < .

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − a| .

(87)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Zadanie

∀_>0∃_M∀_{x >M}| sin x − a| < .

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − a| .

(88)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Zadanie

∀_>0∃_M∀_{x >M}| sin x − a| < .

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − a| .

(89)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Mamy dowieść:

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − a| .

Niech |1 − a| = b > 0. Możemy wybrać = ^b₂ > 0.

M teraz niech będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = (2k +¹₂)π > M. Oczywiście, sin x = sin(2k + ¹₂)π = sin¹₂π = 1, a zatem

| sin x − a| |1 − a| = b > ^b₂ = .

Zatem żadne a 6= 1 nie jest szukaną granicą. Skoro ani 1 nie jest granicą, ani żadna inna liczba nie jest granicą, to sin x nie ma granicy w nieskończoności (dla uzupełnienia dowodu, warto sprawdzić we własnym zakresie, że granicą nie jest +∞, ani −∞ - acz to jest bardzo proste do udowodnienia).

(90)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Mamy dowieść:

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − a| .

Niech |1 − a| = b > 0. Możemy wybrać = ^b₂ > 0. M teraz niech będzie dowolną liczbą.

Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = (2k +¹₂)π > M. Oczywiście, sin x = sin(2k + ¹₂)π = sin¹₂π = 1, a zatem

| sin x − a| |1 − a| = b > ^b₂ = .

(91)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Mamy dowieść:

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − a| .

Niech |1 − a| = b > 0. Możemy wybrać = ^b₂ > 0. M teraz niech będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = (2k +¹₂)π > M.

Oczywiście, sin x = sin(2k + ¹₂)π = sin¹₂π = 1, a zatem

| sin x − a| |1 − a| = b > ^b₂ = .

(92)

Obliczanie granic z definicji - przykład 2

Mamy dowieść:

∃_>0∀_M∃_{x >M}| sin x − a| .

Niech |1 − a| = b > 0. Możemy wybrać = ^b₂ > 0. M teraz niech będzie dowolną liczbą. Wybieram zatem dowolną liczbę całkowitą dodatnią k > |M| i ustalam x = (2k +¹₂)π > M. Oczywiście, sin x = sin(2k + ¹₂)π =

sin¹₂π = 1, a zatem

| sin x − a| |1 − a| = b > ^b₂ = .