C O L L O Q U I U M M A T H E M A T I C U M VOL. 77 1998 NO. 1

(1)

VOL. 77 1998 NO. 1

UN EXEMPLE DE SOUS-GROUPE ADDITIF DE L’ESPACE DE HILBERT

PAR

ROBERT C A U T Y (PARIS)

1. Introduction. Le but de cet article est de construire l’exemple sui- vant, qui résout un problème de T. Dobrowolski ([2], o` u une erreur ty- pographique a remplacé 0 ≤ m < n ≤ ∞ par 1 ≤ m ≤ n ≤ ∞; voir aussi [1], question 5.9 et [7], question L.S.18).

Th´ eor` eme. Il existe un sous-groupe σ-compact G de l’espace de Hilbert qui est LC ⁰ mais pas LC ¹ . Le compl´ et´ e b G de G est aussi LC ⁰ mais pas LC ¹ .

Pour un compact pointé (X, ∗), soit A(X) le groupe topologique abélien libre sur (X, ∗). Prenant pour X un bouquet dénombrable de 1-sphères, nous obtiendrons G comme l’image de A(X) par un homomorphisme judicieuse- ment choisi. Dans ce but, nous construirons d’abord un homomorphisme ψ de A(S ¹ ) dans ℓ ² induisant des équivalences homotopiques faibles de A(S ¹ ) dans H = ψ(A(S ¹ )) et dans le complété de H.

2. Pr´ eliminaires. Nous notons I le segment [0, 1]. Pour tout entier n ≥ 0, nous notons respectivement S ⁿ et B ⁿ⁺¹ la sphère unité et la boule unité de l’espace euclidien R ⁿ⁺¹ . Rappelons qu’un espace topologique X est dit LC ⁿ si, pour tout point x de X et tout voisinage U de x, il existe un voisinage V de x contenu dans U tel que, pour 0 ≤ k ≤ n, toute fonction continue de S ^k dans V se prolonge en une fonction continue de B ^k+1 dans U . X est dit C ⁿ si, pour 0 ≤ k ≤ n, toute fonction continue de S ^k dans X est inessentielle. X est dit LC ^∞ (resp. C ^∞ ) s’il est LC ⁿ (resp. C ⁿ ) pour tout entier n. Un sous-ensemble A de X est dit localement n-négligeable si, pour tout ouvert U de X et tout entier k ≤ n, le groupe d’homotopie relative π _k (U, U \ A) est trivial.

Lemme 1. Soient G un groupe abélien métrisable et b G son complété.

Si G est LC ⁿ , alors b G est aussi LC ⁿ et b G \ G est localement n-n´egligeable dans b G.

1991 Mathematics Subject Classification: 22A05, 54C55.

[147]

(2)

D é m o n s t r a t i o n. Soit d une distance invariante sur b G. Il est facile de voir que G est ULC ⁿ (au sens de [4]), donc b G est LC ⁿ d’après le théorème 4 de [4]. La n-négligeabilité locale de b G \ G résulte du théorème 1 de [4] et du théorème 2.3 de [6].

Si X est un espace m´etrique et x un point de X, nous notons B(x, ε) la boule ouverte de centre x et de rayon ε. Pour n entier ≥ 0, nous dirons qu’une fonction f : Y → X est n-inessentielle si, pour tout k ≤ n et toute fonction g : S ^k → Y , la fonction f ◦ g est inessentielle.

Lemme 2. Supposons que l’espace m´etrique X soit r´eunion d’une suite croissante de ferm´ es {X k } ^∞ _k=1 v´ erifiant

(H _n ) Pour tout x ∈ X et pour tout ε > 0, il existe 0 < δ < ε tel que, pour tout k, il existe un entier q = q(k, ε) ≥ k tel que l’inclusion de B(x, δ) ∩ X k dans B(x, ε) ∩ X q soit n-inessentielle.

Alors X est LC ⁿ et, pour tout x ∈ X et tout j < n, π _j (X, x) = lim −→ π ^j (X _k , x).

D é m o n s t r a t i o n. Pour montrer que X est LC ⁿ , il suffit de prouver que si A est un fermé d’un espace métrique séparable Y tel que Y \ A soit un polyèdre localement fini de dimension ≤ n + 1 et si f est une fonction continue de A dans X, alors f peut se prolonger ` a un voisinage de A dans Y (cela se prouve comme le théorème V.2.1 de [5]). Nous pouvons supposer Y \ A triangulé de fa¸con que diam(σ) < d(σ, A) pour tout simplexe σ.

Notant N ^m le m-squelette de Y \ A, il suffit de construire par r´ecurrence, pour 0 ≤ m ≤ n + 1, un voisinage V _m de A dans A ∪ N ^m et une fonction continue f m : V m → X prolongeant f . En outre, nous imposerons `a f m la condition que, pour tout simplexe σ de N ^m contenu dans V _m , il existe un entier k(σ) tel que f _m (σ) ⊂ X _k(σ) .

Posons V 0 = A ∪ N ⁰ . Pour obtenir f 0 , il suffit de prendre, pour tout v ∈ N ⁰ , un point a v ∈ A tel que d(v, a v ) < 2d(v, A), et de poser f 0 (v) = f (a v ).

Soit 1 ≤ m ≤ n + 1 et supposons V _m−1 et f _m−1 construits. Notant ˙σ le bord d’un simplexe σ, il r´esulte de notre condition sur f m−1 que, si σ est un m-simplexe de Y \ A tel que ˙σ ⊂ V m−1 , alors il existe un entier k(σ) tel que f m−1 ( ˙σ) ⊂ X _k(σ) . Pour un tel simplexe σ, soit P _σ l’ensemble des fonctions continues g de σ dans X prolongeant f m−1 | ˙σ et telles qu’il existe un entier l (d´ependant de g) tel que g(σ) ⊂ X l , et posons

δ(σ) =

inf{diam g(σ) | g ∈ P _σ } si P σ 6= ∅,

∞ si P _σ = ∅.

Soit S m l’ensemble des m-simplexes σ de Y \ A tels que ˙σ ⊂ V m−1 et que δ(σ) < ∞. Soit V _m = V _m−1 ∪ S

{σ | σ ∈ S m }. Pour σ ∈ S m , prenons g _σ ∈ P σ telle que diam g _σ (σ) < 2δ(σ), et d´efinissons f _m : V _m → X par

f _m |V m−1 = f m−1 , f _m |σ = g σ ∀σ ∈ S m .

(3)

Il résulte de la condition (H _n ) que V _m est un voisinage de A dans A ∪ N ^m et que f m est continue. Par construction, f m vérifie la condition supplémentaire souhaitée.

Puisque X est LC ⁿ , deux fonctions suffisamment proches d’un complexe simplicial de dimension ≤ n dans X sont homotopes par une homotopie qui est stationnaire sur l’ensemble des points o` u elles co¨ıncident. Pour prouver la deuxi`eme affirmation du lemme, il suffit donc de v´erifier le fait suivant :

Affirmation. Soient K un complexe simplicial fini de dimension ≤ n, L un sous-complexe de K, U un recouvrement ouvert de X, k un entier ≥ 1 et f une fonction continue de K dans X telle que f (L) ⊂ X k . Il existe une fonction continue g de K dans X et un entier k ^′ v´ erifiant

(i) g|L = f |L, (ii) g(K) ⊂ X _k ^′ ,

(iii) pour tout x ∈ K, il existe U ∈ U contenant {f (x), g(x)}.

Nous prouverons cela par récurrence sur la dimension m de K \ L, le résultat étant trivial pour m = 0. Soit 1 ≤ m ≤ n, et supposons l’affirmation vraie quand la dimension de K \ L est ≤ m − 1. L’hypothèse (H n ) nous permet de trouver un recouvrement ouvert V de X tel que, pour tout V ∈ V, il existe U ∈ U contenant V et tel que, pour tout entier k, il existe q ≥ k tel que l’inclusion de V ∩ X k dans U ∩ X q soit n-inessentielle.

Soit W un recouvrement ouvert de X tel que, pour tout W ∈ W, St(W, W) = S

{W ^′ ∈ W | W ∩ W ^′ 6= ∅} soit contenu dans un élément de V. Triangulons K de fa¸con que, pour tout simplexe σ de K, f (σ) soit contenu dans un élément de W. Notant K ^m−1 le (m − 1)-squelette de K, l’hypothèse de récurrence nous permet de trouver un entier k 0 et une fonc- tion g ^′ : K ^m−1 ∪ L → X tels que g ^′ |L = f |L, g ^′ (K ^m−1 ∪ L) ⊂ X k 0 et que, pour tout x ∈ K ^m−1 ∪ L, il existe W ∈ W contenant {f (x), g ^′ (x)}. Notons que, si σ est un m-simplexe de K \ L de bord ˙σ et si W σ est un élément de W contenant f (σ), alors f (σ) ∪ g ^′ ( ˙σ) est contenu dans St(W _σ , W). Soit V _σ un élément de V contenant St(W _σ , W). Nous pouvons trouver U _σ ∈ U contenant V _σ et un entier k _σ ≥ k 0 tels que V _σ ∩ X k ⁰ ֒→ U _σ ∩ X k σ soit inessentielle. Il existe donc une fonction g σ : σ → X k σ prolongeant g ^′ | ˙σ.

Posant k ^′ = sup _σ k _σ et définissant g par g|K ^m−1 ∪ L = g ^′ et g|σ = g _σ pour tout m-simplexe de K \ L, nous constatons que les conditions (i)–(iii) sont vérifiées.

3. Description de l’exemple. Fixons un point de base dans la 1- sphère S ¹ et notons A(S ¹ ) le groupe topologique abélien libre sur l’espace pointé (S ¹ , ∗). Algébriquement, c’est le groupe abélien libre de base S ¹ \{∗}.

Pour k ≥ 0, notons A _k le sous-ensemble de A(S ¹ ) form´e des points de la forme P

x n _x x o` u x parcourt S ¹ \ {∗} et o` u les entiers n _x sont presque tous

(4)

nuls et v´erifient P

x |n x | ≤ k. L’espace A(S ¹ ) est un CW-complexe qui est réunion de la suite croissante de sous-complexes finis A k (voir [3] pour plus de détails). S ¹ s’identifie naturellement ` a un sous-espace de A ₁ . Le résultat suivant est un cas particulier de l’affirmation II du théorème 6.10 de [3].

Lemme 3. L’inclusion de S ¹ dans A(S ¹ ) est essentielle.

