MODELOWANIE I BADANIA SYMULACYJNE TRANSLACYJNEGO MECHANIZMU
RÓWNOLEGŁEGO Z UWZGLĘDNIENIEM LUZÓW W PARACH KINEMATYCZNYCH
Jacek Bałchanowski
Instytut Konstrukcji i Eksploatacji Maszyn, Politechnika Wrocławska Jacek.Balchanowski@pwr.wroc.pl
Streszczenie
W artykule omówiono problemy analizy, modelowania i badań symulacyjnych translacyjnego mechanizmu równo- ległego o trzech stopniach swobody z napędami liniowymi z uwzględnieniem luzów w parach kinematycznych.
W pracy przedstawiono sposób modelowania par z luzami jako połączeń kształtowych z więzami w postaci oddzia- ływań kontaktowych. Na przykładzie przegubu uniwersalnego opisano budowę modelu pary z uwzględnieniem lu- zów promieniowych i osiowych. Metodą badań symulacyjnych przeprowadzono analizę wpływu występujących lu- zów w parach na dokładności pozycjonowania członów w mechanizmie równoległym. W szczególności pokazano zachowanie mechanizmu w pobliżu położeń osobliwych.
Słowa kluczowe: mechanizmy równoległe, analiza kinematyczna, badania symulacyjne, luzy w parach
MODELLING AND SIMULATION RESEARCHES OF TRANSLATIONAL PARALLEL MECHANISM
WITH TAKING INTO ACCOUNT THE JOINTS CLEARENCE
Summary
The problems of analysis, modelling and simulation researches of the translational parallel mechanism with 3 DOF with linear actuators with taking into account the joint clearance were presented in the paper. The model of joint with clearance is built with geometric solids and constraints in the form of contact force. The model of universal joint with radial and longitudal clearances was described in the article. The analysis of the joint clear- ance influence on positioning accuracy of the driven link (platform) of parallel mechanism using simulation re- searches were done. In particular, the behavior of the mechanism is shown near the singular positions.
Keywords: parallel mechanisms, kinematic analysis, clearance in kinematic joints, simulation researches
1. WSTĘP
Mechanizmy równoległe charakteryzują się wieloga- łęziowym połączeniem członu biernego z podstawą lub z członami czynnymi i podstawą. W równoległych mechanizmach translacyjnych człon bierny (platforma) może wykonywać tylko trzy ruchy translacyjne wzglę- dem podstawy przy zachowanej stałej orientacji. Układy takie mają zastosowania głównie jako manipulatory montażowe czy pakujące (np. ABB IRB 340, Fanuc M- 1iA, M-3iA, KOCH KRH-D) lub translacyjne pozycjone-
ry. Swoje specyficzne właściwości translacyjne mechani- zmy równoległe zawdzięczają zarówno odpowiednio dobranej strukturze, postaci par kinematycznych, jak i geometrii członów [11, 13]. Jedną z zalet mechanizmów równoległych, a w szczególności układów o cechach translacyjnych, w porównaniu do układów o budowie szeregowej, jest możliwość osiągania dużej dokładności pozycjonowania członu biernego. W rzeczywistym mechanizmie dokładność pozycjonowania może ulec
pogorszeniu z różnych przyczyn, np. w wyniku odkształ- cenia członów pod wpływem obciążenia zewnętrznego, z niedokładności ich wykonania oraz z powodu wystę- powania luzów w parach kinematycznych. Wpływ niektórych przyczyn powodujących niedokładności pozycjonowania można w prosty sposób zniwelować, np. zwiększając sztywność członów, zmniejszając tole- rancje i obniżając klasę wykonania elementów lub doko- nując kalibracji gotowego mechanizmu. Źródłem dość istotnych błędów pozycjonowania i powtarzalności ruchu członu biernego pozostają luzy w parach kinematycz- nych, których występowania nie można uniknąć w rzeczywistych mechanizmach. Luzy te w wyniku zużycia współpracujących elementów z czasem nawet w bardzo dobrze spasowanych układach potrafią się znacząco zwiększać.
Występowanie położeń osobliwych w strefie roboczej mechanizmów równoległych jest jedną z wad tych układów. Planując stosowanie takich mechanizmów, należy tak zaprojektować układ, aby podczas realizacji zadań uniemożliwić doprowadzenie go do położenia osobliwego. W niektórych przypadkach zajęcie przez człony mechanizmu położeń osobliwych może doprowa- dzić do uszkodzenia lub zniszczenia układu.
