αyt−1+ (1 − α) yt−1∗ oraz y1

(1)

Wybrane adaptacyjne metody prognozowania szeregów stacjonarnych Metoda naiwna staªy poziom:

y_t^∗ = yt−1.

Metoda ±redniej ruchomej prostej:

y_t^∗ = 1 k

Xk i=1

y_t−i,

gdzie k jest tzw. staª¡ wygªadzania.

Metoda ±redniej ruchomej wa»onej:

y_t^∗ = Xk

i=1

y_t−i· w_i,

gdzie wi oznaczaj¡ wagi, speªniaj¡ce warunek P

iw_i = 1. Metoda Browna:

y_t^∗ = αyt−1+ (1 − α) y_t−1^∗

oraz y1^∗ = y1, gdzie α oznacza staª¡ wygªadzania i α ∈ (0; 1).

Wybrane adaptacyjne metody prognozowania szeregów wykazuj¡cych ten- dencj¦ rozwojow¡

Metoda naiwna staªy przyrost:

y_t^∗ = y_t−1+ ∆y_t−1 = y_t−1+ (y_t−1− y_t−2). Metoda naiwna staªa procentowa zmiana:

y_t^∗ = yt−1· y_t−1 y_t−2.

Metoda ±redniej ruchomej u±redniaj¡cej przyrost:

y_t^∗ = yt−1+ y_t−1− y_t−k−1

k .

Metoda Holta:

Ft= αyt+ (1 − α) · (Ft−1+ St−1), St= β (Ft− Ft−1) + (1 − β) · St−1, y_t^∗ = F_t−1+ S_t−1

oraz F1 = y₁ i S1 = y₂ − y₁, gdzie α ∈ (0; 1) i β ∈ (0; 1). Ft i St s¡ warto±ciami pomocniczymi.

1

(2)

Zadanie1 Kurs aukcji pewnej spóªki ksztaªtowaª si¦ w kolejnych notowaniach nast¦- puj¡co: 27; 29; 25; 33; 31; 35; 29; 26; 30; 28 (warto±ci w zª). Wyznacz prognoz¦ kursu akcji w kolejnym notowaniu, u»ywaj¡c metody naiwnej, metody ±redniej ruchomej dla k = 3 oraz metody ±redniej ruchomej wa»onej dla k = 2 oraz wag wynosz¡cych 0,8 dla okresu t − 1 i 0,2 dla okresu t − 2. Wyznacz, porównaj i zinterpretuj ±rednie bª¦dy ex post dla poszczególnych metod.

Zadanie2 Sprzeda» produktu w kolejnych miesi¡cach ksztaªtowaªa si¦ nast¦puj¡co:

3,2; 3,4; 4; 4,4; 5,2; 5,6; 6,2; 7,1 (w tys. szt.). Wyznacz prognoz¦ sprzeda»y w kolej- nym miesi¡cu, u»ywaj¡c metody naiwnej (staªy przyrost i staªa procentowa zmiana) oraz metody ±redniej ruchomej u±redniaj¡cej przyrost dla k = 2. Wyznacz, porównaj i zinterpretuj ±rednie bª¦dy ex post dla poszczególnych metod.

Zadanie2a Na podstawie tych samych danych zbuduj model trendu liniowego i trendu kwadratowego w celu wyja±nienia ksztaªtowania si¦ sprzeda»y. Który model lepiej opisuje zmiany sprzeda»y? Wyznacz prognozy na trzy kolejne miesi¡ce w oparciu o oba modele.

Zadanie2b Podobn¡ analiz¦ przeprowad¹ dla szeregu czasowego opisuj¡cego liczb¦

osób prowadz¡cych rachunki w pewnym banku: 220,8; 189,3; 169,5; 146,4; 129,7;

111,9; 105,3; 96,7 (dane w tys.). Zastosuj dodatkowo model trendu wykªadniczego.

2