Soit ψ un plongement de S ¹ dans ℓ ² tel que ψ(∗) = 0 et que ψ(S ¹ \ {∗}) soit linéairement indépendant. La fonction ψ se prolonge en un homo- morphisme continu et bijectif ψ de A(S ¹ ) sur le sous-groupe H de ℓ ² en- gendré par ψ(S ¹ ). Pour k ≥ 0, soit A ^′ _k = ψ(A k ). Pour ε > 0, posons B(ε) = {x ∈ H | kxk < ε}. La proposition suivante sera prouvée au para- graphe 4.

Proposition. Il est possible de choisir ψ de fa¸con que H ait les pro- pri´ et´ es suivantes :

(A) Pour 0 < δ < 1/2 et pour tout k ≥ 0, B(δ) ∩ A ^′ _k est C ^∞ . (B) Pour tout ε > 0, B(ε) est connexe par arcs.

Dans toute la suite de ce paragraphe, nous supposons que ψ et H v´erifient (A) et (B).

Lemme 4. H est LC ^∞ .

D é m o n s t r a t i o n. Soit x ∈ H, et soit m tel que A ^′ _m contienne x. Soient 0 < δ < 1/2 et k ≥ 1. Soit f : S ⁿ → B(x, δ) ∩ A ^′ _k une fonction continue. La fonction g(y) = f (y) − x envoie S ⁿ dans B(δ) ∩ A ^′ _k+m ; d’après (A), elle a un prolongement g : B ⁿ⁺¹ → B(δ) ∩ A ^′ _k+m . Alors la fonction f (y) = g(y) + x est un prolongement continue de f ` a valeurs dans B(x, δ) ∩ A ^′ _k+2m . Cela montre que H et les A ^′ _k vérifient la condition (H _n ) du lemme 2 pour tout n ≥ 0, d’o` u le résultat.

Soit b H le compl´et´e de H, et soient ψ ^′ et ψ ^′′ les fonctions de S ¹ dans H et b H induites par ψ.

Lemme 5. ψ ^′ et ψ ^′′ sont essentielles.

D é m o n s t r a t i o n. D’après les lemmes 1 et 4, l’inclusion de H dans H est une équivalence homotopique faible, donc il suffit de considérer le b cas de ψ ^′ . Comme ψ ^′ est la composée de ψ et de l’inclusion de S ¹ dans A(S ¹ ), il suffit, d’après le lemme 3, de montrer que ψ est une équivalence homotopique faible. Mais A(S ¹ ) est la réunion des complexes connexes A _k , donc π _i (A(S ¹ )) = lim −→ π ⁱ (A _k ) pour tout i ≥ 0 et, comme ψ envoie homéomorphiquement A k sur A ^′ _k , il suffit de vérifier que π i (H) = lim −→ π ⁱ (A k ), ce qui résulte du lemme 2 et de la démonstration du lemme 4.

Pour i ≥ 1, soit L _i une copie de l’espace de Hilbert, et soit L = L

ℓ ² L _i

la somme hilbertienne des L _i . Nous notons r _i la projection orthogonale de L

(5)

sur L _i . Soit X = W ∞

i=1 (S _i , ∗) un compact m´etrisable qui est un bouquet de 1-sph`eres, i.e. chaque (S i , ∗) est une copie de (S ¹ , ∗), X = S ∞

i=1 S i , S i ∩S j = {∗} si i 6= j et le diam`etre de S i tend vers z´ero quand i tend vers l’infini.

Pour tout i, soit ψ _i : S _i → L i une copie de ψ, i.e. ψ _i = ψ ◦ j _i o` u j _i est un hom´eomorphisme de (S i , ∗) sur (S ¹ , ∗). Prolongeons ψ i ` a X en posant ψ _i (x) = 0 si x 6∈ S _i . D´efinissons une fonction continue ϕ : X → L par

ϕ(x) = X ∞

i=1

1 i ψ i (x).

Alors, ϕ est un plongement de X dans L tel que ϕ(∗) = 0 et que ϕ(X \ {∗}) soit linéairement indépendant. Soit G le sous-groupe de L engendré par ϕ(X). Evidemment, G est σ-compact.

Soit K _i le sous-groupe de L engendré par ϕ(S _i ), et soit b K _i son complété.

K i est une copie de H multipliée par 1/i, donc le lemme 5 entraˆıne que l’inclusion de ϕ(S _i ) dans K _i ou b K _i est essentielle. Remarquons que la res- triction de r _i ` a G rétracte G sur K _i ; r _i rétracte donc aussi b G sur b K _i . Par conséquent, l’inclusion de ϕ(S i ) dans G ou b G est essentielle. Comme tout voisinage de 0 dans G contient ϕ(S _i ) pour i assez grand, cela montre que G et b G ne sont pas LC ¹ .

Utilisant le lemme 1, il suffit, pour prouver que G et b G sont localement connexes par arcs, de vérifier que, pour tout ε > 0, la boule ouverte B _G (ε) = {x ∈ G | kxk < ε} est connexe par arcs. Pour ε > 0 et i ≥ 1, soit B i (ε) = {x ∈ K i | kxk < ε}. Remarquons que tout élément x de G s’écrit x = P ∞

i=1 x _i o` u x _i ∈ K i , x _i = 0 pour presque tout i, et que kxk ² = P ∞ i=1 kxk ² . Si kxk < ε, nous pouvons trouver des nombres ε i > 0 tel que kx i k < ε i

et que P ∞

i=1 ε ² _i < ε ² . La condition (B) nous permet de trouver un chemin ω _i : I → B _i (ε _i ) tel que ω _i (0) = x _i et ω _i (1) = 0. Si x _i = 0, nous supposons ω i (t) = 0 pour tout t. Alors le chemin ω : I → G d´efini par ω(t) = P ∞

i=1 ω i (t) relie x ` a 0 et, pour tout t ∈ I,

kω(t)k ² = X ∞ i=1

kω i (t)k ² <

X ∞ i=1

ε ² _i < ε ² .

4. D´ emonstration de la proposition. Soit E le bord du carré I ² , et soit D le sous-ensemble de E formé des points ayant au moins une coor- donnée nulle. Nous identifions S ¹ au quotient E/D, avec le point base {0}, et, le carré I ² étant muni de la mesure de Lebesgue, nous construirons ψ comme une fonction de E dans L ² (I ² ) nulle sur D.

Pour x = (x ¹ , x ² ) ∈ E, soit R(x) = {(y ¹ , y ² ) ∈ I ² | 0 ≤ y ⁱ ≤ x ⁱ pour i = 1, 2}, et soit ψ(x) la fonction caract´eristique du rectangle R(x). Il est

´evident que ψ est une fonction continue de E dans L ² (I ² ), que ψ ⁻¹ (0) = D

et que ψ(E \ D) est lin´eairement ind´ependant.

(6)

Pour simplifier les notations, nous repr´esenterons les points de H sous la forme z = P m

q=1 n q x q au lieu de z = P m

q=1 n q ψ(x q ) (n q entiers, x q ∈ E). Si z 6= 0, il a, à l’ordre près, une unique représentation de cette forme o` u les x _q sont des points distincts de E \D, et nous identifierons z, élément de L ² (I ² ),

`

a la combinaison lin´eaire correspondante de fonctions caract´eristiques z = P m

q=1 n _q ψ(x _q ) qui le repr´esente.

Lemme 6. Pour k ≥ 1 et 0 < ε < 1/2, il existe une homotopie h ^ε _k : A ^′ _k × I → A ^′ _k v´ erifiant

(i) h ^ε _k (z, t) = z si t = 0 ou si z ∈ A ^′ _k−1 ,

(ii) kh ^ε _k (z, t)k ≤ kzk + ε pour tout (z, t) ∈ A ^′ _k × I, (iii) h ^ε _k ((B(1/2 − ε) ∩ A ^′ _k ) × {1}) ⊂ A ^′ _k−1 .

D ´e m o n s t r a t i o n. Fixons k ≥ 1. Soit P l’ensemble des couples d’en- tiers > 0. Pour π = (p 1 , p 2 ) ∈ P, posons ω(π) = p 1 + p 2 . Nous associons

`

a chaque élément z de A ^′ _k \ A ^′ _k−1 un couple π(z) = (p 1 (z), p 2 (z)) ∈ P comme suit : z s’écrit, de fa¸con unique ` a l’ordre près, z = P m

q=1 n _q x _q o` u les x _q = (x ¹ _q , x ² _q ) sont des points distincts de E \ D et les n _q des entiers non nuls v´erifiant P m

q=1 |n q | = k. Pour i = 1, 2 soit p i (z) le cardinal de l’ensemble {x ⁱ ₁ , . . . , x ⁱ _m }. Puisque, pour tout q, l’un au moins des nombres x ¹ _q , x ² _q est

´egal ` a un, nous avons 2 ≤ ω(π(z)) ≤ m + 2 ≤ k + 2. Pour π ∈ P et r ≤ k + 2, posons

M _π = {z ∈ A ^′ _k \ A ^′ _k−1 | π(z) = π}, N _r = A ^′ _k−1 ∪ [

{M π | ω(π) ≤ r}.

Il est facile de voir que N r est ferm´e dans A ^′ _k . En outre, N 1 = A ^′ _k−1 . Posant B(1/2) = {z ∈ H | kzk ≤ 1/2}, nous allons construire, pour 0 < ε <

1/2 et 2 ≤ r ≤ k + 2, une homotopie h ^ε _k,r : A ^′ _k × I → A ^′ _k v´erifiant (i ^′ ) h ^ε _k,r (z, t) = z si t = 0 ou si z ∈ N r−1 ,

(ii ^′ ) kh ^ε _k,r (z, t)k ≤ kzk + ε pour tout (z, t) ∈ A ^′ _k × I, (iii ^′ ) h ^ε _k,r ((B(1/2) ∩ N _r ) × {1}) ⊂ N r−1 .

Supposons les h ^ε _k,r construites. Posons δ = ε/(k + 1) et d´efinissons h ^ε _k : A ^′ _k × I → A ^′ _k par

h ^ε _k (z, 0) = z,

h ^ε _k (z, t) = h ^δ _k,(k+2)−i

h ^ε _k

z, i

k + 1

, (k + 1)t − i

pour i

k + 1 ≤ t ≤ i + 1

k + 1 (0 ≤ i ≤ k).

