Treść ćwiczenia T6: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

(1)

Instrukcja przygotowania i realizacji scenariusza dotyczącego ćwiczenia T6 z przedmiotu "Wytrzymałość materiałów", przeznaczona dla studentów II roku studiów

stacjonarnych I stopnia w kierunku Energetyka na Wydz. Energetyki i Paliw

^*

Treść ćwiczenia T6: Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach

Część I. Pojęcia, definicje i założenia dotyczące wyznaczania sił (obciążeń) wewnętrznych w belkach

P

1

, P

2

, P

3

– obciążenia zewnętrzne czynne elementu mechanicznego, R

1

, R

2

, R

3

- obciążenia zewnętrzne bierne od sił reakcji więzów,

N, T

x

, T

y

, M

x

, M

y

, M

s

– sześć składowych obciążenia wewnętrznego w elemencie me- chanicznym przypisanych do analizowanego przekroju tego elementu nazywanych jako:

• siły (fizyczne) wewnętrzne: N – siła wewnętrzna normalna, T

x

, T

_y

– siły wewnętrzne styczne,

• momenty(fizyczne) wewnętrzne): M

S

- moment wewnętrzny skręcający, M

_x

, M

_y

– momenty

wewnętrzne zginające.

2) Belka: jest to pręt z więzami, zwykle prosty, obciążony w ogólnym przypadku siłami zewnętrz- nymi czynnymi działającymi prostopadle do osi pręta oraz momentami zewnętrznymi czynnymi działającymi w płaszczyznach przechodzących przez oś pręta.

3) Schemat obliczeniowy belki: jest to rysunek przedstawiający rodzaj i usytuowanie więzów względem obciążeń zewnętrznych czynnych belki, tj. zewnętrznych sił czynnych i zewnętrz- nych momentów czynnych) oraz parametry tych obciążeń (rys. 2).

Rys. 2

* Autorem instrukcji jest Marek Płachno, prof. ndzw. AGH. Instrukcja stanowi przedmiot prawa autorskiego określonego w Ustawie o prawie autorskim i prawach pokrewnych (Dz. U. 1994 r. Nr 24 poz.83 z późn. zmianami). Autor nie wyraża zgody na inne wykorzystywanie instrukcji niż podane w jej przeznaczeniu.

1) Obciążenia (siły) wewnętrzne, to w ogólnym przypadku układ środkowy trzech sił N, T

x

, T

y

oraz układ środkowy trzech mo- mentów M

x

, M

y

, M

s

przypisanych do przekroju elementu me-

chanicznego (rys. 1) Rys. 1

(2)

2 4) Belka statycznie wyznaczalna: belka, której obciążenia zewnętrzne bierne (siły i momenty zadawane na belkę przez jej więzy) można obliczyć z równań równowagi statycznej tej belki.

Gdy nie można - belka jest statycznie niewyznaczalna.

5) Obciążenia zewnętrzne belki wywołują w każdym przekroju tej belki - prostopadłym do jej osi - dwa rodzaje obciążeń wewnętrznych:

• siłę tnącą, która działa stycznie do płaszczyzny przekroju,

• moment zginający, który działa w płaszczyźnie prostopadłej do przekroju.

6) Wyniki obliczeń obciążeń wewnętrznych przedstawia się w formie dwu wykresów, z których jeden pokazuje rozkład siły tnącej wzdłuż długości belki, a drugi - rozkład momentu zgina- jącego wzdłuż tej długości.

Część II. Schematy obliczeniowe belek z pojedynczym obciążeniem zewnętrznym czynnym 1) Belka jednostronnie utwierdzona, obciążona jedną siłą zewnętrzną czynną (rys. 3)

Rys. 3

Uwaga: Siła reakcji R

_U

oraz moment utwierdzenia M

_U

są dodatnie, gdy ich zwroty względem siły P są takie jak na rys, 3. W innym przypadku siła reakcji R

U

oraz moment utwierdzenia M

U

są ujemne

2) Belka jednostronnie utwierdzona, obciążona jednym momentem zewnętrznym czynnym (rys.4)

Rys. 4

Uwaga: Moment utwierdzenia M

_U

jest dodatni, gdy jego zwrot względem momentu M jest taki jak na rys, 4. W innym przypadku moment utwierdzenia M

U

jest ujemny.

3) Belka swobodnie podparta, obciążona jedną siłą czynną (rys. 5)

Rys.5.

Uwaga: Siły reakcji R

A

, R

B

są dodatnie, gdy ich zwroty względem siły P są takie jak na rys. 5.

