Zadania na Zajęcia Wyrównawcze z Matematyki Zestaw nr 3
1. Wyrazić w radianach 1 ◦ , 30 ◦ , 45 ◦ , 60 ◦ , 90 ◦ , 120 ◦ , 180 ◦ , 360 ◦ .
2. Podać dziedziny, zbiory wartości funkcji i narysuj wykresy dla sin x, cos x, tg x, ctg x.
Odczytać z wykresów związki między tymi funkcjami. Jakie znaki przyjmują wartości funkcji trygonometrycznych w poszczególnych ćwiartkach układu współrzędnych ? 3. Policzyć
(a) cos x, jeśli sin x = 16 1 oraz x ∈ ( π 2 , π) (b) sin x, jeśli ctg x = − 2 3 oraz x ∈ ( π 2 , π) 4. Zebrać podstawowe wzory redukcyjne
(a) sin(π/2 ± x) = (b) sin(π ± x) =
(c) cos(π/2 ± x) = (d) cos(π ± x) =
5. Korzystając ze wzorów redukcyjnych, obliczyć:
(a) sin 300 ◦ (b) cos 540 ◦ (c) tg 225 ◦
6. Zebrać podstawowe tożsamości trygonometryczne (a) sin(α ± β) =
(b) cos(α ± β) = (c) tg (α ± β) = (d) ctg (α ± β) =
7. Wyprowadzić z powyższych wzory na (a) sin(2α) =
(b) cos(2α) = (c) tg (2α) = (d) ctg (2α) =
(e) sin(3α) =
8. Narysować wykresy funkcji (a) f (x) = (sin x − cos x) 2 (b) f (x) = sin 4 x − cos 4 x
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni
9. Wiedząc, że sin α + sin β = 2 sin α+β 2 cos α −β 2 oraz cos(x) = sin(x + π/2), wyprowadzić wzory na
(a) sin α − sin β (b) cos α + cos β
(c) cos α − cos β
10. Wykazać, że 1 −cos 2x+sin 2x
1+cos 2x+sin 2x = tg x 11. Rozwiązać równania
(a) sin 2x = 1 2 (b) sin x + cos x = 0
(c) sin 2 x + 2 sin x − 3 = 0 12. Rozwiązać nierówności
(a) sin 2x > 1 2
(b) 2 cos 2 x + sin 2 x > 1
13. Dana jest funkcja f (x) = sin
2x sin x −| sin x| , dla x ∈ (0, π)∪(π, 2π). Naszkicować wykres i znaleźć miejsca zerowe funkcji f .
R a α S
c
a
b l
α
A B
D C
E F
H G
14. Dany jest trójkąt wpisany w okrąg. Jeden z boków trójkąta ma długość a, a kąt leżący naprzeciw tego boku ma miarę α. Obliczyć promień R okręgu opisanego na trójkącie.
15. Przekątna prostopadłościanu ma długość l i tworzy ona ze ścianą boczną kąt α. Obliczyć objętość prostopadłościanu, jeśli jego wysokość wynosi c.
Zadania domowe 1. Policzyć
(a) ctg x, jeśli cos x = 1 2 oraz x ∈ ( 3 2 π, 2π) (b) cos x, jeśli tg x = − 1 3 oraz x ∈ ( 3 2 π, 2π) 2. Korzystając ze wzorów redukcyjnych, obliczyć:
(a) sin 315 ◦ (b) cos 675 ◦ (c) ctg 225 ◦
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni
3. Wyprowadzić wzory na (a) tg α ± tg β
(b) ctg α ± ctg β
4. Wyrazić sin x, cos x i tg x za pomocą t = tg x 2 5. Rozwiązać równania
(a) sin 2 x + sin x − 6 = 0, dla x z przedziału [0, 2π]
(b) − cos 2 x + 5 2 sin x − 1 2 = 0, dla x z przedziału [0, 2π]
(c) 4 (log 2 cos x) 2 + log 2 (1 + cos 2x) = 3 (d) sin 2x − cos 2x = 1 − 2 cos 2 x + sin x
(e) cos x − √
3 sin x = 1 6. Rozwiązać nierówności
(a) sin x + cos x > √
2 cos 2x (b) sin 3 x − 4 sin 2 x − sin x + 4 ≥ 0
m b
b b
2α
.
A B
C D
E
S F
2α
H
7. W trapezie dłuższa podstawa ma długość m, a pozostałe trzy boki mają długość b. Prze- dłużenia ramion trapezu przecinają się pod kątem 2α. Obliczyć obwód trapezu.
8. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przeciwległe krawędzie boczne przecinają się pod kątem 2α, a wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa ma długość h. Obliczyć objętość i powierzchnię całkowitą ostrosłupa.
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii
i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI Poddziałanie 4.1.1 Wzmocnienie potencjału dydaktycznego uczelni