• Nie Znaleziono Wyników

Niech d b edzie metryk a, za± r dodatni a liczb a rzeczywist a

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Niech d b edzie metryk a, za± r dodatni a liczb a rzeczywist a"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Topologia II: ¢wiczenia 1

1. Poka», »e poni»sze funkcje s a metrykami w Rn:

d(x, y) = v u u t

n

X

i=1

(xi− yi)2, d(x, y) =

n

X

i=1

|xi− yi|, d(x, y) =max1≤i≤n|xi− yi|, d −metryka dyskretna.

2. Uzasadnij, »e d(x, y) = (x − y)2 nie okre±la metryki na R.

3. Poka», »e d(x, y) = min1≤i≤n|xi− yi| nie okre±la metryki na Rn. 4. Niech d b edzie metryk a, za± r dodatni a liczb a rzeczywist a. Poka», »e

dr, gdzie dr(x, y) = r · d(x, y)jest równie» metryk a.

5. Niech d b edzie metryk a. Uzasadnij, »e d0 jest metryk a, je»eli:

d0(x, y) = d(x, y) 1 + d(x, y).

6. Niech n b edzie dowoln a liczb a naturaln a oraz niech Xn oznacza zbiór wszystkich sªów dªugo±ci n (to znaczy ci agów dªugo±ci n). W teorii kodowania rozwa»a si e funkcj e d : Xn× Xn→ N0 deniowan a przez:

d(w, v) = ilo±¢ pozycji, na których w sªowach w i v wyst epuj a ró»ne litery.

(a) Pokaza¢, »e d jest metryk a w Xn (jest to tzw. metryka Ham- minga).

(b) Czy d nadal b edzie metryk a, je»eli w powy»szej denicji sªowo ró»ne zast apimy przez takie same?

7. Przypomnij sobie, jak wygl adaj a kule w przestrzeniach metrycznych z punktu 1, przy n = 2.

8. Sprawdzi¢, czy funkcja d : N × N → R+ dana wzorem d(n, m) =

1 n 1

m

∀n, m ∈ N+

jest metryk a w N. Je±li tak, to jak wygl adaj a kule B(1, 1), B(3,12) w tej metryce.

9. Niech (X, d) b edzie przestrzeni a metryczn a. Pokaza¢, »e je»eli x0 X, R > 0, x1 ∈ B(x0, R) oraz r1 = R − d(x0, x1), to r1 > 0 oraz B(x1, r1) ⊂ B(x0, R).

10. Pokaza¢, »e w (X, d) kule s a zbiorami otwartymi.

1

Cytaty

Powiązane dokumenty

ma niesko ´nczenie wiele rozwi ˛ aza ´n zale ˙znych od .... parametrów

Dwa układy korali uważamy za równoważne, jeśli jeden można uzyskać z drugiego przez obrót okręgu..

Ka˙zda transformacja unitarna w (B) ⊗k mo˙ze by´ c zapisana jako iloczyn jednokubitowych transformacji unitarnych i dwukubitowych transformacji postaci CNOT zastosowanych

Za każde poprawne i pełne rozwiązanie (również inne niż podane w kluczu odpowiedzi) przyznajemy maksymalną liczbę punktów należnych za zadanie.. Uwagi dotyczące sprawdzania

Banacha o operatorze odwrotnym) Je˙zeli A jest operatorem liniowym ograniczonym odwzorowuj¸ acym wzajem- nie jednoznacznie przestrze´ n Banacha X na przestrze´ n Banacha Y , to

Give and example of probability space such that the number of elementary events is greater than number of events3. The coin is tossed

Niech F b¸edzie sko´nczonym

Znale¹¢ wªa±ciwy ideaª pierwszy Z[X], który nie jest