Dość istotnym i skądinąd wielce ciekawym i złożo- nym zadaniem jest określenie jak bardzo człony mecha- nizmu mogą się zbliżyć do położeń osobliwych, nie wnosząc do układu szkodliwych oddziaływań w postaci znaczącego zwiększenia sił i momentów w parach kine- matycznych. W wyniku występowania luzów w parach kinematycznych mechanizm będący w pobliżu położenia osobliwego może zająć położenie osobliwe pomimo tego, że teoretycznie znajduje się w bezpiecznej odległości od osobliwości.
Występujące luzy w parach kinematycznych są trud- ne do likwidacji w rzeczywistych mechanizmach.
W związku z tym istnieje potrzeba opisu i analizy wpływu luzów na pracę układów kinematycznych.
Zagadnienie jest trudne i złożone do jawnego opisu analitycznego. Temat ten, w szczególności w analizie mechanizmów i manipulatorów równoległych, został ujęty w różnych aspektach w wielu pracach. Kosuge [9]
podjął interesującą próbę analitycznego opisu luzów promieniowych w parach obrotowych w płaskich mikro- mechanizmach równoległych. Autor wprowadził tzw.
pola luzów w poszczególnych parach i analizował ich wzajemne wpływy na pozycjonowanie członu biernego.
Luz w parach kinematycznych Ting [12] zamodelo- wał, wprowadzając dodatkowe małe człony, nazywając je członami luzów. Każdy taki człon wprowadza jeden dodatkowy stopień swobody, zwiększając tym samym całkowitą liczbę stopni swobody mechanizmu. Metoda ta oferuje geometryczny model do określenia wpływu luzów na orientację i położenia członów w płaskich mechani- zmach dźwigniowych i manipulatorach.
Do opisu zjawiska luzów w mechanizmach dźwignio- wych [10] i manipulatorach [15] używane są również metody stochastyczne, dla przewidywania błędów pozy- cjonowania członów, w celu określenia dopuszczalnych luzów decydujących o dokładności pozycjonowania.
Chebi i inni [6] dokonali ciekawego analityczno- numerycznego opisu wpływu luzów na błędy pozycjono- wania członu biernego dla translacyjnego manipulatora równoległego o trzech stopniach swobody, tworząc mapy rozkładu błędów w strefie roboczej układu przy uwzględnieniu występowania położeń osobliwych.
W niniejszej pracy pokazano sposób modelowania translacyjnego mechanizmu równoległego o trzech stopniach swobody z napędami liniowymi z uwzględnie- niem występowania luzów we wszystkich parach kinema- tycznych oraz zamieszczono wyniki przeprowadzonych badań symulacyjnych wpływu luzów w parach na do- kładność pozycjonowania członu biernego podczas wykonywania typowych ruchów roboczych. Przedsta- wiono i opisano sposób budowy modeli par kinematycz- nych obrotowych i przegubów uniwersalnych (sprzęgieł Cardana) z luzami osiowymi i promieniowymi. Stosując zaprezentowaną procedurę, można zamodelować oraz przeanalizować zjawiska luzów w mechanizmach równo- ległych w komputerowych systemach analizy dynamicz- nej układów wieloczłonowych (np. LMS DADS, MD.Adams)[2, 8].
Uzyskane wyniki oraz metody analizy mogą być przydatne w dalszych pracach badawczych nad transla- cyjnymi mechanizmami równoległym w celu lepszego określenia ich cech użytkowych i poszerzenia obszaru zastosowań.
2. BUDOWA MODELU
MECHANIZMU RÓWNOLEGŁEGO MT-3UPU
Przedmiotem analizy w niniejszej pracy jest mecha- nizm MT-3UPU, którego struktura została określona podczas badań podstawowych dotyczących topologii mechanizmów równoległych w Zakładzie Teorii Maszyn i Układów Mechatronicznych na Wydziale Mechanicznym w Politechnice Wrocławskiej [2, 3, 4, 5]. Ich wynikiem było opracowanie systematycznych katalogów struktur przestrzennych mechanizmów równoległych, pogrupowa- nych względem ruchliwości (stopni swobody). Mecha- nizm ten jest znany szerzej w literaturze jako Tsai 3UPU [7, 13].
