Matematyka stosowana
(Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna) IŚ, IV rok, 7 semestr, 2008/2009,
wykład 2 godz., ćwiczenia 3 godz .
Wstęp. Rzeczywistość i informacja o niej (modele i pomiar). Procesy i zjawiska deter- ministyczne i stochastyczne oraz losowość zawarta w tych drugich. Przyczyny loso- wości. Rachunek prawdopodobieństwa a statystyka matematyczna. Pojęcia statystycz- ne jako empiryczne (z próby) odpowiedniki „teoretycznych” pojęć RP.
Doświadczenie losowe, zdarzenie, zmienna losowa, populacja, próba losowa. Do- świadczenie losowe D, zdarzenie elementarne e, przestrzeń E zdarzeń elementarnych.
Jednowymiarowa zmienna losowa X(e) i jej realizacja x. Pomiar danej wielkości jako doświadczenie losowe. Populacja generalna X i próba losowa {x1, x2,...,xn}. Wielo- wymiarowa populacja generalna i próba losowa (Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) i dwuwymiarowa próba losowa (xi, yi), i=1,2,..,n). Ciągi danych jako próby losowe wylosowane przez pomiar z pewnych populacji generalnych.
Uporządkowany rosnąco/malejąco ciąg danych. Zdarzenie losowe A, przestrzeń zdarzeń losowych Z. Nierówność X<x jako zdarzenie losowe. Przykłady zdarzeń losowych X<x, X ≥x, X=x, a≤X<b, (X<x, Y<y) itp. Działania na zdarzeniach losowych.
Prawdopodobieństwo: problem z definicją, definicja aksjomatyczna. Obliczanie praw- dopodobieństwa – metody: klasyczna, teoriomnogościowa i statystyczna (częstościowa).
Empiryczne prawdopodobieństwo realizacji elementu próby losowej. Niektóre często stosowane wzory. Obliczanie prostych prawdopodobieństw teoretycznych i empi- rycznych.
Zdarzenie warunkowe i jego prawdopodobieństwo. Zdarzenie warunkowe A|B i praw- dopodobieństwo warunkowe P(A|B). Różnica pomiędzy A|B a B|A. Niezależność zdarzeń losowych. Prosta (niezależna) próba losowa. Obliczanie prawdopodobieństw warun- kowych i bezwarunkowych. Drzewo zdarzeń.
Rozkład prawdopodobieństwa. Dystrybuanta F(x) i jej własności, funkcja prawdopodo- bieństwa przewyższenia p(x), gęstość rozkładu prawdopodobieństwa f(x) oraz rozkład prawdopodobieństwa pi = P(X=xi) i ich odpowiedniki w próbie.
Charakterystyki teoretyczne i empiryczne zmiennej losowej. Wartość oczekiwana EX zmiennej losowej X. Własności operatora E. Kwantyl xp rzędu p, mediana, moda. Empi- ryczne miary położenia. Wariancja varX i odchylenie standardowe DX jako jedne z miar zmienności zmiennej losowej. Własności operatora var. Współczynnik zmienności.
Asymetria. Spłaszczenie (kurtoza). Inne momenty teoretyczne i momenty z próby.
Empiryczne miary zmienności, asymetrii i spłaszczenia.
Niektóre dyskretne rozkłady prawdopodobieństwa. Rozkład jednopunktowy, dwu- punktowy i równomierny. Schemat Bernoulliego i rozkład Bernoulliego. Rozkład Poisso- na. Okres T powtarzalności zdarzenia. Rozkład Bernoulliego i Poissona (Liczba zdarzeń T-letnich w okresie T1 lat)
Niektóre ciągłe rozkłady prawdopodobieństwa. Rozkład równomierny. Rozkład nor- malny, jego własności i znaczenie. Zmienna standaryzowana. Rozkłady asymetryczne:
logarytmiczno-normalny, rozkład gamma (Pearsona typu III). Obliczanie prawdopodo- bieństw i kwantyli rozkładu normalnego, logarytmiczno-normalnego i gamma za pomo- cą Excela.
Estymacja statystyczna. Istota estymacji. Statystyka, estymator i jego własności, rozkłady podstawowych statystyk (rozkład średniej z próby, wariancji z próby).
Estymacja przedziałowa. Przedział ufności na danym poziomie ufności. Przykłady.
Estymacja parametrów rozkładu prawdopodobieństwa. Metody: momentów, najwięk- szej wiarygodności i inne. Estymacja parametrów rozkładu normalnego, logarytmiczno- normalnego i gamma metodą momentów i największej wiarygodności.
Weryfikacja hipotez statystycznych. Istota testu statystycznego. Hipoteza zerowa i hipotezy alternatywne. Błędy I i II rodzaju. Poziom istotności testu. Wartość krytyczna statystyki testowej oraz wartość p. Testy parametryczne. Testy nieparametryczne (zgodności) λ Kołmogorowa i χ2 Pearsona. Przykłady.
Wielowymiarowa populacja generalna i próba losowa (głównie: dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) i dwuwymiarowa próba losowa (xi, yi), i=1,2,..,n.). Rodzaje zmiennych losowych: dyskretna, ciągła i mieszana. Rozkład łączny zmiennej (X,Y), rozkłady brzegowe i warunkowe oraz ich odpowiedniki w próbie. Niezależność zmien- nych losowych. Współzmienność a zależność zmiennych. Zależność stochastyczna a zależność deterministyczna.
Charakterystyki teoretyczne i empiryczne zmiennej losowej. Wartości oczekiwane w dwuwymiarowym rozkładzie: EX, E(Y|x) itd. Ważne twierdzenie: E(Y)= E[E(Y|X)].
Wariancja i odchylenie standardowe w dwuwymiarowym rozkładzie: varX, var(Y|x), DX, D(Y|x) itd.
Kowariancja zmiennych losowych (X,Y), cov(X,Y), i jej najważniejsza własność. Inne własności kowariancji. Współczynnik korelacji ρ zmiennych (X,Y). Ważne wartości: ρ = 0 i ρ = ±1. Zależność a skorelowanie.
Regresja I i II rodzaju oraz metoda najmniejszych kwadratów (MNK) z wykorzystaniem narzędzia analizy Regresja. Wariancja reszt(k)owa oraz jej odpowiedniki empiryczne.
Ważne twierdzenie: varY = E[var(Y|X)] + var[E(Y|X)] uzasadniające stosowanie regresji.
Współczynnik determinacji R2. Regresja liniowa i nieliniowa. Regresja liniowa E(Y|X) = aX + b, obliczanie współczynników regresji za pomocą MNK. (1–α)100% obszar ufności dla prostej regresji: definicja i interpretacja. Regresja nieliniowa: E(Y|X) = f(X), obliczanie współczynników regresji za pomocą MNK. Linearyzacja problemu regresji nieliniowej. Regresja wieloraka/wielokrotna.
Procesy stochastyczne. Przykłady. Podstawowe charakterystyki: średnia, wariancja, (auto)kowariancja, (auto)korelacja. Szereg czasowy, przykłady. Narzędzie analizy Regresja w Excelu i jego wykorzystanie do badania trendu w szeregach czasowych.
Podstawy teorii pomiarów. Pomiar i jego błędy. Cyfry znaczące. Pomiar bezpośredni i pośredni. Prawo przenoszenia niezależnych błędów maksymalnych (metoda różniczki zupełnej). Prawo przenoszenia niezależnych błędów średnich. Przykłady pomiarów.
Obliczanie błędów maksymalnych i średnich pomiarów bezpośrednich i pośrednich.
X 2008 r.
2/2 2