Alors (i) r´esulte de (i ^′ ). Par r´ecurrence, on constate que kh ^ε _k (z, t)k ≤

kzk + iε/(k + 1) si 0 ≤ t ≤ i/(k + 1), d’o` u (ii). Si kzk < 1/2 − ε, alors, pour

(7)

0 ≤ i ≤ k, h ^ε ^k

z, i

k + 1

<

1 2 − ε + iε k + 1 < 1

2 − ε k + 1 ,

donc (iii ^′ ) entraˆıne par r´ecurrence que h ^ε _k (z, i/(k + 1)) ∈ N (k+2)−i pour 0 ≤ i ≤ k + 1. Puisque N 1 = A ^′ _k−1 , (iii) en r´esulte.

Fixons r ≤ k + 2 et 0 < ε < 1/2. Soit P _r = {π ∈ P | ω(π) = r}.

Les ensembles M π , π ∈ P r , sont deux ` a deux disjoints et, comme on le voit facilement, ferm´es dans A ^′ _k \N r−1 . Nous pouvons donc trouver des ensembles U π , deux ` a deux disjoints et ouverts dans A ^′ _k tel que M π ⊂ U π ⊂ A ^′ _k \ N r−1

pour tout π ∈ P _r . Il nous suffira donc de construire la restriction h _π de h ^ε _k,r

`

a chaque ensemble U _π × I de fa¸con que h π (z, t) = z si z ∈ U _π \ U π , et de poser h ^ε _k,r (z, t) = z si z 6∈ S

π U _π .

Pour obtenir h π , nous construirons une fonction auxiliare g : A ^′ _k ×I → A ^′ _k v´erifiant

(1) g(z, t) = z si t = 0 ou si z ∈ N r−1 ,

(2) la restriction de g ` a (A ^′ _k \ N r−1 ) × I est continue, (3) la restriction de g ` a (N r−1 ∪ M π ) × I est continue, (4) kg(z, t)k < kzk + ε pour tout (z, t) ∈ M π × I, (5) g((B(1/2) ∩ M _π ) × {1}) ⊂ N _r−1 .

Supposons g construite. En utilisant (2), (3) et (4), nous pouvons alors trouver des voisinages {W _l } ^∞ _l=1 de M _π dans A ^′ _k \ N r−1 tels que M _π = T ∞

l=1 W l , que W l ⊂ W l−1 ⊂ W l−1 ⊂ U π pour l > 1 et que les conditions suivantes soient v´erifi´ees :

(6) kg(z, t)k < kzk + ε si z ∈ W l et 0 ≤ t ≤ 1 − 1/(l + 1), (7) pour tout z ∈ W _l , il existe z ^′ ∈ M π tel que

kg(z, t) − g(z ^′ , t)k < 2d(z, N r−1 ) pour 0 ≤ t ≤ 1 − 1 l + 1 .

Prenons alors une fonction continue λ : A ^′ _k \N r−1 → I telle que λ ⁻¹ (1) = M _π , λ ⁻¹ (0) ⊃ A ^′ _k \ (N r−1 ∪ W 1 ) et 1 − 1/l ≤ λ(z) ≤ 1 − 1/(l + 1) si z ∈ W l \ W l−1 . D´efinissons enfin h π par

h π (z, t) =

g(z, tλ(z)) si z ∈ A ^′ _k \ N r−1 , z si z ∈ N r−1 .

Notons que h _π (z, t) = z si t = 0 ou si z ∈ A ^′ _k \ W 1 ⊃ (U π \ U π ) ∪ N r−1 . D’après (2) et (3), pour prouver la continuité de h π , il suffit de vérifier que si {(z _s , t _s )} est une suite de points de (W ₁ \ M π ) × I telle que {z _s } converge vers un point z 0 de N r−1 , alors {h _π (z _s , t _s )} tend vers z 0 . Soit l _s tel que z s ∈ W l s \W l s +1 . D’après (7), il existe z _s ^′ ∈ M π tel que kg(z s , t)−g(z _s ^′ , t)k <

2d(z, N _r−1 ) pour 0 ≤ t ≤ 1 − 1/(l _s + 1). En particulier, kz _s − z _s ^′ k =

kg(z s , 0) − g(z _s ^′ , 0)k < 2d(z _s , N r−1 ), donc la suite {z _s ^′ } tend aussi vers z 0 .

(8)

Puisque g(z 0 , t) = z 0 pour tout t, il r´esulte de (3) que {g(z _s ^′ , t _s λ(z _s ))} tend vers z 0 . Mais

kh π (z _s , t _s ) − g(z _s ^′ , t _s λ(z _s ))k = kg(z _s , t _s λ(z _s )) − g(z _s ^′ , t _s λ(z _s ))k

< 2d(z _s , N _r−1 )

d’apr`es (7) puisque λ(z _s ) ≤ 1 − 1/(l _s + 1), ce qui entraˆıne que {h _π (z _s , t _s )}

converge aussi vers z 0 .

La condition (ii ^′ ) r´esulte de (4) et (6) car si h _π (z, t) 6= z, alors h _π (z, t) = g(z, t ^′ ) o` u t ^′ ≤ λ(z) ≤ 1 − 1/(l − 1) si z ∈ W l \ W l−1 . Enfin, si z ∈ M _π , h π (z, t) = g(z, t), donc (iii ^′ ) r´esulte de (5).

Soit U l’ensemble des sextuplets u = (u _w ) ⁵ _w=0 de réels vérifiant 0 ≤ u 0 ≤ u 1 ≤ u 3 ≤ u 5 ≤ 1, u 0 ≤ u 2 ≤ u 4 ≤ u 5 , u 2 = u 0 si u 1 = u 0 , u 2 = u 4 si u 1 = u 3 et u 4 = u 5 si u 3 = u 5 . Pour u ∈ U , soit α(u) la fonction de I dans I qui est l’identité sur [0, u 0 ] et [u 5 , 1], envoie u 1 sur u 2 , u 3 sur u 4 et est linéaire sur [u ₀ , u ₁ ], [u ₁ , u ₃ ] et [u ₃ , u ₅ ]. Définissons des fonctions α ₁ (u), α ₂ (u) de E dans E par α 1 (u)(x ¹ , x ² ) = (α(u)(x ¹ ), x ² ) et α 2 (u)(x ¹ , x ² ) = (x 1 , α(u)(x ² )).

Comme α i (u)(D) ⊂ D, α i (u) se prolonge en un endomorphisme α i (u) de H si l’on pose, pour z = P m

q=1 n _q x _q , α _i (u)(z) = P m

q=1 n _q α _i (u)(x _q ). Il est facile de voir que, pour tout k ≥ 1, α _i (u)(A ^′ _k ) ⊂ A ^′ _k et que α _i (u)(z) d´epend continˆ ument de (u, z) ∈ U × A ^′ _k (mais cette fonction n’est pas continue sur U × H).

Pour construire g, nous distinguerons deux cas.

Premier cas : π = (1, 1), donc r = 2 et N r−1 = A ^′ _k−1 . Alors tout point de M π est de la forme z = ±kx o` u x ∈ E \ D. Pour 0 ≤ t ≤ 1, soit u(t) = (0, 1/2, (1 − t)/2, 1, 1, 1) ∈ U . D´efinissons g par

g(z, t) =

α 1 (u(t)) ◦ α 2 (u(t))(z) si z ∈ A ^′ _k \ A ^′ _k−1 ,

z si z ∈ A ^′ _k−1 .

La condition (1) est évidemment vérifiée. La continuité sur (A ^′ _k \A ^′ _k−1 )×

I résulte du fait que α i (u)(z) dépend continˆ ument de (u, z) ∈ U × A ^′ _k . Il est facile de vérifier que, si z = ±kx, alors kg(z, t)k ≤ kzk pour tout t, d’o` u (4). Pour voir (3), remarquons que si z _s = ±kx _s ∈ M π et si la suite {z _s } converge vers z 0 ∈ A ^′ _k−1 , alors {x s } tend vers D, donc z 0 = 0, et la suite {g(z s , t _s )} tend vers 0 quels que soient t _s puisque kg(z _s , t _s )k ≤ kz _s k. Enfin, si z = ±kx, o` u x = (x ¹ , x ² ), vérifie kzk ≤ 1/2, alors celui des nombres x ¹ , x ² qui est différent de 1 est ≤ 1/2, donc g(z, 1) = 0, d’o` u (5).

Deuxi` eme cas : π = (p 1 , p 2 ) 6= 1. Supposons par exemple p 1 6= 1. Si z = P m

q=1 n q x q est la représentation d’un élément z ∈ M π telle que les x q

soient des points distincts de E \ D, soient 0 < θ ⁱ ₁ (z) < . . . < θ ⁱ _p _i (z) ≤ 1

les p i points de l’ensembles {x ⁱ ₁ , . . . , x ⁱ _q } (i = 1, 2). Il est facile de voir que

les fonctions θ ⁱ _j sont continues sur M _π , donc peuvent se prolonger en des

(9)

fonctions continues, encore not´ees θ ⁱ _j , sur A ^′ _k \ N r−1 . Nous supposerons ces prolongements choisis de fa¸con que, pour i = 1, 2, 0 < θ ₁ ⁱ (z) < . . . < θ _p ⁱ _i (z)

≤ 1 pour tout z ∈ A ^′ _k \ N r−1 , et nous poserons θ ⁱ ₀ (z) = 0, θ _p ⁱ _i ₊₁ (z) = 1 et ξ _j ⁱ (z) = θ ⁱ _j+1 (z) − θ ⁱ _j (z) pour 0 ≤ j ≤ p i .

Pour z ∈ A ^′ _k \ N r−1 , posons µ(z) = inf{ξ _j ⁱ (z) | i = 1, 2, 0 ≤ j ≤ p i − 1}.

Pour η > 0, soit

V (η) = {z ∈ M _π | µ(z) < η}.

Il est facile de voir que les ensembles N r−1 ∪ V (η), η > 0, forment une base de voisinages de N _r−1 dans N _r−1 ∪ M π .

Pour z ∈ H et 0 < t ≤ 1, posons χ ¹ (z, t) =

1

\

0 (z(t, x)) ² dx ² , χ ² (z, t) =

1

\

0 (z(x ¹ , t)) ² dx ¹ ,

ce qui a un sens puisque nous identifions canoniquement z ` a une fonction combinaison linéaire de fonctions caractéristiques. Si z∈ M π et 0 ≤ j ≤ p 1 , alors χ ¹ (z, t) est constante sur ]θ ¹ _j (z), θ _j ¹ ₊₁ (z)[. Nous noterons χ ¹ _j (z) cette constante (en convenant que χ ¹ _p ₁ ₊₁ (z) = 0 si θ ¹ _p ₁ (z) = θ _p ¹ ₁ ₊₁ (z) = 1). D’après le théorème de Fubini,

kzk ² =

p 1

X

j=0

ξ _j ¹ (z)χ ¹ _j (z).

