Cwiczenie 2. Rozwi¸ ´ a˙z r´ ownania w ciele C:

ALGEBRA I R

Kolokwium pr´ obne I

Instrukcje: Ka˙zde zadanie jest za 4 punkt´ ow. Rozwi¸ azanie ka˙zdego zadania musi znaj- dowa´ c si¸e na osobnej kartce oraz by´ c napisane starannie i czytelnie. W nag l´ owku ka˙zdego rozwi¸ azania musz¸ a znajdowa´ c si¸e dane wype lnione wed lug schematu: nr zadania, imi¸ e i nazwisko, nazwisko prowadz¸ acego ´ cwiczenia.

Cwiczenie 1. Podaj przyk lad nie-zerowego wielomianu P (X) o wsp´ ´ o lczynnikach w ciele Z 3 takiego, ˙ze stowarzyszona z P (X) funkcja wielomianowa jest r´ owna zeru, czyli P (ξ) = 0 dla ka˙zdego ξ ∈ Z 3 .

Cwiczenie 2. Rozwi¸ ´ a˙z r´ ownania w ciele C:

a) z ² + (2 − 6i)z + (−17 − 6i) = 0, b) (z ⁴ − 2 − 3i)(z ² + z) = 0.

Cwiczenie 3. Obliczy´ ´ c wszystkie warto´sci wyra˙zenia

3

q

5 − i + √ 8 + 6i.

Cwiczenie 4. Poda´ ´ c baz¸e i wymiary pow lok liniowych V ₁ = ha ₁ , a ₂ , a ₃ i oraz V ₂ = hb 1 , b 2 , b 3 i, gdzie

a ₁ = (1, 2, 1, 1), a ₂ = (1, 1, −1, 2), a ₃ = (−1, 0, 3, −3), b ₁ = (1, 2, 2, 1), b ₂ = (2, 3, −1, 2), b ₃ = (1, 1, −3, 1).

Czy R ⁴ = V ₁ ⊕ V ₂ ?

Cwiczenie 5. Funkcje u, v : X → R na zbiorze X 6= ∅ spe lniaj¸a warunek: ka˙zda ´ kombinacja liniowa u i v jest funkcj¸ a sta lego znaku, tzn. ta funkcja jest nieujemna na ca lem zbiorze X lub niedodatnia na ca lem zbiorze X. Dowie´s´ c, ˙ze u i v s¸ a liniowo zale˙zne.

1