Schemat kinematyczny analizowanego mechanizmu przedstawiono narys. 1. Człon bierny (platforma)układu jest połączony z podstawą za pomocą trzech identycz- nych gałęzi- każda zbudowana z 2 członów, 2 przegubów uniwersalnych (sprzęgieł Cardana) łączących gałąź z podstawą i członem biernym oraz z 1 pary postępowej łączącej człony gałęzi. Mechanizm ma 3 stopnie swobo- dy, co determinuje konieczność zastosowania trzech
wymuszeń kinematycznych – napędów liniowych.Za zmienne niezależne przyjęto wymuszenia q1, q2, i q3
opisujące przemieszczenia liniowe w parach postępowych w gałęziach (rys. 1).
Rys. 1. Schemat kinematyczny translacyjnego mechanizmu równoległego MT-3UPU
Mechanizm MT-3UPU jest translacyjnym mechani- zmem równoległym, czyli układem, w którym człon bierny (platforma) może wykonywać tylko trzy ruchy translacyjne względem podstawy, przy zachowanej stałej orientacji. Warunki realizacji ruchu postępowego są spełnione tylko po przyjęciu szczególnej geometrii czło- nów układu oraz określonego wzajemnego usytuowania osi, względem których są realizowane w parach kinema- tycznych ruchy względne [3, 4, 7, 14]. Na rys. 1 przed- stawiono analizowany mechanizm w postaci zapewniają- cej realizacje ruchów translacyjnych.
Jedną z wad analizowanego mechanizmu jest wystę- powanie położeń osobliwych w jego strefie roboczej.
Położenie osobliwe układu, czy inaczej konfiguracja osobliwa, zachodzi wtedy, gdy układ jest nieokreślony kinematycznie. Układ doprowadzony do położenia osobliwego zmienia swoje właściwości kinematyczne i dynamiczne. W niektórych przypadkach zajęcie przez człony mechanizmu położeń osobliwych może doprowa- dzić do uszkodzenia lub zniszczenia układu. Konfiguracje osobliwe w tym mechanizmie są znane [5], zostały określone analitycznie m.in. przez autora metodą anali- zowania równań prędkości układu[1, 5]. Na rys. 2 przed- stawiono mechanizm w położeniach osobliwych określo- nych dla zadania prostego kinematyki. Podczas realizo- wanego ruchu mechanizmu równoległego nie można dopuścić, aby człony osiągnęły konfigurację osobliwą.
W celu przeprowadzenia badań symulacyjnych zbu- dowano dwa bryłowe modele obliczeniowe mechanizmu MT-3UPU w komputerowym systemie analizy dyna- micznej układów wieloczłonowych LMS DADS. Pierwszy model został zbudowany z członów połączonych ideal- nymi, teoretycznymi, bezluzowymi parami kinematycz- nymi. Do połączeń wykorzystano gotowe modele par z biblioteki więzów systemu (rys. 1). Drugi model me- chanizmu zbudowano z członów połączonych parami kinematycznymi z luzami, których modele zostały opracowane przez autora i przedstawione w kolejnym punkcie pracy (rozdz.3).
3. BUDOWA MODELI PAR
KINEMATYCZNYCH Z LUZAMI
W mechanizmie MT-3-UPU człony gałęzi mechani- zmu łączą się z członem biernym i z podstawą za pomo- cą przegubów uniwersalnych – sprzęgieł Cardana. Są to pary A, B, C przy podstawie oraz P, R, S przy platfor- mie umiejscowione w wierzchołkach trójkątów równo- bocznych wpisanych w okręgi o promieniach rd=0,5 m i rg=0,15 m (rys. 1).
W budowie przegubu Cardana występują cztery pary obrotowe oraz człon dodatkowy, pośredniczący, tzw.
krzyżak. Jedną z typowych, możliwych do zastosowania w budowie mechanizmu, postaci rzeczywistego przegubu uniwersalnego przedstawiono na rys. 3. W rozwiązaniu tym w miejscu par obrotowych zostały zastosowane łożyska wałeczkowe. Szczegóły łożyskowania zilustrowa- no na rys. 4. Jak można zauważyć, w łożysku ze względu na typ budowy mogą wystąpić luzy promieniowe hLR
oraz osiowe hLW pomiędzy elementami krzyżaka i widło- wego zakończenia członu gałęzi.
Wielkość luzów hLR i hLW zależy od przyjętych tole- rancji, klasy wykonania elementów oraz od stopnia zużycia współpracujących elementów.
Praktycznie luzy są nie do wyeliminowania w rze- czywistym łożysku. W pojedynczym przegubie podobne luzy występują w trzech pozostałych łożyskach krzyża- ka. Nawet nieznaczne luzy występujące we wszystkich
sześciu przegubach Cardana wpływają na dokładność pozycjonowania i powtarzalność ruchu członu biernego mechnizmu. Dlatego, aby ocenić wpływ luzu na ruch układu, należy zbudować model mechanizmu z parami kinematycznymi uwzględniającymi występujące luzy promieniowe i osiowe. Wymaga to rezygnacjiz używania standardowych więzów połączeń z biblioteki systemu obliczeniowego i opracowania nowych modeli par kine- matycznych uwzględniających luzy.