W innym przypadku siły reakcji R

A

, R

B

są ujemne.

Obciążenie czynne belki: siła P Więzy: uchwyt z utwierdzeniem Reakcje:

a u P

M , u P

R ==== ==== ⋅⋅⋅⋅

Obciążenie czynne belki: moment M Więzy: uchwyt z utwierdzeniem

Reakcje:

u M M ,

u ==== 0 ====

R

Obciążenie czynne belki: siła P

Więzy: A - podpora nieprzesuwna z przegubem, B - podpora przesuwna bez tarcia.

Reakcje:

b a P b R B b

a P b

R A

,

==== ++++

(3)

3 a

==== M

==== R B

R A

4) Belka swobodnie podparta, obciążona jednym momentem czynnym działającym między podporami (rys. 6).

Rys. 6

Uwaga: Siły reakcji R

_A

, R

_B

są dodatnie, gdy ich zwroty względem momentu M są takie jak na rys. 6. W innym przypadku siły reakcji R

A

, R

B

są ujemne.

5) Belka swobodnie podparta, obciążona jednym momentem czynnym działającym na podporze ( rys. 7)

Rys. 7

Uwaga: Siły reakcji R

_A

, R

_B

są dodatnie, gdy ich zwroty względem momentu M są takie jak na rys. 6. W innym przypadku siły reakcji R

A

, R

B

są ujemne.

Część III. Wykresy rozkładu obciążeń wewnętrznych dla belek z pojedynczym obcią- żeniem zewnętrznym czynnym

1) Belka jednostronnie utwierdzona, obcią- żona jedną siłą czynną (rys. 8):

Rys. 8

2) Belka jednostronnie utwierdzona, obcią- żona jednym momentem czynnym (rys. 9):

Rys.9

Obciążenie czynne belki: moment M

Więzy: A - podpora nieprzesuwna z przegubem, B - podpora przesuwna bez tarcia.

Reakcje:

b a

M

==== ++++

==== R B

R A

a A P

M , A P

T ==== ==== −−−− ⋅⋅⋅⋅

T 0 , M M

A

⁼⁼⁼⁼⁻⁻⁻⁻

====

(4)

3) Belka swobodnie podparta, obciążona jedną siłą czynną (rys. 10):

Rys. 10

T

CA

- siła tnąca w przekroju C po stronie podpory A

T

B

- siła tnąca w przekroju C po stronie podpory B:

M

_C

– moment zginający w przekroju C, taki sam po stronie podpory A, jak i po stronie podpory B:

4) Belka swobodnie podparta, obciążona jednym momentem czynnym działającym między podporami (rys. 11):

Rys. 11

T

A

, T

B

- siła tnąca w przekrojach podporowych belki:

M

CA

– moment zginający w przekroju C po stronie podpory A:

M

CB

– moment zginający w przekroju C po stronie podpory B.

b a P b T CA

==== ++++

b a P a C B

T ==== −−−− ++++

b a

b P a M C

++++ ⋅⋅⋅⋅

====

b a T M

T A

⁼⁼⁼⁼

B ⁼⁼⁼⁼ ++++

b a M a CA M ⁼⁼⁼⁼ ++++

M

b

a

M b

CB ⁼⁼⁼⁼ ++++

(5)

5) Belka swobodnie podparta, obciążona jednym momentem czynnym działającym na podporze (rys. 12):

Rys. 12

T

A

, T

B

- siła tnąca w przekrojach podporowych belki:

M

_A

– moment zginający w przekroju działania momentu M

6) Zasady określania znaku dla siły tnącej

• Siła tnąca w analizowanym przekroju jest dodatnia, jeżeli siła zewnętrzna po lewej stronie przekroju ma być skierowana do góry, a siła zewnętrzna po prawej stronie tego przekroju ma być skierowana w dół, (rys.13):

Rys. 13

• Siła tnąca w analizowanym przekroju jest ujemna, jeżeli siła zewnętrzna po lewej stronie przekroju ma być skierowana w dół, a siła zewnętrzna po prawej stronie tego przekroju ma być skierowana do góry (rys.14):

Rys.14

a T M

T _A

====

_B ====

−−−−

M

M _A ====

(6)

6 7) Zasady określania znaku dla momentu zginającego

• Moment zginający w analizowanym przekroju jest dodatni, gdy wygina belkę wypukłością w dół (rys.14):

Rys. 14

• Moment zginający w analizowanym przekroju jest ujemny, gdy wygina belkę wypukłością w górę (rys.15):

Rys.15

Część IV. Obliczanie sił wewnętrznych belek z niepojedynczym obciążeniem zewnętrznym czynnym, z zastosowaniem metody superpozycji

1) Wskazówki:

• Obciążenia wewnętrzne w każdym przekroju belki, wywołane przez kilka obciążeń zewnętrz- nych tej belki są sumą algebraiczną cząstkowych obciążeń wewnętrznych wywołanych przez każde z obciążeń zewnętrznych działające oddzielnie (zasada superpozycji).

