O qisle predstavleni$ i natural~nyh qisel summami devti kvadratov

LXVIII.3 (1994)

O qisle predstavleni$ i natural~nyh qisel summami devti kvadratov

G. A. L OMADZE (Tbilisi)

1. Vpervye Mordell [6], primeniv modulrnye funkcii, razvil metod nahodeni toqnyh (neasimptotiqeskih) formul dl qisla predstavleni$ i natural~nyh qisel summami neqetnogo qisla kvad- ratov celyh qisel. Prodelav sootvetstvuwie vyqisleni, vper- vye on poluqil formuly dl qisla predstavleni$ i natural~nyh qisel summami 11, 13 i 15 kvadratov celyh qisel. Dopolnitel~nye qleny tih formul okazalis~ nekotorymi summami, rasprostra- nennymi na vse predstavleni dannogo qisla summo$ i 3, 5 i 7 kvad- ratov celyh qisel sootvetstvenno. Mordell take zameqaet, qto esli primenit~ izvestnoe todestvo kobi ϑ ⁰ ₁ = ϑ ₂ ϑ ₃ ϑ ₀ , to dopol- nitel~ny$ i qlen v formule dl qisla predstavleni$ i summo$ i 9 kvad- ratov mono vyrazit~ pri pomowi qisla predstavleni$ i summo$ i 7 kvadratov. Soglasno tomu zameqani, v [3] pokazano, qto qislo predstavleni$ i natural~nogo qisla n summo$ i 9 kvadratov ravno

r ₉ = % ₉ (n) + 2 17

X

x

+...+x

=4n 2|x

,2|x

,2|x

2-x

,2-x

,2-x

,2-x

(−1) ^(x

^+x

^+x

^+x

^−1)/2 x ₁ .

ta formula malointeresna. Vvidu togo v [4], vmesto upomnuto$ i vyxe formuly kobi, primeneno todestvo Smita

ϑ ⁰⁰ ₀ ϑ ₀ − ϑ ⁰⁰ ₃

ϑ ₃ = ϑ ⁴ ₂ i pokazano, qto

r ₉ (n) = % ₉ (n) + 8 17

X

x

+...+x

=n

(−1) ^x

^+x

^+x

^+x

(x ² ₅ − x ² ₄ ).

V nastowe$ i e stat~e, pri pomowi rezul~tatov raboty [5],

[245]

budet dokazano, qto

(1.1) r ₉ (n) = % ₉ (n) + 32 17

X

x

+x

+x

=3n 3-x

,3-x

,3-x

x

>0,x

>0,x

>0

 x ₁ x ₂ x ₃ 3



x ₁ x ₂ x ₃ .

Esli poloit~ n = 2 ^k u (k ∈ Z, k ≥ 0), u = Q

p|u p ^l (l ∈ Z, l ≥ 1), ν = p ^−l n, n = r ² ω (ω – beskvadratnoe), to vo vseh privedennyh vyxe treh formulah

(1.2) % 9 (n) = 24576

17π ⁴ n ^7/2 χ ₂ (n)T 4 (n)L(4, ω), gde

χ ₂ (n) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 135

127 + 119

127 · 128 2 ^−7k/2 pri 2 | k, u ≡ 1 (mod 8), 135

127 − 135

127 · 128 2 ^−7k/2 pri 2 | k, ω ≡ 5 (mod 8), 135

127 − 255

127 · 16 2 ^−7k/2 pri 2 | k, ω ≡ 3 (mod 4), 135

127 − 255

127 · 16 2 ^{−7(k−1)/2} pri 2 - k;

T ₄ (n) = Y

p|r,p>2

 1 −

 ω p



p ⁻⁴  Y

p|u

(1 − p ⁻⁷ ) ⁻¹ Y

p|u,2-l

(1 − p ^−7(l+1)/2 )

× Y

p|u,2|l

 1 +

ν p

− p ⁻³ 1 − ^ν _p

p ⁻⁴ p ^−7k/2−4



;