Para kinematyczna zapewnia możliwość ruchu względnego dwóch tworzących ją członów zgodnie z określonym stopniem swobody, np. para obrotowa ma jeden stopień swobody i zapewnia możliwość ruchu obrotowego względem jednej osi, para cylindryczna ma dwa stopnie swobody i pozwala na obrót oraz translację wzdłuż jednej osi, itd. W wyniku pojawienia się luzów para kinematyczna otrzymuje dodatkowe stopnie swo- body, które realizowane są dynamicznie.
W przypadku pary z luzami ruch względny dwóch członów tworzących parę nie jest określony ścisłymi więzami kinematycznymi, lecz zależy od kształtu ich powierzchni styku. Wzajemne określenie położeń czło- nów w mechanizmie nie jest w tym przypadku zdetermi- nowane kinematycznie, lecz zależy od równowagi sił i momentów, czyli jest to problem również analizy dynamicznej.
W pracy zaproponowano utworzenie modelu wystę- pujących w analizowanym mechanizmie MT-3UPU przegubów uniwersalnych jako połączeń kształtowych i więzów w postaci oddziaływań sił kontaktowych po- między dwiema powierzchniami. Na rys. 5 przedstawio- no opracowany model przegubu uniwersalnego. Cztery łożyska obrotowe łączące człon pośredniczący z członami tworzącymi przegub zostały zamodelowane kulowymi końcówkami osadzonymi w cylindrycznych puszkowych gniazdach. Różnica promieni wewnętrznych cylindra i kuli określa luz promieniowy hLR, zaś różnica w rozsta- wie gniazd i kuli wyznacza luz osiowy hLW (rys. 6).
Siły kontaktowe zdefiniowano pomiędzy wewnętrz- nymi powierzchniami gniazd - puszek a zewnętrznymi powierzchniami kulistych zakończeń przegubów. Jeżeli w wyniku przemieszczenia członów nastąpi kontakt pomiędzy członami, w punkcie styku pojawi się oddzia- ływanie w postaci siły kontaktowej. Do jego zdefiniowa- nia użyto modelu siły kontaktowej „Force – Contact – SegSeg” z biblioteki obciążeń systemu LMS DADS [7].
Wartości siły wynikające z nacisków powierzchniowych są wyliczane zgodnie z modelem sił kontaktowych sys- temu na podstawie przemieszczeń i odkształceń współ- pracujących członów. Przyjęto, że oddziaływania pomię- dzy członami są idealnie sprężyste, a przeguby wykona- ne są ze stali (E=2.1e5 MPa).Tak zbudowane połączenie zapewnia przeniesienia wymaganych obrotów i ruchów wynikających z luzów.
Rys. 3. Przegub uniwersalny – widok ogólny
Rys. 4. Przegub uniwersalny – przekrój przez łożysko krzyża- ka, widok luzów promieniowego hLR oraz osiowego hLW
Rys. 5. Model przegubu uniwersalnego – widok ogólny
Rys. 6. Model przegubu uniwersalnego – przekroje: podłużny i poprzeczny przez łożyska, widok luzów promieniowego hLR
oraz osiowego hLW
4. BADANIA SYMULACYJNE TRANSLACYJNEGO
MECHANIZMU RÓWNOLEGŁEGO MT-3UPU
Mechanizm MT-3UPU jest translacyjnym mechani- zmem równoległym. Jego człon bierny, platforma, przemieszcza się ruchem translacyjnym, zachowując stałą orientację względem podstawy. Wystąpienie luzów w parach zakłóca charakter tego ruchu. Celem badań symulacyjnych było określenie wpływu wielkości luzów na dokładność pozycjonowania członu biernego w róż- nych punktach strefy roboczej.
Jako miarę dokładności pozycjonowania przyjęto przemieszczenia dxM, dyM, dzMśrodka M członu biernego względem położenia tego samego punktu dla układu bez luzów oraz zmiany kątów orientacji platformy δx, δy, δz względem osi x, y, z układu związanego z podstawą 0 (rys. 7).Przedstawione poniżej wyniki badań, dotyczące ruchu mechanizmu po jednej wybranej trajektorii, pokazują dokładność pozycjonowania w wybranych punktach strefy roboczej dla trzech różnych kombinacji wartości luzów promieniowego hLR i osiowego hLW poda- nych w tab. 1.
