Zadanie 1. Niech V b¦dzie n-wymiarow¡ przestrzeni¡ wektorow¡ i niech A : V → V b¦dzie odwzorowaniem liniowym. Poka», »e Λ n A : Λ n (V ) → Λ n (V ) postaci

(1)

Analiza III Praca domowa

Praca domowa I Javier de Lucas

Formy wieloliniowe

Zadanie 1. Niech V b¦dzie n-wymiarow¡ przestrzeni¡ wektorow¡ i niech A : V → V b¦dzie odwzorowaniem liniowym. Poka», »e Λ ⁿ A : Λ ⁿ (V ) → Λ ⁿ (V ) postaci

Λ ⁿ A(v ₁ ∧ . . . ∧ v _n ) := (Av ₁ ) ∧ . . . ∧ (Av _n ) ma posta¢ (Λ ⁿ A)(w) = (det A)w dla dowolnego w ∈ Λ ⁿ (V ) .

Zadanie 2. Wprowadzi¢ nast¦puj¡ce ω ∈ Λ ² (V ^∗ ) do postaci kanonicznej i ustali¢ jej rz¡d:

ω = θ ¹ ∧ θ ² + 2θ ² ∧ θ ³ + 3θ ³ ∧ θ ¹ , ω = θ ¹ ∧ θ ³ + 3θ ¹ ∧ θ ² + θ ² ∧ θ ³ − θ ¹ ∧ θ ⁴ Zadanie 3. Niech ω ∈ Λ ^k (V ^∗ ) i niech v ∈ V . Zdeniujemy

ι _v ω(v ₁ , . . . , v _k−1 ) := ω(v, v ₁ , . . . , v _k−1 ).

Dowie±¢, »e je»eli ω ¹ ∈ Λ ^k (V ^∗ ) i ω ² ∈ Λ ^p (V ^∗ ) , to

ι _v (ω ¹ ∧ ω ² ) = (ι _v ω ¹ ) ∧ ω ² + (−1) ^k ω ¹ ∧ ι _v ω ² . Formy ró»niczkowe

Zadanie 4. Napisz nast¦puj¡ce formy ró»niczkowe we wspóªrz¦dnych biegunowych ω := ydx − xdy

x ² + y ² , ω := p

x ² + y ² dx ∧ dy.

Napisz nast¦puj¡ce formy ró»niczkowe we wspóªrz¦dnych sferycznych

ω := xdy + ydz + zdx, ω := xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy, ω := x ² dy ∧ dz + y ² dz ∧ dx + z ² dx ∧ dy.

1

(2)

Analiza III Praca domowa

Zadanie 5. Obliczy¢ pochodn¡ zewn¦trzn¡ nast¦puj¡cych form

ω ₁ := e ^xy+z

²

dx, ω ₂ :=

n

X

i=1

x ² _i dx ₁ ∧ . . . ∧ b dx _i ∧ . . . ∧ dx _n

wdzie c dx _i oznacza, »e ten wyraz zostaª wykre±lony z iloczynu zewn¦trnego.

Zadanie 6. Niech

α := xdx − ydy, β := zdx ∧ dy + xdy ∧ dz, γ := zdy b¦d¡ formami ró»niczkowymi na R ³ . Obliczy¢

• α ∧ β , α ∧ β ∧ γ,

• dα, dβ, dγ .

Cofni¦cie form ró»niczkowych, zamiana zmiennych, pochodna i iloczyn zewn¦trzny Zadanie 7. Niech φ : R ^m → R ⁿ i m < n. Poka», »e je»eli ω ∈ Ω ^k (R ⁿ ) i k > m to φ ^∗ ω = 0 .

Zadanie 8. Niech φ : (x 1 , . . . , x _n ) ∈ R ⁿ 7→ (y ₁ , . . . , y _n ) ∈ R ⁿ i niech ω = dy 1 ∧ . . . ∧ dy _n . Poka», »e

φ ^∗ ω = det[T φ]dy ₁ ∧ . . . ∧ dy _n , gdzie

[T φ] :=







∂y

1

∂x

1

∂y

1

∂x

2

. . . _∂x ^∂y

¹

∂y

2 n

∂x

1

∂y

2

∂x

2

. . . _∂x ^∂y

²

n

. . . . . . . . . . . .