L(4, 1) = π ⁴

96 , L(4, 2) = 11π ⁴ 768 √

2 , L(4, ω) = − 2π ⁴ ω ^−1/2 X

0≤h≤ω/2

 h ω

 h ² 4ω ² − h ³

3ω ³



pri ω ≡ 1 (mod 4), ω > 1, L(4, ω) = 2π ⁴ ω ^−1/2

 X

0<h≤ω/4

 h ω

 h

16ω − h ³ 3ω ³



− X

ω/4<h≤ω/2

 h ω

 1

96 − 3h 16ω + h ²

2ω ² − h ³ 3ω ³



pri ω ≡ 3 (mod 4),

L(4, ω) = 2π ⁴ ω ^−1/2

 X

0<h≤ω/16

 h ω/2

 11 768 − h ²

ω ²



+ X

ω/16<h≤3ω/16

 h ω/2

 5 384 + h

16ω − 2h ²

ω ² + 16h ³ 3ω ³



+ X

3ω/16<h≤ω/4

 h ω/2

 37 768 − h

2ω + h ² ω ²



pri ω ≡ 2 (mod 8), ω > 2 , L(4, ω) = 2π ⁴ ω ^−1/2

 X

0<h≤ω/16

 h ω/2

 3h

16ω − 16h ³ 3ω ³



− X

ω/16<h≤3ω/16

 h ω/2

 1 768 − h

4ω + h ³ ω ³



− X

3ω/16<h≤ω/4

 h ω/2

 7

192 − 13h 16ω + 4h ²

ω ² − 16h ³ 3ω ³



pri ω ≡ 6 (mod 8).

2. V nastowe$ i stat~e budut priment~s sleduwie oboznaqe- ni: N, a, n, q, r – natural~nye qisla; ω – beskvadratnoe qislo;

s ≥ 5, u – neqetnye natural~nye qisla; p – prostoe qislo; c, g, h, j, k, l, m, x, α, β, γ, δ – celye qisla; A, B, λ – kompleksnye qisla; z, τ – kompleksnye peremennye (Im τ > 0); dl z 6= 0 poloim: z ^s/2 = (z ^1/2 ) ^s , −π/2 < arg z ^1/2 ≤ π/2. Dalee, ^h _u

oboznaqaet obobwenny$ i simbol kobi; e(z) = exp(2πiz); η(γ) = 1 pri γ ≥ 0 i η(γ) = −1 pri γ < 0; S(h, q) – summa Gaussa; r(n; f _s ) – qislo predstavleni$ i qisla n primitivno$ i poloitel~no$ i kvadratiqno$ i formo$ i f s = a ₁ x ² ₁ + . . . + a _s x ² _s opredelitel ∆, a – obwee naimen~xee kratnoe kofficientov a _k (k = 1, 2, . . . , s); %(n; f _s ) – summa singulrnogo rda, sootvetstvuwego kvadratiqno$ i forme f s .

Dalee, pust~

(2.1) ϑ gh (z | τ ; c, N )

= X

m≡c (mod N )

(−1) ^h(m−c)/N e((2m + g) ² τ /(8N ))e((2m + g)z/2).

Poloim (2.2)

ϑ gh (τ ; c, N ) = ϑ gh (0 | τ ; c, N ), ϑ ⁰ _gh (τ ; c, N ) = ∂

∂z ϑ gh (z | τ ; c, N )    

z=0

.

Izvestno ([2], s. 318, form. (1.2), (1.4)), qto ϑ _g+2j,h (z | τ ; c, N ) = ϑ _gh (z | τ ; c + j, N ), ϑ _gh (z | τ ; c + N j, N ) = (−1) ^hj ϑ _gh (z | τ ; c, N ).

Sledovatel~no, soglasno (2.2),

ϑ ⁰ _g+2j,h (τ ; c, N ) = ϑ ⁰ _gh (τ ; c + j, N ), (2.3)

ϑ ⁰ _gh (τ ; c + N j, N ) = (−1) ^hj ϑ ⁰ _gh (τ ; c, N ).

(2.4)

Iz (2.1), soglasno (2.2), v qastnosti poluqim ϑ gh (τ ; 0, N ) =

X ∞ m=−∞

(−1) ^hm e((2N m + g) ² τ /(8N )), (2.5)

ϑ ⁰ _gh (τ ; 0, N ) = πi X ∞ m=−∞

(−1) ^hm (2N m + g)e((2N m + g) ² τ /(8N )).

(2.6)

Iz (2.6) sleduet, qto

(2.7) ϑ ⁰ _−gh (τ ; 0, N ) = −ϑ ⁰ _gh (τ ; 0, N ).

Iz (2.5) sleduet (2.8)

Y s k=1

ϑ ₀₀ (τ ; 0, 2a _k ) = 1 + X ∞ n=1

r(n; f _s )e(nτ ).

