KLASÓWKA, 9.10.2018, kl 1b, grupa A
Zadanie 1. Udowodnij, »e dowolna liczba caªkowita n (dodatnia, ujemna lub zero) mo»e by¢ zapisana w postaci n = 030+ 131+ 232+ . . . + k3k
dla pewnego ci¡gu liczb 0, 1, . . . , k ze zbioru {1, −1, 0}. Na przykªad, 42 = 34− 33− 32− 3. Zadanie 2. Udowodnij, »e
1 1 · 3+ 1
3 · 5+ 1
5 · 7+ . . . + 1
(2n − 1)(2n + 1)= n 2n + 1. Zadanie 3. Udowodnij, »e dla dowolnej liczby naturalnej n 2 zachodzi nierówno±¢ √n
n < 2 −n1. Zadanie 4. Wyka», »e
(a) 2n+11 +2n+31 +2n+51 + . . . + 4n−11 < 25 dla dowolnej liczby naturalnej n;
(b) 13 <2n+11 +2n+31 +2n+51 + . . . +4n−11 dla n 2.
Zadanie 5. Uzasadnij, »e a2n− 1dzieli si¦ przez 2n+2dla ka»dej nieparzystej liczby a i liczby naturalnej n.
Zadanie 6. Wykaza¢, »e je±li liczba a + 1a jest caªkowita, to dla dowolnej liczby naturalnej k, liczba ak+a1k tez jest caªkowita.
KLASÓWKA, 9.10.2018, kl 1b, grupa B
Zadanie 1. Udowodnij, »e dowolna liczba caªkowita n ró»na od zera (dodatnia lub ujemna) mo»e by¢ zapisana w postaci
n = (−2)a1+ (−2)a2+ . . . + (−2)ak
dla pewnego ci¡gu ró»nych liczb nieujemnych caªkowitych a1, a2, . . . , ak. Na przykªad, 42 = (−2)6+ (−2)5+ (−2)4+ (−2)3+ (−2)2+ (−2).
Zadanie 2. Udowodnij, »e
1 · 3 + 2 · 32+ 3 · 33+ . . . + n · 3n= 3
4((2n − 1)3n+ 1) . Zadanie 3. Która z liczb jest wi¦ksza: √n
nczy n+1√ n + 1? Zadanie 4. Wyka», »e dla liczb naturalnych n > 1
(a) n+11 +n+21 + . . . +2n1 >1324, (b) 34 >n+11 +n+21 + . . . +2n1.
Zadanie 5. Udowodni¢, »e Fn+2Fn − Fn+12 = (−1)n+1 dla dowolnej liczby naturalnej n, gdzie (Fn) jest ci¡giem Fibonacciego (F1= F2= 1oraz Fn+2= Fn+1+ Fn dla n = 1, 2, . . .).
Zadanie 6. Udowodnij, »e dowolne n kwadratów mo»na poci¡¢ na cz¦±ci, z których mo»na zªo»y¢ kwadrat. (Nale»y wykorzysta¢ wszystkie cz¦±ci.)