Zadania Arkusz 3 Ciągi Liczbowe
Niech (an), n = 1, 2, . . . będzie ciągiem liczbowym. Jego ciąg sum częściowych (Sn), n= 1, 2, . . . dany jest wzorem:
Sn = a1 + a2+ . . . + an=!n
k=1
ak.
Dla ciągu arytmetycznego (an), n = 1, 2, . . . o różnicy r mamy:
an = a1+ (n − 1)r, Sn = a1+ an
2 · n.
Dla ciągu geometrycznego (an), n = 1, 2, . . . o ilorazie q ∕= 1 mamy:
an = a1 · qn−1, Sn = a1 ·1 − qn
1 − q . Ciągi arytmetyczne
1. Wyznaczyć ciągi arytmetyczne spełniające warunki:
i) a2 = 7, r = −1, 5;
ii) a3 = 11, a8 = 31; iii) a4 = 11, a10= 29; iv) a3 = 15, a7 = 31.
O d p o w i e d ź. i) an= 8, 5 − 1, 5(n − 1); ii) an = 3 + 4(n − 1);iii) an = 2 + 3(n − 1);
iv) an= 7 + 4(n − 1).
2. Niech (an), n = 1, 2, . . . bedzie ciągiem arytmetycznym i niech (Sn), n = 1, 2, . . . ciągiem jego sum częściowych.
i) Wiedząc, że a1 = 0, 8 i r = 15, wyznaczyć a50 i S50. ii) Wiedząc, że a1 = −3, r = 5 i an= 57, znaleźć n oraz Sn.
iii) Wiedząc, że a1 = 3, an = −15 i Sn = −222, wyznaczyć n oraz r.
iv) Wiedząc, że a21= 1 i S21= 0, wyznaczyć a1 oraz r.
O d p o w i e d ź. i) a50= 10, 6, S50= 285; ii) n = 13, Sn= S13= 351; iii) n = 37, r = 0, 5; iv) a1 = −1, r = 0, 1.
3. Ciąg arytmetyczny ma 10 wyrazów. Suma wyrazów o wskaźnikach parzystych jest równa 15, a suma wyrazów o wskaźnikach nieparzystych jest równa 252. Wyznaczyć ten ciąg.
O d p o w i e d ź. an = n/2.
Ciągi geometryczne
4. Wyznaczyć ciągi geometryczne spełniające warunki:
i) a1 = 25, q = 0;
ii) a1 = 1, a3 = 1;
iii) a3 = −4, a4 = 0, 25; iv) a2 = 9, 1, a3 = 2, 6.
O d p o w i e d ź. i) a1 = 25, an = 0, n > 1; ii) dwa ciągi spełniają ten warunek an = 1 oraz an = (−1)n−1; iii) dwa ciągi spełniają ten warunek an = −210−4(n−1) oraz an= (−1)n210−4(n−1); iv) an= 31, 85(2/7)n−1.
1
Zadania Arkusz 3 5. W ciągu geometrycznym a1 = 3 i a5 = 12. Wyznaczyć S5.
O d p o w i e d ź. S5 = 21 + 9√
2lub S5 = 21 − 9√ 2.
6. W ciągu geometrycznym a1 = 3, S7 = 381. Wyznaczyć q oraz a7.
O d p o w i e d ź. Zauważyć, że jedynym rozwiązaniem równania (1 − q7)/(1 − q) = 127 jest q = 2.
7. W ciągu geometrycznym a1 = 1, an = 81 oraz Sn= 121 + 40√
3. Wyznaczyć q i n.
O d p o w i e d ź. q =√
3, n = 9.