Lemme 7. Soient z ∈ M _π et 0 < j < p 1 . Si χ ¹ _j (z) < 1/3, alors χ ¹ _j−1 (z)

> 2/3.

D ´e m o n s t r a t i o n. Si z = P m

q=1 n q x q o` u les x q sont des points distincts de E \ D et les n _q des entiers non nuls, il y a un indice q 0 tel que x _q 0 = (θ _j ¹ (z), 1). La fonction z est constante sur chaque domaine ]θ ¹ _a (z), θ _a+1 ¹ (z)[ × ]θ _b ² (z), θ ² _b+1 (z)[ (0 ≤ a ≤ p ₁ , 0 ≤ b ≤ p ₂ ); soit c _ab cette constante. Nous avons

χ ¹ _j (z) =

p 2

X

b=0

ξ _b ² (z)c ² _jb .

Soit S l’ensemble des indices b tels que c _jb = 0. Puisque les c _jb sont des entiers, si χ ¹ _j (z) < 1/3, alors P

b∈S ξ _b ² (z) > 2/3. Remarquons en outre que c j−1,b = c _jb + n _q 0 ; puisque n _q 0 6= 0, les entiers c jb et c j−1,b ne peuvent s’annuler en mˆeme temps, d’o` u

χ ¹ _j−1 (z) =

p 2

X

b=0

ξ _b ² (z)c ² _j−1,b ≥ X

b∈S

ξ _b ² (z) > 2/3.

Soit L = p 1 + 1 + p ² ₁ + p ² ₂ . La fonction g sera construite en L ´etapes.

Pour simplifier les notations, nous param´etrerons g par [0, L] au lieu de I,

et nous lui imposerons la condition suivante qui, avec (1), entraˆıne (4) :

(10)

(4 ^′ ) Pour tout entier a < L,

kg(z, a + s) − g(z, a)k < ε/L ∀(z, s) ∈ M π × I.

La condition (1) définit g(z, t) pour t = 0 ou z ∈ N r−1 . Nous construi- rons, pour tout entier a < L, un entier i _a = 1 ou 2, une fonction continue λ _a : A ^′ _k \ N r−1 → I et une fonction continue v â : (A ^′ _k \ N r−1 ) × I → U , et noud définirons u â : (A ^′ _k \ N r−1 ) × I → U par u â (z, s) = v â (z, λ a (z)s). La restriction de g ` a (A ^′ _k \ N r−1 ) × [a, a + 1] sera alors définie par

g(z, a + s) = α _i a (u ^a (z, s))(g(z, a)), 0 ≤ s ≤ 1.

La condition (2) résultera de la continuité de α _i (u)(z) sur U × A ^′ _k . En même temps, nous définirons inductivement des fonctions continues e θ ⁱ _j : (A ^′ _k \ N r−1 ) × [0, L] → I (i = 1, 2, 0 ≤ j ≤ p i + 1) comme suit : e θ ⁱ _j (z, 0) = θ ⁱ _j (z) et pour a entier < L et 0 ≤ s ≤ 1,

θ e ⁱ _j (z, a + s) =

( α(u ^a (z, s))(e θ ⁱ _j (z, a)) si i = i _a , e θ ⁱ _j (z, a) si i 6= i _a . Alors, pour tout point z = P m

q=1 n _q x _q ∈ M π , g(z, t) sera de la forme P m

q=1 n _q x _q (t) (les x _q (t) n’´etant pas n´ecessairement distincts et pouvant ap- partenir ` a D) et nous aurons {x ⁱ ₁ (t), . . . , x ⁱ _m (t)} = {e θ ⁱ ₁ (z, t), . . . , e θ ⁱ _p _i (z, t)}.

Nous poserons

ξ e ⁱ _j (z, t) = e θ ⁱ _j+1 (z, t) − e θ ⁱ _j (z, t), e

µ(z, t) = inf{e ξ ⁱ _j (z, t) | i = 1, 2, 0 ≤ j ≤ p _i − 1}.

Soit δ = ε ² /(2k ² L ² ). Pour z ∈ M _π , soit J(z) = {j ∈ {0, . . . , p ₁ } | ξ _j ¹ (z) ≥ 2δ}. Puisque (p 1 + 1)δ = (p 1 + 1)ε ² /(2k ² L ² ) < 1/8, J(z) 6= ∅, donc nous pouvons poser ̺(z) = inf{χ ¹ _j (z) | j ∈ J(z)}. Pour z ∈ M _π ∩ B(1/2), nous avons

1/4 ≥ kzk ² ≥ X

j∈J(z)

ξ _j ¹ (z)χ ¹ _j (z) ≥ ̺(z) X

j∈J(z)

ξ _j ¹ (z) = ̺(z)

1 − X

j6∈J (z)

ξ _j ¹ (z)

≥ ̺(z)(1 − (p 1 + 1)2δ) > 3̺(z)/4, ce qui donne ̺(z) < 1/3 pour z ∈ M _π ∩ B(1/2).

Pour 0 ≤ j ≤ p ₁ , soit F _j = {z ∈ M _π ∩B(1/2) | j ∈ J(z) et χ ¹ _j (z) = ̺(z)}.

Les ensembles F _j sont ferm´es dans M _π , recouvrent M _π ∩B(1/2) et, d’apr`es le lemme 7, F j ∩F j ^′ = ∅ si |j−j ^′ | = 1. Nous pouvons donc trouver des ensembles G _j ouverts dans A ^′ _k \ N r−1 tels que F _j ⊂ G j pour tout j, G _j ∩ G j ^′ = ∅ si

|j − j ^′ | = 1 et que ξ _j ¹ (z) > ³ ₂ δ pour tout z ∈ G _j .

(11)

Pour 0 ≤ a ≤ p 1 , nous poserons i _a = 1, et nous construirons g sur (A ^′ _k \ N r−1 ) × [0, p 1 + 1] de fa¸con ` a v´erifier les conditions suivantes : (8) g(M _π × {t}) ⊂ M π pour 0 ≤ t ≤ p 1 + 1,

(9) g(V (δ) × {t}) ⊂ V (δ) pour 0 ≤ t ≤ p 1 + 1,

(10) si z ∈ V (δ/2), alors g(z, t) = z pour 0 ≤ t ≤ p 1 + 1,

(11) si z ∈ F j , 0 ≤ j ≤ p 1 , alors g(z, t) ∈ V (δ) pour j + 1 ≤ t ≤ p 1 + 1.

Pour cela, nous choisirons la fonction λ _a de fa¸con qu’elle s’annule sur [A ^′ _k \ (N r−1 ∪ G a )] ∪ V (δ/2) et soit égale ` a un sur F a ∩ (M π \ V (δ)), et nous définirons inductivement v â (z, s) = {v â _w (z, s)} ⁵ _w=0 comme suit, pour z ∈ A ^′ _k \ N r−1 et 0 ≤ s ≤ 1 :

v ⁰ ₀ (z, s) = 0, v ₀ ^a (z, s) = e θ ¹ _a−1 (z, a) si a ≥ 1, v ⁰ ₁ (z, s) = θ ₁ ¹ (z), v ₁ ^a (z, s) = e θ ¹ _a (z, a) si a ≥ 1, v ₂ ⁰ (z, s) = max(θ ₁ ¹ (z), (1 − s)θ ₁ ¹ (z) + s(θ ¹ ₂ (z) − δ)),

v ^a ₂ (z, s) = min(e θ ¹ _a (z, a), (1 − s)e θ ¹ _a (z, a) + s(e θ ¹ _a−1 (z, a) + δ)) si a ≥ 1, v ⁰ _m (z, s) = θ ¹ ₂ (z), v _m ^a (z, s) = θ ¹ _a+1 (z) si a ≥ 1 pour m = 3, 4, 5.

Quels que soient z et s, α 1 (u â (z, s)) est un homéomorphisme de (E, D) sur (E, D), ce qui entraˆıne (8). Pour obtenir (9), il suffit de montrer que si z ∈ V (δ) et si i, j sont tels que ξ _j ⁱ (z) ≤ δ, alors e ξ ⁱ _j (z, t) ≤ ξ _j ⁱ (z) pour 0 ≤ t ≤ p 1 + 1. Soit 0 ≤ a ≤ p 1 , et supposons cela vrai pour 0 ≤ t ≤ a. Par construction de u â (z, s), nous avons, pour 0 ≤ s ≤ 1, e ξ ⁱ _j (z, a+s) ≤ e ξ ⁱ _j (z, a) si (i, j) 6= (1, a), et si (i, j) = (1, a), alors e ξ ⁱ _j (z, a + s) = e ξ ⁱ _j (z, a) car sinon nous aurions u â ₂ (z, s) 6= u â ₁ (z, s), donc λ _a (z) 6= 0; alors z appartiendrait ` a G _a , donc vérifierait ξ _a ¹ (z) > ³ ₂ δ, ce qui est absurde, donc (9) est encore vérifiée pour a ≤ t ≤ a + 1.

Si z ∈ V (δ/2), alors λ _a (z) = 0 pour tout a, ce qui entraˆıne (10). Compte tenu de (9), il suffit de v´erifier (11) quand z ∈ F j \ V (δ). Alors λ j (z) = 1.

Si j = 0, la d´efinition de u ⁰ montre que e ξ ¹ ₁ (z, 1) = δ. Puisque G ₀ ∩ G 1 = ∅, nous avons g(z, t) = g(z, 1) pour 1 ≤ t ≤ 2. La d´efinition de u ^j pour j > 2 montre alors que e θ ¹ ₁ (z, t) = e θ ¹ ₁ (z, 2) et e θ ¹ ₂ (z, t) ≤ e θ ¹ ₂ (z, 2) pour t ≥ 2, d’o` u e ξ ¹ ₁ (z, t) ≤ e ξ ¹ ₁ (z, 1) pour t ≥ 1. Si j ≥ 1, alors e ξ j−1 (z, j + 1) = δ et, pour t ≥ j + 1, e θ ¹ _j−1 (z, t) = e θ ¹ _j−1 (z, j + 1) et e θ ¹ _j (z, t) = e θ ¹ _j (z, j + 1), d’o` u ξ e ¹ _j (z, t) = e ξ ¹ _j (z, j + 1), ce qui donne (11).

