Zmienne losowe – teoria (Ω,F, P ) – przestrzeń probabilistyczna. Definicja Niech (Ω

Zmienne losowe – teoria (Ω, F , P ) – przestrzeń probabilistyczna.

Definicja Niech (Ω1, F1), (Ω2, F2) będą przestrzeniami mierzalnymi. Odwzorowanie f : Ω1 → Ω2 jest mie- rzalne, jeśli ∀B∈F₂ f⁻¹(B) ∈ F1. Zapis: f : (Ω1, F1) → (Ω2, F2).

Definicja Zmienna losowa to funkcja mierzalna X : (Ω, F ) → (R, B).

Definicja Rozkład zmiennej losowej X to miara probabilistyczna PX na (R, B) dana wzorem P_X(A) = P ◦ X⁻¹(A) = P (X ∈ A).

Definicja Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F_X: R → [0, 1] określoną wzorem F_X(x) = P (X 6 x).

Twierdzenie Dystrybuanta F ma własności:

1. F jest funkcją niemalejącą, 2. F jest prawostronnie ciągła, 3. lim

x→−∞F (x) = 0, lim

x→+∞F (x) = 1.

Definicja Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny, jeśli istnieją liczby x₁, x₂, . . . i prawdopodobieństwa p1, p2, . . . > 0 takie, że

∞

P

i=1

pi= 1 oraz P (X = xi) = pi, i = 1, 2, . . ..

Definicja Zmienna losowa X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości f , jeśli dla każdego A ∈ B zachodzi P (X ∈ A) =

Z

A

f (x)dx.

Uwaga: f (x) > 0 prawie wszędzie i Z

R

f (x)dx = 1.

Definicja Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie dyskretnym nazywamy liczbę EX =

∞

P

i=1

xipi.

Definicja Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X o rozkładzie absolutnie ciągłym nazywamy liczbę EX =

Z

R

xf (x)dx.

Uwaga. Wartość oczekiwana zmiennej losowej może nie istnieć.

Twierdzenie Wartość oczekiwana ma własności:

1. E(aX + b) = aEX + b, a, b ∈ R,

2. jeśli zmienne losowe X i Y określone są na tej samej przestrzeni Ω, to E(X + Y ) = EX + EY . Definicja Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę

Var X = E(X − EX)²= EX²− (EX)².

Uwaga. Wariancję oznacza się również przez D²X. Wariancja zmiennej losowej może nie istnieć.

Twierdzenie Wariancja ma własności:

1. Var X > 0,

2. Var (aX + b) = a²Var X, a, b ∈ R.

Definicja Odchyleniem standardowym zmiennej losowej X nazywamy liczbę DX =√ Var X.

Definicja Momentem rzędu p > 0 zmiennej losowej X nazywamy liczbę EX^p.

Definicja Momentem absolutnym rzędu p > 0 zmiennej losowej X nazywamy liczbę E|X|^p. Uwaga. Moment (absolutny) rzędu p zmiennej losowej może nie istnieć.