Zestaw luzów L1 opisuje wartości luzów osiowego i promieniowego w zastosowanych typowych przegubach (rys. 3), zestaw L2 modeluje układ z luzami promienio- wymi i praktycznie bez luzów osiowych (hLW=0,001 mm), zaś L3 opisuje układ z luzami osiowy- mi i bez luzów promieniowych (hLR=0,001 mm).Przyjęto, że wszystkie pary kinematyczne, przegu- by uniwersalne w mechanizmie, są jednakowe i mają takie same wartości luzów.
4.1 BADANIA SYMULACJNE RUCHU MECHANIZMU MT-3UPU
PO ZADANEJ TRAJEKTORII
Badanie symulacyjne polegały na przemieszczeniu członu biernego platformy z górnego położenia b po trajektorii MM’ do poziomu podstawy. Położenie koń- cowe jest położeniem osobliwym. W rzeczywistym mechanizmie opuszczanie platformy należy zatrzy- mać przed osiągnięciem położenia osobliwego. Pod- czas ruchu mechanizm jest obciążony siłami masowymi, zaś ruch jest wymuszany napędami q1, q2, q3. Na rys. 8
przedstawiono schemat symulacji, zaś na rys. 9 przebiegi wymuszeń kinematycznych q1, q2, q3 napędów.
Zostały przeprowadzone cztery symulacje: jedna dla układu bez luzów oraz trzy dla układu z trzema kombi- nacjami wartości luzów z tab. 1. Na kolejnych wykre- sach przedstawiono wyniki symulacji. Na rys. 10 poka- zano przebiegi współrzędnych punktu M podczas ruchu po zadanej trajektorii dla układu bez luzów. Na rys. 11, 12 i 13 przedstawiono kolejno błędy pozycjonowania dxM,
dyM, dzM punktu M na członie biernym, zaś na rys. 14, 15 i 16 przebiegi zmian kątów δx, δy, δz orientacji plat- formy dla trzech zestawów luzów podczas ruchu po zadanej trajektorii.
Rys. 9. Przebiegi wymuszeń kinematycznych q1, q2, q3 napędów Przedstawione przebiegi pokazują wyraźnie, że wy- stępujące luzy mają znaczące wpływy na dokładność ruchu członu biernego. Wartości luzów, będące setnymi częściami milimetra, skutkują nawet w skrajnych przy- padkach centymetrowymi błędami pozycjonowania.
Wielkość błędów pozycjonowania zależy od położenia członu w strefie roboczej. Wraz ze zbliżaniem się układu do położenia osobliwego (t=1,07 s – rys. 11 - 16) błędy pozycjonowania i orientowania gwałtownie rosną. Szcze- gólnie wyraźnie rosną błędy dzM pozycjonowania wzdłuż osi z, osiągając wartości większe od 0,03 m.
Rys. 7. Schemat możliwych błędów pozycjonowania platformy:
liniowych dxM, dyM, dzM i kątowych δx, δy, δz
Rys. 8. Schemat symulacji ruchu po trajektorii MM’
Tab. 1. Wartości luzów przyjęte do badań Nazwa zestawu
luzów L1 L2 L3
hLR[mm] 0,025 0,025 0,001
hLW[mm] 0,025 0,001 0,025
Rys. 9. Przebiegi wymuszeń kinematycznych q1, q2, q3 napędów
Rys. 10. Przebiegi współrzędnych xM, yM, zM punktu M podczas ruchu po zadanej trajektorii dla układu bez luzów
Rys. 11. Przebiegi błędów dxM punktu M platformy podczas ruchu po zadanej trajektorii dla układu z luzami L1, L2 i L3
Rys. 12. Przebiegi błędów dyM punktu M platformy podczas ruchu po zadanej trajektorii dla układu z luzami L1, L2 i L3
Rys. 13. Przebiegi błędów dzM punktu M platformy podczas ruchu po zadanej trajektorii dla układu z luzami L1, L2 i L3
Analizując wykresy, można zauważyć we wszystkich przypadkach, że przebiegi błędów dla zestawu luzów L2
są większe od błędów uzyskanych przy luzach L3. Ozna- cza to, że układ jest bardzo wrażliwy na występowanie luzów promieniowych hLR w łożyskach przegubów uni- wersalnych. Dążąc do uzyskania dobrej dokładności
pozycjonowania, należy minimalizować wartość tego luzu.