Puisque N r−1 ∪ V (δ/2) est un voisinage de N r−1 dans N r−1 ∪ M π , (10)

garantit que g est continue sur (N r−1 ∪ M π ) × [0, p 1 + 1]. Il ne reste plus

qu’à choisir λ _a de fa¸con que (4 ^′ ) soit vérifiée. Pour cela, il suffit de montrer

que

(12)

kα 1 (v â (z, s)(g(z, a))k < kg(z, a)k + ε/L pour z ∈ F _a et 0 ≤ s ≤ 1, car on pourra alors trouver un voisinage G ^′ _a de F a contenu dans G a tel que cette inégalité soit vérifiée pour z ∈ G ^′ _a et 0 ≤ s ≤ 1, et il suffira de prendre λ _a nulle hors de G ^′ _a . Remarquons que, puisque nous ne touchons pas la deuxième coordonnée, nous avons, pour z ∈ M π , 0 ≤ j ≤ p 1 et 0 ≤ t ≤ p 1 + p ² ₁ + 1, χ ¹ _j (g(z, t)) = χ ¹ _j (z). Pour z ∈ F _a , les fonctions g(z, a) et g(z, a + s) = α 1 (v â (z, s))(g(z, a)) ne diffèrent que sur une bande [α, β] × I o` u [α, β] est contenu dans un intervalle [e θ ¹ _j (z, a), e θ _j+1 ¹ (z, a)] avec |j − a| = 1.

Pour y ∈ ]α, β[, χ ¹ _j (g(z, a), y) = χ ¹ _j (z) et χ ¹ (g(z, a + s), y) = χ ¹ _a (z) = ̺(z) <

1/3. D’apr`es le lemme 7, χ ¹ _j (z) > 2/3, d’o` u kg(z, a + s)k ² − kg(z, a)k ² =

|α − β|(̺(z) − χ ¹ _j (z)) ≤ 0.

Pour z ∈ M π , posons µ 0 (z) = e µ(z, p 1 + 1). Il r´esulte de (11) que µ 0 ≤ δ si z ∈ M _π ∩ B(1/2). Nous construirons g|(A ^′ _k \ N r−1 ) × [p ₁ + 1, L] de fa¸con qu’elle v´erifie

(12) |e θ ⁱ _j (z, a + s) − e θ ⁱ _j (z, a)| ≤ µ 0 (z) pour z ∈ M π , p 1 + 1 ≤ a ≤ L − 1 et 0 ≤ s ≤ 1,

(13) pour z ∈ M _π ∩ B(1/2), e ξ ⁱ _j (z, L) = 0 pour tout couple (i, j) tel que ξ e ⁱ _j (z, p 1 + 1) = µ 0 (z).

Evidemment, (13) entraˆıne (5). La condition (12) entraˆıne la continuit´e de g sur (N r−1 ∪ M π ) × [p 1 + 1, L]. Pour s’en convaincre, il suffit de v´erifier que si {(z l , t l )} ^∞ _l=1 est une suite de points de M π × [p 1 + 1, L] convergeant vers (z ₀ , t ₀ ) ∈ N _r−1 × [p 1 + 1, L], alors cette suite a une sous-suite dont l’image par g converge vers z 0 .

Soit z l = P m(l)

q=1 n q (l)x q (l). Puisque m(l) et les |n(l)| sont major´es par k, nous pouvons, quitte ` a passer ` a une sous-suite, supposer que m(l) = m et n _q (l) = n _q ne d´ependent pas de l et que, pour tout q, la suite {x _q (l)}

converge vers un point x q de E. Alors z 0 = P m

q=1 n q x q . Comme chaque x q (l) est de la forme (θ _j ¹ ₁ (z l ), θ _j ² ₂ (z l )) avec 1 ≤ j i ≤ p i , nous pouvons supposer que x _q (l) = (θ _j ¹ ₁ (q)(z _l ), θ ² _j ₂ (q)(z _l )) o` u j _i (q) ne d´epend pas de l, et que les suites {(θ _j ⁱ _i _(q) (z _l )} ^∞ _l=1 ont des limites θ _j ⁱ

i (q) ; alors x _q = (θ _j ¹ ₁ _(q) , θ _j ² ₂ _(q) ). Par construc- tion de g, g(z l , t l )= P m

q=1 n q x q (l, t l ) o` u x q (l, t l ) = (e θ ¹ _j ₁ _(q) (z l , t l ), e θ ² _j ₂ _(q) (z l , t l )).

Puisque {z l } tend vers z 0 ∈ N r−1 , {µ(z l )} tend vers zéro. D’après (10), pour l assez grand, g(z l , t) = z l pour 0 ≤ t ≤ p 1 + 1, donc e θ ⁱ _j (z l , t) = θ ⁱ _j (z _l ) quels que soient i et j et µ ₀ (z _l ) = µ(z _l ). Alors, (12) implique que {|e θ ⁱ _j (z l , t l ) − θ ⁱ _j (z l )|} tend vers zéro, donc {e θ ⁱ _j (z l , t l )} a la même limite que {θ ⁱ _j (z _l )}, ce qui entraˆıne que {x _q (l, t _l )} a la même limite que {x _q (l)}, donc que {g(z l , t l )} tend vers P m

q=1 n q x q = z 0 .

Soit T ₁ l’ensemble des couples ordonn´es τ = (j ₁ , j ₂ ) d’entiers distincts

vérifiant 0 ≤ j 1 ≤ p 1 − 1 et 0 ≤ j 2 ≤ p 1 . T 1 contient p ² ₁ éléments. Soit

(13)

τ a τ une bijection de T 1 sur {p 1 + 1, . . . , p 1 + p ² ₁ }. Pour τ = (j 1 , j 2 ) ∈ T 1 , posons

K _τ = {z ∈ M _π ∩ B(1/2) | e ξ ¹ _j ₁ (z, p ₁ + 1) = µ ₀ (z) et e ξ ¹ _j ₂ (z, p ₁ + 1) ≥ 2δ}, Q _τ = {z ∈ M _π ∩ B(1/2) | e ξ ¹ _j ₂ (z, p ₁ + 1) ≤ 3δ/2}.

Les ensembles K τ et Q τ sont disjoints et ferm´es dans M π . Notons que si z ∈ M _π ∩ B(1/2) et s’il existe j 1 < p ₁ tel que µ ₀ (z) = e ξ ¹ _j ₁ (z, p ₁ + 1), alors il existe τ ∈ T 1 tel que K _τ contienne z. En effet, comme (p 1 + 1)2δ < 1, il existe j 2 tel que e ξ ¹ _j ₂ (z, p 1 + 1) ≥ 2δ, donc z ∈ K τ avec τ = (j 1 , j 2 ).

Pour p 1 + 1 ≤ a ≤ p 1 + p ² ₁ , nous poserons i _a = 1 et si a = a _τ avec τ = (j 1 , j 2 ), nous prendrons λ a telle que λ ⁻¹ _a (1) = K τ et que λ a (z) = 0 si z ∈ Q _τ et nous définirons v â (z, s) = {v _w â (z, s)} ⁵ _w=0 comme suit :

(a) si j 1 < j 2 , alors

v ₀ ^a (z, s) = e θ ¹ _j ₁ (z, a), v ₁ ^a (z, s) = e θ ¹ _j ₁ ₊₁ (z, a),

v ₂ ^a (z, s) = e θ ¹ _j ₁ ₊₁ (z, a) − sγ _a (z) min(µ ₀ (z), e ξ ¹ _j ₁ (z, a)), v ₃ ^a (z, s) = e θ ¹ _j ₂ (z, a),

v ₄ ^a (z, s) = e θ ¹ _j ₂ (z, a) − sγ _a (z) min(µ 0 (z), e ξ ¹ _j ₁ (z, a)), v ₅ ^a (z, s) = e θ ¹ _j ₁ ₊₁ (z, a),

(b) si j ₂ < j ₁ , alors

v ₀ ^a (z, s) = e θ ¹ _j ₂ (z, a), v ₁ ^a (z, s) = e θ ¹ _j ₂ ₊₁ (z, a),

v ₂ ^a (z, s) = e θ ¹ _j ₂ ₊₁ (z, a) + sγ a (z) min(µ 0 (z), e ξ ¹ _j ₁ (z, a)), v ₃ ^a (z, s) = e θ ¹ _j ₁ (z, a),

v ₄ ^a (z, s) = e θ ¹ _j ₁ (z, a) + sγ a (z) min(µ 0 (z), e ξ ¹ _j ₁ (z, a)), v ^a ₅ (z, s) = e θ ¹ _j ₁ ₊₁ (z, a).

Dans ces formules, γ _a est une fonction continue de A ^′ _k \ N r−1 dans I

égale ` a 1 sur K _τ et ` a zéro sur R _a = {z ∈ A ^′ _k \ N r−1 | e ξ _j ¹ ₂ (z, a) = 0}, dont la présence est destinée ` a garantir que v â ₀ = v ₂ â si v â ₀ = v ₁ â et que v â ₄ = v ₅ â si v â ₃ = v ₅ â . Pour qu’il existe une telle fonction, il faut que les fermés K τ et R a

de A ^′ _k \ N r−1 soient disjoints. Mais si z ∈ M π et si e ξ ¹ _j ₂ (z, a) = 0, on d´eduit

de (8), de la d´efinition des v ^a ^′ et du fait que λ ⁻¹ _a _τ′ (1) = K _τ ^′ pour tout τ ^′

qu’il existe un τ ^′ = (j ₁ ^′ , j ₂ ^′ ) tel que j ₁ ^′ = j 2 , a τ ^′ < a et λ a τ′ (z) = 1, donc

z ∈ K _τ ^′ ⊂ M π ∩ B(1/2), d’o` u e ξ ¹ _j ₂ (z, p 1 + 1) = µ 0 (z) ≤ δ, donc z n’appartient

(14)

pas ` a K _τ .

La condition (12) est évidemment vérifiée. Concernant (13), remarquons que si z ∈ M π ∩ B(1/2) et s’il existe j 0 < p 1 tel que µ 0 (z) = e ξ ¹ _j ₀ (z), alors la fonction t e ξ ¹ _j ₀ (z, t) décroˆıt sur [p 1 +1, p 1 +p ² ₁ +1] et s’annule en p 1 +p ² ₁ +1.