Dalee, poloim

(2.9) θ(τ ; f _s ) = 1 + X ∞ n=1

%(n; f _s )e(nτ ), gde

(2.10) %(n; f s ) = π ^s/2

Γ (s/2)∆ ^1/2 n ^s/2−1 X ∞ q=1

q ^−s X

h mod q (h,q)=1

e



− nh q

 Y s k=1

S(a k h, q).

Nakonec, pust~

Γ

 ατ + β γτ + δ  

  αδ − βγ = 1



, Γ ₀ (4N ) =

 ατ + β γτ + δ ∈ Γ

  γ ≡ 0 (mod 4N )

 . O PREDELENIE. Funkci F , opredelennu na H = {τ ∈ C | Im τ > 0}, budem nazyvat~ celo$i modulrno$i formo$i vesa s/2 i sistemy mul~tiplikatorov v(M ) otnositel~no podgruppy Γ ₀ (4N ) (M – matrica proizvol~no$ i podstanovki iz Γ 0 (4N )), esli

(1) F regulrna na H,

(2) dl vseh matric M = ^{α β} _{γ δ}

podstanovok iz Γ 0 (4N ) i vseh τ ∈ H,

F

 ατ + β γτ + δ



= v(M )(γτ + δ) ^s/2 F (τ ), (3) v okrestnosti toqki τ = i∞,

(2.11) F (τ ) =

X ∞ m=0

A m e(mτ ),

(4) dl lbo$ i podstanovki iz Γ , v okrestnosti kado$ i racio- nal~no$ i toqki τ = −δ/γ (γ 6= 0, (γ, δ) = 1),

(γτ + δ) ^s/2 F (τ ) = X ∞ m=0

B _m e

 m 4N

ατ + β γτ + δ

 .

Pust~ {Γ ₀ (4N ), s/2, v(M )} oboznaqaet mnoestvo vseh takih ce- lyh modulrnyh form F .

L EMMA 1 ([1], s. 811, 953). Funkci F iz mnoestva {Γ ₀ (4N ), s/2, v(M )} todestvenno ravna nul, esli v ee razloenii (2.11),

A _m = 0 dl vseh m ≤ s

24 4N Y

p|4N

 1 + 1

p

 .

L EMMA 2 ([5], teorema). Pust~ N ≥ a. Funkci

ψ(τ ; f ₉ ) = Y 9 k=1

ϑ ₀₀ (τ ; 0, 2a _k ) − θ(τ ; f ₉ ) − λ Y 3 k=1

ϑ ⁰ _g

_h

(τ ; 0, 2N _k ), gde λ – proizvol~na postonna , prinadleit mnoestvu {Γ ₀ (4N ), 9/2, v(M )} (M = ^{α β} _{γ δ}

– matrica podstanovki iz Γ ₀ (4N ), v(M ) = i η(γ)(sgn δ−1)/2 · i ^(|δ|−1)

^/4 (β∆ sgn δ/|δ|)), esli vypolnts sleduwie uslovi :

(1) 2 | g _k , N _k | N (k = 1, 2, 3), a | N , (2) 4

   N

X 3 k=1

h ² _k N k , 4

X 3 k=1

g _k ² 4N k ,

(3) dl vseh α i δ, dl kotoryh αδ ≡ 1 (mod 4N ), sgn δ

 N ₁ N ₂ N ₃

|δ|

 Y ₃

k=1

ϑ ⁰ _αg

_,h

(τ ; 0, 2N _k ) =

 −∆

|δ|

 Y ₃

k=1

ϑ ⁰ _g

_h

(τ ; 0, 2N _k ).

3. V tom paragrafe budet vyvedena formula (1.1) dl qisla

predstavleni$ i natural~nogo qisla n kvadratiqno$ i formo$ i f ₉ =

x ² ₁ + . . . + x ² ₉ opredelitel ∆ = a = 1. Kak pokazano v [3], s. 297–299, v tom sluqae formula (2.10) budet imet~ vid (1.2).

L EMMA 3. Funkci

(3.1) ψ(τ ) = ϑ ⁹ ₀₀ (τ ; 0, 2) − θ ₉ (τ ) − i

34π ³ ϑ ⁰³ ₄₀ (τ ; 0, 6) prinadleit mnoestvu {Γ ₀ (12), 9/2, v(M )}, gde

v(M ) = i η(γ)(sgn δ−1)/2 · i ^(|δ|−1)

^/4

 β sgn δ

|δ|

 ,

M = ^{α β} _{γ δ}

– matrica podstanovki ∈ Γ 0 (12).

