Temat: Postać kanoniczna funkcji kwadratowej.
Wzór każdej funkcji kwadratowej postaci y= ax2 + bx = c, gdzie a≠0, można zapisać w postaci
y= a(x -p)2+q, gdzie a≠0, oraz punkt W (p, q) jest wierzchołkiem paraboli będącej wykresem tej funkcji.
Wzór y= a(x -p)2+q, gdzie a≠0, nazywamy wzorem funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.
Ze wzoru funkcji w postaci kanonicznej możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli.
Ćwiczenie 1. Uzupełnij tabelę:
wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej y= a(x -p)2+q
p q W(p,q)
y= 2(x-3)2+4 -p=-3 /: (-1)
p=3
q= 4 W(3,4)
y= 4(x+5)2+9 -p=5 /: (-1)
p=-5
q= 9 W(-5,9)
y= -2(x-6)2+7 -p= -6 /: (-1)
p= 6
q= 7 W(6,7)
y= -9(x-8)2-10 -p= -8 /: (-1)
p=8
q= -10 W(8,-10)
y= x2-29 -p=0
p=0
q= -29 W(0,-29)
y=6(x-2)2 -p= -2 /: (-1)
p= 2
q= 0 W(2,0)
y=(x+1)2+¼ -p =1 /: (-1)
p= -1
q= ¼ W(-1,¼)
Ćwiczenie 2. Wyznacz miejsce zerowe (o ile istnieją) funkcji kwadratowej opisanej wzorem:
a)y= -2(x+5)2+32 b) y= 3(x-2)2-15 c) y=4(x+6)2+20
***przypomnijmy:
miejsce zerowe funkcji to taki argument („x”), ale którego wartość funkcji („y”) to zero
Rozwiązanie:
a) Żeby wyznaczyć miejsce zerowe dowolnej funkcji najprościej porównać jej wzór do zera -2(x+5)2+32 = 0
-2(x+5)2= - 32 /: (-2)
(x+5)2=16 jaka liczba podnoszona do kwadratu daje 16? To 4 lub -4 x+5=4 lub x+4= -4
x= 4-5 x= -4 -4 x= -1 x= -8 Odp.: m0= { -8, -1}
b) 3(x-2)2-15 = 0 3(x-2)2=15 /:3
(x-2)2= 5 jaka liczba podnoszona do kwadratu daje 5? To
√
5 lub -√
5x-2=
√
5 lub x-2= -√
5x=
√
5 +2 lub x= -√
5 +2Odp.: m0= { -
√
5 +2 ,√
5 +2 }c) 4(x+6)2+20=0 4(x+6)2=-20 /:4
(x+6)2= -5 jaka liczba podnoszona do kwadratu daje -5? Żadna. Kwadrat żadnej liczby jest ujemny
Odp.: Funkcja nie ma miejsc zerowych.
Zadanie 4/286 (Tech.)
Zadanie 4/241 (LO) Podręcznik a) f(x)= -1(x+3)2+1
we wzorze dopisałam przed nawiasem 1,żeby łatwiej było Wam odczytać współczynnik a równy -1
Z powyższego wzoru możemy odczytać współrzędne wierzchołka paraboli:
-p= 3/: (-1) q=1 P= -3
Zatem mamy: W(-3, 1)
Obliczamy teraz współrzędne punktu przecięcia się wykresu funkcji z osią OY -ma on współrzędne (0,y) (tzn. za x do wzoru funkcji podstawiamy zero)
f(x)= -(x+3)2+1 f(x)= -(0+3)2+1 f(x)= -(3)2+1 f(x)= -9+1 f(x)= -8
Punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY to: A(0,-8)
Rysujemy wykres:
Zbiór wartości: ZW(-, 1>
Przedziały monotoniczności:
- funkcja rośnie w przedziale (-, -3>
- funkcja maleje w przedziale <-3, +)
-równanie osi symetrii: x= -3 bo wszystkie punkty leżące na osi symetrii mają x równego trzy
*** gdyby z wykresu należało odczytać gdzie funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemnie, konieczne byłoby obliczenie miejsc zerowych
Praca domowa:
dokończyć zadanie 4 b, c zad 7 (podręcznik)