Rys. 14. Przebiegi zmiany kąta orientacji platformy δx podczas ruchu po zadanej trajektorii dla układu z luzami L1, L2 i L3
Rys. 15. Przebiegi zmiany kąta orientacji platformy δy podczas ruchu po zadanej trajektorii dla układu z luzami L1, L2 i L3
Rys. 16. Przebiegi zmiany kąta orientacji platformy δz podczas ruchu po zadanej trajektorii dla układu z luzami L1, L2 i L3
Luzy osiowe hLW w parach mają znacznie mniejszy wpływ na dokładność pozycjonowania członu biernego mechanizmu. Przy analizie przebiegów należy pamiętać, że położenie członów mechanizmu podczas ruchu po badanej trajektorii jest określone dynamicznie pod wpływem obciążenia zewnętrznego i sił masowych. Przy zmianie warunków ruchu, np. postawieniu mechanizmu podstawą do góry, wyniki symulacją przyjmą inne wartości.
4.2 BADANIA POZYCJONOWANIA CZŁONU BIERNEGO MECHANIZMU MT-3UPU
Dla ustalonych wartość q1, q2, q3 wymuszeń kinema- tycznych – napędów dla mechanizmu bez luzów człon bierny przyjmuje ściśle określoną pozycję. W przypadku układu z luzami w parach kinematycznych człon bierny, dla określonych wymuszeń kinematycznych, może prze- mieszczać się wokół położenia teoretycznego, zmieniając swoją pozycję i orientację w zależności od równowagi dynamicznej. W pracy przeprowadzono badania pozy-
cjonowania członu biernego w wybranych punktach strefy roboczej.
Na rys. 17 przedstawiono schemat symulacji – poka- zano wybrane 4 położenia członu biernego w strefie roboczej określone kolejnymi położeniami punktu M – M1, M2, M3 i M4. Wybrane położenia usytuowane są pomiędzy gałęziami napędowymi 2 i 3. Ze względu na symetrię budowy mechanizmu wyniki analiz będą toż- same dla analogicznych punktów umiejscowionych pomiędzy gałęziami 1 i 3 oraz 1 i 2. W tabeli 2 podano współrzędne wybranych punktów M1, M2, M3 i M4 oraz odpowiadające tym położeniom wymuszenia kinema- tyczne q1, q2 i q3 napędów.
Symulacje polegały na wymuszaniu dynamicznym
ruchu członu biernego – platformy wokół ustalonego położenia punktu M określonego zadanymi wielkościami q1, q2, q3. Przy ustalonych wymuszeniach ruch członów mechanizmu wynika tylko z luzów w parach. Celem
symulacji było określenie zakresu możliwych zmian położenia liniowego dxM, dyM, dzM i kątowego δx, δy, δz wokół położenia ustalonego dla układu bez luzów. W tab. 3 zebrano i przedstawiono wyniki obliczeń i symu- lacji dla wybranych położeń platformy M1, M2, M3 i M4 dla kolejnych zestawów L1, L2 i L3 zdefiniowanych luzów.
Badania pozycjonowania platformy w wybranych po- łożeniach potwierdziły ustalenia z symulacji ruchu układu po trajektorii MM’ (rozdz. 4.1). Wrażliwość układu na luzy znacząco wzrasta ze zbliżaniem się członów mechanizmu do położenia osobliwego. W bada-
nym ruchu mechanizm wchodzi w osobliwość, gdy człon bierny osiąga poziom podstawy (zM=0). W tym położe- niu błędy dzM względem osi z osiągają wartości
± 28,7 mm (tab.3, wiersz M4). W pozostałych położe- niach M1, M2 i M3(tab. 3) błędy dzM są znaczące niższe (|dzM| < 5,3 mm).
W celu dokładniejszego określenia błędów pozycjo- nowania układu w pobliżu położeń osobliwych należało- by powtórzyć analizy dla szerszego zakresu pozycji członów i zestawów luzów. Można jednak sformułować ogólny wniosek, że im mniejsze luzy w parach, tym bliżej może mechanizm zbliżać się do konfiguracji oso- bliwej.
Badania potwierdziły zwiększoną wrażliwość anali- zowanego mechanizmu na luzy promieniowe hLR niż na luzy osiowe hLW. W każdym przypadku błędy pozycjo- nowania i orientacji są mniejsze dla zestawu L3 w porównaniu z luzami L2 (tab. 3). Projektując czy dobierając pary kinematyczne dla układu, należy wybie- rać rozwiązania z jak najmniejszymi możliwymi luzami promieniowymi.