• Dla każdego obciążenia zewnętrznego czynnego przyjmuje się schemat obliczeniowy belki za- wierający tylko to obciążenie zewnętrzne, po czym dla tego schematu sporządza się wykres roz- kładu dla cząstkowej siły tnącej oraz wykres rozkładu dla cząstkowego momentu zginającego.

• Rozkład całkowitej siły tnącej jest sumą algebraiczną cząstkowych rozkładów tej siły, a rozkład

całkowitego momentu gnącego jest sumą algebraiczną cząstkowych rozkładów tego momentu.

(7)

7 kN 20 P

T T

kNm 20 a

P M

kN 20 P

R

BP AP

UP UP

−−−−

====

−−−−

====

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

−−−−

====

−−−−

====

2) Przykład obliczeniowy dla belki jednostronnie utwierdzonej Dla belki jednostronnie utwierdzonej obciążonej

zewnętrznie jak na rys.16 opracować wykres roz- kładu siły tnącej oraz wykres rozkładu momentu zginającego stosując zasadę superpozycji. Wyko- nać stosowne obliczenia, a wykresy sporządzić z zachowaniem proporcji pomiędzy poszczegól- nymi wartościami obciążeń wewnętrznych.

• Wykres rozkładu siły tnącej cząstko- wej i całkowitej:

Rys. 16

• Obliczenia do rozkładu siły tnącej:

m 1 a

kNm, 10

M , kN 20 P

====

0 T

T

kNm 10 M M

, 0 R

BM AM

UM UM

====

kN 20 0

20 T

T T

kN 20 0

20 T

T T

kNm 10 10

20 M

M M

kN 20 0

20 R

R R

BM BP

B

AM AP

A

UM UP

U

UM UP

U

−−−−

====

++++

−−−−

====

++++

====

−−−−

====

++++

−−−−

====

++++

====

−−−−

====

++++

−−−−

====

++++

====

−−−−

====

++++

−−−−

====

++++

====

(8)

• Wykres rozkładu momentu zginającego cząstkowego i całkowitego:

3) Zadanie domowe dla belki jednostronnie utwierdzonej

Dla belki jednostronnie utwierdzonej, obciążonej zew- nętrznie jak na rys.17 opracować wykres rozkładu siły tnącej oraz wykres rozkładu momentu zginającego stosując zasadę superpozycji. Wykonać stosowne obliczenia, a wykresy sporządzić z zachowaniem proporcji pomiędzy poszczególnymi wartościami obciążeń wewnętrznych.

• Obliczenia do rozkładu momentu zginającego:

Rys. 17 m

1 a

kNm, 10

M , kN 20 P

====

0 M

, kNm 20 a P M

kNm 20 a

P M

kN 20 P

R

BP AP

UP UP

====

⋅⋅⋅⋅

====

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

−−−−

====

−−−−

====

kNm 10 M

M

kNm 10 M

M

kNm 10 M M

, 0 R

BM AM

UM UM

−−−−

====

−−−−

====

−−−−

====

−−−−

====

kNm 10 10

0 M

M M

kNm 10 10 20 M

M M

10 10

20 M

M M

kN 20 0

20 R

R R

BM BP

B

AM AP

A

UM UP

U

UM UP

U

−−−−

====

−−−−

====

++++

====

−−−−

====

++++

====

−−−−

====

++++

−−−−

====

++++

====

−−−−

====

++++

−−−−

====

++++

====

(9)

4) Przykład obliczeniowy dla belki swobodnie podpartej Dla belki swobodnie podpartej, obciążonej zew-

nętrznie jak na rys. 18, opracować wykres rozkła- du siły tnącej oraz wykres rozkładu momentu zgi- nającego stosując zasadę superpozycji. Wykonać stosowne obliczenia, a wykresy sporządzić z zachowaniem proporcji pomiędzy poszczególnymi wartościami obciążeń wewnętrznych.