∂y

n

∂x

1

∂y

n

∂x

2

. . . _∂x ^∂y

ⁿ

n







Zadanie 9. Niech φ : (x 1 , x ₂ ) ∈ R ² 7→ (x ³ ₁ x ₂ , log(x ₁ + x ₂ )) ∈ R ² i niech ω = dy 1 ∧ dy ₂ . Obliczy¢ φ ^∗ ω .

Zadanie 10. Niech ω = dx ∧ dy ∧ dz. Obliczy¢ φ ^∗ ω dla:

φ : (r, θ, φ) ∈ R ⁺ ×]0, 2π[ ² 7→ (r cos φ sin θ, r sin φ sin θ, r cos θ) ∈ R ³ φ : (τ, φ, σ) ∈ R + ×]0, 2π[ ² 7→ (a sinh τ

cosh τ − cos σ cos φ, a sinh τ

cosh τ − cos σ sin φ, a sinh σ

cosh τ − cos σ ) ∈ R ³ .

2

(3)

Analiza III Praca domowa

Zadanie 11. Niech (x 1 , y ₁ , . . . , x _n , y _n ) b¦d¡ wspóªrz¦dnymi na R ²ⁿ i niech

ω :=

n

X

i=1

dx _i ∧ dy _i . Obliczy¢ ω ∧ . . . ∧ ω (n-razy).

Zadanie 12. Niech (x 1 , y ₁ , . . . , x _n , y _n , z) b¦d¡ wspóªrz¦dnymi na R ²ⁿ⁺¹ i niech

ω := dz +

n

X

i=1

x _i dy _i . Obliczy¢ α ∧ (dα ∧ . . . ∧ dα) (n-razy).

Pola wektorowe

Zadanie 13. Znale¹¢ przestrze« styczn¡ w punkcie (2, 1, 0) powierzchni x ² − y ² + z ² = 3.

Czy pole wektorowe y∂ x + x∂ _y jest styczne do tej powierzchni. Znale¹¢ krzyw¡ caªkow¡

tego pola wektorowego przechodz¡c przez punkt (2, 1, 0).

Zadanie 14. Znale¹¢ przestrze« styczn¡ w punktach (1, 0, 0) oraz (0, 1, 0) krzywej x ² + y ² = 1, x + y + z = 1.

Lemmat Poincarego, formy zamkni¦ty i zupeªne

Zadanie 15. Poka», »e je»eli α i β s¡ formami zamkni¦tymi, to α ∧ β jest zamkni¦ta.

Zadanie 16. Poka», »e forma

ω = e ^x

²

^+y

²

(sinh(2xy)dx + cosh(2xy)dy) jest zamkni¦ta.

3

(4)

Analiza III Praca domowa

Zadanie 17. Niech

ω = a(x, y, z)dx + b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz b¦dzie 1-form¡ ró»niczkow¡ na R ³ i dω = 0. Zdeniujemy

f (x, y, z) = Z 1

0

[a(tx, ty, tz)x + b(tx, ty, tz)y + c(tx, ty, tz)z]dt.

Dowie±¢, »e df = ω. Korzystaj¡c z tego, znale¹¢ funkcj¦ g ∈ Ω ⁰ (R ³ ) tak¡, »e dg = α dla

(a) ω = ydx − xdy

2x ² − xy + y ² , O := {(x, y) : y > 0}, (b) ω = yzdx − x log x(zdy + 2ydz)

xy ² z ³ , O := {(x, y, z) : x, y, z > 0}.