D o k a z a t e l ~ s t v o. 1. V lemme 2 poloim: ψ(τ ; f ₉ ) = ψ(τ ); f ₉ = x ² ₁ + . . . + x ² ₉ , t.e. a ₁ = . . . = a ₉ = a = ∆ = 1; θ(τ ; f ₉ ) = θ ₉ (τ ) = 1 + P _∞

n=1 % 9 (n)e(nτ ); λ = i/(34π ³ ); g 1 = g 2 = g 3 = 4, h 1 = h 2 = h 3 = 0, N ₁ = N ₂ = N ₃ = N = 3. Netrudno proverit~, qto funkci ψ(τ ) udovletvoret uslovim (1) i (2) lemmy 2.

2. Iz αδ ≡ 1 (mod 12) sleduet, qto

(3.2) α ≡ δ ≡ ±1, ±5 (mod 12);

sledovatel~no, α ≡ ±1 (mod 3) i, soglasno (2.3), (2.4) i (2.7), polu- qim

(3.3) ϑ ⁰³ _4α,0 (τ ; 0, 6) = ϑ ⁰³ ±4+4(α∓1),0 (τ ; 0, 6)

= ϑ ⁰³ _±4,0 (τ ; 2(α ∓ 1), 6) = ϑ ⁰³ _±4,0 (τ ; 0, 6)

=

 ϑ ⁰³ ₄₀ (τ ; 0, 6) pri α ≡ 1 (mod 3), t.e. pri α ≡ 1, −5 (mod 12),

−ϑ ⁰³ ₄₀ (τ ; 0, 6) pri α ≡ −1 (mod 3), t.e. pri α ≡ −1, 5 (mod 12).

Dalee, pri δ > 0 imeem sgn δ

 3 · 3 · 3

|δ|



=

 3 δ



=

 1, esli δ ≡ ±1 (mod 12),

−1, esli δ ≡ ±5 (mod 12),

 −1

|δ|



=

 −1 δ



=

 1, esli δ ≡ 1, 5 (mod 12),

−1, esli δ ≡ −1, −5 (mod 12);

pri δ < 0 imeem sgn δ

 3 · 3 · 3

|δ|



= −

 3

−δ



=

 −1, esli δ ≡ ±1 (mod 12), 1, esli δ ≡ ±5 (mod 12),

 −1

|δ|



=

 −1

−δ



=

 1, esli δ ≡ −1, −5 (mod 12),

−1, esli δ ≡ 1, 5 (mod 12).

Sledovatel~no,

(3.4) sgn δ

 3

|δ|

 ₃

=

 

 

 



 −1

|δ|



pri δ ≡ 1, −5 (mod 12),

−

 −1

|δ|



pri δ ≡ −1, 5 (mod 12).

Iz (3.2)–(3.4) sleduet, qto sgn δ

 3

|δ|

 ₃

ϑ ⁰³ _4α,0 (τ ; 0, 6) =

 −1

|δ|



ϑ ⁰³ ₄₀ (τ ; 0, 6), t.e. vypolnets i uslovie (3) lemmy 2.

T EOREMA. Imeet mesto todestvo (3.5) ϑ ⁹ ₀₀ (τ ; 0, 2) = θ 9 (τ ) + i

34π ³ ϑ ⁰³ ₄₀ (τ ; 0, 6).

D o k a z a t e l ~ s t v o. Pokaem, qto v razloenii funkcii ψ(τ ) po stepenm Q = e(τ ) kofficienty pri Q ⁿ ravny nul dl vseh n ≤ 9.

Iz (2.5) sleduet, qto ϑ 00 (τ ; 0, 2) =

X ∞ m=−∞

Q ^m

= 1 + 2Q + 2Q ⁴ + 2Q ⁹ + . . . , otkuda

ϑ ⁹ ₀₀ (τ ; 0, 2) = 1 + 18Q + 144Q ² + 672Q ³ + 2034Q ⁴ + 4320Q ⁵ (3.6)

+ 7392Q ⁶ + 12672Q ⁷ + 22608Q ⁸ + 34802Q ⁹ + . . . Netrudno proverit~, qto vyqisliv znaqeni % ₉ (n) po formule (1.2) dl vseh n ≤ 9, poluqim

θ 9 (τ ) = 1 + 274

17 Q + 2640

17 Q ² + 11040

17 Q ³ + 34834

17 Q ⁴ + 4320Q ⁵ (3.7)

+ 125280

17 Q ⁶ + 216960

17 Q ⁷ + 382800

17 Q ⁸ + 592114

17 Q ⁹ + . . . Iz (2.6) sleduet

ϑ ⁰ ₄₀ (τ ; 0, 6) = 4πi X ∞ m=−∞

(3m + 1)Q ^(3m+1)