En effet, si a = a _τ avec τ = (j 1 , j 2 ), le seul intervalle ]e θ ¹ _j (z, a), e θ ¹ _j+1 (z, a)[

que α(u â (z, s)) peut allonger est celui d’indice j 2 , mais cela n’arrive que si λ a (z) 6= 0, donc si e ξ ¹ _j ₂ (z, p 1 + 1) > 3δ/2; alors j 2 6= j 0 , car µ 0 (z) ≤ δ d’après (11), donc la fonction décroˆıt. Comme nous l’avons remarqué, il existe j tel que τ = (j 0 , j) ∈ T 1 . Mais alors γ _a τ (z) = λ _a τ (z) = 1 et, d’après le choix des v â , e ξ ¹ _j ₀ (z, a τ + 1) = 0 ≥ e ξ ¹ _j ₂ (z, p 1 + p ² ₁ + 1) ≥ 0.

Reste ` a choisir λ a de fa¸con ` a v´erifier (4 ^′ ). Pour cela, prenant d’abord λ a

arbitrairement, il suffit de montrer que

kg(z, a + s)k < kg(z, a)k + ε/L pour z ∈ M π ∩ B(1/2) et 0 ≤ s ≤ 1.

Cette inégalité sera alors vérifiée pour z dans un voisinage de M π ∩ B(1/2) et 0 ≤ s ≤ 1, et il suffira de multiplier la fonction initiale par une fonction nulle hors de ce voisinage et égale ` a 1 sur M _π ∩ B(1/2) pour obtenir la fonction λ a cherchée. Remarquons que, pour t ≤ p 1 + p ² ₁ + 1, z ∈ M π

et e θ ¹ _j (z, t) < y < e θ ¹ _j+1 (z, t), nous avons χ ¹ _j (g(z, t), y) = χ ¹ _j (z), d’o` u, pour z ∈ M _π ∩ B(1/2), p 1 + 1 ≤ a ≤ p 1 + p ² ₁ et 0 ≤ s ≤ 1,

kg(z, a)k ² =

p 1

X

j =0

ξ e ¹ _j (z, a)χ ¹ _j (z), kg(z, a + s)k ² =

p 1

X

j=0

ξ e ¹ _j (z, a + s)χ ¹ _j (z).

D’après le choix de v â , si a = a τ avec τ = (j 1 , j 2 ), alors e ξ ¹ _j (z, a + s) = ξ e ¹ _j (z, a) pour j 6= j 1 , j 2 et |e ξ ¹ _j (z, a + s) − e ξ ¹ _j (z, a)| ≤ µ 0 (z) ≤ δ si j = j 1 ou j 2 . Comme 0 ≤ χ ¹ _j (z) ≤ k ² , il en résulte que

kg(z, a + s)k ² ≤ kg(z, a)k ² + 2δk ² = kg(z, a)k ² + ε ² /L ² , d’o` u l’inégalité souhaitée.

Pour p 1 +p ² ₁ +1 ≤ a ≤ L−1, nous posons i _a = 2 et procédons comme nous l’avons fait pour p 1 + 1 ≤ a ≤ p 1 + p ² ₁ , mais en utilisant la deuxième variable, de fa¸con que si z ∈ M π ∩B(1/2) et si j 0 < p 2 est tel que µ 0 (z) = e ξ ² _j ₀ (z, p 1 +1), alors e ξ ² _j ₀ (z, L) = 0. Pendant ces opérations, les nombres e ξ ¹ _j (z, t) ne varient plus, donc aussi e ξ ¹ _j (z, L) = e ξ ¹ _j (z, p 1 + p ² ₁ + 1) = 0 si z ∈ M _π ∩ B(1/2) et ξ e ¹ _j (z, p ₁ + 1) = µ ₀ (z), d’o` u (13).

Ceci ach`eve la d´emonstration du lemme 6.

Preuve de la proposition. (A) Il faut montrer que, pour 0 < δ < 1/2,

k ≥ 1 et m ≥ 0, toute fonction continue f de S m dans B(δ) ∩ A ^′ _k est

inessentielle. Posant η = ¹ ₂ (δ − sup{kf (x)k | x ∈ S ^m }) > 0, il suffit pour

cela de construire une homotopie g : (B(δ − η) ∩ A ^′ _k ) × I → A ^′ _k v´erifiant

(15)

(1) g(z, 0) = z,

(2) kg(z, t)k ≤ kzk + η/2,

(3) g((B(δ − η) ∩ A ^′ _k ) × {1}) = {0}.

Pour cela, posons ε = η/k. Le lemme 6 nous fournit, pour 1 ≤ j ≤ k, une homotopie h ^ε _j : A ^′ _j × I → A ^′ _j v´erifiant

(i) h ^ε _j (z, 0) = z,

(ii) kh ^ε _j (z, t)k ≤ kzk + ε,

(iii) h ^ε _j ((B(δ − ε) ∩ A ^′ _j ) × {1}) ⊂ A ^′ _j−1 .

Il est alors facile de voir que l’on peut d´efinir g par g(z, 0) = z,

g

z, i + t

k

= h ^ε _k−i

g

z, i

k

, t

pour 0 ≤ i ≤ k − 1 et 0 ≤ t ≤ 1.

(B) Il suffit de montrer que, pour tout z ∈ H, il existe un chemin ω : I → H tel que ω(0) = 0, ω(1) = z et kω(t)k ≤ kzk pour tout t; cela peut se faire par r´ecurrence sur le nombre m(z) = m dans la repr´esentation z = P m

q=1 n q x q (x q = (x ¹ _q , x ² _q ) ∈ E). Si m = 1, z = nx avec x = (x 1 , x 2 ).

Si, par exemple, x ² = 1, il suffit de prendre ω(t) = nx _t o` u x _t = (tx 1 , x 2 ).

Si m(z) > 1, soit q 0 tel que x q 0 6= (1, 1); par exemple x ¹ _q ₀ < 1. Pour

−x ¹ _q 0 ≤ t ≤ 1 − x ¹ _q 0 , soit y(t) = (x ¹ _q ₀ + t, x ² _q ₀ ), et soit z(t) = n _q 0 y(t) + P

q6=q 0 n q x q . Il est facile de voir que kz(t)k ² est une fonction linéaire sur tout intervalle [α, β] tel que ]α + x ¹ _q ₀ , β + x ¹ _q ₀ [ ne contienne aucun des x ¹ _q avec q 6= q 0 . Se dépla¸cant vers la gauche ou la droite selon le cas, on peut donc relier, sans augmenter la norme, z ` a un point z ^′ = z(t 0 ) tel que ou bien y(t 0 ) = 0, ou bien y(t 0 ) = x q avec q 6= q 0 , ou bien y(t 0 ) = (1, 1). Si m(z ^′ ) < m(z), l’hypothèse de récurrence s’applique. Si m(z ^′ ) = m(z), le même procédé, appliqué ` a z ^′ , permet de le relier, sans augmenter la norme,

`

a un point z ^′′ tel que m(z ^′′ ) < m(z ^′ ).

BIBLIOGRAPHIE

[1] F. D. A n c e l, T. D o b r o w o l s k i and J. G r a b o w s k i, Closed subgroups in Banach spaces , Studia Math. 109 (1994), 277–290.

[2] T. D o b r o w o l s k i, Examples of topological groups homeomorphic to l ₂ ^f , Proc. Amer.

Math. Soc. 98 (1986), 303–311.

[3] A. D o l d und R. T h o m, Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte, Ann. of Math. 67 (1958), 239–281.

[4] S. E i l e n b e r g and R. L. W i l d e r, Uniform local connectedness and contractibility,

Amer. J. Math. 64 (1942), 613–622.

(16)

[5] S. T. H u, Theory of Retracts, Wayne State Univ. Press, 1965.

[6] H. T o r u ´ n c z y k, Concerning locally homotopy negligible sets and characterization of l ₂ -manifolds, Fund. Math. 101 (1978), 93–110.

[7] J. W e s t, Open problems in infinite dimensional topology, in: Open Problems in Topology, J. van Mill and G. M. Reed (eds.), Elsevier, 1990, 524–597.

C O L L O Q U I U M M A T H E M A T I C U M VOL. 77 1998 NO. 1

VOL. 77 1998 NO. 1

UN EXEMPLE DE SOUS-GROUPE ADDITIF DE L’ESPACE DE HILBERT

PAR

ROBERT C A U T Y (PARIS)

1. Introduction. Le but de cet article est de construire l’exemple sui- vant, qui résout un problème de T. Dobrowolski ([2], o` u une erreur ty- pographique a remplacé 0 ≤ m < n ≤ ∞ par 1 ≤ m ≤ n ≤ ∞; voir aussi [1], question 5.9 et [7], question L.S.18).

Th´ eor` eme. Il existe un sous-groupe σ-compact G de l’espace de Hilbert qui est LC 0 mais pas LC 1 . Le compl´ et´ e b G de G est aussi LC 0 mais pas LC 1 .

Lemme 1. Soient G un groupe abélien métrisable et b G son complété.

Si G est LC n , alors b G est aussi LC n et b G \ G est localement n-n´egligeable dans b G.

1991 Mathematics Subject Classification: 22A05, 54C55.

[147]

D é m o n s t r a t i o n. Soit d une distance invariante sur b G. Il est facile de voir que G est ULC n (au sens de [4]), donc b G est LC n d’après le théorème 4 de [4]. La n-négligeabilité locale de b G \ G résulte du théorème 1 de [4] et du théorème 2.3 de [6].

Si X est un espace m´etrique et x un point de X, nous notons B(x, ε) la boule ouverte de centre x et de rayon ε. Pour n entier ≥ 0, nous dirons qu’une fonction f : Y → X est n-inessentielle si, pour tout k ≤ n et toute fonction g : S k → Y , la fonction f ◦ g est inessentielle.

Lemme 2. Supposons que l’espace m´etrique X soit r´eunion d’une suite croissante de ferm´ es {X k } ∞ k=1 v´ erifiant

(H n ) Pour tout x ∈ X et pour tout ε > 0, il existe 0 < δ < ε tel que, pour tout k, il existe un entier q = q(k, ε) ≥ k tel que l’inclusion de B(x, δ) ∩ X k dans B(x, ε) ∩ X q soit n-inessentielle.

Alors X est LC n et, pour tout x ∈ X et tout j < n, π j (X, x) = lim −→ π j (X k , x).