Zadanie 18. Znale¹¢ form¦ θ ∈ Ω ¹ (O) tak¡, »e dθ = ω dla ω = 1

z ³ (xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy) ∈ Ω ² (O), gdzie O := {(x, y, z) : z > 0} oraz φ : O × [0, 1] → O jest dane wzorami

(a) φ(x, y, z, t) = (tx, ty, 1 − t + tz), (b) φ(t, x, y, z) := (tx, ty, z ^t ).

4

Zadanie 1. Niech V b¦dzie n-wymiarow¡ przestrzeni¡ wektorow¡ i niech A : V → V b¦dzie odwzorowaniem liniowym. Poka», »e Λ n A : Λ n (V ) → Λ n (V ) postaci

Analiza III Praca domowa

Praca domowa I Javier de Lucas

Formy wieloliniowe

Zadanie 1. Niech V b¦dzie n-wymiarow¡ przestrzeni¡ wektorow¡ i niech A : V → V b¦dzie odwzorowaniem liniowym. Poka», »e Λ n A : Λ n (V ) → Λ n (V ) postaci

Λ n A(v 1 ∧ . . . ∧ v n ) := (Av 1 ) ∧ . . . ∧ (Av n ) ma posta¢ (Λ n A)(w) = (det A)w dla dowolnego w ∈ Λ n (V ) .

Zadanie 2. Wprowadzi¢ nast¦puj¡ce ω ∈ Λ 2 (V ∗ ) do postaci kanonicznej i ustali¢ jej rz¡d:

ω = θ 1 ∧ θ 2 + 2θ 2 ∧ θ 3 + 3θ 3 ∧ θ 1 , ω = θ 1 ∧ θ 3 + 3θ 1 ∧ θ 2 + θ 2 ∧ θ 3 − θ 1 ∧ θ 4 Zadanie 3. Niech ω ∈ Λ k (V ∗ ) i niech v ∈ V . Zdeniujemy

ι v ω(v 1 , . . . , v k−1 ) := ω(v, v 1 , . . . , v k−1 ).

Dowie±¢, »e je»eli ω 1 ∈ Λ k (V ∗ ) i ω 2 ∈ Λ p (V ∗ ) , to

ι v (ω 1 ∧ ω 2 ) = (ι v ω 1 ) ∧ ω 2 + (−1) k ω 1 ∧ ι v ω 2 . Formy ró»niczkowe

Zadanie 4. Napisz nast¦puj¡ce formy ró»niczkowe we wspóªrz¦dnych biegunowych ω := ydx − xdy

x 2 + y 2 , ω := p

x 2 + y 2 dx ∧ dy.

Napisz nast¦puj¡ce formy ró»niczkowe we wspóªrz¦dnych sferycznych

ω := xdy + ydz + zdx, ω := xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy, ω := x 2 dy ∧ dz + y 2 dz ∧ dx + z 2 dx ∧ dy.

1

Analiza III Praca domowa

Zadanie 5. Obliczy¢ pochodn¡ zewn¦trzn¡ nast¦puj¡cych form

ω 1 := e xy+z

dx, ω 2 :=

n

X

i=1

x 2 i dx 1 ∧ . . . ∧ b dx i ∧ . . . ∧ dx n

wdzie c dx i oznacza, »e ten wyraz zostaª wykre±lony z iloczynu zewn¦trnego.

Zadanie 6. Niech

α := xdx − ydy, β := zdx ∧ dy + xdy ∧ dz, γ := zdy b¦d¡ formami ró»niczkowymi na R 3 . Obliczy¢

• α ∧ β , α ∧ β ∧ γ,

• dα, dβ, dγ .

Cofni¦cie form ró»niczkowych, zamiana zmiennych, pochodna i iloczyn zewn¦trzny Zadanie 7. Niech φ : R m → R n i m < n. Poka», »e je»eli ω ∈ Ω k (R n ) i k > m to φ ∗ ω = 0 .

Zadanie 8. Niech φ : (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n 7→ (y 1 , . . . , y n ) ∈ R n i niech ω = dy 1 ∧ . . . ∧ dy n . Poka», »e

φ ∗ ω = det[T φ]dy 1 ∧ . . . ∧ dy n , gdzie

[T φ] :=











∂y

∂x

∂y

∂x

. . . ∂x ∂y

∂y

∂x

∂y

∂x

. . . ∂x ∂y

. . . . . . . . . . . .

