Zastosowanie całek podwójnych i potrójnych w fizyce
1. W poniższych podpunktach obliczyć mase zbioru D i jego środek ci eżkości (środek masy zbioru), gdy: (i)D = {(x, y) ∈ R2 : x2+y2 R2} , ρ(x, y) = x + R,
(ii) D jest dowolnym zbiorem, a ρ jest funkcja stał a w D (mówimy wtedy, że masa jest rozłożona w sposób jednorodny),
(iii) D = {(x, y) ∈R2 : |y| f(x), a x b} , gdzie f : a, b → 0, +∞) jest funkcja ci agł a w a, b , a ρ jest funkcja stał a,
(iv)D jest ograniczony krzywymi x = 0, y = 0, x + y = 2, a gęstość ρ(x, y) = xy, (v) D jest zbiorem ograniczonym krzywymi ay = x2, x + y = 2a, a > 0, a ρ = const.
2. Wykazać, że jeśli figura ma oś symetrii, to jej środek cieżkości musi leżeć na tej osi.
3. Obliczyć momenty statyczne:
(i) półkolaD = {(x, y) ∈R2 : x2+y2 R2 y 0} o stałej gestości ρ(x, y) = c,
(ii) jednorodnego trójkąta równobocznego o boku a i masie M (moment statyczny obliczyć względem pod- stawy trójkąta),
(iii) kwadratu D =(x, y) ∈R2 : −21a x 12a, 0 y a obłożonego masa o g estości ρ(x, y) = k√
x2+y2, k > 0.
4. Obliczyć momnety bezwładności (względem obu osi układu oraz względem punktu (0, 0)) podanych zbio- rów:
(i)D = {(x, y) ∈R2 : 0 y f(x), a x b} , gdzie f jest funkcja ci agł a i nieujemn a w przedziale a, b , aρ jest funkcja stał a,
(ii) D = {(x, y) ∈R2 : x2+y2 R2 y 0} o stałej gestości ρ, (iii) D = −a, a × −b, b , ρ(x, y) = |xy|,
(iv)D jest cienką jednorodną tarczą w kształcie koła o promieniu R i masie M (moment bezwładności obli- czyć względem osi tarczy, która jest do niej prostopadła).
5. Obliczyć energię kinetyczną cienkiej jednorodnej tarczy kołowej o masie M i promieniu R, która ob- raca się z prędkością kątową ω wokół osi przechodzącej przez środek koła i prostopadłej do niej.
6. Obliczyć (stosując I regułę Guldina) objetość torusa, który powstał z obrotu koła (z − a) 2+ (x − b)2 r2 dookoła osi Ox.
7. Znaleźć (za pomocą I reguły Guldina) objetość bryły powstałej z obrotu zbioru D dookoła osi x, je- śliD jest:
(i) zbiorem ograniczonym parabola y 2 = 2px, osia x i odcinkiem pionowym o odci etej x, (ii) zbiorem ograniczonym ćwiartka elispy xa22 +yb22 = 1.
Arkusz 1
8. Stosujac I reguł e Guldina obliczyć obj etość bryły powstałej z obrotu dookoła osi x (i) zbioru ograniczonego parabola y 2 = 2px, osia x i odcinkiem pionowym o odci etej x, (ii) zbioru ograniczonego ćwiartka elispy xa22 + yb22 = 1.
9. Wykorzystując I regułę Guldina obliczyć położenie środków ciężkości podanych figur jednorodnych:
(i) półkole o promieniu R,
(ii) trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a, b.
10. Obliczyć (stosując II regułę Guldina) pole powierzchni bryły powstałej z obrotu łuku nastepuj acych krzywych dookoła osi Ox:
(i) paraboliy2 = 4x, x ∈ [0, 3],
(ii) cykloidy x = a(t − sint), y = a(1 − cost), a > 0, t ∈ [0, 2π], (iii) elipsy,
(iv) asteroidy x = acos3t, y = asin3t, a > 0, t ∈ [0, π], (v) y =√
2rx − x2, x ∈ [0, 2],
(vi) hiperboli x2 − y2 =a2, a > 0, x ∈ [0, a√ 2].
11. Obliczyć pole powierzchni bocznej stożka o tworzącej l i promieniu podstawy r.
12. Obliczyć pole powierzchni powstałej z obrotu okręgu o promieniu r wokół prostej leżącej w płaszczyźnie okręgu, jeżeli odległość środka okręgu od osi obrotu wynosi R, R > r (torus).
13. Wykorzystując II regułę Guldina, znaleźć położenie środka ciężkości podanych krzywych jednorodnych:
(i) brzeg ćwiartki koła o promieniuR,
(ii) brzeg trójkąta równoramiennego o podstawiea i wysokości h.
14. Obliczyć mase zbioru U i jego środek ci eżkości, gdy:
(i)U jest ograniczony powierzchniami 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1, jeśli γ(x, y, z) = x + y + z, (ii) U jest dowolnym zbiorem, a γ jest funkcja stał a w V ,
(iii) U =(x, y, z) ∈R3 : xa22 +yb22 +zc22 < 1, x, y, z > 0, γ = const, (iv)U =(x, y, z) ∈R3 : xa22 +yb22 + zc22 < 1, x > 0, γ = 1 − xa,
(v) U jest kulą o promieniu R, a gęstość masy w odległości r od środka kuli wynosi r2.
15. Obliczyć momenty statyczne bryły U w nastepuj acych przypadkach:
(i)U jest ograniczona paraboloida obrotow a z = − R1(x2 +y2), płaszczyzna z = 0 i walcem x 2+y2 =R2, a ρ = const,
(ii) U jest walcem U = {(x, y, z) ∈R3 : x2+y2 < R2, 0 < z < w} o gestości masy γ(x, y, z) = kz, k > 0 (obliczyć tylkoMSxy).
Arkusz 2
16. Obliczyć momenty bezwładności:
(i) jednorodnej ósmej cześci kuli U = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+y2+z2 < R2, x, y, z > 0} o masie m,
(ii) ostrosłupaU = {(x, y, z) ∈R3 : x + y + z < a, x, y, z > 0} , a > 0, obłożonego masa o g estości γ(x, y, z) = a − (x + y + z).
17. Jednorodny bąk o masie M ma kształ stożka o wysokości H i promieniu R. Obliczyć moment bez- władności tego bąka względem jego wierzchołka.
18. Obliczyć energię potencjalną jednorodnej kuli o masie M i promieniu R, której środek jest położony w odległości H od powierzchni Ziemi.
Arkusz 3
