Statystyka matematyczna
Lista zadań przygotowujących do kolokwium nr 1
1. Rozkłady empiryczne
[3] Zad. 1.23-1.27, 1.29, 1.31, 1.33-1.37, 1.39-1.45 2. Modele statystyczne
[2] Zad. 1-3 str. 13, 4 str. 14, 3. Statystyki dostateczne
[1a] Zad. 2.18, 2.19, 2.21, 2.26 a,b, 2.34, 2.47 LUB odpowiednio
[1b] Zad. 2.19, 2.21, 2.22, 2.24, 2.28 a,b, 2.36, 2.53
Dodatkowo wszystkie zadania ze zbiorów [1a] lub [1b], które odnoszą się do mini- malnych statystyk dostatecznych, rozwiązywane w odniesieniu tylko do statystyk dostatecznych (bez minimalności, której nie rozważaliśmy).
Numeracja poniższych zadań odnosi się do zbioru [1b]:
4. Metody momentów i kwantyli (wszystkie podane tu zadania należy rozwiązać tymi dwoma metodami)
• Zad. 3.82 str. 76
• Zad. 3.83 str. 76
• Zad. 3.85 str. 77
5. Metoda największej wiarogodności
• Zad. 3.86 str. 77
• Zad. 3.88 a, c str. 77
• Niech X1, . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu jednostajnego U (a, b).
Wyznacz estymator największej wiarogodności parametru θ = (a, b) ∈ {(x, y) ∈ R2; x < y}.
• Niech X1, . . . , Xnbędzie próbą losową prostą z rozkładu dwumianowego B(m, p), p ∈ (0, 1). Wyznacz estymator największej wiarogodności parametrów θ = p i θ = p2.
• Niech X1, . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu Pareto P a(x0, α) o gę- stości
f (x) = α x0
x0 x
α+1
1(x0,+∞)(x), x0 > 0, α > 0.
Wyznacz estymator największej wiarogodności parametru θ = (x0, α).
1
6. Estymatory nieobciążone i błąd średniokwadratowy
• Zad. 3.1 str. 60
• Zad. 3.3 str. 60
• Zad. 3.4 str. 60
• Zad. 3.9 str. 61
• Zad. 3.13 a, b str. 62
• Zad. 3.14 str. 62
• Zad. 3.15 str. 63
• Rozważmy estymator
θ(xˆ 1, . . . , xn) = 1 − 1 n
n
X
i=1
1(0,1)(xi)
parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o rozkładzie E(λ). Oblicz błąd średniokwadratowy tego estymatora w punkcie θ.
Literatura
[1a] A. Jokiel-Rokita, R. Magiera, Modele i metody statystyki matematycznej w zadaniach.
Oficyna Wyd. GiS, Wrocław (2001).
[1b] A. Jokiel-Rokita, R. Magiera, Modele i metody statystyki matematycznej w zadaniach.
Oficyna Wyd. GiS, Wrocław (2005 Wyd. III).
[2] R. Zieliński Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej dostępna na: http://www.impan.pl/ rziel/7ALL.pdf
[3] W. Krysicki i inni, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zada- niach, część II: Statystyka matematyczna, PWN, wyd. II poprawione, 1994.
2
