jest dokªadny, gdy dla ka»dego i mamy

Pier±cienie Dedekinda, Lista 7

Niech M i N b¦d¡ R-moduªami. Ci¡g homomorzmów R-moduªów . . . → M _i → M _i+1 → M _i+2 → . . .

jest dokªadny, gdy dla ka»dego i mamy

im(M i → M i+1 ) = ker(M i+1 → M i+2 ).

1. Udowodni¢, »e je±li M jest projektywny, to M jest pªaski, tzn. funktor

· ⊗ _R M jest dokªadny, tzn. dla ka»dego ci¡gu dokªadnego R-moduªów 0 → M ₁ → M ₂ → M ₃ → 0 , indukowany ci¡g R-moduªów

0 → M ⊗ R M 1 → M ⊗ R M 2 → M ⊗ R M 3 → 0 jest dokªadny.

2. Niech S ⊆ R b¦dzie podzbiorem multyplikatywnym. Udowodni¢, »e:

(a) M S ∼ = R S ⊗ R M (izomorzm R S -moduªów), (b) (M ⊗ _R N) _S ∼ = M S ⊗ _R

N _S ∼ = M S ⊗ _R N _S .

3. Niech f : M → N b¦dzie homomorzmem. Udowodni¢, »e f jest monomorzmem (epimorzmem, izomorzmem) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego P ∈ Spec(R), f P : M _P → N _P jest monomorzmem (epimorzmem, izomorzmem).

4. Zaªó»my, »e (R, P ) jest pier±cieniem lokalnym i M jest sko«czenie gen- erowany. Udowodni¢ (korzystaj¡c z tw. Cayley'a-Hamiltona), »e:

(a) Je±li P M = M, to M = {0} (Lemat Nakayamy).

(b) Je±li {m 1 , . . . , m n } jest minimalnym zbiorem generatorów M, to {m ₁ +P M, . . . , m _n +P M} jest baz¡ M/P M jako R/P -przestrzeni liniowej.

(c) Istnieje wolny R-moduª F i epimorzm F → M taki, »e in- dukowany homomorzm F/P F → M/P M jest izomorzmem.

(d) Jesli M jest projektywny, to M jest wolny.

5. Niech p b¦dzie liczb¡ pierwsz¡ i dla ka»dej x ∈ Q ^∗ we¹my k, m, n ∈ Z takie, »e p - n, p - m oraz x = p ^{k n} _m . Deniujemy v p (x) := k . Udowod- ni¢, »e dla ka»dych a, b ∈ Q ^∗ mamy:

(a) v p (ab) = v p (a) + v p (b) ,

(b) v _p (a + b) > min(v _p (a), v _p (b)) .

1