∂y

∂x

∂y

∂x

. . . ∂x ∂y











Zadanie 9. Niech φ : (x 1 , x 2 ) ∈ R 2 7→ (x 3 1 x 2 , log(x 1 + x 2 )) ∈ R 2 i niech ω = dy 1 ∧ dy 2 . Obliczy¢ φ ∗ ω .

Zadanie 10. Niech ω = dx ∧ dy ∧ dz. Obliczy¢ φ ∗ ω dla:

φ : (r, θ, φ) ∈ R + ×]0, 2π[ 2 7→ (r cos φ sin θ, r sin φ sin θ, r cos θ) ∈ R 3 φ : (τ, φ, σ) ∈ R + ×]0, 2π[ 2 7→ (a sinh τ

cosh τ − cos σ cos φ, a sinh τ

cosh τ − cos σ sin φ, a sinh σ

cosh τ − cos σ ) ∈ R 3 .

2

Analiza III Praca domowa

Zadanie 11. Niech (x 1 , y 1 , . . . , x n , y n ) b¦d¡ wspóªrz¦dnymi na R 2n i niech

ω :=

n

X

i=1

dx i ∧ dy i . Obliczy¢ ω ∧ . . . ∧ ω (n-razy).

Zadanie 12. Niech (x 1 , y 1 , . . . , x n , y n , z) b¦d¡ wspóªrz¦dnymi na R 2n+1 i niech

ω := dz +

n

X

i=1

x i dy i . Obliczy¢ α ∧ (dα ∧ . . . ∧ dα) (n-razy).

Zadanie 1. Niech V b¦dzie n-wymiarow¡ przestrzeni¡ wektorow¡ i niech A : V → V b¦dzie odwzorowaniem liniowym. Poka», »e Λ ⁿ A : Λ ⁿ (V ) → Λ ⁿ (V ) postaci

Λ ⁿ A(v ₁ ∧ . . . ∧ v _n ) := (Av ₁ ) ∧ . . . ∧ (Av _n ) ma posta¢ (Λ ⁿ A)(w) = (det A)w dla dowolnego w ∈ Λ ⁿ (V ) .

Zadanie 2. Wprowadzi¢ nast¦puj¡ce ω ∈ Λ ² (V ^∗ ) do postaci kanonicznej i ustali¢ jej rz¡d:

ω = θ ¹ ∧ θ ² + 2θ ² ∧ θ ³ + 3θ ³ ∧ θ ¹ , ω = θ ¹ ∧ θ ³ + 3θ ¹ ∧ θ ² + θ ² ∧ θ ³ − θ ¹ ∧ θ ⁴ Zadanie 3. Niech ω ∈ Λ ^k (V ^∗ ) i niech v ∈ V . Zdeniujemy

ι _v ω(v ₁ , . . . , v _k−1 ) := ω(v, v ₁ , . . . , v _k−1 ).

Dowie±¢, »e je»eli ω ¹ ∈ Λ ^k (V ^∗ ) i ω ² ∈ Λ ^p (V ^∗ ) , to

ι _v (ω ¹ ∧ ω ² ) = (ι _v ω ¹ ) ∧ ω ² + (−1) ^k ω ¹ ∧ ι _v ω ² . Formy ró»niczkowe

x ² + y ² , ω := p

x ² + y ² dx ∧ dy.

ω := xdy + ydz + zdx, ω := xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy, ω := x ² dy ∧ dz + y ² dz ∧ dx + z ² dx ∧ dy.

ω ₁ := e ^xy+z

dx, ω ₂ :=

x ² _i dx ₁ ∧ . . . ∧ b dx _i ∧ . . . ∧ dx _n

wdzie c dx _i oznacza, »e ten wyraz zostaª wykre±lony z iloczynu zewn¦trnego.