8. W ciągu geometrycznym a1+ a3+ a5 = 21 oraz a3− a1 = 3. Wyznaczyć ten ciąg.
O d p o w i e d ź. Cztery ciągi spełniają powyższe warunki: an = 2n−1, an = (−2)n−1, an= 3(√
2)n−1, an= 3(−√ 2)n−1. Oprocentowanie proste
9. Niech t i r oznaczają odpowiednio czas trwania lokaty i stopę procentową. Jeżeli czas trwania lokaty określony jest w miesiącach, to również stopa procentowa musi być stopą miesięczną. Wyraź obie wielkości t i r dla tych samych okresów czasu.
i) rroczna = 4%, t = 10 miesięcy;
ii) rkwartalna = 1, 25%, t = 2 lata; iii) rkwartalna = 1, 25%, t = 10 miesięcy;
iv) rmiesieczna = 2%, t = 5 lat.
O d p o w i e d ź. i) rmiesieczna = 0, 04/12 = 0, 33%; ii) rroczna = 4 · 0, 0125 = 5%;
iii) rmiesieczna = 0, 0125/3 = 0, 417%; iv) rroczna= 12 · 0, 02 = 24%.
10. Do banku wpłacono kwotę 2000 zł. Roczna stopa procentowa wynosi 8%, oprocento- wanie jest proste (tzn. odsetki nie kapitalizują się). Wyznaczyć kwotę odsetek otrzymaną po podanym okresie oraz kwotę końcową:
i) po 10 dniach;
ii) po kwartale;
iii) po pół roku;
iv) po roku;
v) po pięciu latach;
vi) po 100 latach.
O d p o w i e d ź. i) Kwota odsetek I = 4 zł 38 gr, kwota końcowa F V = 2004 zł 38 gr;
ii) I = 40 zł, F V = 2040 zł; iii) I = 80 zł, F V = 2080 zł; iv) I = 160 zł, F V = 2160 zł;
v) I = 800 zł, F V = 2800 zł; vi) I = 1600 zł, F V = 3600 zł.
11. Do banku wpłacono kwotę 2300 zł. Po dwóch latach otrzymano kwotę 3047, 5 zł.
Zakładając, że oprocentowanie było proste, wyznaczyć roczną stopę procentową.
O d p o w i e d ź. rroczna= 16, 23%.
12. Oprocentowanie roczne wynosi 16% i naliczane jest bez kapitalizacji. Jaką kwotę należy ulokować, by uzyskać saldo 1000 zł:
i) po roku;
ii) po okresie 9 miesięcy?
O d p o w i e d ź. i) P V = 862 zł 7 gr; ii) P V = 892 zł 86 gr.
Procent składany
13. Lokujemy w banku kwotę 1000 zł. Roczna stopa procentowa wynosi 10%, a odsetki są kapitalizowane co kwartał. Obliczyć stan konta na koniec czwartego roku.
O d p o w i e d ź. F V = 1000(1 + 0, 025)4·4 = 1484zł 51 gr.
2
Zadania Arkusz 3 14. Ile powinno wynosić oprocentowanie lokaty, żeby po upływie czterech lat potroić po- siadany kapitał? Odsetki są kapitalizowane po roku.
O d p o w i e d ź. r = √4
3 − 1 = 31, 61%.
15. Roczna stopa procentowa wynosi 11%. Odsetki są kapitalizowane po roku. Jaką kwotę należy ulokować, by po 3 latach otrzymać 25000 zł?
O d p o w i e d ź. P V = 18279 zł 78 gr.
16. Lokujemy w banku kwotę 7000 zł. Roczna stopa procentowa wynosi 11%, a odstetki są kapitalizowane po roku. Po jakim okresie kapitał podwoi się?
O d p o w i e d ź. t = log(2)/ log(1 + 0, 11) = 6, 64 lat.
17. Jakie jest nominalne oprocentowanie lokaty bankowej, jeżeli wiadomo, że zdeponowana na niej kwota 7800 zł, w ciągu 30 miesięcy i przy półrocznej kapitalizacji odsetek, wzrosła o 25%?
O d p o w i e d ź. Roczna stopa procentowa r = 25, 53%.
18. Po jakim czasie od ulokowanej w banku kwoty 2400 zł Pani Joanna otrzyma odsetki w wysokości 148,97 zł, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 6,4%, a kapitalizacja ma miejsce raz na dwa miesiące?
O d p o w i e d ź. Po t = 2, 84 miesiącach.
3