Posons V 0 = A ∪ N 0 . Pour obtenir f 0 , il suffit de prendre, pour tout v ∈ N 0 , un point a v ∈ A tel que d(v, a v ) < 2d(v, A), et de poser f 0 (v) = f (a v ).

δ(σ) =

 inf{diam g(σ) | g ∈ P σ } si P σ 6= ∅,

∞ si P σ = ∅.

Soit S m l’ensemble des m-simplexes σ de Y \ A tels que ˙σ ⊂ V m−1 et que δ(σ) < ∞. Soit V m = V m−1 ∪ S

{σ | σ ∈ S m }. Pour σ ∈ S m , prenons g σ ∈ P σ telle que diam g σ (σ) < 2δ(σ), et d´efinissons f m : V m → X par

f m |V m−1 = f m−1 , f m |σ = g σ ∀σ ∈ S m .

Il résulte de la condition (H n ) que V m est un voisinage de A dans A ∪ N m et que f m est continue. Par construction, f m vérifie la condition supplémentaire souhaitée.

Affirmation. Soient K un complexe simplicial fini de dimension ≤ n, L un sous-complexe de K, U un recouvrement ouvert de X, k un entier ≥ 1 et f une fonction continue de K dans X telle que f (L) ⊂ X k . Il existe une fonction continue g de K dans X et un entier k ′ v´ erifiant

(i) g|L = f |L, (ii) g(K) ⊂ X k ′ ,

(iii) pour tout x ∈ K, il existe U ∈ U contenant {f (x), g(x)}.

Soit W un recouvrement ouvert de X tel que, pour tout W ∈ W, St(W, W) = S

Posant k ′ = sup σ k σ et définissant g par g|K m−1 ∪ L = g ′ et g|σ = g σ pour tout m-simplexe de K \ L, nous constatons que les conditions (i)–(iii) sont vérifiées.

3. Description de l’exemple. Fixons un point de base dans la 1- sphère S 1 et notons A(S 1 ) le groupe topologique abélien libre sur l’espace pointé (S 1 , ∗). Algébriquement, c’est le groupe abélien libre de base S 1 \{∗}.

Pour k ≥ 0, notons A k le sous-ensemble de A(S 1 ) form´e des points de la forme P

x n x x o` u x parcourt S 1 \ {∗} et o` u les entiers n x sont presque tous

nuls et v´erifient P

Lemme 3. L’inclusion de S 1 dans A(S 1 ) est essentielle.

Proposition. Il est possible de choisir ψ de fa¸con que H ait les pro- pri´ et´ es suivantes :

(A) Pour 0 < δ < 1/2 et pour tout k ≥ 0, B(δ) ∩ A ′ k est C ∞ . (B) Pour tout ε > 0, B(ε) est connexe par arcs.

Dans toute la suite de ce paragraphe, nous supposons que ψ et H v´erifient (A) et (B).

Lemme 4. H est LC ∞ .

Soit b H le compl´et´e de H, et soient ψ ′ et ψ ′′ les fonctions de S 1 dans H et b H induites par ψ.

Lemme 5. ψ ′ et ψ ′′ sont essentielles.

Pour i ≥ 1, soit L i une copie de l’espace de Hilbert, et soit L = L

ℓ 2 L i

la somme hilbertienne des L i . Nous notons r i la projection orthogonale de L

sur L i . Soit X = W ∞

i=1 (S i , ∗) un compact m´etrisable qui est un bouquet de 1-sph`eres, i.e. chaque (S i , ∗) est une copie de (S 1 , ∗), X = S ∞

i=1 S i , S i ∩S j = {∗} si i 6= j et le diam`etre de S i tend vers z´ero quand i tend vers l’infini.

Pour tout i, soit ψ i : S i → L i une copie de ψ, i.e. ψ i = ψ ◦ j i o` u j i est un hom´eomorphisme de (S i , ∗) sur (S 1 , ∗). Prolongeons ψ i ` a X en posant ψ i (x) = 0 si x 6∈ S i . D´efinissons une fonction continue ϕ : X → L par

ϕ(x) = X ∞

i=1

1 i ψ i (x).

Alors, ϕ est un plongement de X dans L tel que ϕ(∗) = 0 et que ϕ(X \ {∗}) soit linéairement indépendant. Soit G le sous-groupe de L engendré par ϕ(X). Evidemment, G est σ-compact.

Soit K i le sous-groupe de L engendré par ϕ(S i ), et soit b K i son complété.

i=1 x i o` u x i ∈ K i , x i = 0 pour presque tout i, et que kxk 2 = P ∞ i=1 kxk 2 . Si kxk < ε, nous pouvons trouver des nombres ε i > 0 tel que kx i k < ε i

et que P ∞

i=1 ε 2 i < ε 2 . La condition (B) nous permet de trouver un chemin ω i : I → B i (ε i ) tel que ω i (0) = x i et ω i (1) = 0. Si x i = 0, nous supposons ω i (t) = 0 pour tout t. Alors le chemin ω : I → G d´efini par ω(t) = P ∞

i=1 ω i (t) relie x ` a 0 et, pour tout t ∈ I,

kω(t)k 2 = X ∞ i=1

kω i (t)k 2 <

X ∞ i=1

ε 2 i < ε 2 .

Pour x = (x 1 , x 2 ) ∈ E, soit R(x) = {(y 1 , y 2 ) ∈ I 2 | 0 ≤ y i ≤ x i pour i = 1, 2}, et soit ψ(x) la fonction caract´eristique du rectangle R(x). Il est

´evident que ψ est une fonction continue de E dans L 2 (I 2 ), que ψ −1 (0) = D

et que ψ(E \ D) est lin´eairement ind´ependant.

Pour simplifier les notations, nous repr´esenterons les points de H sous la forme z = P m

q=1 n q x q au lieu de z = P m

q=1 n q ψ(x q ) (n q entiers, x q ∈ E). Si z 6= 0, il a, à l’ordre près, une unique représentation de cette forme o` u les x q sont des points distincts de E \D, et nous identifierons z, élément de L 2 (I 2 ),

`

a la combinaison lin´eaire correspondante de fonctions caract´eristiques z = P m

q=1 n q ψ(x q ) qui le repr´esente.

Lemme 6. Pour k ≥ 1 et 0 < ε < 1/2, il existe une homotopie h ε k : A ′ k × I → A ′ k v´ erifiant

(i) h ε k (z, t) = z si t = 0 ou si z ∈ A ′ k−1 ,

(ii) kh ε k (z, t)k ≤ kzk + ε pour tout (z, t) ∈ A ′ k × I, (iii) h ε k ((B(1/2 − ε) ∩ A ′ k ) × {1}) ⊂ A ′ k−1 .

D ´e m o n s t r a t i o n. Fixons k ≥ 1. Soit P l’ensemble des couples d’en- tiers > 0. Pour π = (p 1 , p 2 ) ∈ P, posons ω(π) = p 1 + p 2 . Nous associons

`

a chaque élément z de A ′ k \ A ′ k−1 un couple π(z) = (p 1 (z), p 2 (z)) ∈ P comme suit : z s’écrit, de fa¸con unique ` a l’ordre près, z = P m

q=1 n q x q o` u les x q = (x 1 q , x 2 q ) sont des points distincts de E \ D et les n q des entiers non nuls v´erifiant P m

q=1 |n q | = k. Pour i = 1, 2 soit p i (z) le cardinal de l’ensemble {x i 1 , . . . , x i m }. Puisque, pour tout q, l’un au moins des nombres x 1 q , x 2 q est

´egal ` a un, nous avons 2 ≤ ω(π(z)) ≤ m + 2 ≤ k + 2. Pour π ∈ P et r ≤ k + 2, posons

M π = {z ∈ A ′ k \ A ′ k−1 | π(z) = π}, N r = A ′ k−1 ∪ [

{M π | ω(π) ≤ r}.

Th´ eor` eme. Il existe un sous-groupe σ-compact G de l’espace de Hilbert qui est LC ⁰ mais pas LC ¹ . Le compl´ et´ e b G de G est aussi LC ⁰ mais pas LC ¹ .

Si G est LC ⁿ , alors b G est aussi LC ⁿ et b G \ G est localement n-n´egligeable dans b G.

D é m o n s t r a t i o n. Soit d une distance invariante sur b G. Il est facile de voir que G est ULC ⁿ (au sens de [4]), donc b G est LC ⁿ d’après le théorème 4 de [4]. La n-négligeabilité locale de b G \ G résulte du théorème 1 de [4] et du théorème 2.3 de [6].

Si X est un espace m´etrique et x un point de X, nous notons B(x, ε) la boule ouverte de centre x et de rayon ε. Pour n entier ≥ 0, nous dirons qu’une fonction f : Y → X est n-inessentielle si, pour tout k ≤ n et toute fonction g : S ^k → Y , la fonction f ◦ g est inessentielle.

Lemme 2. Supposons que l’espace m´etrique X soit r´eunion d’une suite croissante de ferm´ es {X k } ^∞ _k=1 v´ erifiant

(H _n ) Pour tout x ∈ X et pour tout ε > 0, il existe 0 < δ < ε tel que, pour tout k, il existe un entier q = q(k, ε) ≥ k tel que l’inclusion de B(x, δ) ∩ X k dans B(x, ε) ∩ X q soit n-inessentielle.

Alors X est LC ⁿ et, pour tout x ∈ X et tout j < n, π _j (X, x) = lim −→ π ^j (X _k , x).

Posons V 0 = A ∪ N ⁰ . Pour obtenir f 0 , il suffit de prendre, pour tout v ∈ N ⁰ , un point a v ∈ A tel que d(v, a v ) < 2d(v, A), et de poser f 0 (v) = f (a v ).

inf{diam g(σ) | g ∈ P _σ } si P σ 6= ∅,

∞ si P _σ = ∅.

Soit S m l’ensemble des m-simplexes σ de Y \ A tels que ˙σ ⊂ V m−1 et que δ(σ) < ∞. Soit V _m = V _m−1 ∪ S

{σ | σ ∈ S m }. Pour σ ∈ S m , prenons g _σ ∈ P σ telle que diam g _σ (σ) < 2δ(σ), et d´efinissons f _m : V _m → X par

f _m |V m−1 = f m−1 , f _m |σ = g σ ∀σ ∈ S m .

Il résulte de la condition (H _n ) que V _m est un voisinage de A dans A ∪ N ^m et que f m est continue. Par construction, f m vérifie la condition supplémentaire souhaitée.