^/3 (3.8)

= 4πi(Q ^1/3 − 2Q ^4/3 + 4Q ^16/3 − 5Q ^25/3 + . . .), (3.9)

otkuda

ϑ ⁰³ ₄₀ (τ ; 0, 6) = 64π ³ i ³ Q(1 − 2Q + 4Q ⁵ − 5Q ⁸ + . . .) ³

= 64π ³ i ³ Q(1 − 6Q + 12Q ² − 8Q ³ + 12Q ⁵ − 48Q ⁶ + 48Q ⁷ − 15Q ⁸ + . . .);

sledovatel~no, (3.10) i

34π ³ ϑ ⁰³ ₄₀ (τ ; 0, 6)

= 32

17 (Q − 6Q ² + 12Q ³ − 8Q ⁴ + 12Q ⁶ − 48Q ⁷ + 48Q ⁸ − 15Q ⁹ + . . .).

Prinv vo vnimanie (3.1), (3.6), (3.7) i (3.10), netrudno prove- rit~, qto kofficienty pri Q ⁿ v razloenii funkcii ψ(τ ) po stepenm Q ravny nul dl vseh n ≤ 9. Sledovatel~no, soglasno lemme 1, funkci ψ(τ ) todestvenno ravna nul, t.e. todestvo (3.5) dokazano.

D o k a z a t e l ~ s t v o f o r m u l y (1.1). Iz (3.8) sleduet (3.11) i

64π ³ ϑ ⁰³ ₄₀ (τ ; 0, 6)

=

X ∞ m

,m

,m

=−∞

(3m 1 + 1)(3m 2 + 1)(3m 3 + 1)

× Q ^{(3m

⁺¹⁾

^+(3m

⁺¹⁾

^+(3m

⁺¹⁾

^}/3

= X ∞ n=1

 X

(3m

+1)

+(3m

+1)

+(3m

+1)

=3n

(3m 1 + 1)(3m 2 + 1)(3m 3 + 1)

 Q ⁿ .

Priravnv kofficienty pri Q ⁿ v obeih qasth todestva (3.5) i prinv vo vnimanie (2.8), (2.9) i (3.11), poluqim

(3.12) r 9 (n) = % 9 (n) + 32 17 w(n),

gde w(n) oboznaqaet kofficient pri Q ⁿ v razloenii funkcii

i

64π

ϑ ⁰³ ₄₀ (τ ; 0, 6) po stepenm Q, t.e.

w(n) = X

x

+x

+x

=3n x

≡x

≡x

≡1 (mod 3)

x 1 x 2 x 3

(3.13)

= X

x

+x

+x

=3n 3-x

,3-x

,3-x

x

>0,x

>0,x

>0

 x ₁ x ₂ x ₃ 3



x ₁ x ₂ x ₃ .

Iz (3.12) i (3.13) sleduet formula (1.1).

Literatura

[1] E. H e c k e, Mathematische Werke, zweite Auflage, Vandenhoeck u. Ruprecht, G¨ottin-

gen, 1970.

[2] H. D. K l o o s t e r m a n, The behaviour of general theta-functions under the modular group and the characters of binary modular congruence groups. I , Ann. of Math. 47 (1946), 317–375.

[3] G. A. L o m a d z e, O predstavlenii qisel summami neq¨etnogo qisla kvadra- tov, Trudy Tbilis. matem. in-ta 17 (1949), 281–314.

[4] —, O predstavlenii qisel summo$i 8t + 1 kvadratov, Trudy Tbilis. gos.

un-ta 179 (1976), 63–66.

[5] —, On some entire modular forms of half integral weight for the group Γ ₀ (4N ), in:

New Trends in Probability and Statistics, Vol. 2 (Palanga, 1991), VSP, Utrecht, 1992, 57–67.

[6] L. G. M o r d e l l, On the representations of a number as a sum of an odd number of squares, Trans. Cambridge Philos. Soc. 22 (1919), 361–372.

MEHANIKO-MATEMATIQESKI $ I FAKUL^TET TBILISSKI $ I GOSUDARSTVENNY $ I UNIVERSITET PROSP. I. QAVQAVADZE 1

TBILISI 380028 RESPUBLIKA GRUZI

Postupilo 14.4.1993 (2413)