Ćwiczenia AM II, 28.11-1.12.2017
Twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikłanej Zadanie 1. Sprawdź, czy podane przekształcenia są dyfeomorfizmami (na obraz):
(a) f(x, y) = (2xy, x2− y2), (x, y) 6= 0,
(b) f(x, y) = (ex+y+ ex−y, ex+y− ex−y), x, y ∈ R, Zadanie 2. Czy funkcja
f(t) =((2π t, 0) jeśli t ¬ 0,
(cos(π2 +t+12π), −1 + sin(π2+t+12π)) jeśli t > 0 jest różnowartościową funkcją różniczkowalną? A f−1?
Zadanie 3. Skonstruować dyfeomorfizm
(a) zbioru {(x, y) : −1 < x < 1, −1 < y < 1} na R2, (b) zbioru {(x, y) : 0 < y < x} na {(x, y) : x, y > 0},
(c) zbioru {(x, y) : −1 < x < 1, −1 < y < 1} na {(x, y) : 1 < x2+ y2<4, 0 < x < y < 2x}, (d) zbioru {(x, y) : −1 < x < 1, −1 < y < 1} na {(x, y) : 0 < x, 0 < y < x2},
(e) zbioru {(x, y) : −1 < x < 1, −1 < y < 1} na {(x, y) : x2+ y2<1, y > 0}.
Zadanie 4. (DOM, 5-6.12.2017) Niech f(x) = (1+kxkx1 , . . . ,1+kxkxn ), gdzie x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn. Znaleźć obraz prze- kształcenia f i wykazać, że f jest dyfeomorfizmem z Rn na ten obraz.
Zadanie 5. Niech f, g ∈ C1((a, b)) takie, że f(x) < g(x) dla a < x < b. Przekształcić dyfeomorficznie {(x, y) : a <
x < b, f(x) < y < g(x)} na prostokąt {(x, y) : x ∈ (a, b), y ∈ (0, 1)}.
Zadanie 6. Niech (x, y) 7→ (u = x2+ y − y2, v= 2xy + y).
(a) Wyznaczyć te punkty(x, y) w otoczeniu których f jest lokalnie odwracalna.
(b) Wykazać, że (2, 1) jest jednym z nich i obliczyć ∂y∂v(4, 5).
Zadanie 7. Niech S = {(x, y, z) : exz+ x2+ xy + y2+ z = 1}. Wykazać, że w otoczeniu punktu (0, 0, 0) zbiór S jest wykresem funkcji z = f(x, y). Zbadać, czy f ma lokalne ekstremum w (0, 0).
Zadanie 8. Wykazać, że
(x+ y + z = 0, x2+ y3+ z4 = 2
wyznacza y, z jako funkcje zmiennej x w otoczeniu x = 0 przy warunkach y(0) = 1, z(0) = −1. Obliczyć y′(0), y′′(0), z′(0), z′′(0).
Zadanie 9. Uzasadnić, że w otoczeniu punktu (1, 1, 0, 0) układ równań (eu+ v = xy,
2u + ev = 2y − x
wyznacza u, v jako funkcje zmiennych x, y klasy C1. Obliczyć Dφ(1, 1), gdzie φ : (x, y) 7→ (u, v).