Affirmation. Soient K un complexe simplicial fini de dimension ≤ n, L un sous-complexe de K, U un recouvrement ouvert de X, k un entier ≥ 1 et f une fonction continue de K dans X telle que f (L) ⊂ X k . Il existe une fonction continue g de K dans X et un entier k ^′ v´ erifiant

(i) g|L = f |L, (ii) g(K) ⊂ X _k ^′ ,

Posant k ^′ = sup _σ k _σ et définissant g par g|K ^m−1 ∪ L = g ^′ et g|σ = g _σ pour tout m-simplexe de K \ L, nous constatons que les conditions (i)–(iii) sont vérifiées.

3. Description de l’exemple. Fixons un point de base dans la 1- sphère S ¹ et notons A(S ¹ ) le groupe topologique abélien libre sur l’espace pointé (S ¹ , ∗). Algébriquement, c’est le groupe abélien libre de base S ¹ \{∗}.

Pour k ≥ 0, notons A _k le sous-ensemble de A(S ¹ ) form´e des points de la forme P

x n _x x o` u x parcourt S ¹ \ {∗} et o` u les entiers n _x sont presque tous

Lemme 3. L’inclusion de S ¹ dans A(S ¹ ) est essentielle.

(A) Pour 0 < δ < 1/2 et pour tout k ≥ 0, B(δ) ∩ A ^′ _k est C ^∞ . (B) Pour tout ε > 0, B(ε) est connexe par arcs.

Lemme 4. H est LC ^∞ .

Soit b H le compl´et´e de H, et soient ψ ^′ et ψ ^′′ les fonctions de S ¹ dans H et b H induites par ψ.

Lemme 5. ψ ^′ et ψ ^′′ sont essentielles.

Pour i ≥ 1, soit L _i une copie de l’espace de Hilbert, et soit L = L

ℓ ² L _i

la somme hilbertienne des L _i . Nous notons r _i la projection orthogonale de L

sur L _i . Soit X = W ∞

i=1 (S _i , ∗) un compact m´etrisable qui est un bouquet de 1-sph`eres, i.e. chaque (S i , ∗) est une copie de (S ¹ , ∗), X = S ∞

Pour tout i, soit ψ _i : S _i → L i une copie de ψ, i.e. ψ _i = ψ ◦ j _i o` u j _i est un hom´eomorphisme de (S i , ∗) sur (S ¹ , ∗). Prolongeons ψ i ` a X en posant ψ _i (x) = 0 si x 6∈ S _i . D´efinissons une fonction continue ϕ : X → L par

Soit K _i le sous-groupe de L engendré par ϕ(S _i ), et soit b K _i son complété.

i=1 x _i o` u x _i ∈ K i , x _i = 0 pour presque tout i, et que kxk ² = P ∞ i=1 kxk ² . Si kxk < ε, nous pouvons trouver des nombres ε i > 0 tel que kx i k < ε i

i=1 ε ² _i < ε ² . La condition (B) nous permet de trouver un chemin ω _i : I → B _i (ε _i ) tel que ω _i (0) = x _i et ω _i (1) = 0. Si x _i = 0, nous supposons ω i (t) = 0 pour tout t. Alors le chemin ω : I → G d´efini par ω(t) = P ∞

kω(t)k ² = X ∞ i=1

kω i (t)k ² <

ε ² _i < ε ² .

Pour x = (x ¹ , x ² ) ∈ E, soit R(x) = {(y ¹ , y ² ) ∈ I ² | 0 ≤ y ⁱ ≤ x ⁱ pour i = 1, 2}, et soit ψ(x) la fonction caract´eristique du rectangle R(x). Il est

´evident que ψ est une fonction continue de E dans L ² (I ² ), que ψ ⁻¹ (0) = D

q=1 n q ψ(x q ) (n q entiers, x q ∈ E). Si z 6= 0, il a, à l’ordre près, une unique représentation de cette forme o` u les x _q sont des points distincts de E \D, et nous identifierons z, élément de L ² (I ² ),

q=1 n _q ψ(x _q ) qui le repr´esente.

Lemme 6. Pour k ≥ 1 et 0 < ε < 1/2, il existe une homotopie h ^ε _k : A ^′ _k × I → A ^′ _k v´ erifiant

(i) h ^ε _k (z, t) = z si t = 0 ou si z ∈ A ^′ _k−1 ,

(ii) kh ^ε _k (z, t)k ≤ kzk + ε pour tout (z, t) ∈ A ^′ _k × I, (iii) h ^ε _k ((B(1/2 − ε) ∩ A ^′ _k ) × {1}) ⊂ A ^′ _k−1 .

a chaque élément z de A ^′ _k \ A ^′ _k−1 un couple π(z) = (p 1 (z), p 2 (z)) ∈ P comme suit : z s’écrit, de fa¸con unique ` a l’ordre près, z = P m

q=1 n _q x _q o` u les x _q = (x ¹ _q , x ² _q ) sont des points distincts de E \ D et les n _q des entiers non nuls v´erifiant P m

q=1 |n q | = k. Pour i = 1, 2 soit p i (z) le cardinal de l’ensemble {x ⁱ ₁ , . . . , x ⁱ _m }. Puisque, pour tout q, l’un au moins des nombres x ¹ _q , x ² _q est

M _π = {z ∈ A ^′ _k \ A ^′ _k−1 | π(z) = π}, N _r = A ^′ _k−1 ∪ [

Il est facile de voir que N r est ferm´e dans A ^′ _k . En outre, N 1 = A ^′ _k−1 . Posant B(1/2) = {z ∈ H | kzk ≤ 1/2}, nous allons construire, pour 0 < ε <

1/2 et 2 ≤ r ≤ k + 2, une homotopie h ^ε _k,r : A ^′ _k × I → A ^′ _k v´erifiant (i ^′ ) h ^ε _k,r (z, t) = z si t = 0 ou si z ∈ N r−1 ,

(ii ^′ ) kh ^ε _k,r (z, t)k ≤ kzk + ε pour tout (z, t) ∈ A ^′ _k × I, (iii ^′ ) h ^ε _k,r ((B(1/2) ∩ N _r ) × {1}) ⊂ N r−1 .

Supposons les h ^ε _k,r construites. Posons δ = ε/(k + 1) et d´efinissons h ^ε _k : A ^′ _k × I → A ^′ _k par

h ^ε _k (z, 0) = z,

h ^ε _k (z, t) = h ^δ _k,(k+2)−i

h ^ε _k

z, i

Alors (i) r´esulte de (i ^′ ). Par r´ecurrence, on constate que kh ^ε _k (z, t)k ≤

0 ≤ i ≤ k, h ^ε ^k

z, i

<

donc (iii ^′ ) entraˆıne par r´ecurrence que h ^ε _k (z, i/(k + 1)) ∈ N (k+2)−i pour 0 ≤ i ≤ k + 1. Puisque N 1 = A ^′ _k−1 , (iii) en r´esulte.

Fixons r ≤ k + 2 et 0 < ε < 1/2. Soit P _r = {π ∈ P | ω(π) = r}.

Les ensembles M π , π ∈ P r , sont deux ` a deux disjoints et, comme on le voit facilement, ferm´es dans A ^′ _k \N r−1 . Nous pouvons donc trouver des ensembles U π , deux ` a deux disjoints et ouverts dans A ^′ _k tel que M π ⊂ U π ⊂ A ^′ _k \ N r−1

pour tout π ∈ P _r . Il nous suffira donc de construire la restriction h _π de h ^ε _k,r

a chaque ensemble U _π × I de fa¸con que h π (z, t) = z si z ∈ U _π \ U π , et de poser h ^ε _k,r (z, t) = z si z 6∈ S

π U _π .

Pour obtenir h π , nous construirons une fonction auxiliare g : A ^′ _k ×I → A ^′ _k v´erifiant

(2) la restriction de g ` a (A ^′ _k \ N r−1 ) × I est continue, (3) la restriction de g ` a (N r−1 ∪ M π ) × I est continue, (4) kg(z, t)k < kzk + ε pour tout (z, t) ∈ M π × I, (5) g((B(1/2) ∩ M _π ) × {1}) ⊂ N _r−1 .

Supposons g construite. En utilisant (2), (3) et (4), nous pouvons alors trouver des voisinages {W _l } ^∞ _l=1 de M _π dans A ^′ _k \ N r−1 tels que M _π = T ∞

(6) kg(z, t)k < kzk + ε si z ∈ W l et 0 ≤ t ≤ 1 − 1/(l + 1), (7) pour tout z ∈ W _l , il existe z ^′ ∈ M π tel que

kg(z, t) − g(z ^′ , t)k < 2d(z, N r−1 ) pour 0 ≤ t ≤ 1 − 1 l + 1 .

Prenons alors une fonction continue λ : A ^′ _k \N r−1 → I telle que λ ⁻¹ (1) = M _π , λ ⁻¹ (0) ⊃ A ^′ _k \ (N r−1 ∪ W 1 ) et 1 − 1/l ≤ λ(z) ≤ 1 − 1/(l + 1) si z ∈ W l \ W l−1 . D´efinissons enfin h π par

g(z, tλ(z)) si z ∈ A ^′ _k \ N r−1 , z si z ∈ N r−1 .

2d(z, N _r−1 ) pour 0 ≤ t ≤ 1 − 1/(l _s + 1). En particulier, kz _s − z _s ^′ k =

kg(z s , 0) − g(z _s ^′ , 0)k < 2d(z _s , N r−1 ), donc la suite {z _s ^′ } tend aussi vers z 0 .

Puisque g(z 0 , t) = z 0 pour tout t, il r´esulte de (3) que {g(z _s ^′ , t _s λ(z _s ))} tend vers z 0 . Mais

kh π (z _s , t _s ) − g(z _s ^′ , t _s λ(z _s ))k = kg(z _s , t _s λ(z _s )) − g(z _s ^′ , t _s λ(z _s ))k

< 2d(z _s , N _r−1 )

d’apr`es (7) puisque λ(z _s ) ≤ 1 − 1/(l _s + 1), ce qui entraˆıne que {h _π (z _s , t _s )}

La condition (ii ^′ ) r´esulte de (4) et (6) car si h _π (z, t) 6= z, alors h _π (z, t) = g(z, t ^′ ) o` u t ^′ ≤ λ(z) ≤ 1 − 1/(l − 1) si z ∈ W l \ W l−1 . Enfin, si z ∈ M _π , h π (z, t) = g(z, t), donc (iii ^′ ) r´esulte de (5).