5. ZAKOŃCZENIE I WNIOSKI
W niniejszej pracy podjęto problem analizy ruchu translacyjnego mechanizmu równoległego MT-3UPU z uwzględnieniem występujących luzów w parach kine- matycznych. Podstawowym zadaniem było określenie wpływu luzów w parach na dokładność pozycjonowania członu biernego. Przeprowadzone rozważania dotyczyły metod modelowania i badań symulacyjnych mechani- zmów równoległych w komputerowych systemach anali- zy dynamicznej układów wieloczłonowych.
W pracy pokazano sposób modelowania par kinema- tycznych z uwzględnieniem występowania luzów jako połączeń kształtowych z więzami w postaci oddziaływań kontaktowych. Na przykładzie przegubu uniwersalnego opisano budowę modelu pary z uwzględnieniem luzów promieniowych i osiowych. Przeprowadzone badania symulacyjne ruchu mechanizmu po wybranej trajektorii i pozycjonowania członu biernego w wybranych miej- scach strefy roboczej pokazały, że luzy znacząco wpły- wają na charakterystykę ruchu mechanizmu, powodując zmiany w pozycjonowaniu i orientacji członu biernego.
Jest to szczególne istotne dla mechanizmów translacyj- nych, w których utrzymanie stałej orientacji członu biernego ma znaczenie podstawowe. Badania wykazały, że w pobliżu położenia osobliwego wrażliwość mechani- zmu na błędy w pozycjonowaniu znacząco wzrasta.
Przeprowadzone analizy wykazały, że tego typu układy mają zwiększoną wrażliwość na błędy pozycjonowania wynikające z występowania luzów promieniowych w parach w porównaniu do błędów spowodowanych luzami osiowymi.
Występowanie położeń osobliwych w strefie roboczej mechanizmów równoległych jest jedną z wad tych Rys. 17. Widok mechanizmu ze schematycznie pokazanymi
analizowanymi położeniami platformy
Tab. 2. Współrzędne analizowanych położeń platformy i odpowiadające im wymuszenia
Punkt M1 M2 M3 M4
xM [m] 0 0,1 0,21 0,22
yM [m] 0 -0,3 -0,63 -0,64
zM [m] 0,75 0,5 0,0956 0
q1 [m] 0,8276 0,8261 0,9970 1,0135 q2 [m] 0,8276 0,6543 0,6858 0,6991 q3 [m] 0,8275 0,5539 0,4645 0,4723
układów, dlatego też analizy określające zachowanie układu z luzami w pobliżu konfiguracji osobliwych nie powinny być pomijane w procesie projektowania. Prze- prowadzone badania symulacyjne zachowania mechani- zmu z luzami oparte na utworzonych i opisanych mode- lach par kinematycznych są pomocne w przewidywaniu
błędów pozycjonowania w celu określenia dopuszczal- nych luzów dla otrzymania określonej dokładności pozycjonowania. Uzyskane wyniki oraz metody modelo- wania mogą być przydatne w dalszych pracach badaw- czych nad translacyjnymi mechanizmami równoległymi dla lepszego określenia ich cech użytkowych w celu poszerzenia obszaru zastosowań.
Literatura
1. Bałchanowski J.: Topology and analysis of the singularities of a parallel mechanism with three degrees of free- dom. Archives of Civil and Mechanical Engineering. 2014, Vol. 14, No 1, p. 80 – 87.
2. Bałchanowski J.: Selected problems of parallel manipulator computer simulation. In: VIII. International Con- gress on the Theory of Machines and Mechanisms. University of Liberec 2000, p. 67 – 72.
3. Bałchanowski J., Gronowicz A.: Topology and geometry of 3 dof parallel manipulators. In: Eighth IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms. SYROM 2001, Bukareszt, 2000, 25 – 30.
4. Bałchanowski J.: Topologia, geometria i kinematyka wybranych translacyjnych mechanizmów równoległych.
„PrzeglądMechaniczny” 2008, R. 67, nr 10, s. 20-26.
5. Bałchanowski J.: Some aspects of topology and kinematics of a 3DOF translational parallel mechanism. “Inter- national Journal of Applied Mechanics and Engineering” 2014, Vol. 19, No 1, p. 5 - 15.
6. Chebbi A-H, Affi. Z., Romandhane L.: Prediction of the pose errors produced by joints clearance for 3-UPU parallel robot. “Journal of Mechanism and Machine Theory” 2009, No. 44, p. 1768 – 1783.