α := xdx − ydy, β := zdx ∧ dy + xdy ∧ dz, γ := zdy b¦d¡ formami ró»niczkowymi na R ³ . Obliczy¢

Cofni¦cie form ró»niczkowych, zamiana zmiennych, pochodna i iloczyn zewn¦trzny Zadanie 7. Niech φ : R ^m → R ⁿ i m < n. Poka», »e je»eli ω ∈ Ω ^k (R ⁿ ) i k > m to φ ^∗ ω = 0 .

Zadanie 8. Niech φ : (x 1 , . . . , x _n ) ∈ R ⁿ 7→ (y ₁ , . . . , y _n ) ∈ R ⁿ i niech ω = dy 1 ∧ . . . ∧ dy _n . Poka», »e

φ ^∗ ω = det[T φ]dy ₁ ∧ . . . ∧ dy _n , gdzie

. . . _∂x ^∂y

. . . _∂x ^∂y

. . . _∂x ^∂y

Zadanie 9. Niech φ : (x 1 , x ₂ ) ∈ R ² 7→ (x ³ ₁ x ₂ , log(x ₁ + x ₂ )) ∈ R ² i niech ω = dy 1 ∧ dy ₂ . Obliczy¢ φ ^∗ ω .

Zadanie 10. Niech ω = dx ∧ dy ∧ dz. Obliczy¢ φ ^∗ ω dla:

φ : (r, θ, φ) ∈ R ⁺ ×]0, 2π[ ² 7→ (r cos φ sin θ, r sin φ sin θ, r cos θ) ∈ R ³ φ : (τ, φ, σ) ∈ R + ×]0, 2π[ ² 7→ (a sinh τ

cosh τ − cos σ ) ∈ R ³ .

Zadanie 11. Niech (x 1 , y ₁ , . . . , x _n , y _n ) b¦d¡ wspóªrz¦dnymi na R ²ⁿ i niech

dx _i ∧ dy _i . Obliczy¢ ω ∧ . . . ∧ ω (n-razy).

Zadanie 12. Niech (x 1 , y ₁ , . . . , x _n , y _n , z) b¦d¡ wspóªrz¦dnymi na R ²ⁿ⁺¹ i niech

x _i dy _i . Obliczy¢ α ∧ (dα ∧ . . . ∧ dα) (n-razy).

Zadanie 13. Znale¹¢ przestrze« styczn¡ w punkcie (2, 1, 0) powierzchni x ² − y ² + z ² = 3.

Czy pole wektorowe y∂ x + x∂ _y jest styczne do tej powierzchni. Znale¹¢ krzyw¡ caªkow¡

Zadanie 14. Znale¹¢ przestrze« styczn¡ w punktach (1, 0, 0) oraz (0, 1, 0) krzywej x ² + y ² = 1, x + y + z = 1.

ω = e ^x

^+y

ω = a(x, y, z)dx + b(x, y, z)dy + c(x, y, z)dz b¦dzie 1-form¡ ró»niczkow¡ na R ³ i dω = 0. Zdeniujemy

Dowie±¢, »e df = ω. Korzystaj¡c z tego, znale¹¢ funkcj¦ g ∈ Ω ⁰ (R ³ ) tak¡, »e dg = α dla

2x ² − xy + y ² , O := {(x, y) : y > 0}, (b) ω = yzdx − x log x(zdy + 2ydz)

xy ² z ³ , O := {(x, y, z) : x, y, z > 0}.

Zadanie 18. Znale¹¢ form¦ θ ∈ Ω ¹ (O) tak¡, »e dθ = ω dla ω = 1

z ³ (xdy ∧ dz + ydz ∧ dx + zdx ∧ dy) ∈ Ω ² (O), gdzie O := {(x, y, z) : z > 0} oraz φ : O × [0, 1] → O jest dane wzorami

(a) φ(x, y, z, t) = (tx, ty, 1 − t + tz), (b) φ(t, x, y, z) := (tx, ty, z ^t ).