• Wykres rozkładu siły tnącej cząstkowej i całkowitej:

Rys. 18:

• Obliczenia do rozkładu siły tnącej:

Uwaga:

T

CAP

- siła tnąca w przekroju C po stronie podpory A, wywołana przez siłę zewnętrzna P, T

CBP

- siła tnąca w przekroju C po stronie podpory B wywołana przez siłę zewnętrzna P.

kNm 2 3 M , kN 10

P ==== ====

kN 5 , 2 R

T T

T

kN 5 , 7 R T

T

kN 5 , 2 5 , 7 10 R

P R

kN 5 , 7 3 10

2 3 P 3

b a R b

BP DP

CBP BP

AP CAP

AP

AP BP

1 1

1 AP

−−−−

====

−−−−

====

−−−−

====

−−−−

====

++++ ⋅⋅⋅⋅

==== ++++

++++ ⋅⋅⋅⋅

====

kN 0 , 4 R R

T T T T

kN 0 , 3 4 5

32 b

a R M

kN 0 , 3 4 5

32 b

a R M

BM AM

DM CM BM AM

2 2 BM

2 2 AM

====

−−−−

====

−−−−

++++ ====

−−−−

++++ ====

−−−−

====

++++ ====

====

kN 5 , 1 0 , 4 5 , 2 T

T T

kN 5 , 11 0 , 4 5 , 7 T T T

kN 5 , 1 0 , 4 5 , 2 R R R

kN 5 , 11 0 , 4 5 , 7 R R R

BM BP B

AM AP A

BM BP

B

AM AP

A

====

++++

−−−−

====

++++

====

++++

====

++++

====

−−−−

====

−−−−

====

++++

====

++++

====

++++

====

(10)

• Wykres rozkładu momentu zginającego cząstkowego i całkowitego:

• Obliczenia do rozkładu momentu zginającego:

Uwaga:

M

_DAM

- moment zginający w przekroju D po stronie podpory A, wywołany przez moment zewnętrzny M, M

_DBM

- moment zginający w przekroju D po stronie podpory B, wywołany przez moment zewnętrzny M.

4) Zadanie domowe

Rys. 19

Koniec instrukcji

kNm 2 3 M , kN 10

P ==== ====

kNm 5 , 6 7 15 3 1 b

2 M b M

kNm 0 , 15 6 10

2 6 P 2

b a

b M a

kN 5 , 2 5 , 7 10 R

P R

kN 5 , 7 3 10 2 P 6 b a R b

CP DP

1 1

1 1 CP

AP BP

1 1

1 AP

====

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

====

++++ ⋅⋅⋅⋅

==== ⋅⋅⋅⋅

++++ ⋅⋅⋅⋅

==== ⋅⋅⋅⋅

====

−−−−

====

−−−−

====

++++ ⋅⋅⋅⋅

====

++++ ⋅⋅⋅⋅

====

kNm 0 , 12 3 32

5 M 3 b a M b

kNm 8 5 20 M 2

a M a

kNm 0 , 20 6 32

2 M 5 b a M a

kN 0 , 3 4 5

32 b

a R M

kN 0 , 3 4 5

32 b

a R M

2 2

2 DBM

DAM 2

1 CM

2 2

2 DAM

2 2 BM

2 2 AM

−−−−

====

++++ ⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

++++ ⋅⋅⋅⋅

−−−−

====

⋅⋅⋅⋅

====

⋅⋅⋅⋅

====

++++ ⋅⋅⋅⋅

====

++++ ⋅⋅⋅⋅

====

−−−−

++++ ====

−−−−

++++ ====

−−−−

====

++++ ====

====

kNm 5 , 4 0 , 12 - 5 , 7 M

M M

kNm 5 , 27 0 , 20 5 , 7 M

M M

kN 0 , 23 0 , 8 0 , 15 M

M M

kN 5 , 1 0 , 4 5 , 2 R R R

kN 5 , 11 0 , 4 5 , 7 R R R

DBM DP

DB

DAM DP

DA

CM CP C

BM BP B

AM AP A

−−−−

====

++++

====

++++

====

++++

====

++++

====

++++

====

−−−−

====

−−−−

====

++++

====

++++

====

++++

====

Dla belki obciążonej zewnętrznie jak na rys.19 opraco-

wać wykresy rozkładu dla siły tnącej oraz momentu zgi-

nającego z zachowaniem proporcji pomiędzy poszcze-

gólnymi wartościami obciążeń wewnętrznych.