7. Chanhee H., Jinwook K., Jongwon K., Park Chongwoo F.: Kinematic sensitivity analysis of the 3-UPU parallel mechanism. “Journal of Mechanism and Machine Theory” 2002, No. 37, p. 787 – 798.
8. Haug E.J.: Computer aided kinematics and dynamics of mechanical systems. Boston: Allyn and Bacon, 1989.
9. Kosuge K., T. Fukuda, M. Mehregany: Kinematic analysis of precision planar manipulator on silicon.”IEEE Transaction on Transducers” 1991, No. 91, p. 618 - 621.
10. Mallik A.K., S.G. Dhande: Analysis and synthesis of mechanical error in path-generating linkages using a sto- chastic approach. “Journal of Mechanism and Machine Theory” 1987, No. 22, p. 115 - 123.
11. Merlet J-P.: Parallel robots. London: Kluwer, Academic Publ.,2000.
12. Ting K.L., J. Zhu, D. Watkins: The effect of joints clearance on position and orientation deviation of linkages and manipulators. “Journal of Mechanism andMachine Theory” 2000, No. 35, p. 391 - 401.
13. Tsai L. W.: Robot analysis: the mechanics and parallel manipulators. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1999.
14. Tsai L. W.: Kinematics of a three-dof platform with three extensible limbs. Recent Advances in Robot Kinemat- ics. Kluwer Academic Publishers 1996 , p.40 - 410.
15. Zhu J., Ting K.: Uncertainty analysis of planar and spatial robot with joint clearances. “Journal of Mechanism and Machine Theory” 2000, No. 35, p. 1239 – 1256.
Tab. 3. Wyniki obliczeń i symulacji układu dla zadanych położeń platformy M1, M2, M3 i M4 dla zestawów luzów L1, L2 i L3
Punkt Rodzaj
luzu dxM[mm] dyM[mm] dzM[mm] x [deg] y [deg] z [deg]
M1
L1 -0,48 ÷ 0,48 -2,1 ÷ 2,1 -0,081÷ 0,081 -0,36 ÷ 0,36 -0,08 ÷ 0,08 -0,12 ÷ 0,12 L2 -0,12 ÷ 0,12 -1,1 ÷ 1,1 -0,04 ÷ 0,04 -0,18 ÷ 0,18 -0,03 ÷ 0,03 -0,06 ÷0,06 L3 -0,07 ÷ 0,07 -0,15 ÷ 0,15 -0,004 ÷ 0,004 -0,25 ÷ 0,25 -0,016 ÷ 0,016 -0,08 ÷ 0,08 M2
L1 -0,65 ÷ 1,0 -2,0 ÷ 1,9 -1,1 ÷ 1,05 -0,46 ÷ 0,4 -0,2 ÷ 0,16 -0,1 ÷ 0,12 L2 -0,5 ÷ 0,8 -0,18 ÷ 0,2 -0,2 ÷ 0,25 -0,41 ÷ 0,44 -0,17 ÷ 0,12 -0,07 ÷ 0,08 L3 -0,085 ÷ 0,08 -0,2 ÷ 0,2 -0,15 ÷ 0,14 -0,04 ÷ 0,045 -0,019 ÷ 0,02 -0,06 ÷ 0,06 M3
L1 -12,5 ÷ 6,0 -4,3 ÷ 1,9 -5,3 ÷ 2,8 -1,8 ÷ 0,6 -0,25 ÷ 0,35 -1,15 ÷ 2,7 L2 -6,5 ÷ 5,8 -3,0 ÷ 2,2 -4,8 ÷ 2,6 -1,0 ÷ 0,6 -0,2 ÷ 0,25 -1,1 ÷ 1,5 L3 -6,3 ÷ 8,0 -2,3 ÷ 4,0 -3,1 ÷ 2,2 -0,8 ÷ 0,45 -0,1 ÷ 0,17 -0,7 ÷ 1,3 M4
L1 -14,5 ÷ 14,1 -4,3 ÷ 4,9 -28,7 ÷ 28,7 -3,9 ÷ 0,6 -0,5 ÷ 1,5 -7,9 ÷ 8,0 L2 -12,9 ÷ 12,6 -3,9 ÷ 4,3 -22,1 ÷ 22,1 --3,5 ÷ 0,9 -0,3 ÷ 1,2 --5,8 ÷ 5,2 L3 -9,4 ÷ 9,2 -2,8 ÷ 3,0 -16,8 ÷ 16,6 -2,1 ÷ 2,3 -0,2 ÷ 0,7 -4,5 ÷ 4,0
